保卫黄河钢琴曲-黄永玉的家

期中数学试卷


题号
得分
一

二

三

总分


一、选择题（本大题共
10
小题，共
30.0
分）
1.

实数
3
的平方根是（ ）
3

A.
±
B.

C.

D.

2.

下列是二元一次方程
2x+y=8
的解的是（ ）
A.

B.

C.

D.

3.

以下四组数中，不是勾股数的是（ ）
A.
3n
，
4n
，
5n
（
n
为正整数）
B.
5
，
12
，
13

C.
20
，
21
，
29

D.
8
，
5
，
7

4.

下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A.

B.

C.

D.

5.

若点
A
（
-1
，
m
）在第二象限，则
m
的值可以是（ ）
A.
-2

B.
-1

C.
0

D.
1

6.

函数
y=
中，自变量
x
的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A.

B.

C.

D.

+
7.

若式子有意义，则
x
的取值范围是（ ）
A.
x≤2

B.
x≥1

C.
x≥2

D.
1≤x≤2

8.

已知 点
A
（
4
，
3
）和点
B
在坐标平面内关于
x
轴对称，则点
B
的坐标是（ ）
A.
（
4
，
3
）
B.
（
-4
，
3
）
C.
（
4
，
-3
）
D.
（
-4
，
-3
）
9.

已知
a
＜＜
b
，且
a
，
b
为两个连续的整数，則
a+b
等于（ ）
A.
3

B.
5

C.
6

D.
7

10.

一个长方形抽屉长
12
厘米，宽
9
厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木 棒最
长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A.
15
厘米
B.
13
厘米
C.
9
厘米
D.
8
厘米
二、填空题（本大题共
9
小题，共
32.0
分）
11.

点
P
（
-5
，
12
）到
x
轴的距离为
______
，到
y
轴的距离为
__ ____
，到原点的距离为
______
．
12.

如果 不等式（
a-3
）
x
＞
b
的解集是
x
＜< br>13.

已知
a≥-1
，化简
=______
．
，那么
a
的取值范围是
______
．
14.

如图，一只蚂蚁沿着边长为
2
的正方体表面从顶点
A
出发，经
过
3
个面爬到顶点
B
，如果它运动的路径是最短的，则
AB
的长
为
______
．





15.

若（
a+6
）
x+y
|
a
|-5
=1
是关于
x
、
y
的二元一次方程，则
a
的值是
______
．
3
，
a-3b
立方根是< br>-2
，求
a+b
的平方根为
______
． 16.

已知
a+2
的平方根是
±
第1页，共18页

17.

△
ABC
中，∠
ABC=30°< br>，
AB=4
，
AC=4
，则
BC=______
．
18.

在平面直角坐标系中，已知
A
（
2
，< br>-2
），点
P
是
y
轴上一点，若△
AOP
为 等腰三
角形，则点
P
的坐标为
______
．
19.

如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一 个顶
点落在一三象限角平分线上，从左向右第
3
个正方形中的一个顶点
A的坐标为（
8
，
4
），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为
S
1
、
S
2
、
S
3
、…、
Sn
，则第
4
个正方
形的边长是
______
，
S
n
的值为
______
．


三、解答题（本大题共
9
小题，共
88.0
分）
20.

计算：
（
1
）；
（
2
）；
（
3
）
（
4
）







21.

解方程或不等式组
①







22.

已知
a=
，
b=
②（请把解集用数轴表示出来）



（
1
）化简
a
，
b
；
第2页，共18页

（
2
）求
a
2
-4ab+b
2
的值．







23.

在平面直角坐标系
xOy
中，△
ABC
的位置如图所示．
（
1
）分别写出△
ABC
各个顶点的坐标；
A
（
______
，
______
）；
B
（
_____ _
，
______
）；
C
（
______
，
______
）
______
）（
2
）顶点
A
关于
y
轴对称的点
A'
的坐标为（
______
，，并求此 时线段
A
′
C
的长度；
（
3
）求△
ABC
的面积．









24.

如图，将 一张矩形纸片
ABCD
折叠，使两个顶点
A
、
C
重合，折痕 为
FG
，若
AB=4
，
BC=8
．
求（
1
）线段
BF
的长；
（
2
）判断△
AGF
形状并证明；
（
3
）求线段
GF
的长．











第3页，共18页

25.

