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等量代换


知识框架

（1） 生活中有很多 相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关
系进行推理，进而 可以等量代换，找到答案
（2） “等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基 本的思想方法，也是代数思想方
法的基础.

重难点

（1） 寻找等量关系
例题精讲

【例 1】 有一天，小狗老师要在动物学校挑选队员参 加数学竞赛，小松鼠很高兴也跑来了.小狗老师说：“那
我就来考考你！你把下面的题做对了就可以参加 了.”

小松鼠看了半天说：“老师，你写的这是什么？”小狗老师说：“哈哈！看来你要好 好学一学图文算
式了，欢迎你下次再来.”小朋友们，上面的题你会吗？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 通过这个故事引入新课，在这里不要求学生能马上做出来，可放在最后来解决 .如果学生的能力较
强，也可把这两个题作为引入新课的切入点进行讲解.
（
1）因为，所以
，这样我们就可以得出
=5
，又因为
=10.
， 把
=5
替换，就变成
（
2
）我们把上下两个算式进行比较，我们发现 下面比上面多了一个
所以我们可以推断出
；那么
=5.
，得数多了
18-14=4
，

=4
，，根据第一个算式我们可以得出
【答案】


=5 =10 =4 =5
【巩固】 求下面图形所表示的数.


【考点】等量代换 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 （1）△=( 9 )，○=( 6 )，☆=( 7 )； （2）△=( 3 )，□=( 4 ).
【答案】（1）△=( 9 )，○=( 6 )，☆=( 7 )； （2）△=( 3 )，□=( 4 )


【例 2】 下面的天平是不平衡的，但除了天平上的砝码，周围已找不到别的砝码了．你能通过移动天平上
的 砝码，使天平平衡吗？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 我们可先看看天平两边各有多少克：天 平左边：
551020
(克)．天平右边：
10421118

(克)．显然，天平左边如果减少
1
克，放到天平右边，
20119
(克)，
18+1=19
(克)，天平两边就
都平衡了，但天平左边没有l
克的砝码，怎么办？可以用天平左边
5
克的砝码和天平右边
4
克的砝
码交换一下，就可以达到要求了．这样天平左边是
541019
(克)． 右边是
10521119
(克)．
【答案】左边
5
克的砝码和天平右边
4
克的砝码交换一下
【巩固】 你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？


【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 把左边的
3
克和右边的
6
克对换．或把左边的
4
克和右边的
7
克对换．
【答案】左边的
4
克和右边的
7
克对换


【例 3】
1
只猴子的体重等于
3
只猫的体重，
3
只狗的体重等于
9
只猫的体重．如果
1
只猴子重
3
千克， 请
问
1
只狗重多少千克？

【考点】等量代换 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 由
3
只狗的体重=< br>9
只猫的体重，得
1
只狗的体重=
3
只猫的体重．又
1
只猴子的体重=
3
只猫的体重，
1
只狗的体重=
1
只猴子的体重．
1
只猴子重
3
千克，
1
只狗重
3
千克．

【答案】
1
只狗重
3
千克


【巩固】 1串葡萄的重量等于3个梨的重量，2个梨的重量等于80克，
1
串葡萄重多少克？

【考点】等量代换 【难度】1星 【题型】解答
【解析】
2
个梨的重量是
80
克，那么
1
个梨的 重量就是
40
克，
1
串葡萄的重量等于
3
个梨的重量，1
串葡萄
就是
403120
克．
【答案】
120
克


【例 4】
1
个西瓜的重量等于
2
个哈密瓜的重量，
1
个哈密瓜的重量等于
8个苹果的重量，
2
个苹果的重量
等于
3
个柿子的重量，那么1
个西瓜的重量等于几个柿子的重量？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 因为
2
个苹果的重量 等于
3
个柿子的重量，所以
8
个苹果的重量等于
12
个柿子 的重量．又因为
1
个
哈密瓜的重量等于
8
个苹果的重量，所以
1
个哈密瓜的重量等于
12
个柿子的重量．而
1
个西瓜的重
量等于
2
个哈密瓜的重量，因此
1
个西瓜的重量=
12224
个柿子的重量．
【答案】
24
个柿子
【巩固】 一只小猴重4千 克，一只小猴的重量等于两只小兔的重量，两只小兔的重量等于4只小猫的重量．一
只小兔和一只小猫的 重量共多少千克？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一只小猴的重量等于两只兔子的重量，这样可以求出一只兔子的重量．而两 只兔子的重量等于4
只小猫的重量，可以求出一只小猫的重量．最后一只小兔和一只小猫的总重量就求出 来了．
一只兔子的重量：
422
(千克，)一只小猫的重量：
44 1
(千克)，一只小兔和一只小猫的总重
量：
213
(千克)

