圣诞节送苹果-碧波浩渺的意思

用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少） 同一个数，它们的差不变。前者是等
量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重 要的作用，它能将求一个图形的面积
转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图 形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗
化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求
出它 的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角 梯
形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米）。
所以，阴影部分的面积是17厘米。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长 10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴
影部分的总面积比三角形EFG的面积大1 0厘米，求平行四边形ABCD的面积。

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分析与解： 因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性
质，所得的 两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米，所以平
行四边 形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米）。
例3在右图中，AB =8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米。求
ED的长 。

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分析与解：求ED的长，需求出EC的 长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB
比三角形EFD的面积大18厘米 ，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角
形ECB的面积大18厘 米。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC
的长，从而求出 ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米），
三角形ECB面积=36-18=18（厘米），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
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例4 下 页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积< br>之差。

分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到 。如果利用差不变性质，将所求
面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易 求出，那么问题就解决了。
解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加 上三角形BEO，则原来的问题转化为
求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10- 7）÷2-2×（10-7）÷2=3。

解法二：连结C，F（见右上图）。三角形B CO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为
求三角形BCF与三角形ECF的面积之 差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法三：延长BC交GF于H（ 见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的
问题转化为求三角形BH F与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。

解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO， 则原来的问题
转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×（10-7）-（10 -7）×（4+2）÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于 大正方
形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去 掉这个公共部
分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根 据等量代换，求三
角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米）。
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练习21
1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10 厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么 扇形所在的圆的面积是多少？

2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3.左下图中 ，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米。求直角梯形ABCD的面积。（π
=3. 14）

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4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中 ，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米，
求E D的长。

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6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米，求CD的长。
影部分的面积和。
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练习21
1.400厘米。
解：扇形CEF与直角三角形ABC的面积相等，∠C=45°，所求圆的面

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2.140厘米。

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提示：所求面积等于右图中阴影部分的面积，为
（20-5+20）×8÷2
=140（厘米）。
3.24厘米。
提示：扇形ABD的面积为π×4×4÷4=12.56（厘米），
直角三角形ABC的面积为12.56+3.44=16（厘米），BC=16÷4×2=8（厘米），
梯形ABCD面积为（4+8）×4÷2=24（厘米）。
4.8。
提示：由三角形ADC与三角形EBC的面积相等，推知阴影部分与三角形BCF面积相等。
5.1厘米。
解：（4×6-9）÷6×2=1（厘米）。
6.3厘米。

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解：连结CB（见右图）。三角形DCB的面积为
4×4÷2-2=6（厘米），
CD=6÷4×2=3（厘米）。
7.12厘米。

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解：连结DF（见右图）。因为AE=ED，所以△BED与△ABE面积相等，



解得S△ABF=12，即阴影部分的面积和为12厘米。
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