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用等量代换求面积的方法
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（ 或减少）同一个数，它们的差不
变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题 时有很重要的作用，
它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为 另两个
图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因
而不能直接求出它 的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，
根据差不变性质，差应相 等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面
积就转化为求直角梯形OEFC的面 积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为
（7+10）×2÷2=17（厘米2
）。
所以，阴影部分的面积是17厘米
2
。
例2 在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC
长8厘米。已知阴 影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米
2
，求平行四边形ABCD
的面积。

分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米
2
，都加上 梯形FGCB后，根
据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角 形ECB的
面积大10厘米
2
，所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米
2
）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD= 4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面
积大18厘米
2
。求ED的 长。

分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直 角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米
2
，这两 个三角形都加上四边形FDCB后，
其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2
。也就是说，只要求出梯形ABCD
的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的 长，从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米
2
），
三角形ECB面积=36-18=18（厘米
2
），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
例4 下页上图 中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO
与三角形EFO的面积 之差。

分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果 利用差不
变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都 加上三角形BEO，则
原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10 -7）÷2-2×（10-7）
÷2=3。

解法二：连结C，F（见右上图） 。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则
原来的问题转化为求三角形BCF与三角形EC F的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）
÷2=3。

解法三：延长BC交GF于H（见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯
形COFH，则 原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）×
（10-7）÷2- 2×（10-7）=3。

解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO 与三角形EFO都加上梯形BHEO，
则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之 差。所求为4×（10-7）（-10-7）
×（4+2）÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的
面积。

分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的< br>边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正
方 形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与
三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三
角形ABF与三角形FC D面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形
BCD的面积，等于4×4÷2= 8（厘米
2
）。

练习21
1.左下图中，等 腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，
组成扇形CEF。如果图中 甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？

2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米
2
。求直角梯形AB CD
的面积。（π=3.14）

4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上 图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形
EDF的面积大9厘米< br>2
，求ED的长。

6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE 比三角形CDE的面积大2厘米
2
，求CD的
长。

分的面积和。
影部