椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用关于师生情的作文

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椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用
-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）
四川省美姑县中学周钰承

★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。
★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，
本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希
望广大读者喜欢。
★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算
二、两个高精度的椭圆周长初等公式
三、椭圆周长公式集锦与评价
一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算
宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家
的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。
下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。
在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：
x
a
2
2
 y
b
2
2
1
，
a0,b0.

参数方程是：
xacos

,ybsin

,

0

2



函数图像为：

若某条光滑曲线，能用参数方程表示：
xX

t

，
yY

t



t

，该曲线长度可表示为：
L
22


X'tY'tdt




故椭圆周长为：


C4


2
0
2
a
a
2
sin
2

b
2
cos
2
2

d

2
4
2
0

1cos
2

2

b2
cos

d



4a

2
0
1ecos

d

其中
e
a 2
b
a
2
2

c
是椭圆的离心率。
a
22
下面用泰勒公式展开
1ecos


先由

1x

1kx
k
k

k1 
2!
x
2
k(k1)(k2)
3!
x„„
3
令K=12可得：
1x1
2
x
2 2



n2

1

n1 
2n3

!!x
n
2n!
n

令
xecos

可得：
1ecos

1
所以：

22
ecos 
2
22



n2

2n3

!!e
2n
cos
2n

2n!
n
C4a

2
1
0
2

e


4a


2


2
ec os

2

22



n2

2n3

!!e
2n
cos
2n

2n !

n
d





2n
cos

d






 2
0
cos

d


2

n2


2n3

!!e
2n

n 2n!



2
0
这个式子可以化简。
因为：


2
0
cos
2n

d



1
2

3
4

5

2n1



62n2


2n1

!!

2n!
n

2
所以：

2

e

1




L4a





22

22





n2

135

2n3

2n 1

e
n

2
n

2n1
 2n!



2







2





2

a

1




2

a

1




n1



135

2n1


2
e
2n











2462n

2n1







2n1

!!

2
e
2n



 





2n

!!

2n1








n1
这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实
际计算时却只能取精确值（谁能长生不老？）。
2
2468


1

e

13

e
135

e

1357

e
C2

a

1

















2

1

24

3

246

5

2468

7


其中
a
为长半轴，
e
ab
a
2
22
为椭圆离心率。„„„„„„„„（1）

根据项名达公式（1），可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布
表1：
Private Sub Form_Click ( )
a = 1 :’ 长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值
b = 0.15 :’ 短半轴长度，应不大于a，否则两者互换
e = sqr(1-b*baa) :’ 椭圆离心率
k0 = 0.25*e^2 :’ （1）式括号中的第二项
s = 1-k0 :’ （1）式括号中的前二项
for I = 2 to 1000000 :’ 级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟
k = k0*(2*I-1)^2(2*I)^2*(2*I-3)(2*I-1)*e*e :’ (1) 式括号中的某一项
s = s – k :’ 将各项累加到 s 中去，最终就得到 (1) 式括号中的值
k0 = k :’ 为计算下一项，将前一项结果赋给 k0
next I :’ 循环
print 2*3.1415926535*a*s :’ 打印或显示计算结果
End Sub

a

1
1
1
1
1
1
1
1
1
b

椭圆周长
4.„
4.„
4.„
4.2892108875„
4.8442241100„
5.5258730400„
5.9731604325„
6.2518088479„
6.2831853070„
表1.椭圆周长真值的分布
0.00
0.01
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.99
1.00

项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如
果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度要求计算椭圆周
长。为了方便，我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式。
22242628

1

ab

1

a b

13

ab

5!!

ab

C

(ab)

1







2ab24ab246ab8!!ab



为了估计误差，我们设


ab
ab
，则周钰承标准公式为：
2222


1

2

1
 4

13

6

5!!

8C

(ab)

1












„„„„（2）

2

24

246

8!!



这个公式中，主干为

(ab)
，我们可以把

1

2

1

4

13

6

5!!

8












„„„„„„„„„„„„ （3）

2

24

246
8!!

2222
称为误差多项式。
假如要求我们误差率低于

，我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设
n2
，则
误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：

(2n1)!!
2n2

(2n1)!!

2n4

(2n3)!!

2n6




 









(2n2)!!

(2n4)!!

(2n6 )!!

