华语音乐-千山旅游

2.基本积分公式表

(1)∫0dx=C
(2)
(3)
(4)
(5)
=ln|x|+C
(m≠-1，x>0)
(a>0,a≠1)
(6)∫cosxdx=sinx+C
(7)∫sinxdx=-cosx+C
(8)∫sec
2
xdx=tanx+C
(9)∫csc
2
xdx=-cotx+C
(10)∫secxtanxdx=secx+C
(11)∫cscxcotxdx=-cscx+C
(12)
(13)
注．(1)
(2)
=arcsinx+C
=arctanx+C
不是在m=-1的特例．
=ln|x|+C ，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1x．
事实上，对x>0，(ln|x|)' =1x；若x<0，则
(ln|x|)' =(ln(-x))' =
(3)要特别注意
分．
下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．




与
.
的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积

6. 复合函数的导数与微分

大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意
义．
定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=

(x)分别在点y
0
=

(x
0
)与x
0
可导，则复合函数z=f[

(x)]
在x
0
可导，且

或(f
o


)' (x
0
)=f '(y
0
)

'(x
0
)．
证．对应于自变量x
0
处的改变量x，有中间变量 y在y
0
=

(x
0
)处的改变量y及因
变量z 在z
0
=f(y
0
)处的改变量z，（注意y可能为0）．现
z=f

(y
0
)y+v，y=

(x
0
)x+u，
且令，则v=y，（注意，当y=0时，v=y仍
y=0．于是 成立）．y在x
0
可导又蕴含y在x
0
连续，即



=f '(y
0
)

'(x
0
)+0

'(x
0
)=f '(y
0
)

'(x
0
)
为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：
(1) 略去法则中的x=x
0
与y=y
0
，法则成为公式
，
其 右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简
单的约分过程．
(2) 计算复合函数的过程：xy z
复合函数求导的过程：zy x

例2.3.15 求y=sin5x的导数．
解．令u=5x，则y=sinu．于是


：各导数相乘

y' ==cosu5=5cos5x．
例2.3.16 求y=lncosx的导数．
解．令u=cosx，则y=lnu．于是
y'
=
．
例2.3.17 求幂函数y=x
m
的导数，m为任意实数．
解．因y=
y' ==e
u
m
，令u=mlnx，则y=e
u
．

m是正整数n时，即例2.3.2．
(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：
复合函数的求值： xyzu…vw
复合函数的求导：wv…uzyx


(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，
只要做到心中有数．
例2.3.18 求
解．
的导数

：各导数相乘

= ．
(5) 链锁法则的微分形式是：df(
(x))=f

(

(x))d

(x)
例2.3.19 求函数 y=

解．dy =dsin
2
x=
的微分
2sinxdsinx
sin2xdx ． =2sinx cosxdx=

思考题 .请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成
除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因 此求导的过程也应遵循四则运算与链锁
法则，两个方面必须同时考虑.



5. 导数与微分的四则运算

设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有
公式(1) (uv)' = u' v'，d(uv) = dudv．


公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = vdu+udv．
公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = cdu．
公式(4) ，(v0)．
点击此处看公式(1)－(4)的证明．
例2.3.11 求y=tanx的导数
解．(tanx)' =
=sec
2
x． =
同理可得(cotx)' =csc
2
x．
例2.3.12 求y=secx的导数．
解．(secx)' =
=secx tanx．
同理可得(cscx)' =cscx cotx．
例2.3.13 求y=(1+4x)(2x
2
3x
3
)的导数．
解一．y' = (1+4x)

(2x
2
3x
3
)+(1+4x)(2x
2
3x
3
)'
=4(2x
2
3x
3
)+(1+4x)(22x33x
2
)

=8x
2
12x
3
+4x9x
2+16x
2
36x
3
=4x+15x
2
48x3

解二．因y =2x
2
+5x
3
12x
4
，故

y' =22x+53x
2
124x
3
=4x+15x
2
48x
3
．
例2.3.14 求函数y=(x+sinx)lnx的微分．
解．dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx
=lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)dx
=lnx(dx+cosxdx)+dx
=




dx．
2. 导数的定义

从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.
定义.设函 数y=f(x)在包含点x
0
的一个开区间X(这样的开区间称为x
0
的邻域 )内有定
义，y
0
=f(x
0
)．如果xXx
0
，我们称x=xx
0

y=f(x)f(x
0
)为函数的(对应)改变量，比值
率．
0(读作delta)为自变量的改变量，
为函数的差商或平均变化

如果极限


存在，则称函数y=f(x)在点x
0
可导 (或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x
0
点关于自变量
x的导数(或微商)． 记作

