大学课后习题答案-合字组词

第1章 随机事件及其概率
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
加法公式
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
减法公式
当B

A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P(
B
)=1- P(B)
乘法公式：
P(AB)P(A)P(BA)

乘法公式
更一般地 ，对事件A
1
，A
2
，…A
n
，若P(A
1
A
2
…A
n-1
)>0，则有
P(A
1
A2
…
A
n
)
P(A
1
)P(A
2< br>|A
1
)P(A
3
|A
1
A
2
)< br>……
P(A
n
|A
1
A
2
…
An1
)
。
①两个事件的独立性
设事件
A
、
B
满足
P(AB)P(A)P(B)
，则称事件
A
、
B
是相互独立的。
若事件
A
、
B
相互独立，且
P(A)0
，则有
独立性
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C）
全概公式
P(A)P( B
1
)P(A|B
1
)P(B
2
)P(A|B
2
)P(B
n
)P(A|B
n
)
。
P(B< br>i
A)
P(B
i
)P(AB
i
)

P(B)P(AB)
jj
j1
n
，i=1，2，…n。
贝叶斯公
式
此公式即为贝叶斯公式。
P(B
i
)
，（
i1
，
2
，…，
n
），通常叫先验概率。
P(B
i
A)
，（
i1
，
2
，…，
n< br>），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。
第二章 随机变量及其分布

连续型
随机变
量的分
布密度
设
F(x)< br>是随机变量
X
的分布函数，若存在非负函数
f(x)
，对任意实数x
，有
， 则称
X
为连续型随机变量。
f(x)
称为
X
的概率密度
函数或密度函数，简称概率密度。

F(x) 

x
f(x)dx
密度函数具有下面性质：
离散与
连续型
随机变
量的关
系
f(x)0
。


f(x)dx1


P(Xx)P(xX xdx)f(x)dx
。
积分元
f(x)dx
在连续型随机变量理论< br>中所起的作用与
P(Xx
k
)p
k
在离散型随机变量理论 中所起的作用相类似。

0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
设
X
为随机变量，
x
是任意实数，则函数
F(x)P(Xx)< br>称为随机变量X的分布函数，
（5）八
二项分布
在
n
重贝努 里试验中，设事件
A
发生的概率为
p
。事件
A
发生
本质上是一个累积函数。
P(aXb)F(b)F(a)
可以得到X落入区间
(a,b]
的概
大分布
的次数是随机变量，设为
X
，则
X
可能取值为
0,1,2,,n
。
率。分布函数
F(x)
表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
k
P(Xk)P
n
(k)C
n
p
k
q
nk
， 其中
1.
0F(x)1,

x
；2。
F(x)
是单调不减的函数，即
x
1
x
2
时，有

limF(x)1
；4。
1
)
p,0
l im
p
F
1,2,
F

(
,n
，F(x
1
)
F(x
2
)
；3。
q
F

((
1
x
,
)
k

< br>0
0,
，
)
xx
)
是右连续的；
F(x0)F(x)
，即
F(x
则
(X)F
n
(x
，
)
p
F(x)
。对于离散型
称随机变量
5.
服从

参
x
数为的二
0
项分布。记为X
P
随机变量，
F(x)
k1k
P(X
)
k

)p
f
k

0.1
，这
X~B (n,p)
。当
n1
时，
F(xdx
p
；对于连续型随机 变量， 。

k

q
(x)
，
x
x
k
x
就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
设随机变量
X
的分布律为

泊松分布
P(Xk)

k
k!
e


，

0
，
k0,1,2
，
则称随机变量
X
服从参数为
< br>的泊松分布，记为
X~

(

)
或
者P(< br>
)。
超几何分布 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布
P(Xk)q
k1
p,k1,2,3,
，其中p≥0，q=1-p 。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
设随机变量< br>X
的值只落在[a，b]内，其密度函数
f(x)
在[a，b]
上为常 数
1
，即
ba
当a≤x
1
2
≤b 时，X落在区间
（
x
1
,x
2
）内的概率为

