最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．
当
n1
时，显然成立．设对
n1
阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由
D< br>n
xD
n1
a
n
x

x
n 1
a
1
x
n2
a
n2
xa
n1

a
n
x
n
a
1
x
n1

、
a
n1
xa
n
，
可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．


21
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
2
1
0
0
n1
0
0
1
2
例4 证明n阶行列式
1
D
n

．
2
1
12
0
0
0
1
0
0
0
0
10
0
0
2
1
0
0

1
21
1
0
0
0
2
0
0
0
10
0
0
0
1
0
0
0
2
10
0
证明 按第一列展开，得
D
n
2
0
0
．
1
2
其中，等号右边的第一个行列式是与
D
n
有相同结构但阶数为
n1
的行列式，记作
D
n1
；第二
个行列式，若将它按第一列展开就得 到一个也与
D
n
有相同结构但阶数为
n2
的行列式，记作
D
n2
．
这样，就有递推关系式：
D
n
2D
n1
D
n2
．
因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．
当< br>n1
时，
D
1
2
，结论正确．当
n2
时，
D
2

21
12
3
，结论正确．
设对
k ≤ n1
的情形结论正确，往证
kn
时结论也正确．
由
D
n
2D
n1
D
n2
2n

n1

n1
可知，对n阶行列式结果也成立．
根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．


例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：



000
D
n

1
0
0< br>


1
0




0
0
0
0
0

1




n1


n1
证明　：D
n
,其中







（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。） < br>［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，
这种 行列式称“三对角”行列式
[1]
。从行列式的左上方往右下方看，即知D
n-1与D
n
具有相同的结构。
因此可考虑利用递推关系式计算。
证明：D
n
按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

8

D
n
（

＋
< br>）D
n－1
－

D
n－2

这是由D
n-1
和D
n-2
表示D
n
的递推关系 式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算
较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和 n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变
形为：
D
n
－

D
n－1
＝

D
n－1
－

D
n－2
＝（

D
n－1
－

D
n－2
）

（D
n－1
－

D
n－2
）
或
D
n
－

D
n－1
＝

D
n－1
－

D
n－2
＝


现可反复用低阶代替高阶，有：
23
D
n
－

D
n－1
＝（

D
n－1
－

D
n －2
）＝

（D
n－2
－

D
n－3）＝

（D
n－3
－

D
n－4
）< br>＝＝

（D
2
－

D
1
）=

同样有：
n2n－2
[(



)


(



)]

2n
(1)

23
D
n
－

D
n －1
＝

（D
n－1
－

D
n－2
）＝

（D
n－2
－

D
n－3
）＝< br>
（D
n－3
－

D
n－4
）
＝＝

（D
2
－

D
1
）=

因此当



时
n2n－2
[(



)



(


)]

2n
(2)


n1


n1
由（1）（2）式可解得：
D
n

，证毕。




6．利用范德蒙行列式
根据行列式的特点，适当 变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一
行乘以适当的数加到另一行（列）去 ； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙
行列式就是一种。这种变形法是计算 行列式最常用的方法。

1
x
1
1
x
12
x
1
x
1
n1
x
1
n2< br>1
x
2
1
2
x
2
x
2
n1n2
x
2
x
2
例1 计算行列式
D
1
x
n
1
2
x
n
x
n
n1 n2
x
n
x
n

解 把第1行的－1倍加到第2行， 把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的
第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行 列式
1
x
1
Dx
1
2
x
1
n 1