222
因为（注意
n2
）：

(2n 1)!!

2n2

(2n1)!!

2n4
(2n3)!!

2n6






(2n2)!!




(2n4)!!




(2n6)!!





(2n1)!!

2n2

(2n1)!!

2n4

(2n1)!!
2n6








(2n2)!!




(2n2)!!




(2n2)!!





1

2n2

1

2n4 
1

2n6













25625625 6


1
256

222
222
222

2n2
2
1

所以只须：
1
256
1



2n2
2



2n2
256(1

)


2
n
ln256(1

)

2ln


2

1
„„„„„„„„„„„„„„„„（4）
公式（4 ）称为周钰承标准公式（2）的误差公式。
n
取满足不等式（4）的最小整数，
为此，我们只需要一个带有函数的学生计算器便可以根据精确度要求，知道我们应该计算到
第几项，计算所得的值在给定误差率

的情况下是准确的。注意：计算到误差多项式第n

项，就是周钰承标准公式（2）括号中算到2n次方项；若n为负数或者小于2，就算到误差
多项式（3）第2项，即公式（2）中括号里的4次方项。如n>-1.86745.则周钰承标准公式
中，中括号里应该算到4次方项。因为误差公式证明中n大于或等于2是前提条件。
二、两个高精度的椭圆周长初等公式

如果利用周钰承标准公式来计算椭圆周长，通常只需要级数前两三项就可以达到相当
高的精确度。但当

0.95,
 0.0001
时，算得:
n
ln256(1

)

2ln


2

157.42
,即用到 误差多项式第58项即116次方项，误差才能保证小于万分之一。为此，我们可以根据周钰
承标准公式，构建一个新的函数模型，用以解决
ab
ab
b
a
80.1
甚至更小时的计算问题。
设


，



2
4


4
64

6
256

25

16384

49

10
65536

„„„„„
则
C

(ab)[1

]

我们改造函数模型，考虑到函数

的表达式具有三个重要特征：1.各项均含有因式
2

；2.当
ba
时，


ab
ab
0
，椭圆周长趋近于圆周长
C2

a
，此时
0
；
4

3.当
b0
时，

 1
，椭圆周长趋近两倍长轴长，即
C4a
，此时


我们构建函数模型：

。因此，


xy

zw

2
2


„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „（5）
2
（5）式中

是自变量，


ab
ab
，


C

(ab)
1
，
x,y,z,w
为待定系数。为了
拟合函数，我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三
个点的坐标
(
,

)
：
10.54.844224110.755.52587 30
,1)
，
(,1)

10.51.5

10.751.75

依次代入函数（5），得到三个关于
x,y,z,w
的一次方程。我们可以设计一个算法，
(1)
，
(
10.254.289 2109
,
10.251.25

或者用计算器解这个一次方程组，得到 x:y:z:w
的比例关系。为了帮助记忆和增加公式
的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：
x:y:z:w16:(3):64:(16)
。
把上述值代入函数（5），得：
C

(ab)[1
入并化简得到椭圆周长近似公式：
163

2
2
6416


 ]
，再把


2
ab
ab
代

C

[64(ab)3(ab)]
(ab)[64(ab) 16(ab)]
22
44
„„„„„„„„„„„„„„（6）
笔者取


3.141592654验证这个公式，得到表2。表2中“误差”的计算方法是用
函数值与椭圆周长真值的差，除以椭圆周长真值所得的商。

a

1
1
1
1
1
1
1
1
1
b

公式（6）C
3.992440664
3.995390384
4.063151007
4.289158624
4.844223672
5.525873040
5.973160433
6.251808848
6.283185307
椭圆周长真值
4.„
4.„
4.„
4.2892108875„
4.8442241100„
5.5258730400„
5.9731604325„
6.2518088479„
6.2831853070„
表2
误差
-0.0019
-0.0014
-0.00020
-0.000012
-0.00000009
-0.
-0.
-0.
0.
0.00
0.01
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.99
1.00

