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分 式

【知识网络】


b cbc
【主要公式】1.同分母加减法则:


a0


aaa
bdbcdabcda
2.异分母加减法则:


a0,c0

;
acacacac
bdbd
bcb dbd
3.分式的乘法与除法:
•
,
•

acac
adacac
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;a
m
● a
n
=a
m+n
; a
m
÷ a
n
=a
m－n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)
m
= a
m
b
n
, (a
m
)
n
= a
mn
1
7.负指数幂: a
-p
=
p
a
0
=1
a
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a
2
- b
2
;(a±b)
2
= a
2
±2ab+b
2


一、考点、热点
知识点一：分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子
B为分母。

知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（
B0
）
②分式无意义：分母为0（
B0
）
A
叫做分式，A为分子，B

A0
③分式值为0：分子为0且分母不为0（

） 
B0

A0

A0
④分式值为正或大于0：分 子分母同号（

或

）
B0B0



A0

A0
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（

或

）
B0B0

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
AA•CAAC< br>字母表示：

，

，其中A、B、C是整式，C

0 。
BB•CBBC
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分
式的值不变，即
AAAA


BBB B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C

0这个限制条件和隐含条件B

0。

知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为 单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，
然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成 与原来的分式相等
的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积 作公分母，这样的公分母叫做
最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
aca•c
•

bdb•d
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
acada•d
•

bdbcb•c

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
a
n

a



n

b

b

③ 分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
abab


ccc
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
acadbc


bdbd
整式与分式加减法：可以把整式当作 一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是
分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先 算谁，有括号的先算括号里面的，
也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明 确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要
随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原 因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
知识点六整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的
法则对对负整数指数 幂一样适用。即
★
a
m
a
n
a
mn
★
a
m
n
n

n
a
mn

★

ab

a
n
b
n
★
a
m
a
n
a
mn
（
a0
）
1
a
n

a

★< br>

n
★
a
n

n
（
a0
）
a
b

b

n
★
a
0
1 （
a0
） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
科学记数法
若一个数x是0a10
n
（
1a10
，即a的整数部分只有一位，
n为 整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个
数的相反数。如0 .000000125=
1.2510
-7


7个0
若一个数x是x>10的数则可以表示为
a10
n
（
1a10
，即a的整数部分只有一位，n
为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=
1.210
8

知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
9个数字

⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这 个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母
不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

知识点八列分式方程
基本步骤
① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。注意检验
⑤ 答—答题。
二、典型例题
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
1
x1abx yxy
【例1】下列代数式中：
,xy,
，是分式的有：
,,

2xyxy
ab
22
.
题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当
x
有何值时，下列分式有意义
（1）
x4
x4
（2）
3x
x
2
2
（3）
2
x
2
1
（4）
1
6x
（5）
1
|x|3
x
x



题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当
x
取何值时，下列分式的值为0.
（1）
x1

x3
（2）
|x|2
x4
2
（3）
x
2
2x3
x5x6
2



题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例4】（1）当
x
为何 值时，分式
（2）当
x
为何值时，分式
（3）当
x
为何值时 ，分式
4
8x
为正；
为负；
5x
3(x1)
2
x2
x3
为非负数.

练习：
1．当
x
取何值时，下列分式有意义：

（1）
1

6|x|3
（2）
3x
(x1)
2
1
（3）
1
1
1
x


2．当
x
为何值时，下列分式的值为零：
5|x1|
（1）
x4
（2）
25x
2
x6x5
2



3．解下列不等式
（1）
|x|2
0

x1
（2）
x5
x
2
2x3
0


（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：
2．分式的变号 法则：
AAMAM

BBMBM

aaaa


bbbb
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
12
xy
3
（1）
2
11
xy
3 4
（2）
0.2a0.03b
0.04ab


题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）
xy

xy
（2）

a
ab
（3）

a
b


题型三：化简求值题
【例 3】已知：

1
x
1
2x3xy2y
的值.
5
，求
y
x2xyy
1
x
1
.
y
提示：整体代入，①
xy3xy
，②转化出






1
1
【例4】已知：
x2< br>，求
x
2

2
的值.
x
x

【例5】若
|xy1|(2 x3)
2
0
，求
1
的值.
4x2y





练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
（1）

1
x
2
2．已知：
x3
，求
42
的值.
x
xx1
0.03x0.2y

0.08x0.5y
3
0.4ab
5
（2）
11
ab
410




3．已知：
3
，求




4．若
a
2
2ab
2
6b100
，求





5．如果
1x2
，试化简
|x2|
x1|x|
.