【答案】
3
千克


【例 5】 学校第 一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶
杯，共用去 118元．问水瓶和茶杯的单价各是多少元？
【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 引导学生学会审题，找出两次购买的相同点及差异，让学生思考解决．我们 用数量关系式来比较
对应的未知数量的情况：
3个水瓶的价钱20个茶杯的价钱134元
-3个水瓶的价钱16个茶杯的价钱118元

4个茶杯的价钱16元
比较上面两个等式，我们可以看出，134元和118元的差正好是4个茶杯的价钱．利用这一条件，
把 3个水瓶的价钱消去，先求出每个茶杯的价钱，再求出每个水瓶的价钱．
每个茶杯的价钱：
( 134118)(2016)
164
4
(元)
每个水瓶的价钱 ：
(134420)318
(元)或
(118416)318
(元)
【答案】每个茶杯的价钱：
4
元；每个水瓶的价钱：
18
元

【巩固】 奶奶去买水 果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需要花掉58元；如果她买6千克梨和5千克荔
枝，需要花掉62 元．问1千克梨和1千克荔枝各多少元？
【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 我们可以把两次的情况进行比较：
4千克梨的价钱
5
千克荔枝的价钱
58
(元) ⑴
6千克梨的价钱
5
千克荔枝的价钱
62
(元) ⑵
比 较⑴和⑵式，发现两式中荔枝的千克数相等．⑵式比⑴式多了
642
千克梨，也就是
62584
元，说明1千克梨的价钱为
422
元．那么1千克荔枝的价钱也 就好求了．
(6258)(64)2
(元)，
(5824)510
(元)或
(6226)510
(元)
【答案】1千克梨的价钱为
2
元；1千克荔枝的价钱
10
元

【例 6】 李老师第一次买回5个篮球和3个排球，用去318元．第二次又买回7个 篮球和6个排球，用去
510元．问：一个篮球和一个排球的价格各是多少元？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可引导学生读题、审题，找出此题与例7的不同之处,并转化成例7的模型．此题有篮球单价 与排
球单价两个未知数量，而从题里所给条件分析，两次购买篮球与排球的数量各不相同，不能直接用消去法消去哪一个未知数，所以解题关键是使篮球或排球中的某一对未知数变换得相同，则可
消去 其中一个．通过比较，第一次购买的排球为3个；第二次购买的排球为6个，恰为第一次的2
倍．若将第 一次购买的排球、篮球各扩大2倍，付的钱也扩大2倍，则能使购买的排球个数与第
二次购买的排球个数 相同，从而设法消去排球这个未知数量，先求出每个篮球的价格，再求每一
个排球的价格．
5 个篮球3个排球318元
2
10个篮球6个排球636元
10个篮球6个排球636 元

7个篮球
3个篮球
6个排球510元

12 6元
列式：
(3182510)(527)
126342
( 元)……篮球的单价．

(31842
(元
5)
108336
)……排球的单价．
【答案】篮球的单价
42
元；排球的单价
36
元


【巩固】 3头牛和8只羊每天共吃青草93千克，5头牛和15只羊每天共吃青草165千 克．问一头牛和一只
羊每天各吃青草多少千克？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 3头牛吃草的重量
8
只羊吃草的重量
93
千克 ⑴
5头牛吃草的重量
15
只羊吃草的重量
165
千克 ⑵
如果把⑴式扩大5倍，⑵式扩大3倍，那么两个式子中牛的数量就一样多了．这样就得到：
⑴
5
：15头牛吃草的重量
40
只羊吃草的重量
465
千克
⑵
3
：15头牛吃草的重量
45
只羊吃草的重量
495
千克
⑶
⑷