．
因x=xx
0
，x=x
0
+x，故还有
．
此时，曲线y=f(x)在点(x
0
，f(x
0
))的切线方程是
．
注意.x可正可负，依x大于或小于x
0
而定．
根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x
0
的导数的步骤是：
(1)

计算函数在自变量x
0
+x处的函数值f(x
0
+x)；
(2)

计算函数的改变量y=f(x
0
+x)f(x
0
)；
(3)

写出函数的差商
(4)

计算极限，即导数值
．
例2.3.1 求常数函数y=c的导数．
解．因y=y(x+x)y(x)=cc=0，差商
故

数为0．
例2.3.2 设n是正整数，求幂函数y=x
n

在点x处的导数．
解．因
y(x+x)=(x+x)
n
=x
n
+
y=y(x+x)y(x)=
故=
，
，
．
=0，
；
=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导

特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．
例2.3.3 求曲线y=x
3
在点(2,8) 处的切线方程．

解．在上例中取n =3可知函数y=x
3
在点x处的导数为3x
2
，于是在点(2，8)处的切
线斜率是：y'(2)=32
2
=12，故曲线y=x
3
在(2, 8)处的切线方程是
y8=12(x2)  12xy6=0．
注． (1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可
导，这 样可求出X内每一点的导数y'(x)，xX ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函
数，我们 称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自
变量的”，甚至简称 f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0， y=x的导数是
1，y=x
n
的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x
n
)' =等等．
(2)关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x 或y看作一个整体量，就象sinx
中的sin一样，绝不能把x看成与x的乘积，特别，为避免误 解，我们用(x)
2
来表
示x的平方而不写x
2
．
从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:
(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)
例2.3.4 y=sinx的导数是(sinx)' =cosx，
y=cosx的导数是(cosx)' =sinx ．
例2.3.5 y=log
a
x(0a
x)' =
特别，(lnx)' =1x ．
例2.3.6 指数函数y=a
x
(0x
)' =a
x
lna ．
特别，(e
x
)' =e
x
．




．
8. 导数的导数--二阶导数

一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，
我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作
y'' =f '' (x)，或=．
如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n ，n阶导
数被定义为

y
(n)
=(y
(n1)
)' ，n=2，3，…
统称为函数y 的高阶导数．
例2.3.22 求y=sinx的n阶导数．
解．y' =cosx=sin，用归纳法不难求出
y
(n)
=sin．
例2.3.23 若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数
s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．
例2.3.24 求y =arc tanx的二阶导数y'' ．
解．y' =

思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如
果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.
实验题.选择不同的函数，使二阶导数取 正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导
数对函数图像的影响.




7. 基本初等函数的导数与微分公式

求导公式
(1) c' =0
(2) ( x
m
)' =mx
m-1

(3) (a
x
)' =a
x
lna
(e
x
)' =e
x

dc=0
dx
m
=mx
m-1
dx，mR
da
x
=a
x
lnadx，0 de
x
=e
x
dx

d
a
x=
，y'' =(1+x
2
)
2
(1+x
2
)' =．
求微分公式
(4) (
log
a
x)' =
，0log

(lnx)' =
dlnx=
(5) (x)' =x
sincos
x)' =x
cossin
x)' =
2
x
tansec
x)' =csc
2
x
cot
dx=xdx
sincos
x=
cossin
xdx (6) (d
(7) (dx=
2
xdx
tansec
x=
2
xdx
cotcsc
x=x xdx
secsectan
x=x cotxdx
csccsc