2x
|x1|x
2ab
3a5b
1
a
1
b
2a3ab2b
的值.
baba
的值.

、（三）分式的运算
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一：通分
【例1】将下列各式分别通分.
（1）
ab
cba
,
； （2）；
,,
2ab
3a
2
c5b
2
c



（3）
1
x
2
x
,
x12xx
2
,
2
x
2
x2
；





题型二：约分
【例2】约分：（1）
16x
2
y
20xy
3
；


题型三：分式的混合运算
【例3】计算：
（1）
a
2
b
3
c
2
(
c
)(
ab
)
2
(
bc
a
)
4
；



（3）
m2n
nm

n
m n

2m
nm
；



ab2b2a
（4）
a2,
1
2a

2）
n
2
m
2
x
2
x
mn
； （3）
2
x
2
x6
.
（2）
(
3a
3
xy
)
3
(x
2
y
2)(
yx
yx
)
2
；
（4）
a
2
a1
a1
；

（

112x4x
3
8x
7< br>（5）

1x1x
1x
2
1x
41x
8
； （6）
111
；

(x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5)



题型四：化简求值题
【例4】先化简后求值
x
2
4 11
（1）已知：
x1
，求分子
1
2
[(1)( )]
的值；
4x2x
x4
8



（2）已知：




（3）已知：
a
2
3a10
，试求
(a
2





题型五：求待定字母的值
【例5】若


练习：
1．计算
13x
x
2
1

MN
，试 求
M,N
的值.

x1x1
1
)(a)
的值.
a
a
2
1
x
2
yz

34
，求
xy2yz 3xz
xyz
222
的值；

2a5a12a3
（1）；

2(a1)2(a1)2(a1)

a
2
b
2
2ab
（2）；

abba


abca2b3cb2c
 
（3）
abcbcacab
；
2b
2
（4）
ab
；
ab




（5）
(ab


（7）



2．先化简后求值
a1a
2
41
2

2
（1），其中
a
满足
a
2
a 0
.
a2
a2a1a1
4ab4ab
)(ab)
；
abab
（6）
112
；

1x1x
1x
2
121
.

(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)



x
2
y
2
xy
3
x
)[ (xy)()]
2
（2）已知
x:y2:3
，求
(
xyx
y
的值.

3．已知：





4．当
a
为何整数时，代数式



（四）、整数指数幂与科学记数法
题型一：运用整数指数幂计算 【例1】计算：（1）
(a
2
)
3
(bc
1< br>)
3




（3）
[



题型二：化简求值题
【例2】已知
xx
1
5
，求（1）
x
2
x
2
的值；（2）求
x
4
x
4
的值.


(ab)
3
(ab)
5
(ab)
24
5x4AB
，试求
A
、
B
的值.

(x1)(2x1)x12x1399a805
的值是整数，并求出这个整数值.
a2
（2）
( 3x
3
y
2
z
1
)
2
(5xy2
z
3
)
2

(ab)
]
2
（4）
[(xy)
3
(xy)
2
]
2
(xy)
6

题型三：科学记数法的计算
【例3】计算：（1）(310
3
)(8.210
2
)
2
；（2）
(410
3
)
2
(210
2
)
3
.




练习：
1．计算：（1）
()()
2
||(13)
0
(0.25)
20 07
4
2008




（2）
(3mn)(mn)
（3）



（4）



2．已知
x
2
5x1 0
，求（1）
xx
1
，（2）
x
2
x
2
的值.


