乒乓球赛制-小学生发明创造

第三章 《整式及其加减》
【知识点一：字母表示数】
1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；
（1）加法交换律：a＋b
＝
b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c)
（2）乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
用字母表示计算公式：
（1）长方形的周长：2（a＋b）， 面积：ab
（2）正方形的周长：4a， 面积：a
2

（3）长方体的体积：abc， 表面积：2ab＋2bc＋2ac
（4）正方体的体积：a
3
， 表面积：6a
2
（5）圆的周长：2πr， 面积：πr
2

（6）三角形的面积：
1
×ah
2
2、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示．
3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际．
4、注意书写格式的规范：
(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“ ·”，但通常省略不写；数字与数字相
乘必须写乘号；
(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面；
(3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；
(4) 除法运算写成分数形式，分数线具“÷”号和“括号”的双重作用．
(5)在代数 式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单
位．
【典型例题】
【例题1】
全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排 同学数的3倍还多2，那么全
班同学数为（ ）
3a2
A.
a·

B.
a(3a2)
C.
a3a2
D.
3a(a2)

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【例题2】
用代数式表示“ 2a与3的差”为（ ）
A．2a－3 B．3－2a C．2（a－3） D．2（3－a）
【例题3】
如图1－3－1，轴上点A所表示的是实数a，则到原点的距离是（ ）
A、a B．－a C．±a D．－|a|
【例题4】
设
n
为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被5整除的数
为 ；被4除余3的数为 ．
【变式练习】
1、轮船在A、B两地间航行，水流速度为
m
千米／时， 船在静水中的速度为
n
千米／时，则轮船逆
流航行的速度为__________千米 ／时．
2、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为
x
元的商品，甲超市连续两次 降价20%，乙超市一次
性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要想购 买这种商品最划算，应到
的超市是（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、乙或丙
3、下列说法中：①
a
一定是负数；②|a|
一定是正数；③若
abc0
，则
a、b、c
三个有理数 中
负因数的个数是0或2，其中正确的序号是 ．
4、设三个连续奇数的中间一个数是
x
，则它们三个数的和是 ．

【知识点二：代数式】
 代数式
用基本运算符号把数和字母连接 而成的式子叫代数式．如：n－2、0.8a、2n+500、abc、
2ab+2bc+2ac（单独 一个数或一个字母也是代数式）．
注意：列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用“· ”表示或省略不写，并且
把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式．
【例题】
下列不是代数式的是（ ）
s
A
.
0

B
.

C
.
x1

D
.
x0.1y
2

t
 单项式
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表示数与字母的积的代数式叫单项式．单独一个数或 一个字母也是单项式．其中的数字因
数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的 次数．
注意：①书写时，系数是1的时候可省略；②

是数字，不是字母．
【例题】
ab
2
的系数是 ；如
x
2
的系数是 ；如


x
2
的系数是 ．
 多项式
几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数．每个单项式称为项．
1
2
【例题】
代数式
5xyx
2
x1
有 项，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，
第四项的系数是 ．
 单项式和多项式统称为整式．
x
2
y
2
【巩固练习】
填空：

的系数为_______，次数为_______；
3a2b的次数为______．
3

【知识点三：合并同类项】
 同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．
注意：①两个相同：字母相同；相同字母的指数相同；
②两个无关：与系数无关；与字母顺序无关.
如：100a和200a，240b和60b，－2ab和10ba
 合并同类项法则
（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；
（2）合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变；
（3）不同类的同类项间，用“+”号连接；
（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄．
例如：合并同类项3x
2
y和5x
2
y，字母x、y及x、y的指数都不变，只要将它们的系数3和5相加，
即3x
2
y+5x
2
y=（3+5）x
2
y=8x
2
y．
 合并同类项的步骤
（1）准确的找出同类项；
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（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；
（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
（4）写出合并后的结果．
注意：（1）不是同类项不能合并；
（2）求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项再代入数值进行计算.
【典型例题】
【例1】
判断下列各组中的两个项是不是同类项：
（1）
2
2
5
ab和 －a
2
b （2）2m
2
np和 －pm
2
n (3) 0和－1
37
【例2】
判断下列说法是否正确.
(1)
3x与3mx
是同类项．
32
（ ） (2)
2ab与5ab
是同类项． （ ）
） (3)
2与3
是同类项． （
22
【例3】
下列各 组中：①
5
xy
与
xy
；②
5xy与
1
5
1
2
1
22
33
2
yx
；③
5 ax与yx
；④
8与x
；⑤
x
55
22
与