例1．如图，椭圆长半轴是3，短半轴是2，计算阴影部分的面积和弧AB的长(保留

)。

椭圆面积公式
S

ab
是一个标准公式。我们可以用截面斜截一个圆柱，然后
割补圆柱，使底面变为椭圆，由于底面积乘高是一个不变量，根据这个不变量列出等
式，只需要初中九年级的三角形相似的比例性质就可以解出这个公式。
阴影部分面积是四分之一椭圆面积减去一个三角形面积，弧AB的长度是椭圆周
长的四分之一。故：
面积：
S
b
a
2
3
1
4
1

ab
1
2
ab(

4

1
2
)123

6

C
，得：因为
10
，可用公式（6）。
L
44
1
4
L

[64(ab)3(ab)]
(ab)[64(ab)16(ab)]
22

1
4




646253 1

5

6425161

4


3999

7
。（这个数误差低于一亿分之一）
316 80
b
a
0.1
时的误差。将公式改写成关于

的函数式，接下来处理表2中特别是当
则：
C

(ab)

64 3

4

6416


2


1(
192


61

1)
 9.655

6.04



„„„„„（7） 
式中


ab
ab
。
公式（7）称周钰承椭圆周长初等公式。值得注意的是，通常情况下我们用公式（6）
即可（即公式（7）中前部分 C

(ab)

643

4

6416


2

。因为
b
6.04
a
0.1
的椭圆在生活与工程中
实为罕见；并且，当
b
a
0.1
时，
(
192
61

1)

9.655

这部分的值非常小，没有计算
的必要。公式（7）计算椭圆周长的误差约为一亿分之五，见表3：

a

1
1
1
1
1
1
1
1
1
b

公式（7）C
4.000000000
4.001098516
4.063974075
4.289210872
4.844223899
5.525873040
5.973160433
6.251808848
6.283185307
椭圆周长真值
4.„
4.„
4.„
4.2892108875„
4.8442241100„
5.5258730400„
5.9731604325„
6.2518088479„
6.2831853070„
误差
0.
+0.000000047
-0.000000026
-0.000000003
-0.00000004
-0.
-0.
-0.
0.
0.00
0.01
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.99
1.00
表3：周钰承椭圆周长初等公式函数值分布表
用上述这个周钰承初等公式计算，只需要带有函数的计算器或者百度计算器等，便可
解决任何情形下的椭圆周长计算问题。

下面介绍中国椭圆周长公式，它是目前精度最高的初等公式。
C

Q[1
10
其中
Qab,


ab
3

2
2
](4
14
11
)Q

14.23313.981

6.42
43

ab
。„„„„„„„„„„„„„„„„（8）
b a
0.1
甚至更小时，比中国椭圆周长原公式精公式中第二项为笔者所改变，改变后在

度提高了一万倍以上，
b
a
为其它值时精度也有所提高（这些值原公式的误差就非常低），多
数情况下省去第二项进行计算。该椭圆周长公式精确度低于十亿分之一，为目前世界上不用
程序即可计算的精确度最高的初等公式。
用法1：首先复制下列字符，把a、b改成你想要的数字，再粘贴到百度输入栏按等号
即可。
pi*(a+b)*(1+3*((a-b)(a+b))^2(10+sqrt(4-3*((a-b )(a+b))^2))+(4pi-1411)*((a-b
)(a+b))^(14.233+13 .981*((a-b)(a+b))^6.42))
例如：若A=4，B=1时，把下式粘贴到百度高级输入栏。
pi*(4+1)*(1+3* ((4-1)(4+1))^2(10+sqrt(4-3*((4-1)(4+1))^2))+(4pi-1 411)*((4-1
)(4+1))^(14.233+13.981*((4-1)(4+1))^ 6.42))
用法2：用带有函数的学生计算器计算，分两步分别计算两项即可完成全部计算。
三、椭圆周长公式集锦及评价
此处列举了十七个椭圆周长公式，请读者根据自己实际需要选择其中一两个进行运用，
希望大家能喜欢这些公式中某一或某些。
一、 L1 = π·qn atan(n)
(
b
→
a
，q=
a
+
b
，n=((
a
-
b
)
a
))^2 这是根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般，要用到反三角函数，实用性一
般，综合得分50 。
二、 L2 = π·θ(π4) ·(
a
- c+ csinθ)
(
b
→0，c=√(
a
^2-
b
^2)，θ=acos( (
a
-
b
)
a
)^1.1)
这是根据两对扇形组成椭圆得特点推导的，精度一般，实用性较差，综合得分
50。
三、 L3 = π·q(1 + mn)
(q=
a
+
b
，m=4π-1，n=((
a
-
b
)
a
)^3.3)
这是根据圆周长公式推导的，精度一般，实用性一般，简洁性较好，综合得分
60。
四、 L4 = π·√(2
a
^2 + 2
b
^2) ·(1 + mn)
(m=2√(2π)-1，n=((
a
-
b
)
a
)^2.05)
这是根据椭圆
a
=
b
时得基本特点推导的，精度一般，整齐有序，综合得分60。
五、 L5 = √(4
ab
·π^2 + 15(
a
-
b
)^2) ·(1 + mn)
( m=4√(15)-1 ，n=((
a
-
b
)
a
)^9 )
这是根据椭圆
a
=
b
，
c
=0时是特点推导的，精度较好，实用性较强，不利于笔算
口算，综合得分70。
六、L6= π√[2(a^2+b^2)]
精度较差，实用性一般，简洁好记，不利于口算，综合得分50
七、L7=π[32(a+b)-√(ab)]
精度较好，实用性强，数字合适可以笔算和口算，整洁美观，综合得分75。
八、L8 = π·q(1 + 3h(10 + √(4-3h)) ·(1 + mn)
( q=
a +
b
，h=((
a
-
b
)(
a
+ b
))^2， m=22（7π）-1，n=((
a
-
b
) a
)^33.697)
这是中国椭圆周长公式，精度很高，实用性强，无法笔算口算，综合得分90。
九、L9=4[πab+(a-b)^2](a+b)