第二讲 分式方程
（一）分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程
[4(xy)
2
(xy)
2
]
2
[2(xy)(xy)]
12
1
3
1
5
1
5
1
3
132223
(2ab2
)
2
(a
2
b)
2
(3ab)(ab )
3232

【例1】解下列分式方程
（1）




提示易出错点：①分子不添括号②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.
题型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
（1）




提示：（1）换元法，设
【例3】解下列方程组

1 11

x

y

2


111< br>


yz3

111



zx4
(1)
(2)

(3)
xx71
y；
1
（2）裂项法，
x1x6x6
x4x4
x7 x9x10x6
4
； （2）

x1x
x6x8x9x5
13

x1x
；（2）
215 xx5
x14
0
；

（3）（4）

2
1
；
x3xx34x
x1
x1


.

题型三：求待定字母的值
【例4】若关于
x
的分式方程




【 例5】若分式方程
2xa
1
的解是正数，求
a
的取值范围.
x2
2m
1
有增根，求
m
的值.
x3x3

提示：
x





2a
0
且
x2
，
a2
且a4
.
3
题型四：解含有字母系数的方程
【例6】解关于
x
的方程
xac
(cd0)
bxd
提示：（1）
a,b,c,d
是已知数；（2）
cd0.



题型五：列分式方程解应用题
练习：
1．解下列方程：
（1）


（3）



（5）



（7）
xx9x1x8
x2x7x1x6
5x42x51


2x43x22
2x3
2
；
x2x2
x12x
0
；
x112x
（2）
x4
2
；
x3x3
（4）
7
x
2
x

3
xx
2
1
7x
2
x
2
1

（6）
1111

x1x5x2x4


2．解关于
x
的方程：

（1）




1
a
1
x
21a1b
（2）
(ab)
.
(b2a)
；
baxbx
3．如果解关于< br>x
的方程


kx
2
x2x2
会产生增根，求
k
的值.
4．当
k
为何值时，关于
x
的方程



5．已知关于
x
的分式方程
x3k
1
的解为非负数.
x2(x1)(x2)
2a1
a
无解，试求
a
的 值.
x1




（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，
但对一些特殊的 分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、交叉相乘法
例1．解方程：




二、化归法
例2．解方程：



三、左边通分法
例3：解方程：



x81
8

x77x
1
x
3
x2

12

2
0

x1
x1

四、分子对等法
例4．解方程：




五、观察比较法
例5．解方程：




六、分离常数法
例6．解方程：




七、分组通分法
例7．解方程：
1111


x2 x5x3x4
x1x8x2x7

x2x9x3x84x5x217


5x24x4
1
a
a1b< br>
xbx
(ab)






（三）分式方程求待定字母值的方法
例1．若分式方程




例2．若关于
x
的方程





xk
2
x

2

不会产生增根，求k
的值。
x1
x1
x1
x1m

无 解，求
m
的值。
x22x

例3．若关于x
分式方程
1k3
x2

x2

x
2
4
有增根，求
k
的值。





例4．若关于
x
的方程
1
x
1
x
k5
x
2
x

k1
x
21
有增根
x1
，求
k
的值。




三、课后练习
一、分式
1、分式概念
1.各式中，
1
1
3
x+
1
2
y,
xy
,
1
5a
,—4xy ,
xx
x
2
,

分式的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2．在
ab
2
,
x3
x
,
5xab

,
ab
，
2
1
a
中，是分式的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、
下列各式：
abx3
5y
3
2
，
x，

，
4

x
2
1

，< br>ab1
ab
，
m
(xy)
中，是分式的共有（
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、分式有意义
（1）当 x≠___ 时，分式
2x
x2
有意义；
（2）当 x ____ 时，分式
x1
x1
有意义；
（3）分式
2x1
2 x
中，当
x____
时，分式没有意义，当
x____
时，分式 的值为零；
（4）当 x_____ 时，分式
4
x
2
1
有意义。
（5）当
x___ _____________
时，分式
x2
3x8
无意义；