如图，△
ABC
是等腰直角三角形，∠
ACB=90°
，
AC=BC=6，
D
在线段
BC
上，
E
是线
段
AD< br>的一点．现以
CE
为直角边，
C
为直角顶点，在
CE
的下方作等腰直角△
ECF
，
连接
BF
．
（
1
）如图
1
，求证：
AE=BF
；
（
2
）当
A
、
E
、
F
三点共线时，如图2
，若
BF=2
，求
AF
的长；
（
3
）如图
3
，若∠
BAD=15°
，连接
DF
，当
E
运动到使得∠
ACE=30°
时，求△
DEF
的
面积．










26.

已知二元一次方程组，其中方程组的解满足
0
＜
x -y
＜
1
，求
k
的取
值范围．







27.

已知△
AB C
是等边三角形，点
D
，
E
分别为边
AB
，
AC
上的点，且有
AE=DB
，连接
DE
，
DC
．
（
1
）如图
1
，若
AB=6
，∠
DE C=90°
，求△
DEC
的面积．
（
2
）
M为
DE
中点，当
D
，
E
分别为
AB
、
AC
的中点时，判定
CD
，
AM
的数量关
系并说明 理由．
（
3
）如图
2
，
M
为
DE
中点，当
D
，
E
分别为
AB
，
AC
上的 动点时，判定
CD
，
AM
的数量关系并说明理由．

第4页，共18页

28.

如图，在平面直角坐标系中，
Rt
△
OAB
的直角顶点
A
在
x
轴的正半轴上，若顶点
B
的纵坐标为
2
，∠
B=60°
，
OC=AC．
（
1
）请写出
A
、
B
、
C
三点的坐标；
（
2
）点
P
是斜边
OB
上的一个 动点，则△
PAC
的周长的最小值为多少？
（
3
）若点
P
是
OB
的中点，点
E
在
AO
边上，将△
O PE
沿
PE
翻折，使得点
O
落在
O'
处，当
O'E
⊥
AC
时，在坐标平面内是否存在一点
Q
，使得△
BAQ
≌△
O
′
PE
，若存
在，请直接写出
Q点坐标；若不存在，请说明理由．









第5页，共18页

答案和解析

1.
【答案】
B

【解析】解：∵（）
2
=3
，
∴
3
的平方根是为
±
．
故选：
B
． < br>如果一个数的平方等于
a
，这个数就叫做
a
的平方根，直接根据平方根 的概念即可求解．
本题主要考查了平方根的概念，熟记平方根的定义是解题的关键．
2.
【答案】
C

【解析】解：
A
、把
x=1
，
y=5
入方程，左边
=7≠
右边，所以不是方程的解； < br>B
、把
x=2
，
y=3
代入方程，左边
=7≠
右边，所以不是方程的解；
C
、把
x=2
，
y=4
代入 方程，左边
=8=
右边，所以是方程的解；
D
、把
x=4
，
y=2
代入方程，左边
=10≠
右边，所以不是方程的解．
故选：
C
．
二元一次方程
2x+y=8
的解有无数个，所 以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程
组，使方程左右两边相等的解才是方程组的解．
考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把
x
，
y的值
代入原方程验证二元一次方程的解．
3.
【答案】
D

【解析】解：
A
、
3n
2
+4n
2
=5n
2
，是勾股数；
B
、
5
2
+12
2=13
2
，是勾股数；
C
、
20
2
+21< br>2
=29
2
，是勾股数；
D
、
7
2
+5
2
≠8
2
，不是勾股数；
故选：
D
． < br>欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等
于最长边的 平方．
考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足
a
2
+b
2
=c
2
的三个正整数称为勾股数，并能够熟
练运用．
4.
【答案】
C

【解析】
【分析】
本题考 查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（
1
）被开方数不含分母；
（2
）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】
解：
A
、
=
，不是最简二次根式；
B
、
C
、
D
、
==
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
=5
，不是最简二次根式；
故选：
C
．
第6页，共18页