⑷

⑶：5只羊吃草的重量
30
千克
1只羊吃草的重量
6
千克
1头牛每天吃草的重量：
(9368)3
45315
(千克)
【答案】1只羊吃草
6
千克；1头牛每天吃草
15
千克



【例 7】 李宁的妈妈去菜市场买菜，买了
6
斤土豆和
5
斤柿子椒，共花了
13
元
5
角．己知
3
斤土豆 的价钱
与
2
斤柿子椒的价钱相等．那么
1
斤土豆和
1
斤柿子椒各多少钱？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可引导学生读题、审题，让学生自己思考解答．老师可以画图进行分析，已 知条件为：
6
斤土豆
+
5
斤柿子椒=
13
元
5
角．
3
斤土豆=
2
斤柿子椒．从第一个式子不能算出
1
斤土豆、
1
斤柿子椒的价
钱．若把土豆转化成柿子椒或把柿子椒转化成土豆的 价钱就可求该种菜的价钱了．由第二个式子
知
3
斤土豆=
2
斤柿子椒 ，则
6
斤土豆应等于
4
斤柿子椒的价钱．即：
6
斤土豆+< br>5
斤柿子椒=
13
元
5
角，
6
斤土豆=4
斤柿子椒．
4
斤柿子椒+
5
斤柿子椒=
13
元
5
角，
9
斤柿子椒=
13
元
5
角．13
元
5
角
等于
135
角，
135
角 买了
9
斤柿子椒，所以
1
斤柿子椒的价钱为：
135915(角)=
1
元
5
角．
4
斤
柿子椒的价钱为：
15460
(角)=
6
(元)．
1
斤土豆的价钱为：
661
(元)．所以
1
斤土豆的价钱
为
1
元，
1
斤柿子椒的价钱为
1
元
5
角．
【答案】
1
斤土豆的价钱为
1
元，
1
斤柿子椒的价钱为
1
元
5
角


【巩固】 3米绵绸的价格与6米花布的价格相等．王 云买了6米绵绸和18米花布，共花费了120元．棉绸
和花布的单价各是多少？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由题意可知3米棉绸与6米花布的价格相等，由此可推知1米棉绸与2米花布的价格相等．因 此
可用花布的价格去替换棉绸的价格，而使棉绸价格转变为花布的价格．消去棉绸价格这个未知数

量可以先求出花布的单价，进而求出棉绸的单价．
120(2618)
120304
(元)……每米花布
的单价
428
(元)……每米棉绸的单价．
【答案】每米花布的单价
4
元 每米棉绸的单价
8
元

【例 8】 学校买2张桌子和3把椅子共用90元钱，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍．每张桌子多
少钱？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 引导学生读题、审题，让学生自己思考解答，教师集体订正．
2张桌子的价钱
3
把椅子的价钱
90
(元) ⑴
1张桌子的价钱
3
把椅子的价钱 ⑵
将⑵代入⑴式，消去桌子这个未知量，问题就可以解决．
(
32
)把椅子 的价钱
3
把椅子的价钱
90
(元)

9
把椅子的价钱
90
(元)
1把椅子的价钱
10
(元)
1张桌子的价钱
10330
(元)
【答案】1张桌子的价钱
30
元


【巩固】 红、黄、 蓝三个纸盒里共有彩票56张，其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒里彩票张数的2倍，蓝
色纸盒里的彩票 是红色纸盒里彩票张数的2倍．红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 以黄色纸盒里的彩票张数为1倍数．红 纸盒里的彩票张数是这样的2倍．蓝纸盒是红纸盒里彩票
张数的2倍，也就是黄纸盒里彩票张数的4倍． 一共是
(124)
倍．这样就可以消去两个未知量
而先求出黄纸盒里彩票的张数， 再分别求出红色和蓝色盒子里彩票的张数．

56(124)
5678
(张)……黄盒里的彩票张数，
8216
(张)……红盒里的彩票张数，
8432
(张)……蓝盒里 的彩票张数．
【答案】黄盒里的彩票张数
8
张 红盒里的彩票张数
16
张 蓝盒里的彩票张数
32
张