1
x
2
2
x
2
n1
x< br>2
1
x
n
2
x
n

n1
x
n
nij1

(x
i
x
j
)< br>

9

例2 计算
n1
阶行列式
D
a
1
n
n
a
2
a
1
n1
b
1
n1
a
2
b
2
a
1
n2
b
1
2
n22
a
2
b
2
a
1
b
1
n1
a
2
b
2
n 1
b
1
n
b
2
n
．其中
a
1a
2
a
n1
0
．
nn1n22
a< br>n
a
n
a
n11
b
n11
b
n1
1
a
n1
b
n
n

b
n
n
11
nkk
a
解 这个行列式的每一行元素的形状都是
i
b
i
，
k
0，1，2，…，n．即
a
i
按降幂排列，
b
i
按升幂排列，且次数之和都是n，又因
a
i
0
，若在第i行（
i
1，2，…，n）提出公因子
a
i
n
，则D
可化为一个转置的范德蒙行列式，即
1
1
b
1
a
1
b
2
a
2
b
n1
a
n1

b
1



a
1

2n

b
1



a
1

Daa
n
1
n
2
a
n
n 1

b
2



a
2
2

b
2



a
2
< br>2
n

b
i
b
j


< br>a





b
i
a
j
a
i
b
j

.


a
j

i11≤ji≤n1

a
i
< br>1≤ji≤n1
n1
n
i
n
1

b< br>n1



a
n1


b< br>n1



a
n1

x
例3 计算行列式
Dx
2
y
y
2
xz
z
z2
.
xyyz
解：
(3)(yz)(1)
D
x
x
2
xyxzyz
y
y
2
y
2yzxz
z
z
2
yzz
2
xy
(3) x(1)
x
x
2
x
2
xyyzxz
yz
y
2
z
2

22
yxyyzxzzxy yzxz
(xyyzxz)(yx)(zx)(zy)
1
x
1
2
x
1
1
x
2
2
x
2





1
x
n
2
x
n
例4 计算行列式
D
n



n2x
1
n
x
1

n
x
2
n2
x
n
n
x
n
n2
x
2

解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式

10

1
x
1
2
x
1
1
2
x
2



1
x
n
2
x
n1
y
y
2

y
n2
x
2


x
n2
2
n1
x
2

n
x
2
P(y)

x
n2
1
n1x
1
n
x
1

x
n2
n
n 1
x
n
n
x
n
=

(yxi
)
i1
n
1jin

(x
i
x
j
)

y
n1
y
n
易知
D
n
等于
P(y)
中
y
n1
的系数的相反数,而
P(y)
中
y
n1
的系数为

x
k
k1
n
1jin

(x
i
x
j
)
,因此,
D
n

k 1

x

(x
k
1jin
n
ix
j
)


例5、 计算n阶行列式
(an 1)
n1
(an1)
n2
D
n

an 1
1
(an2)
n1
(an2)
n2
an 2
1
(a1)
n1
(a1)
n2
a1
1
a
n1
a
n2

a
1
解：显然该题与 范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范
德蒙行列式的类型。 先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n
行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，
共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）2次行对换后，得到
1111
D
n
(1)
n(n1)
2
an1
(an1)
n2
(an1)
n1
an2
(an2)
n 2
(an2)
n1
nn(
2
1)
a1
(a1)
n2
(a1)
n1
a

a
n2
a
n1
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：



D
n
(1)
n(n1)< br>2
1jin

[(ani)(anj)](1)
1jin

(ij)

7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取< br>所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素
分别为 n-1 个元素的倍数的情况。


11

xa
1
a
1
例1 计算n阶行列式
Dn
a
1
a
1
a
2
xa
2
a
2
a
2
a
n
a
n
a
n
xa
n
1

1a
1
解：
D
n< br>
a
n
第i行减第1行
a
1
x
0
0
a
2
0
x
0
a
n
0
0

x
0
D
n
0
i2,
1
,n1
1
1
1

j1
n
a
j
x
a
1
x
0
0
a
2
0
x
0
a
n
0
0
x

0
0
0
n
a

j
n
x

1



j1
x


1a
1
11
11a< br>2
1
11a
3
例2 计算n（n≥2）阶行列式
D
n
1
111
1
1
1
1a
n
，其中< br>a
1
a
2
a
n
0
．
解 先将
D
n
添上一行一列，变成下面的
n1
阶行列式：
1
0
0
0
1
1a
1
1
1
11
1a
2
1
1
1
1
1a
n
D
n1
．
显然，
D
n1
D
n
．
将
D
n1
的第一行乘以
1
后加到其余各行，
得
D
n1
1
1
1
1
1
a
1
0
0
1
0
1a
2
0
1
00
．
a
n
1
倍，得：
a
i1
因
a
i
0
，将上面这个行列式第一列加第i（
i2
，…，
n1
）列的