x
；⑥
3x
与
x
⑦
3x
与
2
，同类项有 （填序号）
1
2
2
【例4】
如果
x
k
y与 －x2
y是同类项，则k=______，x
k
y+（－x
2
y）= ________．
【例5】
单项式
2a
x
b
2
与
a
3
b
y
是同类项，则
x
，
y

【例6】
直接写出下列各式的结果：
13
1
3
1
3
1
3
11
xy+xy=_ ______； （2）7a
2
b+2a
2
b=________； （3）－x－3x+2x=_______；
22
11
（4）x
2
y－x
2
y－x
2
y=_______； （5）3xy
2
－7xy
2
=________．
23
（1）－
【例7】
合并下列多项式中的同类项．
（1）4x< br>2
y－8xy
2
+7－4x
2
y+10xy
2
－4； （2）a
2
－2ab+b
2
+a
2
+2ab+b
2
．





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（3）
3x5x6x1
（4）
6xy
2
2x
2
4x
2
y5yx2
x
2






22
【例8】
若
x0,y0
，
1
2
xyaxy< br>2
0
，则
a
．
2
【知识点四：去括号法则】
 去括号法则
（1）括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改变．
（2）括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项的符号都要改变．
 去括号法则中乘法分配律的应用：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括
号时符号的 变化规律．
 多重括号的化简原则（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号
【典型例题】
【例1】
一个两位数，十位数字是
x
，个位数字比十 位数字2倍少3，这个两位数是 ．
【例2】
去括号，合并同类项
1
（1）－3（2s－5）+6s （2）3x－[5x－(x－4)]
2




1
22
（3）6a
2
－4ab－4(2a
2
+ab) （4）
3(2xxy)4(xxy6)

2



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（5）
(xy)(xy)
（6）
2(mn)3(mx)2x





（7）
2x
2
3x1(53xx
2
)
（8）
(2a





（9）
a(5a3b)2(a2b)
（10）
mnnm





2
11
3a)4(aa
2
)

22
1
3
22
11
mn
2
n
2
m

26
【知识点五：代数式求值——先化简，再求值】
代数式求值：用具体的数值代替 代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是
代数式的值．
求代数式的值时应注意以下问题：
（1）严格按求值的步骤和格式去做．
（2）一 个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母，代入时要注意对应关系，
千万不能混 淆．
（3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变．
（4）字母取负数代入时要添括号．
（5）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号．
【典型例题】
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1
(xy)
2
22
【例1】
当x=
，y= －3时，求下列代数式的值:（1）3x－2y+1； （2）
3
xy1





【例2】
已知
a，b
互为倒数，
m，n
互为相反数，求代数式
(2m2n 3ab)
2
的值




【例3】
化简，求值：①
9ab6b
2
3(ab





②




2
2
1
b
)

1
，其中
a
，< br>b1

32
11312
x2(xy
2
)(xy
2
)
，其中
x2,y

23233
【巩固练习】
1、若ab
x
与a
y
b
2
是同类项，下列结论正确的是（ ）
A．x＝2，y=1 B．x =0，y=0 C．x＝2，y=0 D、x =1，y=1
2、2x－x等于（ ）
A．x B．－x C．3x D．－3x
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3、x－（2x－y）的运算结果是（ ）
A．－x+y B．－x－y C．x－y D．3x－y
4、已知
mn


5、已知
Ax< br>2
y2xy
2
1
，
B2xyxy1,x2, y





22
2
，求
73m3n
的值．
3
1
，求
2AB
．
2
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