【例 9】 第一只茶壶能装
10
大杯水，第二只茶壶可以装
15
小杯水．已知
5
大杯水与
9
小杯水同样多，哪个
茶壶大？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 读题，抓住大杯数目，引导学生进行扩倍来解决题目．因为
5
大杯水与9
小杯水同样多，那么
10
大
杯水就等于
18
小杯的水 ，而现在只有
15
小杯的水，
10
大杯水和
15
小杯水比较 ，
10
大杯水要多一
些，所以第一个茶壶大．
【答案】第一个茶壶大


【巩固】 如图，第一只壶里的茶只有一半，小华倒出了
5
大杯 ，第二只壶里的茶是一满壶，小明倒出了
15
小
杯．已知
3
小杯的茶 与
2
大杯的茶同样多，现在问你哪个壶大？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 我们可以按以下三个步骤来思考： < br>⑴第二只壶满壶茶倒出
15
小杯，而每
3
小杯可以倒满
2杯，所以第二只壶可以装茶
10
大杯．
⑵一只壶的一半倒出了
5
大杯，那么满壶茶可以倒出
10
大杯．
由⑴⑵可知，两个茶壶一样大．
【答案】两个茶壶一样大

【例 10】 如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量， 而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，
问这条鱼有多少公斤重？

【考点】等量代换 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 依题意列出下列等式：
尾=4 （1）
头=尾+身÷2 （2）
身=头+尾 （3）
由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把（2）式两边同乘以2得：
2头=2尾+身 （4）
把（3）式代入（4）式得：
2头=2尾+头+尾
即：头=3尾=3×4=12公斤
身=头+尾=12+4=16公斤
所以，全鱼=头+身+尾=12+16+4=32公斤
【答案】32公斤

【巩固】 已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1 个桃
子的重量.问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？
【考点】等量代换 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 ：由题意列等式：
13李=2苹+1桃 （1）
4李+1苹=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：

13李=2苹+4李+1苹
即 9李=3苹；
即 3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得
4李+3李=1桃
即 7李=1桃
即 7个李子重量等于1个桃子的重量.
【答案】7个


课堂检测

【随练1】 甲、乙两人共储蓄32元，乙、丙两人共储蓄30元，甲、丙两人共储蓄22元．三人各储蓄多少
元？
【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可先让学生自己去思考，教师巡视指正．此题要求三个未知数，甲储蓄多少元？乙储蓄多少元 ？
丙储蓄多少元？关系较为复杂，为了化繁为简，采用消去法来解．首先用加减消去法消去乙和丙，只剩下甲，然后求出甲储蓄多少元，再求乙、丙各储蓄多少元．
解法1：
甲
+甲
乙→32元
丙→22元
（2甲）乙丙→54元

-乙丙→30元
2甲→24元
由2倍甲储蓄为24元，可求出甲储蓄多少元．
列表：
(322230)2
24212
(元)……甲储蓄款．

3212
(元
20
)……乙储蓄款，

3020
(元
10
)……丙储蓄款．
此题也可用另一种方法求解．
解法2：甲乙

乙丙+甲丙
32223084
(元)，
即2倍的(甲

乙

丙)等于84元．
甲

乙

丙
84242
(元)．

423210
(元)……丙储蓄款，

423012
(元)……甲储蓄款，

422220
(元)……乙储蓄款．
【答案】甲储蓄12元，乙储蓄20元，丙储蓄10元，

【随练2】 图书室里的故事书与科技书共有720本，又知故事书比科技书多160本，这两种图书各有多少本？
【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 题目中给出了两个未知量“故事书”和“科技书”的数量关系，即已知故事书与科技书共有7 20本和故
事书与科技书本数之差，属于典型应用题中的“和差问题”，一般用消去法来解．
故事书本数科技书本数
2倍故事书本数
720本
880本
故事书本数科 技书本数160本

