完全平方数和完全平方式
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完全平方数和完全平方式
第三十一讲
完全平方数和完全平方式 设n是自然数，若存在自然数
m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(
或平方数)．常见的题型有：
判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存
在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有： (1)任何一个完全平
方数的个位数字只能是0，1
，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8
的数一定不是平方数； (2)个位数字和十位数字都是
奇数的两位以上
的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，
也一定不是
完全平方数； (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平
方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式； (5)任何
整数平方之后，只能是3n或3n+
1的形式，从而知，形如3n+2的数
绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+
4的形式，
从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是
完全平方数； (7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正
因
数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数
的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除
余1，且十位数字必是偶数． 例题求解
【例1】 n是正整数，3n+1
是完全平方数，证明：n+l是3个完全 平方数之和． 思路点拨
设
3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．
若
rn=3k+1，则 ． ∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．
若m=3k+2，
则 ∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．
故n+1是3个完全平方
数之和． 【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果
加上168，则是另一个平方数，求这个正整数． 思路点拨 引入参数，
利用奇偶分析求解．
设所求正整数为x，则 x+ 100=m2 ----①
x+168==n2 -----②
其中m，n 都是正整数， ②―①得n2―m2 =68，
即
（n―m）(n+m)=22×17．---- ③ 因n―m，n+m具有相同的奇偶
性，由③知n―
m，n+m都是偶数．注意到0
示为两个正整
数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如
16=52―32，16就是一个“智慧数”．在正整
数中从1开始数起，试
问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由． 思路点拨
1不
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能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数
”．对于大于1的
奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于
1的奇
正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有
4k=(k+1)2―(k―1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被
4整除的数都是
“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧
数”．
对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设
4k+2=x2―y2=(x+y)(
x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相
同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2
不被4整除；当x，y奇偶性
相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所
以不存
在自然数x，y使得x2―y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧
数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此
后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因
为1998=(1+3×665)+2，
4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个
“智慧数”，2665是第1997
个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”
，因此2667是第1998
个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．
【例4】(太原市
竞赛题)已知：五位数 满足下列条件： (1)它的各位数字均不为零；
(2)它是一个完全平方数；
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方
数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数
以及十位和个位上的数
字顺次构成的两位数 也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所
有五位数． 思路点拨 设 ，且 (一位数)， (两位数)，
(两位数)，
则 ① 由式①知 ② 比较式①、式②得n2=2mt．
因为n2是2的倍
数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．
故
n2=16或36或64． 当n2=16时，得
，则m=l，2，4，8，t=8，4，
2，1，后二解不合条件，舍去； 故 或41616．
当n2=36时，得 ．则
m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去． 故
或93636． 当
n2= 64时，得
．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，
舍去．
因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，
93 636．
【例5】 (2002年北京)能 够找到这样的四个正整数，使
得它们中任两个数的积与2002的和
都是完全平方数吗?若能够，请举
出一例；若不能够；请说明理由． 思路点拨
不能找到这样的四个正
整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
理由
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如下：
偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正
整
数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足 ；
=1，2，3，4，rn
是正整数；因为2002被4除余2，所以 被4除应余2或3．
(1)若
正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则
被4
除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，
n2，n3，n4中至多有―个是偶数
，至少有三个是奇数． (2)在这三
个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必
有
两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与 被4除余2或3
的结论矛盾．
综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们
中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
【例6】 使得
(n2―19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少? 思路点拨
若
(n2―19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固
定了． ∵
n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)
当n>10时，(n－10)2
∴
当n≤10时，(n2―19n+91)才是完全平方数
经试算，n=9和n=10
时，n2―19n+91是完全平方数． 所以满足题意的值有2个．
【例7】
(“我爱数学”夏令营)已知
的值都是1或―1，设m是这2002个数
的两两乘积之和．
(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、
最小值的条件； (2
)求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条
件． 思路点拨 (1) ， ． 当 或
时，m取最大值2003001． 当 中
恰有1001个1，1001个
时，m取最小值―1001． (2)因为大于2002
的最小完全平方数为452=2025，且
必为偶数，所以，当 或 ； 即 中
恰有1024个1，978个 或恰有1024个
，978个1时，m取最小值 ． 【例
8】 (全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式
都是平
方数(即整数的平方)，证明： (1) 2a、2b都是整数； (
2)a、b、c
都是整数，并且c是平方数． 反过来，如果(2)
成立，是否对一切
x的整数值， 的值都是平方数? 思路点拨 (1)
令x=0，得c=平方数
= ； 令x=±1，得 ， ，其中m、n都是整数．所以， ，
都是整数． (2)
如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得 ，其中h是整数．
由于
2a是整数，所以16a被4整除，有 除以4余2． 而 ，在h
、l的
奇偶性不同时， 是奇数；在h、l的奇偶性相同时， 能被4整除．
因
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此， ，从而2b是偶数，b是整数，
^也是整数． 在(2)成立时，
不
一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，
=8
不是平方数． 另解(2)：
令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a―2b+c=k2，
其中h、k为整数．两式相减得
4b=h2―k2=(h+k)(h―k)．
由于
4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h―k)能被4整
除．
因此，b是整数， 也是整数．
学力训练 (A级) 1．(山东省竞赛题)如果
是整数，那么a满足( )
A．a>0，且a是完全平方数 B．a<0，且－a是完全平方数
C．a≥0，
且a是完全平方数 D．a≤0，且―a是完全平方数
2．设n是自然数，
如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是( ) A．1 B．4 C．5
D．6 3．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，
它的末2位数字不
是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全
平方数，则N的最大值是 ．
4．使得n2―19n+95为完全平方数的自
然数n的值是 ．
5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是
整数的平方，则n= ．
6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方
数的末两位数字相同，则这两个数分别是 ．
7．是否存在一个三位
数 (a，b，c取从1到9的自然数)，使得 为完全平方数?
8．求证：
四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数． （B级）
1．若x
是自然数，设 ，则 ( ) A．y一定是完全平方数
B．存在有限个，
使y是完全平方数 C．y一定不是完全平方数
D．存在无限多个，使
y是完全平方数 2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为
l
，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则( ) A．x，y
都是奇数
B．x，y都是偶数 C．x是奇数，y是偶数 D．x为偶数，y
为奇数 3．若四位数
是一个完全平方数，则这个四位数是 ． 4．设
m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是
． 5．(全国联
赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值
是 ．
6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是―个完全平
方数，则p的最大值为 ． 7．
有若干名战士，恰好组成一个八列长
方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，
都能
组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士? 8．证明：
是
一个完全平方数．
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