5.
【答案】
D

【解析】解：∵点
A
（
-1
，
m
）在第二象限，
∴
m
＞
0
，
故选：
D
．
根据 已知得点
A
的横坐标小于
0
，纵坐标大于
0
列式即可求解．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．用到的知识点为：
第二象限 点的符号为（
-
，
+
）．
6.
【答案】
D

【解析】解：由题意得：
x+2≥0
，
解得：
x≥-2
，
在数轴上表示为，
故选：
D
．
根据二次根式有意义的条件可得
x+2≥0
，再解即可．
此题主要考查了二 次根式有意义的条件和在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握二次
根式的被开方数为非负数．
7.
【答案】
D

【解析】解：由题意可知：，
∴
1≤x≤2
，
故选：
D
．
根据二次根式有意义额条件即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
8.
【答案】
C

【解析】解：点
A
（
4
，
3
）关于
x
轴对称的点的坐标为（
4
，
-3
），
∴
B
（
4
，
-3
）．
故选：
C
．
根据关于
x
轴对称的点的坐标，纵坐标互为相 反数，横坐标相等求出点
B
的坐标即可．
本题考查了关于
x
轴、< br>y
轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规
律：
（
1
）关于
x
轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（
2
）关于
y
轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（
3
）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
9.
【答案】
B

【解析】解：
a
＜＜
b
，
∴
2
＜＜
3
，
∴
a=2
，
b=3
，
∴
a+b=5
．
故选：
B
．
直接利用已知估算无理数的大小进而得出答案．
此题 主要考查了估算无理数的大小，正确得出
a
，
b
的值是解题关键．
10.
【答案】
A

第7页，共18页

【解析】解：这根木棒最长
==15
厘米，
故选：
A
．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11.
【答案】
12 5 13

【解析】解：∵平面直角坐 标系中
A
的坐标为（
-5
，
12
），
∴
|-5|=5
，
|12|=12
，
==13
，
即点
A
到
x
轴的距离为
12
，到
y
轴距离为
5
，到原点的距离为
13
．
故答案为：
12
，
5
，
13
．
直角坐标 系中，某点到
x
轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到
y
轴的确距离是它的横坐
标的绝对值，到原点的距离为．
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，在解答此 题时要注意求点到原点的
距离时要用到勾股定理．
12.
【答案】
a
＜
3

【解析】解：由题意可得
a -3
＜
0
，
∴
a
＜
3
．
故答案为
a
＜
3
．
由题意可得
a -3
＜
0
，所以
a
＜
3
．
本题考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键．
13.
【答案】
a+1

【解析】解：∵
a≥-1
，
∴
a+1≥0
，
则原式
=

=|a+1|
=a+1
，
故答案为：
a+1
．
由
a≥-1
知
a+1≥0< br>，再利用
=|a|
化简可得．
=|a|
． 本题主要考查二次根式的 性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质
14.
【答案】
2


【解析】解：将正方体展开，右边与后面的正方
形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示 ，
此时
AB
最短，
AB==2
，
故答案为：
2
．
将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．
此题考 查了平面展开
-
最短路径问题，勾股定理，熟练求出
AB
的长是解本题的关键 ．
第8页，共18页

15.
【答案】
6

【解析】解：根据题意得：
|a|-5=1
，
|a|=6
，
a=6
或
-6
，
若
a=6
，
a+6=12
（符合题意），
若
a=-6
，
a+6=0
（不合题意，舍去），
故答案为：
6
．
根据“若（
a+6
）
x+y|
a
|-5
=1
是关于
x
、
y
的二元 一次方程”，得到关于
a
的绝对值的方程，
解之，代入
a+6
，经判 断后，即可得到答案．
本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，正确掌握绝对值的定义和二元一次方 程的定
义是解题的关键．
2
16.
【答案】
±

3
，
a-3b
立方根是
-2
， 【解析】解：∵
a+2
的平方根是
±
∴
解得
，
，
∴
a+b=12
，
2

∴
a+b
的平方根为
±
2
． 故答案为：
±
先根据平方根，立方根的定义列出关于
a
、
b
的二元一次方程组，再求出< br>a+b
的值，然
后根据平方根的定义求解即可．
本题考查了平方根，立方根的 定义，列式求出
a
、
b
的值是解题的关键．
17.
【答案】
8
或
4

