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《整式及其加减的运算》知识梳理
一、整式
1、单项式：只含有数字与字母的乘积的代数式叫做单项式．
注意：①定义中的“积”是对数 与字母而言的，只能是乘法或乘方
运算，而不能是加、减、除等其他运算. 如ab
2
＋2，
x2y2n
3
，
m
等都不是单项式.
②单独的一个数或一个字母也是单项式.
（1） 单项数的次数：一个单项数中，所有字母的指数的和叫做这个单
项数的次数．
注意：①计算单项数的次数时，不要漏掉字母的指数为1的指数. 如
单项数2a
3< br>bc
5
的次数是字母a、b、c的指数和，即3＋1＋5 = 9，
而不是字母a、c的指数和3＋5 = 8.
②切勿加上系数中的指数. 如单项数－3
3
x
2
y
4
的次数是6，而不是9.
（2） 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
注意：
①单项式的系数包括其前面的符号；
②只含有字母因数的单项式，其的系数是1或 – 1.也就是说，系数
是1或 – 1时，往往省略不写.
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式.
其含义有：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则．
（1）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个
多项式的次数.
注意：不要与单项式的次数混淆，而误认为多项式的次数是各项次数
之和，如多项式3x
4
+ 2y
2
+ 1的次数是4，而不是4 + 2 = 6．
（2 ）多项式的项：是指在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．其
中不含字母的项叫做常数项．
注意： 多项式的项包括它前面的性质符号.
3、整式：单项式与多项式统称为整式.
注意：分母中含有字母的代数式是分式
二、幂的运算性质
对于幂的运算性质，（一）、要弄清运算性质的由来，
（二）、要熟悉推导过程，明确各个性质的条件和结论；
（三）、要学会公式的逆运用。
性 质 条件 结 论 说明
a
m
·a
n
=a
m+n
幂的乘法，底数底数不变， 由乘法运算降为
相 指数相加 加法
同，指数为正整运算（指数相加）
数
（a
m
）
n
=a
mn
幂的乘方，指数底数不变， 由乘方运算降为
为 指数相乘 乘法
正整数 运算（指数相乘）
（ab）
n
=a
n
b
n
积的乘方，指数分别乘方， 由乘方运算降为
为 将幂相乘 乘法
正整数 运算（幂相乘）
a
m
÷a
n
=a
m-n
幂的除法底数底数不变， 由除法运算降为
相同，指数为正指数相减 减法运算（指数相

整数，且m＞n 减）
a
0
1
任何非零数的0
（
a0
） 次幂都等于零
任何不为零的
-n（n为正整数）
次幂等于这个
a
-n
=
1
a
n

数n次幂的倒
( a

0,n为数
正整数）
在学习和运 用这些性质时，一要注意符号问题，二要与整式的有关
概念及整式的加碱运算相联系，三要注意各个性质 的逆向运用及综合运
用。
四、熟练的进行整式的三种运算
1、整式的加减运算
整式的加减包括单项式的加减和多项式的加减，
整式加减的基础是去括号和合并同类项， < br>整式加减运算的实质是去括号,合并同类项。只要掌握了去括号与合
并同类项的方法,就能正确地 进行整式的加减运算了。
（A）.同类项的概念：
所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，
几个常数项也叫同类项。
掌握同类项的概念时注意：
（1）.判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条
件：
①所含字母相同。 ②相同字母的次数也相同。
（2）.同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。
（3）.几个常数项也是同类项。
(B)去括号法则：
括号前是十号，把括号和它前面的号去掉。括号里各项都
不变符号;
括号前是一号，把括号和它前面的一号去掉．括号里各项
都改变符号．

2、整式的乘法运算
整式的乘法运算包括：单项式的乘法、单项式与多项式相乘、多项

式的乘法。
在这三种乘法运算中，单项式乘以单项式是整式乘法的基础，只要
能熟练的进行单项式的乘法运算，就能顺利地进行单项式与多项式
相乘、多项式与多项式相乘。
3、整式的除法运算
整式的除法运算包括：单项式除以单项式、多项式除以单项式。
在这里，单项式除以单项式是整式除法的基础，因为多项式除以单
项式可以 归结为单项式除以单项式的运算。
显然，整式的三种运算的基础是幂的上述四条运算性质。
五、牢记乘法公式的特点、几何背景并能利用它们进行运算
（一）、平方差公式：(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
.
即，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
1.平方差公式：
(ab)(ab)a
2
b
2
< br>2.公式的结构特征：平方差公式是通过乘法法则直接计算得来的，
即
(ab)(a b)a
2
ababb
2
a
2
b
2，弄清其来源，自然易记．当然，
它的左边为两数和与这两数差的积的形式，一部分完全相同，如公 式中
的
a
，另一部分绝对值相同而符号相反，如公式中的
b
和
b
；它的右边
恰好是完全相同的项的平方，减去绝对值相同而符号相反的项的平方所
得的差．这也是该公式被叫做平方差公式的原因．
3. 明确公式中
a、b
的含义
公式中的字母
a、b
，既可以表示数，也可以表示代数式．明确
a、b
各代表什么数或式子，只要是符合公式结构特征的，都可以运用这一公
式计算．例如：
(ab)(ab)a
2
b
2