12

111
0
a
2
0
0
a
2
0
0
0
a
n
1
0
0 
a
n
1a
1
D
n
D
n1
10
10
a
1
n
1

0


1



i 1
a
i

0
1
1

i1
a
i
0
0
0
n
1
a
1
0
0
1
0
a
2
0
1
0
0
a
n

 a
1
a
2
n

1

a
n

1




i1
a
i



8．数学归纳法
当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻
找 出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式
等式。因 为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学
归纳法的步骤大 家都比较熟悉，这里就不再说了）
x
0
1
x
0
10
0
x
a
2
0
0
例1 计算n阶行列式D
n
0
a
n
00
a
n1
a
n2
1
a
1
x

解：用数学归纳法. 当n = 2时，
D
2

x
a
2
1
x(xa< br>1
)a
2
x
2
a
1
xa
2

xa
1
a
k1
xa
k
假设n = k时，有
D
k
x
k
a
1
x
k1
a
2
x
k2

则当n = k+1时，把D
k+1
按第一列展开，得
D
k1
xD
k
a
k1
x(x
k
a
1
x
k1
a
k1
xa
k
)a
k1
x
k1
a
1
x
k
a
k1
x
2a
k
xa
k1

由此，对任意的正整数n，有
D
n
x
n
a
1
x
n1

< br>cos

1
1
2cos

1

0< br>0
0
1


a
n2
x
2
a
n1
xa
n

0
0
0

1
0
0
0

1
2cos

例2 计 算行列式
D
n

0

0
0
2cos



0
0

13
.

2cos


解：
D
1
cos

,D
2
cos2

,于是猜想
D
n
cosn

.
证明：对级数用第二数学归纳法证明.
n1
时,结论成立.假设对级数小于
n
时，结论成立.将
n
级行列式按第
n
行展开，有
co s

1
0
D
n
2cos

D
n1
(1)
2n1


0
0
1
2 cos

1

0
0
0
1
2cos


0
0

00

00

00< br>

2cos

0

11
n1
2cos

D
n1
n1
(1)
2
D
n2
2cos

cos(n1)

(1)2n1
cos(n2)

2cos

cos(n1)

cos(n1)

cos

sin(n1)
sin

cos[(n1)



] cosn

例3 计算行列式

解：


猜测：
证明
（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形：


14
.

故命题对一切
自然数
n成立。



9．拆开法
拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将
原行 列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。
a
1


1
a
2
2
a
n
a
n
a
n


n
例1 计算行列式
D
n

a
1
a
1
a
2


a
2

a
1
a
2
a
n
a
n
a
n


n

1

0
0
a
2
a
2


2
0
a
n
a
n
a
n


n
解：
Dn

a
1
a
2


2
a1
a
2

a
1
a
2
0
2
00
a
n
a
n


1
D< br>n1


n
a
1

2

n


1
D
n1
=……


1

2
n

a

n

1

i

i1

i




．
例2 计算n（n≥2）阶行列式
D
n

1x
1
y
1
1x
2
y
1
2x
1
y
2
2x
2
y
2
nx
1
y
n
nx
2
y
n
nx
n
y
n
．
1x
n
y
1
2x
n
y
2
解 将
D
n
按第一列拆成两个行列式的和，即
D
n