【解析】解：①当∠< br>ACB
为锐角时，如图
1
，过点
A
作
AD
⊥
BC
，垂足为
D
，
在
Rt
△
ABD中，∵∠
ABC=30°
，
AB=4
，
∴
AD=AB=2×AB=6
， ，
BD=cos30°
=2
， 在
Rt
△
ADC
中 ，
DC=
∴
BC=AD+DC=6+2=8
；

②当∠ACB
为钝角时，如图
2
，过点
A
作
AD
⊥< br>BC
，交
BC
的延长线于点
D
，
在
Rt< br>△
ABD
中，∵∠
ABC=30°
，
AB=4
，
∴
AD=AB=2×AB=6
， ，
BD=cos30°
=2
， 在
Rt
△
ADC
中，
DC=
∴
BC=AD- DC=6-2=4
；
因此
BC
的长为
8
或
4
，
故答案为：
8
或
4
．
分两种情况进行解答，一是∠
ACB
为锐角，另一种∠
ACB
为钝角，分别画出图形，通过
作高，构造直 角三角形，利用直角三角形的性质和边角关系进行解答即可．
第9页，共18页

考查直角三角形的性质、直角三角形的边角关系等知识，分类画出相应的图形，作高构
造直角三角形 是常用的方法．
18.
【答案】
P
1
（
0
，2
），
P
2
（
0
，
2
），
P
1
（
0
，
-4
），
P
2
（
0
，
-2
）

【解析】解：如图所示：
OA=2
，
分三种情况：当
OA=OP
时，可得到
2点，
P
1
（
0
，
2
），
P
2
（
0
，
2
）；当
OA=AP
时，可得到一点，P
3
（
0
，
-4
）；
当
OP=AP< br>时，可得到一点，
P
4
（
0
，
-4
）． < br>故答案为：
P
1
（
0
，
2
），
P< br>2
（
0
，
2
），
P
1
（
0
，
-4
），
P
2
（
0
，
-2）．
由于点
P
的位置不确定，所以应当讨论，当
OA=OP
时 ，可
得到
2
点，当
OA=AP
时，可得到一点．
本题考查 了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答
本题的关键．
19.
【答案】
8 2
4
n
-5

【 解析】解：∵函数
y=x
与
x
轴的夹角为
45°
，

∴直线
y=x
与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角
形，
∵
A
（
8
，
4
），
∴第四个正方形的边长为
8
，
第三个正方形的边长为
4
，
第二个正方形的边长为
2
，
第一个正方形的边长为
1
，
…，
第
n
个正方形的边长为
2
n
-1
，
1×1+×2-×2=
， 由图可知，
S
1
=×
（
1+2
）
×
（
1+2
）
×
S
2
= ×4×4+×8-×8=8
， （
4+8
）
×
（
4+8
）
×
…，
S
n
为第
2n
与第
2n-1
个正方形中的阴影部分， < br>第
2n
个正方形的边长为
2
2
n
-1
，第< br>2n-1
个正方形的边长为
2
2
n
-2
，
S
n
=
•
2
2
n
-2
•
2
2
n
-2
=2
4
n
-5
．
故答案为：
8
；
2
4
n
-5
．
根据直线解析式判断出直线与
x
轴的夹角为
45°
，从而得到直线与正方形的 边围成的三
角形是等腰直角三角形，再根据点
A
的坐标求出正方形的边长并得到变化规 律表示出第
n
个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯 形
的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
本题考查了正方 形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各
正方形的边长是解题的关键，难点 在于求出阴影
S
n
所在的正方形和正方形的边长．
20.
【答案】解：（
1
）原式
=+3-2

=2
；
-
（
2
）原式
=

=6-6
；
第10页，共18页

3×
（
3
）原式
=-×
=9
； < br>（
4
）原式
=2++1-
（
4-4
=2++1-7+ 4

=6+-6
．

+3
）

【解析】（
1
）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（
2
）利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（
3
）利用二次根式的乘除法则运算；
（
4
）根据完全平方公式和分母有理化计算．
本题考查了二次根式的混合运 算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式
的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运 算中，如能结合题目特点，灵活运用二
次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21.
【答案】解：（
1
）
由②得，
x=3y-4
③
把③代入①得，
4
（
3y-4
）
+5y=1
，
解得
y=1
，
把
y=1
代入③得，
x=-1
，
所以，方程组的解是
（
2
）
；
，