消去科技书本数后，可先求出故事书的本数．
列式：
(720160)2440
(本)……故事书，

440160
(本
28
)……科技书．也可以先求出科技书的本数．
【答案】故事书
440
本，科技书
280
本


【随练3】 学校要买足球和排球．买3个足球和4个排球共需190元，如果买6个足球和2个排球需 要230
元．一个足球和一个排球各需要多少元？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 我们可以把两次情况进行比较；
3个足球的价钱
4
个排球的价钱
190
(元)
6个足球的价钱
2
个排球的价钱
230
(元)
⑴
⑵
我们发现两组条件不管相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个 相同
的条件可减去．再观察，我们发现，如果把⑴式扩大2倍，可以得到6个足球和8个排球共380< br>元，即⑴
2
：6个足球的价钱
8
个排球的价钱
380< br>元 ⑶
⑶

⑵，可知6个排球的价钱
150
元．容易 得出排球和足球的价钱各是多少．
排球：
150625
(元)，足球：
(190254)330
(元)
【答案】排球为
25
元，足球为
30
元


家庭作业

【作业1】 你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？


【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可引用线段图帮助学生理解多的部分给少的部分多少，可达到一样多，然后 再讲解此题.左边=
1020838
克，右边=
1016430
克，左边比右边多
8
克．只有从左边拿
4
克到右边，两边
的重量才一 样多．这样可以把左边
8
克的砝码和右边
4
克的砝码互换一下，左右两边重量 都是
34
克，
天平平衡．
【答案】左边
8
克的砝码和右边
4
克的砝码互换一下

【作业2】 已知：（见下图）

求：最大的球的重量是多少克？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ：由图（1）得：3●=2●+48，
所以●=48（克）.
由图（2）得：3○=2●，
即：3○=2×48，
所以○=2×48÷3=32（克）.
由图（3）得：○=4○=4×32=128（克）.
【答案】128克


【作业3】 2只兔子的重量等于6只小鸡的重量，
3
只袋鼠的重量相当于
4
只兔子的重量，那么
1
只袋鼠的重
量相当于多少只小鸡的重量？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
2
只兔相当于
6
只小鸡的重量，那么
4
只兔相当于
12
只小鸡的重量．
3
只袋鼠的重量相当于
4
只兔
子的重量，所以
3
只袋鼠相当 于
12
只小鸡的重量．
1234
，即
1
只袋鼠相当于< br>4
只小鸡的重量．
【答案】
4
只

【作业4】 百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。 如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋
一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？
【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 ：
2个纸箱里的鞋数=1个木箱里的鞋数

6个纸箱里的鞋数=3个木箱里的鞋数

3+2=5箱，5个木箱里的鞋数为300.
每个木箱里的鞋数=300÷5=60（双）
每个纸箱里的鞋数=60÷2=30（双）
【答案】每个木箱里装60双鞋，每个纸箱里装30双鞋。

【作业5】 小芳在文 具店买了5枝彩色铅笔和6个练习本，共用去17元．小花买了同样的铅笔8枝和6个
练习本，共用去2 0元．一枝彩色铅笔和一个练习本的价格各是多少？
【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从题设条件进行比较，小芳和小花都买 了6个练习本(同样多)，只是买的彩色铅笔枝数不同，引起
付款多少不同．因此我们可以采用消去法先 消去购买练习本的钱数而只剩下买彩色铅笔的钱数，
从而先求出彩笔的单价．
8枝彩色铅笔< br>5枝彩色铅笔
3枝彩色铅笔
6个练习本
6个练习本
0个练习本
共价20元
共价17元

共价3元
列式：
(2017)(8 5)1
(元)……一枝彩笔价格，
(2018)62
(元)……一个练习本 的价格．
【答案】一枝彩笔价格
1
元；一个练习本的价格
2
元

【作业6】 在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是195分，小玲和小方的成绩加 起来是198分，小
军和小方的成绩加起来是193分.问他们三人各得多少分？
【考点】等量代换 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 ：列出下列等式：
小玲+小军=195 （1）
小玲+小方=198 （2）
小军+小方=193 （3）
将三个等式的左边和右边各项分别相加，得：
2×（小玲+小军+小方）=586
即小玲+小军+小方=293 （4）
由（4）式-（1）式得
小方=293-195=98
由（4）式-（2）式得
小军=293-198=95
由（4）式-（3）式得
小玲=293-193=100
可见小方得98分，小军得95分，小玲得100分.
【答案】小方得98分，小军得95分，小玲得100分