（6） 当
x
时，分式
x3
x3
无意义．

（7）当
x
为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
）

A.
211
1
B.
2
C. D.
2

x3x2x1
x
x
2
x
（8）. 能使分式
2
的值为零的所有
x
的值是（ ）
x1
A
x0
B
x1
C
x0
或
x1
D
x0
或
x1

（9）已知当
x2
时，分式
xb
无意义，
x4
时，此分式的值为0，则
ab
的值等于（ ）
xa
A．－6 B．－2 C．6 D．2

4、分式的基本性质
1．如果把
2y
中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（ ）
2x3y
A扩大5倍 B不变 C缩小5倍 D扩大4倍
2、
若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
3x
3x
3x
3
3x
2
A、 B、 C、 D、

2
2y
2y
2
2y
2 y
3.填空：
6x(yz)
xy


；
2
yz
aaby
3(yz)

3a



a21
(a0)

2


5xy10axy
a4



x
2
y
2

xy

2
4． 不改变分式
=
xy

．

2x
=
2
；
x3
x3x
0.5 x0.2
的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是
0.3y1
5、下列各式中，正确的是（ ）
A．

xy1
amaab
ab1b1


B．

=0 C． D．
2

2
xyxy
bmbab
ac1c1
5、约分


1、把下列各式分解因式（12分）
（1）ab+b (2)2a-2ab (3)-x+9 (4)2a-8a+8a
22232

2、 约分（16分）
a
2
b
2
x
2
9a
2
b
2
12xy（1） (2) (3)
2
(4)
2

ba
x6x9aab
9x
2



3 、 约分
2x4
x
2
6x9
（1）= ；（2）
2x
2
8x8
= ；
2
x9
m
2
3m
4、
化简的结果是（ ）
2
9m
A、
m
m
mm
B、

C、 D、
m3m33m
m3

6、最简公分母
1．在解分式方程：
x1
1
＋2＝的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母是
x2
4
x
2
2x
___________________.
1
11
2、
分式
,
的最简公分母为 。

,
2x
2y
2
5xy
8、通分
111

等于（ ）
x2x3x
11511
A、 B、 C、 D、
2x6x6x6x
122
2．化简
2
的结果是
（ ）
m9
m3
6222m9
A、
2
B、 C、 D、
2

m3m3
m9m9
11

3、
计算的正确结果是（ ）
x11x
2x22
A、0 B、 C、 D、

222
1x1xx1


9、分式的混合运算
x1x

1. （11分）先化简，再求值：
2
，其中x=2．
x1x1
1．已知
x0
，

x
2
 2x1x
1

2.（本题6分）先化简，再求值：，其中x=

x1
2
x
2
1




1

x

3、（8分）
先化简，再求值：

1
，其中：x=－2。



2
x1
x1







10、负指数幂与科学记数法
1．直接写出计算结果：
（1）（-3）
-2
； （2）
2
3

；
3
（3）
()
3

； （4）
(13)
0

．
2
2、用科学记数法表示0.000 501= ．
3、
一种细菌半径是1.21×10
-5
米,用小数表示为 米。


11、分式方程
m1x
1．若
0
无解，则m的值是 （ ）
x44x
A. —2 B. 2 C. 3 D. —3

2．解方程：

（1）








53
x2161x1
＝ （2）＝1
（3）
。

2
3
2x3x1
x2x4
2xx2
13、分式方程应用题
19、（8分）
甲打字员打 9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同，已知甲、乙
两人每小时共打540 0个字，问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字？







20、（10分）
一名同学计划步行30千米参观博物馆，因情况变化改 骑自行车，且骑车的速度是步行
速度的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求这位同学骑自行车的速 度。








22．列方程解应用题（本题7分）
从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙 地先走，40分钟后，B乘车从甲地出发，
结果同时到达。已知B乘车速度是A骑车速度的3倍，求两车 的速度。







8．小张和小 王同时从学校出发去距离15千米的一书店买书，小张比小王每小时多走1千米，结果比
小王早到半小时 ，设小王每小时走x千米，则可列出的的方程是（ ）
A、
1515115151

B、


x1x2xx12

C、
151511 5151

D、


x1 x2xx12
7、
赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时 ，发现平时每天要多读
21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半 时,平均每天读x页,则下
列方程中,正确的是（ ）
14
14
B、
14

xx21xx21
1010
140140
B、
1
D、
14

A、
xx21

xx21