解不等式①得：
x
＞
2
，
解不等式②得：
x≤9
，
∴不等式组的解集为
2
＜
x≤9
，
在数轴上表示为：
．

【解析】（
1
）把第二个方程整理成
x=3y-4< br>，然后利用代入消元法求解即可；
（
2
）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
考查的是二元一 次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组和方
程组的方法是解题的关键． 22.
【答案】解：（
1
）
a=
b====
=
+2
；
==-2
，

（
2
）原式
=< br>（
a-b
）
2
-2ab
=
（
--2
）
2
-2×
（
-2
）（
=
（
-4
）
2
-2×
（
5-4
）
=16-2
=14
．

+2
）
第11页，共18页

【解析】（
1
）利用分母有理化求解可得；
（
2< br>）将化简后的
a
、
b
的值代入原式
=
（
a- b
）
2
-2ab
计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算
法则．
23.
【答案】
-4 3 3 0 -2 5 4 3
< br>【解析】解：（
1
）由图可得，
A
（
-4
，
3
），
B
（
3
，
0
），
C
（-2
，
5
），
故答案为：
-4
，
3
，
3
，
0
，
-2
，
5
；
（2
）顶点
A
关于
y
轴对称的点
A'
的坐标为（
4
，
3
），
线段
A
′
C
的长度 为：
=2
故答案为：
4
，
3
；
4×
（< br>3
）△
ABC
的面积为
×
（
2+3
）
=10
．
（
1
）直接利用坐标系得出△
ABC
各个顶点的坐标即可；
（
2
）利用关于坐标轴对称点的性质即可得到点
A'
的坐标，进而利用勾股 定理得到线段
A
′
C
的长度；
（
3
）直接利用割补法即可得出△
ABC
的面积．
此题主 要考查了关于坐标轴对称点的性质以及勾股定理的运用，正确得出对应点位置是
解题关键．

24.
【答案】解：（
1
）∵将一矩形纸片
ABCD
折叠， 使两个顶点
A
，
C
重合，折痕为
FG
，
∴
FG
是
AC
的垂直平分线，
∴
AF=CF
，
设
AF=FC=x
，
在
Rt
△
ABF
中 ，由勾股定理得：
AB
2
+BF
2
=AF
2
， < br>即
4
2
+
（
8-x
）
2
=x
2
，
解得：
x=5
，
即
CF=5
，
BF=8-5=3
，
（
2
）△
AGF
是等腰三角形，
理由如下：∵将一张矩形纸片
ABCD
折叠，
∴∠
AFG=
∠
CFG
，
∵
AD
∥
BC
，
∴∠
AGF=
∠
CFG
∴∠
AGF=
∠
AFG
，
∴
AG=AF
，
∴△
AGF
是等腰三角形；
（
3
）∵
AB=4
，
BC=8
．
∴
AC===4
，

，
∵将一张矩形纸片
ABCD
折叠，
∴
AC
⊥
GF
，
∵
AF=CF
，
∴
AO=CO=2

∵
AF=AG
，
AC
⊥
GF
，
第12页，共18页

∴
FO=GO
，
∵
FO===
，
∴
GF=2OF=2
．
【解析】（
1
）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出
AF=CF
，根 据勾股定理得出关
于
CF
的方程，求出
CF
，得出
BF，再根据面积公式求出即可；
（
2
）由平行线的性质和折叠的性质可证
AF=AG
，可得△
AGF
是等腰三角形；
（
3
）由勾股 定理可求
AC
的长，可求
AO
的长，由勾股定理可求
FO
的 长，即可得
GF
的长．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质 ，勾股定理的应用；熟练
掌握矩形的性质和折叠的性质，由勾股定理得出方程是解此题的关键．
25.
【答案】（
1
）证明：如图
1
中，
∵△
ACB
，△
ECF
都是等腰三角形，
∴
CA =CB
，
CE=CF
，∠
ACB=
∠
ECF=90°
，
∴∠
ACE=
∠
BCF
，
∴△
ACE
≌△
BCF
（
SAS
），
∴
AE=BF
．