1
a≤x≤b
,

f(x)

ba
其他

0,

指数分布

f(x)
?
其中


e


x
,

x0
,
0,
x0
,
0
，则称随机变量X服从参数为

的指数分布。
X的分布函数为

1e

F(x)


x
,

x0
,
记住积分公式

0,
x<0。

正态分布
设随机变量
X
的密度函数为
其中

、

0
为常数，则称随机变量
X
服从参数 为

、

的
2
X~N(

,
< br>)
。 正态分布或高斯（Gauss）分布，记为
f(x)
具有如下性质：
1°
f(x)
的图形是关于
x

对称的；
2° 当
x

时，
f(

)
12

为最大值；
2
X~N(

,

)
，则
X
的分布函数为 若
(x)
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝
。
函数分
布
离散型
已知
X
的分布列为
1
2
。如果
X
~
N(

,

)
，则
2
x< br>1
,x
2
,,x
n
,
X
?，
P(Xx
i
)
p
1
,p
2
,,p
n< br>,
Yg(X)
的分布列（
y
i
g(x
i
)
互不相等）如下：
g(x
1
),g(x
2
),,g (x
n
),
Y
，
P(Yy
i
)
p< br>1
,p
2
,,p
n
,
若有某些
g(x< br>i
)
相等，则应将对应的
p
i
相加作为
g(x
i
)
的概率。

连续型
先利用X的概率密度f
X(x)写出Y的分布函数F
Y
(y)＝P(g(X)≤
y)，再利用变上下限积分 的求导公式求出f
Y
(y)。
第三章 二维随机变量及其分布

连续型
对于二维随机向量

(X,Y)
，如果存在非负函数
f(x,y)(x,y)
，使对任意一个其邻 边
分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a有 P{(X,Y)D}

f(x,y)dxdy,
则称

为 连续型随机向量；
D
并称f(x,y)为

=（X，Y）的分布密度或称为X 和Y的联合分
布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1） f(x,y)≥0;
（2）
离散型与
连续型的
关系
边缘分布 离散型 X的边缘分布为




f(x,y)dxdy1.

P< br>i•
P(Xx
i
)

p
ij
(i,j 1,2,)
；
j
Y的边缘分布为
P
•j
P(Y y
j
)

p
ij
(i,j1,2,)
。
i

连续型 X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为

离散型
连续型
有零不独立
f(x,y)=f
X
(x) f
Y
(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概
率密度区间为矩形

随机变量的
函数
若X
1
,X
2
, …X
m
,X
m+1
,…X
n
相互独立， h,g为连续函数，则：
h（X
1
，X
2
,…X
m
）和g（X
m+1
,…X
n
）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
F
Z
(z)P(Zz)P(XYz)
< br>态分布的和仍为正态分布（

1


2
,

1


2
）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
22



C
i

i
， 
2


C
i
2

i
2
i
i
Z=max,min(
X
1
,X
2,…X
n
)
若
X
1
,X
2
Xn
相互独立，其分布函数分别为
F
x
1
(x)，F
x< br>2
(x)F
x
n
(x)
，则Z=max,min(X
1
,X
2
,…X
n
)的分布
函数为：

2
分布
设n个随机变量
X
1
,X
2< br>,,X
n
相互独立，且服从标准正态分
布，可以证明它们的平方和
n
W

X
i
2
我们称随机变量W服从自由度为n的

2
分布记为
i1
W～

(n)

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布
中的一个重要参数。
2

2
分布满足可加性：设
Y
i


2(n
i
),
则
Z

Y
i
~

2
(n
1
n
2
n
k
).

i1
k

t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量， 且
X~N(0,1),Y~

(n),
可
以证明函数
T< br>2
X
Yn
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，
记为T～t(n )。
t
1

(n)t

(n)

F分布
设
X~

(n
1
),Y~
(n
2
)
，且X与Y独立，可以证明
22
F
Xn1
我们称随机变量F服从第一个自由度为n
1
，第二个
Yn
2< br>自由度为n
2
的F分布，记为F～f(n
1
, n
2
).
第四章 随机变量的数字特征
（1）
一维
随机
变量
的数
字特
征
函数的期望
方差
D(X)=E[X-E(X)]，
标准差
2

期望
期望就是平均值
离散型
设X是离散型随机变 量，其分布
律为P(
Xx
k
)＝p
k
，
k=1, 2,…,n，
连续型
设X是连续型随机变
量，其概率密度为
f(x)，
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）
Y=g(X)

Y=g(X)


(X)D(X)
，

（2）
期望
的性
质
（1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
nn
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，
E(

