征求党内外群众意见-董平

5-4-5.完全平方数及应用（二）

教学目标

1. 学习完全平方数的性质；
3. 掌握完全平方数的综合运用。


2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数
a
2
，则p能被
a
整除。
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N 为完全平方数

自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且
p
2n1
|N
，则
p
2n
|N
．
性质4：完全平方数的个位是6

它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全 平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个
位是5，则其十位一 定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余 1.即被4除余2或3的数一定
不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自 然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09， 29，49，69，
89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字 不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是

完全平方数；个 位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：
平方差 公式：
a
2
b
2
(ab)(ab)

例题精讲
模块一、平方差公式运用

【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045？
【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设这两个数分别是a和b，那么有ab(a-b)=45045,分析奇偶性 可知这是不可能的。因此不可能得到
45045。
【答案】不能得到这样的数

【例 2】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设这个数减去63
为
A
2
，减去
100
为
B
2，则
A
2
B
2


AB
AB

1006337371
，
可知
AB3 7
，且
AB1
，所以
A19
，
B18
，这 样这个数为
18
2
100424
．
【答案】424

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 假设能找到，设这 两个完全平方数分别为
A
2
、
B
2
，那么这两个完全平方数 的差为
54

AB

AB

，由于
AB

和

AB

的奇偶性质相同，所 以

AB

AB

不是4的倍数，
就是奇数 ，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以
54
不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．
【答案】不存在这样的数

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 假设能找到，设这 两个完全平方数分别为
A
2
、
B
2
，那么这两个完全平方数 的差为
54

AB

AB

，由于

AB

和

AB

的奇偶性质相同，所以

AB

AB

不是
4
的倍数，< br>就是奇数，所以
54
不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到．
【答案】不存在这样的数

【巩固】 一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设该正整数为a，根据题意得
a132m< br>2
，
a231n
2
两式相减得

nm

nm

99
,注意到
nm
和
nm的奇偶性相同，都是奇数．因为
99991333119
，所以
n m99
，
nm1
或
解得
n50
，
m49
或
n18
，
m15
或
n10
，
m 1
，
nm33
，
nm3
或
nm11
，
nm9
．
但是
n10
，
m1
不符合是正整 数的条件．因此
a49
2
1322269
，或者
15
2
13297
．所以这
个正整数是2269或97．
【答案】2269或97

【例 3】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设 这两个完全平方数分别是
A
2
和
B
2
，且
A
2
B
2
77
，则两个完全平方数的和可以表示为
772B< br>2
，
所以
B
越大，平方和越大，
B
越小，平方和越小 ，而

AB

AB

77
，
77 711177
，当
此时两个完全平方数的和最大，为
2965
；当< br>AB11
，
AB77
，
AB1
时，
B< br>取得最大值
38
，
AB7
时，
B
取得最小值2， 此时两个完全平方数的和最小，为85．
【答案】最小85，最大2965

【例 4】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的
数的差为60，求这三个数．
【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设这三个数从大到小分别为
A
2
、
B
2
、
C
2
，那么有

AB

AB
< br>80
，

AC

AC

140< br>，因
为
1402257
，
AC
、
AC< br>同奇同偶，所以有
AC14
，
AC10
或
AC7 0
，
AC2
，
分别解得
A12
，
C2和
A36
，
C34
，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于1 2，
C2
，
继而求得
B8
，所以这三个数分别为
12< br>2
=144
、
8
2
=64
、
2
2< br>=4
．
【答案】三个数分别为
144
、
64
、
4


【例 5】 有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位 数(个位数和十位数)
相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案)
【考点】平方差公式运用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2008年，清华附中
【解析】 设这两个两位数中较小的那个为
n
，则另外一个为
n14
，由题知，
(n14)
2
n
2
100k
(
k
为正整数)，即
7

n7

25k
，由于
< br>7,25

1
，所以
25

n7
，由于
n
与
所以
17n792
，故
n7
可能为25、50或者75，
n
可能为18、43或者68．经
n14
均 为两位数，
检验，
n18
、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32 ，或者43、57，或者68、82．
【答案】这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82

【例 6】 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五
位 数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和
为 ．
【考点】平方差公式运用 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 如果把B放 在A的左边，得到的五位数为
100BA601A
；如果把
B
放在
A
的右边，得到的五位数
为
1000AB1006A
；这两个数的差为
1006A601A405A
，是一个完全平方数，而
4059
25
，
所以
A
是5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以可 以为
52
2
、
53
2
、
54
2，A的
所有可能取值之和为
52
2
53
2
5 4
2
145
．
【答案】145

【例 7】 一个自 然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小
于7．如果把组 成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．
【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设这个四位数为
abcdm
2
①，
由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故
(a3)(b3)(c3)(d3)n
2
②
由②
①得：
3333n
2
m
3
(nm)(nm)
③
将
3333
分解质因数，有
3333311101
，其有