（
2
）解：如图
2
中，

∵
CA=CB=6
，∠
ACB=90°
，
∴
AB=6
，
∵△
ACE
≌△
BCF
，
∴∠
CAD=
∠
DBF
，
∵∠
ADC=
∠
BDF
，
∴∠
ACD=
∠
DFB=90°
，
∴
AF===2
．

（
3
）如图
2中，作
FH
⊥
BC
于
H
．
第13页，共18页

∵∠
ACE=
∠
CAE=30°
，
∴
AE=EC
，
∵△
ACE
≌△
BCF
，
∴
BF=AE
，
CF=CE
，
∴
CF=BF
，∠
FCB=
∠
CBF=30°
，
∵
FC=FB
，
FH
⊥
BC
，
∴
CH=BH=3
，
FH=
，
CF=BF=2
，
-30°=60°
∵∠
CED=
∠
CAE+
∠
AC E=60°
，∠
ECD=90°
，
∴△
ECD
是等边三角形，
∴
EC=CF=CD=2
，
∴
S
△
EDF
=S
△
ECD
+S
△
CDF
-S
△
ECF
=×
（
2
2
）
2
+××-×2×2=3-3
．

【解析】（
1）如图
1
中，证明△
ACE
≌△
BCF
（
SA S
）即可解决问题．
（
2
）利用全等三角形的性质，证明∠
ACD =
∠
DFB=90°
，再利用勾股定理即可解决问题．
（
3
）如图
3
中，作
FH
⊥
BC
于
H
．证明 △
BCF
是底角为
30°
的等腰三角形，求出
CF
，
FB
，
FH
，根据
S
△
EDF
=S
△< br>ECD
+S
△
CDF
-S
△
ECF
计算即可 ．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解
直角 三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造直角三角形解决问题 ，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
26.
【答案】解：
2
得：
x=5-3k
， ②
-
①
×
3-
②得：
y=5k-5
①
×
∴
x-y=10-8k
，
∵方程组的解满足
0
＜
x-y
＜
1
，
∴
0
＜
10-8k
＜
1
，
∴
k
的取值范围为：＜
k
＜．


【解 析】解方程组求得
x
、
y
的值，进而求得求出
x-y=10-8k< br>，根据已知得出不等式
0
＜
10-8k
＜
1
，求出即 可．
本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于
k的
不等式组．
27.
【答案】解：（
1
）如图
1中，设
AE=BD=x
．
第14页，共18页

∵△
ABC
是等边三角形，
∴∠
A=60°
，
∵∠
DEC=
∠
AED=90°
，
∴∠
ADE=30°
，
∴
AD=2AE=2x
，
DE=AE=x
，
∵
AB=6
，
∴
x+2x=6
，
∴
x=2
，
∴
AE=2
，
EC=4
，
DE=2
，
2
∴
S
△
DEC
=
•
DE
•
EC= ××4=4
．

（
2
）结论：
CD=2AM
．
理由：如图
3
中，

∵
AB=AC
，∠
BAC=60°
，
∴△
ABC
是等边三角形，
∵点
D
是
AB
的中点，
∴
CD=BC
，
∵点
D
，
E
是
AB
，
AC
的中点 ，
∴
AD=AB
，
AE=AC
，
∴
AD=AE
，
∵∠
BAC=60°
，
∴△
ADE
是等边三角形，
∵点
M
是
DE
的中点，
∴
AM=AD=AB=BC
，
∴
CD=2AM
，
故答案为：
CD=2AM
，
（
2
）结论：
CD=2AM
．
理由：如图
2中，过点
D
作
DF
∥
AC
交
BC
于< br>F
，连接
EF
，
AF
．
第15页，共18页

∴∠
BDF=
∠
BAC=60°
，
∵
AB=AC
，∠
BAC=60°
，
∴△
ABC
是等边三角形，
∴∠
ABC=60°
，
∴△
BDF
是等边三角形，
∴
DF=BD
，
∵
BD=AE
，
∴
DF=AE
，
∵
DF
∥
AE
，
∴四边形
ADFE
是平行四边形，
∴
AF
必过
DE
的中点，
∵点
M
是
DE
的中点，
∴
AF
过
DE
的中点，
∴
AF=2AM
，
在△
ABF
和△
CBD
中，
，
∴△
ABF
≌△
CBD
（
SAS
），
∴
AF=CD
，
∴
CD=2AM
；

