分式 知识点及典型例题
开屏画报-东方卫视跨年节目单
实用标准
分 式
【知识网络】
bcbc
【主要公式】1.同分母加减法则:
a
0
aaa
bdbcdabcda
2.异分母加减法
则:
a
0,
c
0
; <
br>acacacac
bdbdbcbdbd
3.分式的乘法与除法:
•
,
•
acacadacac
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;a
m
● a
n
=a
m+n
; a
m
÷ a
n
=a
m-n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)
m
=
a
m
b
n
, (a
m
)
n
=
a
mn
7.负指数幂: a
-p
=
1
a
0
=1
p
a
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a
2
- b
2
;(a±b)
2
= a
2
±2ab+b
2
一、考点、热点
知识点一:分式的定义
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子
子,B为分母。
文档
A
叫做分式,A为分
B
实用标准
知识点二:与分式有关的条件
①分式有意义:分母不为0(
B0
)
②分式无意义:分母为0(
B0
)
A0
③分式值为0:分子为0且分母不为0(
)
B
0
A0
A0
④分式值为正或大于0:分子分母
同号(
或
)
B0
B0
A0
A0
⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(
<
br>或
)
B0B0
⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B)
⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)
知识点三:分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:
AA•CAAC
,
,其中A、B、C是整式,C
0
。
BB•CBBC
拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中
任何两个,分
式的值不变,即
AAAA
BBB
B
注意:在应用分式的基本性质时,要注意C
0这个限制条件和隐含条件B
0。
知识点四:分式的约分
定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,
文档
实用标准
然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
知识点四:最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
知识点五:分式的通分
① 分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等
的同分
母分式,叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母
的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做
最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ
单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ
相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ
保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为:
aca•c
•
bdb•d
分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为
文档
实用标准
acada•d
•
bdbcb•c
② 分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子
a
n
a
n
b
b
③ 分式的加减法则:
同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为
abab
ccc
n
异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为
acadbc
bdbd
整式与分式加减法:可以把整式当作
一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是
分母为1的分式,再通分。
④
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先
算谁,有括号的先算括号里面的,
也要注意灵活,提高解题质量。
注意:在运算过程中,要明
确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要
随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原
因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
知识点六整数指数幂
①
引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的
法则对对负整数指数
幂一样适用。即
★
a
m
a
n
a
mn
★
a
m
n
n
a
mn
★
ab
a
n
b
n
★
a
m
a
n
a
mn
(
a0
)
文档
实用标准
1
a
n
a
★
n
★
a
n
n
(
a0
)
a
b
b
n
★
a
0
1
(
a0
) (任何不等于零的数的零次幂都等于1)
其中m,n均为整数。
科学记数法
若一个数x是0
n
(
1a10
,即a的整数部分只有一
位,n为
整数)的形式,n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的
0的个数的相反数。如0
.000000125=
1.2510
-7
7个0
若一个数x是x>10的数则可以表示为
a10
n
(1a10,即a的整数部分
只有一位,
n为整数)的形式,n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000
000=
1.210
8
9个数字
知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中: <
br>如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分
母不为0,
则是原方程的解。
产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
知识点八列分式方程
基本步骤
① 审—仔细审题,找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
文档
实用标准
③
列—根据等量关系列出方程(组)。
④ 解—解出方程(组)。注意检验
⑤ 答—答题。
二、典型例题
(一)、分式定义及有关题型
题型一:考查分式的定义
1
x1abx
2
y
2
xy
【例1】下列代数式中:,xy,
,是分式的有:
,,
2xyxy
ab
.
题型二:考查分式有意义的条件
【例2】当
x
有何值时,下列分式有意义
(1)
x4
x4
(2)
3x
x
2
2
(3)
2
x
2
1
(4)
1
6x
(5)
1
|x|3
x
x
题型三:考查分式的值为0的条件
【例3】当
x
取何值时,下列分式的值为0.
(1)
题型四:考查分式的值为正、负的条件
【例4】(1)当
x
为何值时,分式
(2)当
x
为何值时,分式
4
8x
x1
x3
(2)
|x|2
x4
2
(3)
x
2
2x3
x5x6
2
为正;
为负;
5x
3(x1)
2
文档
实用标准
(3)当
x
为何值时,分式
练习:
x2
x3
为非负数.