11



11


< br>11

8
个约数，但是有
nmnm
，
所以 只有4种可能，即
333313333311111130333101
．

由于
m
2
abcd1000
，故
m3 0
，所以

nm



nm

2m60
；
又
n
2
(a3)(b3)(c3)(d 3)10000
，所以
n100
，故

nm


nm

2n200
；
一一检验，只有33101
满足
1013360
且
10133200
，所以
nm101
，
nm33
，得
m34
，原来的四位数为
34
2
1156
．
【答案】1156

模块二、完全平方数与其他知识点的综合运用

【例 8】 如果△+△ =
a
，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，a+b+c+d=100，那么，△=____ _______.
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第5题
【解析】 根据题意，
a 2△
，
b0
，
c△
2
，
d1
，< br>abcd△
2
2△1
(
△1
)
2< br>100
，则
△110
，
△9
.
【答案】
△9


【例 9】 已知
ABCA
是 一个四位数，若两位数
AB
是一个质数，
BC
是一个完全平方数，
C A
是一个质数与一
个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 本题综合利用数论知识，因为
AB
是一个质数，所以B不能为偶数，且同时
BC
是一个完全平方数，
则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，
C6．由于
CA
是一个质数与一个不为1
的完全平方数之积，在61～69中只有63 和68符合条件，那么A为3或8．那么
AB
可能为31，33，
81，83，其中是 质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．
【答案】3163和8368

【例 10】 称能表示成
123k
的形式的自然数为三角数．有 一个四位数
N
，它既是三角数，又是完全
平方数．则
N
．
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2007年，走美
【解析】 依题有
123
数，有奇数< br>
ka
2
，即
k(k1)2a
2
．因为< br>k
与
k1
是两个连续自然数，其中必有一个奇
相邻偶数相邻偶数”也互质，于是奇数
m
2
，
a
2
．又由相邻自然数 互质知，“奇数”与“
22
相邻偶数
n
2
(
amn
)，而
a
2
为四位数，有
32a99
，即
32 mn99
，又
m
2
与
2n
2
相邻，
2
有
7m12
．
当
m7
时，
m
2
49
，相邻偶数为50时，
n5
满足条件，这时
a
2< br>(75)
2
1225
，即
N1225
；
当
m9
时，
m
2
81
，相邻偶数为80和82都不满足条 件；
当
m11
时，
m
2
121
，相邻偶数为 120和122都不满足条件．
所以，
N1225
．
【答案】1225

【例 11】 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 1到3的平方是一位数，占去3个位置；
4到9的平方是二位数，占去12个位置；
10到31的平方是三位数，占去66个位置；
32到99的平方是四位数，占去272个位置；

将1到99的平方排成一行 ，就占去353个位置，从612减去353，还有259个位置．
从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字．
因为
2595154
，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五 位数，要占去255个位置，
而
15115122701
，它的第4个数字是0， 所以第612个位置的数字是0．
【答案】0

【巩固】 不是零的自然数的平方 按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第l6个
数字是_____ ____
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用

【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】希望杯，
4
年级，初赛，
11
题

【解析】 通过列举可得1。
【答案】
1


【例 12】 由
261
2
5
2
1
2
3
2
4
2
，可以断定
26
最多能表示为
3
个互不相 等的非零自然数的平方和，请你
判定
200
最多能表示为__________个互不 相等的非零自然数的平方之和．
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【解析】
1
2
2
2
L8
2
204＞200
，所以
200
不能表示成
8
个互不相等的 非零自然数的平方之和，而
2042
2
200
，所以
200可以表示成
7
个互不相等的非零自然数的平方之和，所以
200
最多能表 示
为
7
个互不相等的非零自然数的平方之和．
【答案】7

【例 13】 有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成 一排，其中
第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是： ．
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第12题
【解析】 一般而言，4个不同的数字共可组成
P
4
3
24
（个）不同的4位数．如果只能组成18个不同的4位 数，
说明其中必有0，即按
332118
算出来的．在这四个不同的数中，则 设最小的数
小0中大A
2
，
倒数第二个则是
大中0小B
2
，两数正好是一对反序数．
根据完全平方数特点，“小”、“大”两数必是1，4，6，9之中的两个．且中数在小大之间．
可以为以下3类：
当“大”
4
，在1024、1034中，1034不是 完全平方数，
10243232
，但4201不成立．
当“大”
6< br>，1026、1036、1046、1056、4056．都不是完全平方数．
当“大”＝9，
在
10中9
的数中，取
33
2
1089
，而980199
2

在
40中9
的数中，取632，672不成立．
在
50中9
的数中，取672，732不成立．
在
60中9
的数中，取732，772不成立．
所以，符合条件的数只能是由1089开始的四位数，
求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，
另一种是概率法，可以作为方法来记： < br>即，对于没有0的四位数
a
，
b
，
c
，
d< br>排列互不相同的四位数时，共有24个数，每个数字在每位上
出现的概率机会是一样的，所以，每 个数字在每位上都出现
2446
（次）．
则总和为：

abcd

61111
．
如果有一个数是0，则在此基础上，考虑0作首位的部分要排除．

即：

abc0

61111

abc
< br>

63

111

abc
< br>6444
，
所以，本题的总和为

189

6444115992
，所以，这18个数的平均数为
115992186444．
【答案】6444