(8) (d
(9) (x)' = x x
secsectan
x)' = cscx cotx
csc
d
(10) (d
(11) (arcx)' =
sin

darcx=
sin
darcx=
cos

(12) (arc
cos
x)' =
darcx=
tan

darccotx=

(13) (arc
tan
x)' =

(14) (arccotx)' =
例2.3.20 求y=arcsin
解．

的微分．

．

例2.3.21 求y=+arctane
x
的导数．
解．．







12.二元函数的导数与微分(选学）

设z=f(x，y)是两个自变量x与y 的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实
际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化 ，即将另一自变量固定不变，看
作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为 z关于x的偏
导数．记作，事实上，按导数定义，应该是
=
同理，z关于变量y的偏导数是
=
，
．
我们也记
．
若z=f(x，y)有连续的偏导数f

x
(x，y)，f
y
(x，y)，则自变量x与y的改变量x与y
的线性表达式
f

x
(x，y)x+f

y
(x，y)y
称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于x，y的全微分，记作
dz=f

x
(x，y)x+f

y
(x，y)y．
由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx=x，dy=y，于是二元函数的微分公式是

dz=．
例2.3.30 设f(x，y)=xy+x
2
2 y
3
，求．
解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．
=x6y
2
(把x看作常数，对y求导数)．
例2.3.31 求z=e
x
siny的全微分．
解．dz=siny de
x
+e
x
dsiny
=siny e
x
dx+e
x
cosy dy
=e
x
(sinydx+cosy dy)．
例2.3.32 设x+2y+2z2=0确定二元函数z=z(x，y)，
求．
解．对方程x+2y+2z2
dx+2dy+2dz2d
=0两边求微分，则左端得



右端的微分是0，于是解得
dz =，

由此得



，．

13.分段函数的导数(选学）

我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．
函数y=f(x)在点x
0
的导数被定义为极限
，
这等价于

记

f(x
0
+x)-f(x
0
)=[u(x)+f’(x
0
)]x，
于是
即

[f(x
0
+x)-f(x
0
)]=

=0 ，
，则

=0，由此
[u(x)+f’(x
0
)]x=0 ，
f(x
0
+x) = f(x
0
)．如果记x=x
0
+x，则得
f(x)= f(x
0
) ．
这表明函数f(x)在x
0
连续． 因此有
定理．若函数y=f(x)在x
0
可导，则f(x)在x
0
连续．
因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．
例2.3.33 讨论函数

在点x=0的连续性与可导性．
解．因
故









,
,且f(0)=e
0
=1．由此可见f(x)在x=0连续．
,

其次，为讨论f
'
(0)，我们需计算极限
．为方便计，用x代替x，为此我们研究极限

．现在，
，
．
由此可见，极限 不存在， 即f(x)在x=0不可导．
你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半
切线”，斜率是1，但在其右边 有一条“半切线”，斜率是0






定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x
0

(a,b)，如果极限

存在，则称此极限为f(x)在点x
0
处的右导数，记作
．

类似地， f(x)在点x
0
的左导数是
f
-
'
(x
0
)=.

f
+< br>'
(x
0
)=
只有f
+
'
(x
0< br>)与f
-
'
(x
0
)都存在且相等时，f(x)在点x
0
才可导，且f
'
(x
0
)=f
+
'
(x
0
)=f
-
'
(x
0
)． 即
有
定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x
0

(a,b)．则
f
'
( x
0
)存在 f
-
'
( x
0
)与f
+
'
( x
0
)都存在且相等．
左导数与右导数统称为单侧导数.
例2.3.34 讨论函数

在x=0的可导性．
解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因
，
，
f(0)=0，
故f(x)在x=0连续．
其次，因
，

，
故f(x)在x=0可导，且f

'
(0)=-1．

注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性 的方法，必须首先研
究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数



此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你 用上例方法求左右导数：g'
+
(0)=-1，
g'
-
(0)=-1 ，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上 , 上图中的原点并不属于函
数g(x)的图像, 因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数
是不存在的．

1. 曲线的切线斜率

我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯 一点的直线．但对于一般曲线，切线是不
能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．

为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．







说明：点P(x
0
,f(x
0
))=P(x
0
,y
0
)是曲线y= f(x)上的给定点．
点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右 侧时x>x
0
；在左侧时x0
．动
直线PQ是曲线的割线．
如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限

则称PT为曲线在P点的切线．
为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定
其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率
的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而
Q→P即x→x
0
．
设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为, PT的斜率为
k=tan．
现在割线PQ的斜率为：
．
而切线PT的斜率为：
(PQ的斜率)
=

,
由此得切线PT的方程是：yf(x
0
)=k( xx
0
)．