1.当
x
取何值时,下列分式有意义:
(1)
1
6|x|3
(2)
3x
(x1)
2
1
(3)
1
1
1
x
2.当
x
为何值时,下列分式的值为零:
5|x1|
(1)
x4
(2)
25x
2
x
2
6x5
3.解下列不等式
(1)
|x|2
0
x1
(2)
x5
x
2
2x3
0
(二)分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:
2.分式的变号法则:AAMAM
BBMBM
aaaa
bbbb
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
12
xy
3
(1)
2
11
xy
3
4
(2)
0.2a0.03b
0.04ab
题型二:分数的系数变号
文档
实用标准
【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1)
题型三:化简求值题
【例3】已知:
1
x
12x3xy2y
的值.
5
,求
y
x2xyy
1
x
1
.
y
xy
xy
(2)
a
ab
(3)
a
b
提示:整体代入,①
xy3xy
,②转化出
1
1
【例4】已知:
x
2,求
x
2
2
的值.
x
x
【例5】若
|
xy
1|
(2
x
3)
2
0
,求
1
的值.
4x2y
文档
实用标准
练习:
1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
(1)
0.03x0.2y
0.08x0.5y
3
0.4ab
5
(2)
11
ab
410
1
x
2
2.已
知:
x
3
,求
42
的值.
x
xx1
3.已知:
3
,求
4.若<
br>a
2
2
ab
2
6
b
10
0
,求
2a
b
3a5b
1
a
1
b
2a3ab2b
的值
.
baba
的值.
文档
实用标准
5.如果
1x2
,试化简
|x2|
x1|x|
.
2x
|x1|x
、(三)分式的运算
1.确定最简公分母的方法:
①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一:通分
【例1】将下列各式分别通分.
(1)
(3)
题型二:约分
【例2
】约分:(1)
16x
2
y
20xy
3
ab
cb
a
,
; (2);
,
2
,
ab2b2a
2ab
3ac5b
2
c
1
2
xx12xx
,
x
2
,
2
xx2
2; (4)
a2,
1
2a
x
2
x2
n
2
m
2
; (2);
(3)
2
.
mn
xx6
文档
实用标准
题型三:分式的混合运算
【例3】计算:
a
2
b
3
c
2
2
bc
4
(1)
()()()
;
caba
3a
3
3
yx
2
)(x
2
y
2
)()
; (2)
(
xyyx
m2nn2m
(3)
nmmnnm
;
a
2
(4)
a
1
;
a1
112x4x
3
8x
7
(5)
1x1x
1x
2
1x
4
1x
8
; (6)
111
;
(x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5)
题型四:化简求值题
【例4】先化简后求值
x
2
411
1)(
)]
的值;
(1)已
知:
x1
,求分子
1
2
[(
4x2x
x4
8
文档
实用标准
(2)已知:
(3)已知:
a
2
3
a
1
0
,试求
(a
2<
br>
题型五:求待定字母的值
【例5】若
练习:
1.计算
2a5a12a3
(1);
2(a1)2(a1)2(a
1)
x
2
yz
34
,求
xy2yz3xz
x
2
y
2
z
2
的值;
1
)(a)
的值.
a
a
2
1
13x
x
2
1
MN
,试求
M,N
的值.
x1x1
a
2
b
2
2ab
(2);
abba
abca2b3cb2c
(3)
abcbcacab
;
2b
2
(4)
ab
;
ab
文档
实用标准
(5)
(ab
(7)
2.先化简后求值
a1a
2
41
(1),其中
a满足
a
2
a
0
.
2
2
a2
a2a1a1
4ab4ab
)(ab
)
;
abab
(6)
112
;
1x1x
1x
2
121
.
(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)
x
2
y
2
xy
3
x
)[
(xy)()]
2
(2)已知
x:y2:3
,求
(
xyx
y
的值.
3.已知:
文档
5x4AB
,试求
A
、
B
的值.
(x1)(2x1)x12x1
实用标准
4.当
a
为何整数时,代数式
(四)、整数指数幂与科学记数法
题型一:运用整数指数幂计算
【例1】计算:(
1)
(a
2
)
3
(bc
1
)
3<
br>
(3)
[
题型二:化简求值题
【例2】已知
xx
1
5
,求(1)
x
2
x
2
的值;(2)求
x
4<
br>x
4
的值.
题型三:科学记数法的计算
文档
399a805
的值是整数,并求出这个整数值.
a2
(2)
(3x
3
y
2
z
1
)
2
(5xy
2
z
3
)
2
(ab)
3
(ab)
5
(ab)
2
(ab)
2
]
4
(4)
[(xy)
3
(xy)
2
]
2
(xy)
6
实用标准
【例3
】计算:(1)
(310
3
)(8.210
2
)
2
;(2)
(410
3
)
2
(210
2
)
3
.
练习:
1.
计算:(1)
()()
2
||(13)
0
(0.