这是笔者周钰承根据极限与面积推导的公式，精度较好，实用性强，可以笔算和
口算，整洁美观，综合得分75。
十、L10=π（a+b）{3(a+b)- √[(3a+b)(a+3b)]}
这是印度椭圆周长公式，精度高，适用性较强，美观整洁，不利于笔算与口算，
综合得分80。
十一、L11=2πb+4(a-b)
精度较差，简洁，可快速口算或笔算，综合得分60。
十二、带误差公式的有限多项式公式（初等公式）。
222


(2 n3)!!

2n


1

2

1

4

13

6
L12

(ab)

1














2

24

246


(2n)!!


误差公式：
n
ln256(1

)

2ln


2

1
，其中


ab
ab
，

为给定误差率指标，
n 2
且取
满足不等式的最小整数。（当n的最小整数取值小于2时，取n=2.），在给定误差率的情况
下，这个值是准确的。保留

时很多情况下可以笔算甚至口算。例如，当

是大于或者等
于0.3的一位小数或者或者分母小于10的既约真分数，误差率

要求低于万分之一时，此
时n=2，故可笔算甚至口算。缺点是当

取值非常大时，计算项数太多。综合评分95。
十三、L13=

(ab)
643

4

6416


2

，其中


ab
ab

此公式精确度高，实用性强，保留圆周率和分数形式时，数值合适可以笔算甚至口算，综合
得分85。
十四、 C

Q[1
10
其中
Qab,


ab
ab
3

2
2
](4
14 
11
)Q

14.23313.981

6.4 2
43

。这是中国椭圆周长公式的加强版，为有限次计算的初等公式，
是检验其它近似公式的试金石，只需要中学生的水平，即可用带有函数的计算器完成全部计
算，在任何情形下误差率均低于十亿分之一，综合得分90。
C
十五、

(ab)
643

4

6416


2


1(
192


61

 1)

9.655

6.04




此公式与十四雷同，但更优的是当
(
192
61

1) 

9.655

6.04
b
a
大于0.1时，有时候可以笔算甚至口算（省去计算
），但精度较十四略差，约为一亿分之五。综合得分90。
十六、

2
2468


1
 e

13

e

135

e

1357

e
C2

a

1















287
 


其中
a
为长半轴，
e
a b
a
2
22
为椭圆离心率。著名的项名达公式，推导和证明其它标准
公式或者近似公式的根据，且在某些情况下仍然可以笔算甚至口算，综合得分100。

十七、
C4a

2
0
1ecos

d
 ，
e
22
a
2
b
a
2
2

c
是椭圆离心率
a
微积分定义法，大学生以上专用，可用程序进行定积分近似计算。这是推导、证明项名达公
式的理论基础，否定它，就得否定微积分基础，综合得分100。

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