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完全平方数练习题
例1
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求
此数。 解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m⑴
x+44=n⑵

⑵-⑴可得 :
因为n+m>n-m
又因为89为质数，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。
例2
求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平
方。
解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.
这时，
n+1
=
…①
易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为
得ad=1,ae+bd=2,af+b e+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得
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a=d=e=b=1,c=f=-1 故①可被分解为
，因为n与n+1是连续两个整数，故n为偶数，所以
[n-1]为奇数，即n+1为一个奇数的平方。
例3
求证：11,111,1111，11111……这串数中没有完 全平
方数。可得，这串数除以四余数为3，矛盾，所以这串数中
没有完全平方数。
例4
用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全
平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字
和为600
3|600 ∴3|A
此数有3的因数，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可
能有完全平方数。 例5
试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前
两位数字相同，后两位数字也相同。
解：设该四位数为1000a+100a+10b+b，则
1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11
故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除，又因为≤18
所以a+b=11，
带入上式得 四位数=11×） =11× =11×11×，这四
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个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位 数字与百位
数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的
面积。
解：设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B
则该四位数为：1000A+100A+10B+B=11*且为完全平方
数
所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除，又因为
A+B≤18
故A+B=11
易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位
之和为10
验证得该数64
所以A=7,B=4，则四位数是7744
完全平方数专项练习题
1.一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之
和，这个两位数是多少？
2 .把一个一个两位数的个位与其十位数字交换后得
到一个新数，它与原来数加起来恰好是某个自然数的平 方，
这个和是多少？
3.哥哥对弟弟：“到21世纪的x 年，我恰好是x岁。”
哥哥生于哪一年？
4.一位100多岁的老寿星，公元x2年时年龄为x岁，
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则此老寿星现年多少岁？
5.祖孙三人，孙 子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷
爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？
6.在2024一499之间有多少个平方数？
7.请说明任意两个相邻的整数的积不是平方数。
完全平方公式专项练习
知识点：
完全平方公式：2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2
倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即
a2+2ab+b2=2a2-2ab+b2=2
2、能否运用完全平方式的判定
①有两数和的平方
即：2或 2或 2或 2
②有两数平方，加上它们的积的2倍，且两数平方的
符号相同。
即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2
-a2-2ab-b2
或 -a2+2ab-b2
专项练习：
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1．2
2．2
3.．2
4. －2
5.2
122ab－c）223
7.
8.2＋2
9.；.－2；
11.222．
12.972；
13. 0022；
14.992－98×100；
15.49×51－2499．
16.－
17.
18.－
19.－＋５x
20.先化简。再求值：，其中x＝２，y＝－１.
21.解关于x的方程：－＝.444
2222.已知x－y＝９，x·y＝５，求x＋y的值.
a2?b2
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23.已知a＋＝－７，求－ab的值.2
24.已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，2的值．
25.已知2a－b＝5，ab＝
26.已知2＝9，2＝5，求a2＋b2，ab的值．，求4a2
＋b2－1的值．
a2?b2
227.已知 ?16,ab?4,求与的值。2
28.已知?5,ab?3求与3的值。
29.已知a?b?6,a?b?4求ab与a?b的值。
2230.已知a?b?4,a?b?4求ab的值。
2222222222231.已知a?b?6,ab?4，求ab?3ab?ab的值。
32. 已知x?y?2x?4y?5?0，求
33.已知x?2212?xy的值。11?6，求x2?2的值。 xx
2234.试说明不论x,y取何值，代数式x?y?6x?4y?15
的值总是正数。
35.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值
36.已知x2?y2?4x?6y?13?0，x、y都是有理数，求xy
的值。
37.已知 2?16,ab?4,求a2+b2的值。
38.要使x2－６x＋a成为形如2的完全平方式，则a，
b的值为多少？
11139．如果x＋＝8，且x>，求x－ 的值。 xxx
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112240. 已知m＋2＝1求的值。 mm
41.利用完全平方公式化简2
42.证明：2-2是28的倍数，其中m为整数.
43.化简-4xy
44.求证：对于任意自然数n，n-×的值都能被6整除．
45.试证代数式 -6x+5x+16的值与x的值无关．
46.2-,其中x=1.5
47.?2??5y2??2x,其中x??2,y?1
48.2??2，其中a?
249. －,其中：a=－2,b=3
1,b??2.2
50.有这样一道题，计算：2+[－xy]+ [+xy]的值，其
中x=200 6，y=2007；某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”
但他的计算结果是正确的，请回 答这是怎么回事？试说明理
由。 2
51.已知三角形 ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满
足等式3?2，请说明该三角形是什么三角形？



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