25)
2007
4
2008
(2)
(3mn)(mn)
(3)
132223
1
3
1
5
1
5
1
3
(2ab2
)
2
(a
2
b)
2
(3a
3<
br>b
2
)(ab
3
)
2
(4)
2.已知
x
2
5
x
1
0
,求(1)
xx
1,(2)
x
2
x
2
的值.
[4(xy)
2
(xy)
2
]
2
[2(xy)1
(xy)]
2
文档
实用标准
第二讲 分式方程
(一)分式方程题型分析
题型一:用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
(1)
提示易出错点:①分子不添括号②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.
题型二:特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
(1)
提示:(1)换元法,设
【例3】解下列方程组
1
11
x
y
2
111<
br>
yz3
111
zx4
(1)
(2)
(3)
xx71
y
;
1
(2)裂项法,
x1x6x6
13
<
br>x1x
;(2)
215xx5
x14
0
;
(3)(4)
2
1
;
x3xx
34x
x1
x1
x4x4
x7x9x10x6
4
;
(2)
x1x
x6x8x9x5
.
文档
实用标准
题型三:求待定字母的值
【例4】若关于
x
的分式方程
【例5】若分式方程
提示:
x
题型四:解含有字母系数的方程
【例6】解关于
x
的方程
xac
(
c
d
0)
bxd
2xa<
br>
1
的解是正数,求
a
的取值范围.
x2
2m
1
有增根,求
m
的值.
x3x
3
2a
0
且
x2
,
a2
且<
br>a4
.
3
提示:(1)
a,b,c,d
是已知数;(2
)
cd0
.
题型五:列分式方程解应用题
练习:
文档
实用标准
1.解下列方程:
(1)
(3)
(5)
(7)
xx9x1x8
x2x7x
1x6
5x42x51
2x43x22
2x3
2
;
x2x2
x12x
0
;
x112x
(2)
x4
2
;
x3x3
(4)
7
x
2
x
3<
br>xx
2
1
7x
2
x
2
1
(6)
1111
x1x5x2x4
2.解关于
x
的方程:
(1)
3.如果解关于
x
的方程
4.当
k
为
何值时,关于
x
的方程
x3k
1
的解为非负数. <
br>x2(x1)(x2)
kx
2
x2x2
1
a<
br>1
x
21a1b
(2)
(ab)
.
(b2a)
;
baxbx
会产生增根,求
k
的值.
文档
实用标准
5.已知关于
x
的分式方程
(二)分式方程的特殊解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去
分母,并且要检验,
但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、交叉相乘法
例1.解方程:
二、化归法
例2.解方程:
三、左边通分法
12
2
0
x1
x1
1
x
3
x2
2a1
a
无解,试求
a<
br>的值.
x1
文档
实用标准
例3:解方程:
四、分子对等法
x81
8
x77x
例4.解方程:
五、观察比较法
例5.解方程:
六、分离常数法
例6.解方程:
1
a
a1b
xbx
(
ab
)
4x5x217
5x24x4
x1x8x2x7
x2x9x3x8
文档
实用标准
七、分组通分法
例7.解方程:
(三)分式方程求待定字母值的方法
例1.若分式方程
例2.若关于
x
的方程
xk
2
x
2
不会产生增
根,求
k
的值。
x1
x1
x1
x1m
无解,求
m
的值。
x22x
1111
x2x5x3x4
文档
实用标准
例3.若关于<
br>x
分式方程
1
x2
k
x2
3
x
2
4
有增根,求
k
的值。
例4.若关于
x
的方程
1k51
x
1
x
x
2
x
k
x<
br>2
1
有增根
x1
,求
k
的值。
三、课后练习
一、分式
1、分式概念
1.各式中,
1
1
1
3
x+
2
y,
xy
,
1
5a
,—4xy ,
x
x
x
2
,
分式的个数有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2.在
abx35
xab
2
,
x
,
,
ab
,
2
1
a
中,是分式的有 ( )
A、1个
B、2个 C、3个 D、4个
3、
下列各式:
abx
3
2
2
,
3
x
,
5y
,
4
x
1
,
ab
a
b
,
1
m
(
xy
)
中,是分式的共有(
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、分式有意义
文档
)
实用标准
(1)当
x
≠___ 时,分式
2x
x2
有意义;
(2)当
x
____
时,分式
x1
x1
有意义;
(3)分式
2x1
2
x
中,当
x____
时,分式没有意义,当
x____
时,分式
的值为零;
(4)当
x
_____
时,分式
4
x
2
1
有意义。
(5)当
x___
_____________
时,分式
x2
3x8
无意义;
(6) 当
x
时,分式
x3
x3
无意义.