CX
i
i1
i
)

C
i
E(X
i
)

i1
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
（3）
方差
的性
质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X)-E(X)
（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
（4）
常见
分布
的期
望和
方差
泊松分布
P(

)


二项分布
B(n,p)

0-1分布
B(1,p)


期望 方差

22
2
2
p
np

几何分布
G(p)

超几何分布

H(n,M,N)

均匀分布
U(a,b)

指数分布
e(

)


2
正态分布
N(

,

)


n 2n

t分布
二维
随机
变量
数字
特征
协方差
函数的期望
期望

0

n
(n>2)
n2
E[G(X,Y)]
＝

E[G(X,Y)]
＝

方差
对于随机变量X与Y，称它们的二 阶混合中心矩

11
为X与Y的协方差
或相关矩，记为

X Y
或cov(X,Y)
，即
与记号

XY
相对应，X与Y 的方差D（X）与D（Y）也可分别记为

XX
与

YY
。
相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称

XY
D(X)D(Y)
为X与Y的相关系数，记作

XY
（有时可简记为

）。
|

|≤1，当|

|=1时，称X与Y 完全相关：
P(XaYb)1
完全
相关


正相关， 当

1时(a0)，

负相关，当

1时(a0 )，

而当

0
时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：①

XY
0
；
②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E (Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤
D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方
差的
性质
(i)
(ii)
cov (X, Y)=cov (Y, X);
cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X
1
+X
2
, Y)=cov(X
1
,Y)+cov(X
2
,Y);
(iv)
独立
和不
相关
（2）中心极限定
理
列维－
林德伯
格定理
相
设随机变量X
1
，X2
，…相互独立，服从同一分布，且具有
同的数学期望和方差：
cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).
若随机变量X与Y相互独立，则

XY
0
；反之不真。
E(X
k
)

,D(X
k
)

20(k1,2,)
，则随机变量
的分布函数
F
n
(x
)对任意的实数
x
，有
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗
－拉普
拉斯定
理
设随机变量
X
n
为具有参数n, p(0任意实数x,有
第六章 样本及抽样分布

常见统计量
及其性质
样本均值
1
n
x

x
i
.

n
i1
样本方差
n
1
2
S
2
(xx).

i
n1
i1

n
1
(x
i
x)
2
.


n1
i1
样本标准差
S
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
E(X)

，
D(X)

2
n
， < br>1
n
2
其中
S*

(X
i
X)
，为二阶中心矩
n
i1
2
（2）正态
总体下的
四大分布
正态分布
2
设
x
1
,x
2
,,xn
为来自正态总体
N(

,

)
的一个样本， 则样
本函数
t分布
设
x
1
,x
2
, ,x
n
为来自正态总体
N(

,

)
的一 个样本，则样
本函数
t
def
2
x

sn
~t(n1),

其中t(n-1)表示自由度为
n-1的t分布。

2
设
x
1
,x
2
,,x
n
为来 自正态总体
N(

,

)
的一个样本，则
wdef
(n1)S
2

2
~

2
( n1),

表示自由度为

n-1的分布

2
分

F分布
2
设
x
1
, x
2
,,x
n
为来自正态总体
N(

,

1
)
的一个样本，而
2
y
1
,y
2,,y
n
为来自正态总体
N(

,

2)
的一个样本，则样本
函数
def
F
S
1
2


1
2
S

2
2
2
2< br>~F(n
1
1,n
2
1),
其中
F(n
1
1,n
2
1)
表示自由度为
n
1
1，

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为
参数。又设
x
1
,x
2
,,x
n
为总体的一个样本，称
为样本的似然函数，简记为Ln.
f(x;

1
,
2
,,

m
)
，其中为未知
当总体X为离型随 机变量时，设其分布律为
P{Xx}p(x;

1
,

2
,,

m
)
，则
L(x
1
,x
2
,,x
n
;

1
,

2
, ,

m
)

p(x
i
;

1
,

2
,,

m
)
为样本的似然函数。 若似然函数
i1
n
L(x
1
,x
2
,,xn
;

1
,

2
,,

m
)
在

1
,

,,

m
处取到最大值，则称

1
,

,,

m
分别为
22


1
,

,,

m
的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。
2
lnL< br>n


i
0,i1,2,,m
若

为

的极大似然估.

i


i