(2x
2
3y
2
)(2x
2
3y
2
)4x
4
9y
4
4.平方差公式的几何意义：
如图1，阴影部 分的面积可以看成是大正方形的
面积减去小正方形的面积，即
a
2
b
2
；
若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，
则此时的阴影部分的面积又可 以看成
S
I
S
III
S
I
S
IV< br>(ab)(ab)
.从而
验证了平方差公式
(ab)(ab)a< br>2
b
2
.
5.平方差公式的 重点


重点1 平方差公式的运用
在运用平方差公式时，要注意：（1）是否符合平方 差公式的“模型”，

即看一看是不是两数和与两数差相乘．如果是，才可以用公式：（2 ）要
分清是哪两个数的和与差相乘，即公式中
a、b
在该题中分别代表什么；
（3）为了识别出
a、b
，应注意公式变形．参看重点2；（4）应特别注意
6. 平方差公式的易错点
在平方差公式
(ab)(ab)a
2
b
2
中，字母
a、b
可以表示具体的数，
也可以表示代数式．应 用时，要紧扣“相同项”与“互为相反数”这两点．例
公式的逆用
a
2
b
2
(ab)(ab)

重点2 公式的变化形式
公式
(ab)(ab)a
2
b
2
有八种变化形式：
（1）位置变化：
(ba)(ba)a
2
b
2

（2）符号变化：
(ab)(ab)b
2
a
2

（3）系数变化：


1
a3b


2

(0.5a3b)(
1
a)
2
(3b)
2

2

（4）指数变化：
(a
2
b
2< br>)(a
2
b
2
)(a
2
)
2
 (b
2
)
2

（5）增项变化；
(abc)( abc)(ab)
2
c
2
；
(abc)(abc)a
2
(bc)
2

（6）增因式变化：
(ab)(ab)(ab)(ab)(a
2
b< br>2
)(a
2
b
2
)

（7）连 用公式变化：
(ab)(ab)(a
2
b
2
)(a
4
b
4
)a
8
b
8

（8） 逆用公式变化：
(abcd)
2
(abcd)
2
2 a(2b2c2d)

以上8种变化离不开基本的公式，同学们不必死记各种变化形态，
关键还是对公式结构的理解；
如
(3ab)(ab)a
2
b
2
，因为左边两个因 式中的第一项
3a
和
a
不是相同
项，不符合平方差公式条件．
(ab)(a2b)a
2
b
2
，因为左边两个因式
中的第 二项
b
和
2b
不是互为相反项，也不符合平方差公式．
总之利用平方差公式要注意：
（1）必须符合平方差公式的结构特征；
（2）有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符
号后则可以运用公式进行化简、计算；
（3）计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化；
（4）在运算过程中，有时可以反复应用公式
（二）、完全平方公式：
1.完全平 方公式有两个：
(ab)
2
a
2
2abb
2
,
(ab)
2
a
2
2abb
2
.即，< br>两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这
两个数的积的2倍.这两个 公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，
为
(ab)
2
a
2
2abb
2
.

记忆口诀：“首平方、尾平方，
2
倍乘积在中央”.
2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.
3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的
2
倍.
4.公 式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，
是左边二项式中两项的平方和，加上（这两 项相加时）或减去（这两项
相减时）这两项乘积的
2
倍.公式中的字母可以表示具体的 数（正数或负
数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特
征，就可 以运用这一公式.
5. 完全平方公式的几何意义
如图1，大正方形的面积可 以表示为
(ab)
2
，也可
以表示为
SS
I
 S
II
S
III
S
IV
，同时
Sa
2
ababb
2
a
2
2abb
2
.从而 验证了完全平方公
式
(ab)
2
a
2
2abb2
.
6.完全平方公式重难点
重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的
2
倍
的和（差）。
（ 2）
(ab)
2
的计算，可以看做是
(ab)(ab)
，由多 项式与多项式的
乘法展开、合并同类项，可以得到公式。
（3）而
(ab)
2
可以看做是

a(b)

2
，可以由两数和的平方 公式得到。
重点2 完全平方公式的灵活应用
（1）
(ab)
2
(ab)
2

（2）
(ab)
2
(ab)
2
4ab

（3）
(ab)
2
(ab)
2
4ab

（4）
(ab)
2
(ab)
2
2(a
2
 b
2
)

难点 三个或三个以上数的完全平方公式，可以先把一 个看做一个
整体，剩余部分看做一个整体，逐步利用完全平方公式。如
(abc)
2
可
以把
ab
看做一个整体，
c
看做一个整体，利用完全 平方公式.
7. 在使用完全平方公式时应注意以下几点：
（1）千万不要发生类 似
(ab)
2
a
2
b
2
的错误；
（2）不要与公式
(ab)
2
a
2
b
2
混淆；
（3）切勿把“乘积项”
2ab
中的
2
漏掉；
（ 4）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如
符合，则可以直接套用公式进行计算；如 不符合，应先变形为公式的结
构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则

应运用乘法法则进行计算.
8.在使用完全平方公式时易错点
易错点1 公式
a、b
中含有常系数. 若
a、b
中含有常系数，要将其看
做一 个整体，例如
(2x3y)
2
(2x)2(2x)(3y)(3y)4x 12xy9y
2222

易错点2 公式中
a、b
含 有符号.尤其公式中
a、b
有一项为负数时，
可将负号看做是系数为
1，按照易错点
1
思维突破解决。