(7)当
x
为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )
A.
2
x3
B.
1
1
1
x
2
2
C.
x
D.
x
2
1
(8). 能使分式
x
2
x
x
2
1
的
值为零的所有
x
的值是( )
A
x0
B
x1
C
x0
或
x1
D
x0
或
x1
(9)已知当
x2
时,分式
xb
xa
无意义,
x4
时,此分式的值为0,则
ab
的值等于(
A.-6
B.-2 C.6 D.2
4、分式的基本性质
1.如果把
2y
2x3y
中的x和y都扩大5倍,那么分式的值( )
A扩大5倍 B不变 C缩小5倍 D扩大4倍
2、
若x、y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是( )
、
3x
2y
B、
3x
2y
2
C、
3x
2
A
2y
D、
3x
3
2y
2
3.填空:
xy
a
6x(yz)
aby
;
3(yz)
2
yz
;
文档
)
实用标准
3a
a21
(a0)
2
5xy10axy
a4
x
2
y
2
xy
2
4.
不改变分式
=
xy
.
;
2x<
br>=
2
x3
x3x
0.5x0.2
的值,使分式的分子分
母各项系数都化为整数,结果是
0.3y1
5、下列各式中,正确的是( )
A.
xy1
amaabab1b1
=0 C.
D.
2
B.
xy
2
xy
bmbabac1c1
5、约分
1、把下列各式分解因式(12分)
(1)ab+b (2)2a-2ab
(3)-x+9 (4)2a-8a+8a
222
3
2
2、 约分(16分)
a
2
b
2
x
2
9a
2
b
2
12xy
(1) (2)
(3)
2
(4)
2
ba
x6x9
aab
9x
2
3 、 约分
2x4
x
2
6x9
(1)=
;(2)
2x
2
8x8
= ;
2
x9
文档
实用标准
m
2
3m
4、
化简的结果是( )
2
9m
A、
m
m
mm
B、
C、 D、
m3m33m
m3
6、最简公分母
1.在解分式方程:
x1
1
+2=的过程中,去分母时,需方程两边都乘以最简公分母是
x2
4
x
2
2x
___________________.
1
11
2、
分式
,
的最简公分母为
。
,
2x
2y
2
5xy
8、通分
111
等于( )
x2x3x
11511
A、 B、
C、 D、
2x6x6x6x
122
2.化简
2
的结果是
( )
m9
m3
6222m9
A、
2
B、 C、 D、
2
m3m3
m9m9
11
3、
计算的正确结果是(
)
x11x
2x22
A、0 B、 C、
D、
1x
2
1x
2
x
2
1
1.已知
x0
,
9、分式的混合运算
1.
(11分)先化简,再求值:
x1x
,其中
x
=2.
x
2
1x1
文档
实用标准
x
2
2x1x
1
2.(本题6分)先化简,再求值:,其中
x
=
2
x1
x1
2
<
br>1
x
3、(8分)
先化简,再求值:
1
,其中:x=-2。
2
x1
x1
10、负指数幂与科学记数法
1.直接写出计算结果:
(1)(-3)
-2
;
(2)
2
3
;
文档
实用标准
3
(3)
()
3
; (4)
(13)
0
.
2
2、用科学记数法表示0.000 501= .
3、
一种细菌半径是1.21×10
-5
米,用小数表示为
米。
11、分式方程
1.若
m1x
0
无解,则m的值是 ( )
x44x
A. —2 B. 2 C. 3
D. —3
2.解方程:
(1)
53
x2161x1
=
(2)=1
(3)
。
2
3
2x3x1
x2
x4
2xx2
13、分式方程应用题
19、(8分)
甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同,已知甲、
乙两
人每小时共打5400个字,问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字?
文档
实用标准
20、(1
0分)
一名同学计划步行30千米参观博物馆,因情况变化改骑自行车,且骑车的速度是步
行速
度的1.5倍,才能按要求提前2小时到达,求这位同学骑自行车的速度。
22.列方程解应用题(本题7分)
从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B乘车从甲地出发,
结果
同时到达。已知B乘车速度是A骑车速度的3倍,求两车的速度。
文档
实用标准
8.小张和小王同
时从学校出发去距离15千米的一书店买书,小张比小王每小时多走1千米,结果
比小王早到半小时,设
小王每小时走x千米,则可列出的的方程是( )
1515115151
B、
x1x2xx12
1515115151
C、
D、
x1x2xx12
A、
7、
赵
强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平时每天要多读
21页才
能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下
列方
程中,正确的是( )
14
14
B、
14
xx21xx21
1010140140
B、
1
D、
14
xx21xx21
A、
文档