莲子粥-雅思词汇书

初中数学辅导资料
完全平方数和完全平方式
内容提要
一. 定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，
4
，121都是完全平方数.
25
在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m
2
, (a+b－2)
2
, 4x
2
－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+
3
）
2
, x
2
+2
2
x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9. 所以凡是末位数字为2，3，7，8
的整数必不是平方数.
2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p
2
整除..
若整数m能被q整除，但不能被q
2
整除, 则m不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax
2
+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b
2
－4ac=0且a>0；
如果 b
2
－4ac=0且a>0；则ax
2
+bx+c (a≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b
2
－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax
2
+bx+c是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b）
2
中
当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.
例如： n
2
+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)中
① 若b
2
－4ac是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b
2
－4ac是完全平方数.
2. 在整系数方程x
2
+px+q=0中
① 若p
2
－4q是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p
2
－4q是整数的平方.


164

例题

例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S＝（m－2）
2
＋（m－1）
2
＋m
2
＋（m+1）
2
＋（m+2）
2

＝5（m
2
+2）.
∵m
2
的个位数只能是0，1，4，5，6，9
∴m
2
+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1
∴m
2
+2不能被5整除.
而5（m
2
+2）能被5整除，
即S能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.


例2 m取什么实数时，（m－1）x
2
+2mx+3m－2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当

△＝0
时，（m－1）x
2
+2mx+3m－2 是完全平方式
< br>m10
△=0，即（2m）
2
－4(m－1)(3m－2)=0.
解这个方程， 得 m
1
=0.5, m
2
=2.
解不等式 m－1>0 ， 得m>1.
即


m0.5或m2

m1

它们的公共解是 m=2.
答：当m=2时，（m－1）x
2
+2mx+3m－2 是完全平方式.


例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得
原式＝3x
2
+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，
∴△＝0.
即 4(a+b+c)
2
－12(ab+ac+bc)=0.
∴ 2a
2
+2b
2
+2c
2
－2ab－2bc－2ca=0,
(a－b)
2
+(b－c)
2
+(c－a)
2
=0 .
要使等式成立，必须且只需：

ab0


bc0


ca0

解这个方程组，得a=b=c.

165

例4. 已知方程x
2
－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m
2
(m为整数)，
即（－5）
2
－4k=m
2
(m为整数)，
25m
2
解得，k=.
4
∵ k是非负整数，
2


25m0
∴


2


25m是4的倍数
由25－m
2
≥0， 得
m5
， 即－5≤m≤5；
由25－m
2
是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.
25m
2
以 m的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=.
4
求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x
2
－5x+k=0有两个整数解

例5. 求证：当k为整数 时，方程4x
2
+8kx+(k
2
+1)=0没有有理数根.
证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k）
2
－16(k
2
+1)＝16（3k
2
－1）.
设3k
2
－1＝m
2
(m是整数).
由3k
2
－m
2
＝1，可知k和m是一奇一偶，
下面按奇偶性讨论3k
2
＝m
2
＋1能否成立.
当k为偶数，m为奇数时，
左边k
2
是4的倍数，3k
2
也是4的倍数；
右边m
2
除以4余1，m
2
＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k为奇数，m为偶数时，
左边k
2
除以4余1，3k
2
除以4余3
右边m
2
是4的倍数，m
2
＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
综上所述，不论k, m取何整数，3k
2
＝m
2
＋1都不能成立.
∴3k
2
－1不是整数的平方， 16（3k
2
－1）也不是整数的平方.
∴当k为整数时，方程4x
2+8kx+(k
2
+1)=0没有有理数根


练习题
1. 如果m是整数，那么m
2
+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果 n是奇数，那么n
2
－1除以4余数是＿＿，n
2
+2除以8余数是＿＿＿， 3n
2
除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k不是3的倍数，那么k
2
－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？

166

5. 一串连续正整数的平方1
2
，2
2
，3
2
，………，123456789
2
的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
6. m取什么值时，代数式x
2
－2m(x－4)－15是完全平方式？
7. m取什么正整数时，方程x
2
－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x
2
+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数
aabb
是平方数，试求a, b.
12. 已知：n是自然数且n>1. 求证：2
n
－1不是完全平方数.
13. 已知：整 系数的多项式4x
4
+ax
3
+13x
2
+bx+1 是完全平方数，求整数a和b的值.
14. 已知：a, b是自然数且互质，试求方程x
2
－abx+
1
(a+b)=0的自然数解.
2
(1990年泉州市初二数学双基赛题)
15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )
(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36
(1990年全国初中数学联赛题)



练习题答案
1. 1，2，5，6，7，0 2. 0，3，3 3. 0
4. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除
5. 5。因为平方数的个位数是
（1＋4＋ 9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）
即个位数为5×8＋5
6. 3，5 7. 12，10，6 8. a=b,a=c且c>b 9. 都不是
2


AB

x38A
22
10. 1987． ∵

A－B＝176＝2×2×2×2×11 ……

2


AB 

x138B
11. 7744（88
2
）. ∵
aabb11a0b
是平方数， a+b是11的倍数
∴可从
< br>
a9

a8

a7

a6

a2
中检验，得出答案.



b2
b3

b4

b5

b9
12 用反证法，设2
n
－1=A
2
,A必是奇数， 设A＝2k+1……
13


a12

a12



b6b6


a1
x
1
=1, x
2=2


b3
14



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