用等量代换求面积
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一诺教育
用等量代换求面积
预备知识____面积计算
一、常用的基本图形面积公式
：
名称
长方形
三角形
a
b
h
a
a
h
b
图形 面积公式
S=a×b
名称
图形
a
面积公式
S=a×a
正方形
1
Sah
2
ab
h
2
平行四边
h
形
a
Sah
对角线乘积的一半
梯形
S
菱形
1
Sab
2
弧长L
n
R
180
n
R
2
360
周长
C2
r
d
面积：
S
圆
R
2
扇形
面积S
几个常见特殊三角形的相关知识：
等腰直角三角形
30°60°90°三角形 三边成勾股数的三角形
30°60°90°
1︰1.732︰2
3︰4︰5 5︰12︰13等
三内角：
45°45°90°
三边的比 1︰1︰1.414
1
2
a
2
面积公式
或
SC
2
4
S
1
Sab
2
1
Sab
2
1、三角形的中位线平行于底，并等于底的一半。
2、直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
① 等底等高的两个三角形面积相等
．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；③两个三角形
底相等，面积比等于它们的高之比；
二、介绍几种常用来计算不规则图形面积的方法
：
1、分割法：过能对图形的分割，变成几个我们熟知的图形；
2、割补法：过能对图形的割补（面积不变），使它变成我们熟知的图形；
3、通过旋转、平移，把它变成我们能计算的图形。
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用等量代换求面积
用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替
；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不
变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质
。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，
它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将
两个图形的面积差转化为另两个
图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在
一起，求阴影部分的面积。
分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的
上底与下底都不知道，因而不能直
接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相
同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质
，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面
积相等，
解：所以求阴影部分的面积就转化为
求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底
CD为10-3=7（厘米），下底EF=10（
厘米），高EO=2（厘米）
面积S=（7+10）×2÷2=17（厘米
2
）。
所以，阴影部分的面积是17厘米
2
。
例2在右图中，平行
四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8
厘米。已知阴影部分的总面积
比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面
积。
分析：因为阴影部
分比三角形EFG的面积大10厘米
2
，都加上梯
形FGCB后，根据差不变性质，所
得的两个新图形的面积差不变，
解：平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米
2
，
所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米
2
）。
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用等量代换求面积
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘
米，三角形AFB比三角形EFD的
面积大18厘米
2
。求ED的长。
分析：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角
形ECB的面积。因为
三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米
2
，这两个三角形都加上四
边形FDC
B后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米
2
。也就是说，
只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的
长。
解：梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米
2
），
三角形ECB面积=36-18=18（厘米
2
），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
例4 图
中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长
方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积
之差。
分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，
不太容易做
到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而
这两个图形的面积之差容
易求出，那么问题就解决了。
解法一：连结B，E（如左下图）。三角形BCO与三角形EFO都
加上三角形BEO，则
原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
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用等量代换求面积
解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BC
O与三角形EFO都加上三角形CFO，则
原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差
。
所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法三：延
长BC交GF于H（见下面左图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形
COFH，则原来的问题转
化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。
解法四：延长AB，FE交于H（见上面右图）。三角形BCO与三角形EF
O都加上梯形
BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC
的面积
分析：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长
没关系。
解：连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形
的边长，高
都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角
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用等量代换求面积
形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质
，剩下的两个部分，即三角形
ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面
积等于求三角形BCD
的面积，等于4×4÷2=8（厘米
2
）。
练习：
1.右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分
的面积。
2.右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF
比三角形EDF的
面积大9厘米2，求ED的长。
3.右图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形
CDE的面积大2
厘米2，求CD的长。
4.下图中，三角形ABC的面积是30
厘米2，AE=ED，
BD
2
3
BC
，
求阴影部分面积和
。
5.如右图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF<
br>为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那
么扇形所在的圆的面
积是多少？
6.如右图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.4
4厘米
2
。
求直角梯形ABCD的面积。（π=3.14）
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用等量代换求面积
练习参考答案：
1.右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分
的面积。
分析: 图形从上到下有三块区域,分别标记好ABC三块。
依照题意A+B=梯形面积=C+B
所以A=C=（20-5+20）*8÷2=140
C
B
A
2.右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC
为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面
积大9平方厘米，求ED的长。(点E在CD的延长线上)
解:∵S
△
ABF
= S
△
DEF
+ 9.
∴S
△
ABF
+ S
梯形
BCDF
=
S
△
DEF
+ S
梯形
BCDF
+ 9.
即S
矩形
ABCD
=S
△
BCE
+9.
∴BC*CD=BC*(CD+DE)2+9.
即4*6=6*(4+DE)2+9,
DE=1厘米.
解法二
如图 ∵ S1+S2=S3-9+S2
并且S3+S2=6×4
∴ S1+S2= 6×4 - 9 = 15
S1+S2=BC×CE÷2 15×2=6×CE CE=5 所以DE=1厘米
S1
S2
S3
3.右图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米，求CD的长。
解:如图 连接BD
S△ABC = S△ABE + S△CEB = 4×4÷2
= 8
S△DCB = S△DCE + S△CEB
= (S△ABE - 2)
+ S△CEB
= ( S△ABE + S△CEB 8 ) – 2
= 8 – 2
= 6
∵S△DCB = DC×AC÷2 = 6 DC×4÷2 = 6
∴
DC = 3
4.下图中，三角形ABC的面积是30厘米
2
，AE=E
D，
BD
求阴影部分面积和。
解：由于两阴影部分不在一起，考虑用“移”的思维把阴影变成一个整体。
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2
BC
，
3
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用等量代换求面积
在△ABE和△EBD中，
∵AE=ED，两个三角形等底同高，(等底AE=ED ,同高B到AD的距离)
∴这两个三角形的面积相等。
将这两个三角形的位置互换下，这样阴影部分就成了△ABF。
如图: 过D作BF的平行线DG ，且AE=ED
所以DG是△ADG的中位线， AF=FG
在△CBF中，因为
BD=23 BC 即 BD = 2DC
所以FG = 2CG
故 AE=25AC
所以△ABF面积为△ABC面积的25, 即△ABF面积=30*25=12(平方厘米)
5.如右图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径
画弧线EF，
组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的
圆的面积是
多少？
解：由于 甲面积 = 乙面积
所以 扇形CEF面积 =
等腰直角三角形ABC的面积 = 10×10÷2=50
因为等腰直角三角形的锐角等于45度。
所以 扇形所在的圆的面积= 50×8=400（平方厘米）
6.如
右图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。
求直角梯形ABCD的面积。（
π=3.14）
解：由于 甲面积 = 乙面积+3.44
所以
△ABC面积为 14圆+3.44
△ABC面积=14×π×4×4 + 3.44 = 16
16 = 12×AB×BC (其中AB=4) BC = 8
角梯形ABCD的面积=(AD+BC) ×AB÷2 = (4+8) ×4÷2
=24(平方厘米)
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