1
1
1
2x
1
y
2
2x
2
y
2
2x
n
y
2
nx
1
y
n< br>nx
2
y
n
nx
n
y
n
x
1
y
1
x
2
y
1
2x
1
y
2
2x
2
y
2
nx
1
y< br>n
nx
2
y
n
nx
n
y
n．
x
n
y
1
2x
n
y
2
再将上式等号右端的第一个行列式第i列（
i2
，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行 列式提
出第一列的公因子
y
1
，则可得到
D
n

1
1
1
x
1
y
2
x
2
y
2
x
n
y
2
x
1
y
n
x
2
y
n
x
n
y
n
y
1
x
1
x
2
x
n
2x
1
y
22x
2
y
2
2x
n
y
2
nx< br>1
y
n
nx
2
y
n
nx
ny
n
15
y
2
y
n
1
1
1
x
1
x
2
x
n
x
1
x
2
x
n
y
1
x
1
x
2
x
n
2
2
2
n
n
n
.

当n≥3时，
D
n
0
．当
n2
时，
D
2


x
2
x
1

y
2
2y
1

．

x
a
a
x
a
a
x
a
a
，（
a0
）．
a
x
例3 计算n阶行列式
D
n

aa
aaa
解 将第一行的元素都表成两项的和，使
D
n
变成两个行列式的和，即

xa

a
D
n

a
 a
a
0a0a
xa
ax
aa
xa0
0a
ax
a
a

aa
x
a
x a
0
a
x
0aa
aax
a

a a
x
0
a
x
0
a
a
x
a
a
a
.

xaa
0
x
a
a aa
a
将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：
a
a
a
a


xa

D
n1
． < br>xaa
这里
D
n1
是一个与
D
n
有相 同结构的
n1
阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：
aaaa
x
aaa
xa
0
0
a
2a
xa
0
a
2a
n1
2a
 a

xa

.

xa
ax
aa
a0
a

0
x0
n1
aaa
于是有
D
n


xa

D
n1
a

xa

（1）
另一方面，如果将
D
n
的第一行元素用另一方式表成两项之和：

xa

a 0a 0a 0a
仿上可得：
D
n


xa
D
n1
a

xa

（2）
x a



xa


2
nn
n 1
将（1）式两边乘以

xa

，（2）式两边乘以

xa

，然后相减以消去
D
n1
，得：
Dn
．



．
计算行列式的方法很多，也比较灵活 ，上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，
计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点， 灵活选用方法。

16

总的原则是：充分利用所求行列式的特点， 运用行列式性质及上述常用的方法，
有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多 种方法求出行
列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。


5.消去法求三对角线型行列式的值
例6 求n阶三对角线型行列式的值：
（1）
的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1 ，其余的元
全为0。
解 用消去法，把
第二行变为
中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是

其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的

再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为

类似地做下去，直到第n行减去第n – 1行的

倍，则第n行变为
倍，则第三行变为
最后所得的行列式为
（2）
上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为
93）
又主对角线下方的元全为0。故

注3 一般的三对角线型行列式

的值等于（3）中各数的连乘积，即。
17

（4）
也可以按上述消去法把次对角线元
的主对角线元的连乘积。


9. 因式分解法
如果行列式
D
是某个变数
x
的多项式< br>f(x)
，可对行列式施行某些变换，求出
f(x)
的互不相同的一次因式，< br>设这些一次因式的乘积为
g(x)
，则
Df(x)cg(x)
，再 比较
f(x)
与
g(x)
的某一项的系数，求出
c
值.
全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式

1
1
例8 计算行列式
D
n
1

1< br>2
x1
2

2
3
3
x3
3





n
n
n
. < br>
x1
解:注意
x1
时，
D
n
0,< br>所以，
x1|D
n
. 同理
x2,,x(n1)
均为
D
n
的因式
又
xi
与
xj(ij)
各不相同 所以
(x1)(x2)(xn1)|D
n

但
D
n< br>的展开式中最高次项
x
n1
的系数为1，所以
D
n
(x1)(x2)

(xn1)

注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.


18