16

2
3

4
用
g(

)
近似代替
f(

)
，代入标准公式（1）得： 6416

2

16

2
3
< br>4

C

(ab)


1
6 416

2





从而得到一个椭圆周长的近似公式：

643

4
< br>C
1


(ab)


6416

2


（6）

公式（6）中，


ab
。这是我们在下一课时计算椭圆周长要用到的近似公式。
ab
为 了突出这个公式，我们称（6）为椭圆周长
一级等比公式
。

近似公式如果 没有误差估计是没有实际意义的。这个初等公式的精度如何呢？为此，
我们介绍一下椭圆周长
误 差率定理
：椭圆周长真值C满足下列不等式：

643

4
643

4
9

8
(14429

2


40
)

9

8(14432

2


40
)


(ab)


14
C

(ab)


142240

2240

6416
2(144100



)6416

2(144 103



)


643

4
9

8
(14432

2


40
)

是椭圆周长的一个
下界公式
；
W1


(ab)


142240

2(144100



)

6416


643

4
9

8
(14429< br>
2


40
)

是椭圆周长的一个
上界公式
。
W
2


(ab)


142240

2(144103



)
6416


643

4
9

8
(14432

2
13

40
)

是椭圆周长
二级等比公式
。
C
2


(ab)


14

224
2(1441 00



)

6416

限于篇幅 ，此处不给出详细证明过程，只对证明思路作简要介绍。
证明思路：上界公式与下界公式的级数展开式 与椭圆标准公式相比，

和它以前的所
有系数完全相同，称第一部分。而从

到

的系数，称第二部分。以

的系数为首项，
公比为（1 00：144）的等比数列作为下界公式的第二部分，公比为（103：144）为等比数列
作为上界公 式的第二部分，可用完全归纳法证明：下界公式每项系数小于标准公式中

相同
次数的 系数（仅有一项例外，但可用前一项系数补足），上界公式每项系数大于标准公式中

相同次数 的系数。从

项开始称为第三部分。上界公式与下界公式中的

项主要作用是
保持与二级等比公式形式上的统一性，所以它们并不是最佳选配的系数和次数。可用数学归
纳法 证明上界公式和下界公式第三部分的正确性。
注意二级等比公式中，第二个分式的分母中为


，不是40次方，而是4次方，它的
4
4040
12381010


渐变过程中产生的。出现是从
100

到
103
二级等比公式中系数和次数是最佳选配的，
不可更易。
上界公式 与下界公式均超过了目前所有的椭圆周长初等公式（包括中国椭圆周长公式）
的精度；用上界公式与下界 公式及两边夹定理，可以求出椭圆周长的精确值，这是上界公式
与下界公式的主要优点，它能够让我们判 断，我们用程序计算标准椭圆周长公式时，累加一
百万项后精确度如何，特别是当

接 近于1时。
二级等比公式是比上界公式和下界公式精度还高得多的椭圆周长初等公式。笔者预言，这将是地球上精度最高的初等公式，永远不会再出现比这个公式更简洁、更美丽、更实用、
精度更高 的椭圆周长初等公式。我们可以怀疑用程序累加项名达公式五百万项的结果，但不
可怀疑这个仅用学生计 算器就可计算椭圆周长的二级等比公式。
a

b

一级等比C1 真值下界W1 两边夹得真值C 真值上界W2 二级等比C2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a

0.00 3.9924406639
3.9997223959
4.000（舍入值） 4. 4.
0.05 4.
4.
4.0194（不足值） 4. 4.
4.
4.0640（过剩值）0.10 4. 4. 4.
0.15 4.1257797162
4.1260991688
4.12610（不足） 4.1261027235 4.1261002185
0.20 4.2018801742
4.2020085931
4.202009（舍入） 4.2020094578 4.2020088474
0.25 4.2891586239
4.2892107981
4.289211（舍入） 4.2892110135 4.2892108607
0.30 4.3858889139
4.3859100446
4.3859100（不） 4.3859100983 4.3859100601
0.35 4.4907311329
4.4907395661
4.4907396（过） 4.4907395793 4.4907395699
0.40 4.6026192371
4.6026225174
4.60262252（舍） 4.6026225205 4.6026225183
0.45 4.7206880143
4.7206892437
4.720689244舍 4.7206892444 4.7206892439
0.50 4.8442236721
4.8442241102
4.8442241102舍 4.8442241103 4.8442241102
0.55 4.9726292543
4.9726294004
4.9726294004舍 4.9726294005 4.9726294004
0.60 5.105399728
5.1053997727
5.1053997727 5.1053997727 5.1053997727
5.2421035996 5.2421035996
5.3823689815 5.3823689815
5.5258730402 5.5258730402
5.6723335778 5.6723335778
5.8215024803 5.8215024803
5.9731604325 5.9731604325
6.1271126366 6.1271126366
6.2831853072 6.2831853072
真值上界W2 二级等比C2
0.65 5.2421035874
5.2421035996
5.2421035996
0.70 5.3823689786
5.3823689815
5.3823689815
0.75 5.5258730396
5.5258730402
5.5258730402
0.80 5.6723335777
5.6723335778
5.6723335778
0.85 5.8215024802
5.8215024803
5.8215024803
0.90 5.9731604325
5.9731604325
5.9731604325
0.95 6.1271126366
6.1271126366 6.1271126366
1.00 6.2831853072
6.2831853072 6.2831853072
2
2
b

一级等比C1 真值下界W1 两边夹得真值

备注：舍入值若为4.202009，表明椭圆周长真值范围是
4.2020085x4. 2020095
；
不足值若为4.12610，表明椭圆周长真值范围是
4.126100x4.12611
；
过剩值若为4.0640，表明椭圆周长真值范围是
4.06390x4.06400
.
（表中上界值与下界值是笔者用更佳选配系数和次数计算的，因而比此文的上界公式与下界
公式 精度略高）
敬请各位专家、教授及同仁，提出宝贵意见和建议，在此提前谢过。再现一次最美丽、精度最高的椭圆周长二级等比公式：


643

4< br>9

8
(14432

2
13

40
)


C
2


(ab)


14

224
2(144100


)

6416