【解析】（
1
）如图
1
中，设
AE=BD=x
．证明
AD=2AE=2x
，构建方程求出
x
即可解决问
题．
（
2
）利用等边三角形的性质判断出
CD
与
BC
的关系，再判断出△
ADE
是等边三角形，
进而判断出
AM
与
BC
关系 即可得出结论；
（
3
）先判断出△
BDF
是等边三角形，进而得出 四边形
ADFE
是平行四边形，再利用全
等三角形的性质得出
AF=CD即可得出结论；
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质， 平行
四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三
角形 ，解（
3
）的方法比较独特，属于中考压轴题．
，
AB=2
， < br>28.
【答案】解：（
1
）∵
AB
⊥
OA
， ∠
B=60°
∴
OA=AB=6
，
∴点
B
（6
，
2
），点
A
（
6
，
0
）
∵
OC=AC
．
∴
OC=2
，
AC=4
，
∴点
C
（
2
，
0
）
（
2
）如图
1
，作
A
关于
OB
的对称点
D
， 连接
CD
交
OB
于
P
，连接
AP
，过D
作
DN
⊥
OA
于
N
，则此时
PA+ PC
的值最小，
第16页，共18页

∵
DP=PA
，
∴
PA+PC=PD+PC=CD
， < br>∵
AB=2
，
OA=6
，由勾股定理得：
OB=4
，
OA×AB=×OB×AM
， 由三角形面积公式得：
×
∴
AM=3
，
3=6
， ∴
AD=2×
∵∠
AMB=90°
，∠
B=60°
，
∴∠
BAM=30°
，
∵∠
BAO=90°
，
∴∠
OAM=60°
，
∵
DN
⊥
OA
，
∴∠
NDA=30°
，
∴
AN=AD=3=ON
，由勾股 定理得：
DN=3
∴
CN=ON-OC=3-2=1
，
在
Rt
△
DNC
中，由勾股定理得：
DC=
即
PA+PC的最小值是
2
，
∴△
PAC
周长的最小值为：
2+4
．
（
3
）如图
2
，
==2
，
，

∵点
P
是
OB
的中点，
∴
OP=2=AB
，
∵将△
OPE
沿
PE
翻折，且
O'E
⊥
AC
∴∠
OEM=
∠
OE' M=45°
，△
OEP
≌△
O'EP
，
∴∠
OPE=
∠
OEM-
∠
AOB=15°
，
∵△
BAQ
≌△
O
′
PE
，
∴△
BAQ
≌△
OPE
，
∴∠
ABQ=30°
，∠
BAQ=15°
，
当点
Q
在
AB
右侧，过点
Q
作
QH
⊥
AB，作∠
AQF=
∠
BAQ=15°
，
∴∠
HFQ=30°
，
AF=FQ
，
设
HQ=a
，
第17页，共18页

=
∠
HFQ
，
HQ
⊥
AB
， ∵∠
ABQ=30°
∴
FQ=2a
，
BH=HF=a
，
∴
AF=2a
，
∴
AB=2a+2a=2
，
∴
a=
∴
AH=
∴点
Q
（
，
，
，）
，） 当点
Q
在
AB
左侧，同理可求点
Q
（

【 解析】（
1
）由直角三角形的性质可得
OA=6
，即可求点
A
，点
B
，点
C
坐标；
（
2
）作
A关于
OB
的对称点
D
，连接
CD
交
OB
于
P
，连接
AP
，过
D
作
DN
⊥
OA
于
N
，
则此时
PA+PC
的值最小，求出
A M
，求出
AD
，求出
DN
、
CN
，根据勾股定理求 出
CD
，
即可得出答案；
（
3
）由折叠的性质可得∠OEM=
∠
OE'M=45°
，△
OEP
≌△
O'EP
，分两种情况讨论，由直角
三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了轴 对称
-
最短路线问题，三角形的内角和定理，全等三
角形的性质，勾股定理，含
30
度角的直角三角形性质的应用，关键是求出
P
点的位置，
题目比较好， 难度较大．

第18页，共18页