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与正切有关的公式及应用
与正切有关的公式及应用
一、公式：1、tan( α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)；
tan(α-β)=(tanα- tanβ)(1+tanαtanβ)；其可以变形为：tanα+tanβ=
tan(α+β) (1-tanαtanβ)；tanαtanβ=1-(tanα+tanβ) tan(α+β)
2 、tan(α2)=±√[(1-cosα)(1+cosα)]=sinα(1+cosα)=(1-cosα )sinα
3、sec²α=1+tan²α 4、tanα=sinαcosα
5、sin2x=2tanx(1+tan²x)，cos2x=(1-tan²x)(1+tan²x )
注意：tan45°=1及sin²α+cos²α=1的运用；及分子分母同时除以cos
n
α的运
用
二、应用范围或思维方式：
1、给定了有关tanα的值或求tanα的值
例一、已知(1+tanα(1-tanα)=5+2√6,求：(1-sin2α)cos2α的值
解：思维一：(1-sin2α)cos2α能否化成tanα的形式呢？
(1-sin2α)cos2α=(sin²α+cos²α-2sinαcosα)( cos²α- sin²α)=(cosα
-sinα) ²[(cosα-sinα)(cosα+sinα)]= (cosα-sinα)
(cosα+sinα)=(1-tanα)(1+tanα)=1(5+2√6)= 5-2√6
思维二：由(1+tanα(1-tanα)容易想到(tan45°+tanα(1-
tan45°tanα)=tan(45°+α)
即：tan(45°+α)= 5+2√6,那么(1-sin2α)cos2α否化成tan(45°+α)的形
式呢？
(1-sin2α)cos2α=[1+cos(90°+2α)]sin(90°+2α)=1 tan(45°+α)
=1(5+2√6)= 5-2√6
例二、已知tanθ=12，求 (sinθcosθ-1)(2-sin²θ)和3sin²θ-4cos²θ+5
sinθcosθ的值
解：(sinθcosθ-1)(2-sin²θ)和3sin²θ- 4cos²θ能否化成tanθ的形式呢？
(sinθcosθ-1)(2-sin²θ)=
(sinθcosθ-sin²θ-cos²θ)(2sin²θ+2cos²θ-sin²θ)

= (sinθcosθ-sin²θ-cos²θ)(sin²θ+2cos²θ)
=(tanθ-tan²θ-1)( tan²θ+2)
3sin²θ-4cos²θ+5 sinθcosθ=(3sin²θ-4cos²θ+5
sinθcosθ)( sin²θ+cos²θ)
=(3 tan²θ-4+5tanθ)( tan²θ+1)
练习：已知tanx=a，求：（3sinx+sin3x）(3cosx+cos3x)的值
2、看见了(asinx+bcosx)(asinx-bcosx)形式
例一、已知非零实 数a、b满足
(asinπ5+bcosπ5)(acosπ5-bsinπ5)=tan8π15，求 ba的值
解：分子、分母同时除以cosπ5：(atanπ5+b)(a-btanπ5)=tan8π15
故：atanπ5+b=(a-btanπ5) tan8π15
故：b+btanπ5 tan8π15=a tan8π15- atanπ5
故：ba=( tan8π15- tanπ5)( 1+tanπ5 tan8π15)=tanπ3=√3
例二、求（cos15°-sin15°）(cos15°+sin15°)的值
解：（co s15°-sin15°）(cos15°+sin15°)=（1-tan15°）(1+tan15°)
= （tan45°-tan15°）(1+ tan45°tan15°)=tan30°=√33
练习：化简：(sin7°+cos15°sin8°)(cos7°-sin15°sin8°)
3、看见了或隐含tanα±tanβ、tanαtanβ之类
例一：求（1+tan1°）(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)
解：（1+tan1°）(1+tan44°)= 1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°
又：tan45°=(tan1°+tan44°)(1-tan1°tan44°)=1
即：tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1
故：（1+tan1°）(1+tan44°)= 1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°=2
故：（1+tan1°）(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)=2²² < /p>

例二、求tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20tan60 °的值
解：tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20°tan60°
= tan10°tan20°+√3(tan10°+tan20°)
又：tan30°=(tan10°+tan20°)(1- tan10°tan20°)= √33
故：tan10°+tan20°=√33-√33 tan10°tan20°
故：tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20°tan60°=√33
练习：1、化简tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(n-1)xtannx
2、在△ABC中，求证：tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1
3、已知△ABC三个内角A、B、C成等差数列，求tanA2+tanC2+√3 tanA2tanC2
的值
4、化简：(√3-tan18°)(1+√3tan18°)
4、求tanαtanβ之类：
例一：若sin(α+β)=12，sin(α-β)=110，求tanαtanβ
解：tanαtanβ=sinαcosβsinβcosα
又：sin(α+β) sin(α-β)=5
故：sinαcosβ+cosαsinβ=5(sinαcosβ- cosαsinβ)
展开后，不难了。
5、注意代换：如：β=(α+β)- α；2α-β=(α-β)+ α等
1、已知tan(α-β)=12,tanβ=-17, α、β∈（π2,3π2），求2α-β的
值
2、已知3sinβ=sin(α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα
3、已知sinβ=cos(α+β)sin，求证：tanβ=tanα(1+2tan²α) 4、已知sin(α-β2)=45，cos(α2-β)=-1213，且α-β2和α2-β分
别为第二、第三象限角。求tan(α+β)2的值
6、倍角或半角公式的灵活运用

1、求tanπ8+cotπ12