由于数学思想方法往往
隐含在知识的背后，知识
教学虽然蕴含着思想方
法，但是如果不是由意识
地把数学思想方法作为
教学对象，在数学学习
时，学生常常只 注意到处
于表层地数学知识，而注
意不到处于深层的思想
方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数
学知识为载体，把隐藏在
知识背后的思想方法显
示出来，使 之明朗化，才
能通过知识教学达到思
想方法教学之目的。例如
在解决有关应用问题时，
为了使学生弄清问题的
数量关系，寻找到有效的
解题策略，往往借助图示
就能 使问题得到解决。这
种将图形与数量关系紧
密联系起来解决问题的
数形方法，教材中并 没有
明确地表述出来，需要学
生用心体会，才能领悟
到，但这不是所有学生都
能达到的。实施数学思想
方法教学，就要求教师按
照“化隐为显”的原则，
对教材下一 番改造制作
的功夫。

二、解答题

1、运用方程模型解答应
用题时，其中最重要的是
“设想问题已经解出”，
“用两种不同方法表示
同一个量” ，“方程个数
和未知量个数相等”这
三个要点，这是为什么，
请阐述你的理解。

设想问题已经解出，即在
列式时将未知量与已知
量同等对待。这是列方程
中的一个重要思想，也是
它优于算术之处。在算术
列式中，未知量只能列在
等号左边， 且系数必须为
1，已知量只能在等号右
边出现。已知量与未知量
的地位截然不同，因此 列
式比较困难，而在方程列
式中，已知量与未知量处
于同等地位，都可以在等
号两边出现，于是列式就
容易多了。

“用两种不同方法表示
同一个量”这是 列方程
的关键。所谓方程，其实
就是用两种不同的方法
表示同一个量，并用等号
联结起来。

“方程个数和未知量个
数相等”是为了得到确
定的解，这里有 一个自由
度的思想，当方程个数少
于未知量个数时，就会出
现不定方程（组），这时< br>方程（组）的解一般会有
无穷多个。

2什么是类比推理?类比
推理的 表示形式？怎样
才能增加结论的可靠
性？

答：所谓类比，是指由一
类事物所具有的某种属
性，可以推测与其类似的
事物也具有这种属性的
一种推理方法。 常称这种
方法为类比法，也称类比
推理。

类比推理通常可用下
列形式来表示：

A具有性
质

B具有性
质

因此，B
也可能具有性质 。

其中， 分别相同或相似。
欲提高类比的可靠性，应
尽量满足条件：

(1)A与B共同(或相似)
的属性尽可能地多些；

(2)这些共同(或相似)的
属性应是类比对象A与B
的主要属性；

(3)这些共同(或相似)的
属性应包括类比对象的
各个不同方面，并且尽可
能是多 方面的；

(4)可迁移的属性d
应该是和 属于同一类
型。

符合上述条件的类比，其
结论的可靠性虽然可以
得到提高，但仍不能保证
结论 一定正确。

3、圆周角定理证明思路
如下：

将圆周角的两边所处 的
位置分成三种情况，（1）
角的一边落在直径上（2）
角的两边在某一直径的
两侧（3）角的两边在某
一直径的同侧。如图所
示，先对情况（1）进行
证明，然后 将情况（2）
（3）转化为情况（1）分
别进行证明。最后得出圆
周角定理对任意圆周 角
都成立的结论。

证明中用到下面几种数
学思想方法：（1）将圆
周角分成三种情况，用到
分类方法（2）先证明角
恰有一边在直径上的特
殊情况，用到 特殊化方法
（3）将其他两种情况转
化为角恰有一边在直径
上的情况用到化归方法（4）通过对所以三种情
况证明，然后得出圆周角
定理的结论，用到完全归
纳法（ 5）在证明过程中
需要进行演绎推理，因此
用到演绎方法。

4、以“认识长 方形对边
相等”为内容，设计一个
教学片断。（要求（1）
教学过程要比较具体，合< br>理具有一定的层次（2）
要有与数学知识教学相
联系的本课程所学习的
数学思想 方法教学内容，
不少于300字。

将教学过程设计成四个
层次：

（1）让学生说一说，我
们周围有哪些长方形物
体？学生会举出黑板、桌
面、 教室的门、课本的封
面等例子。

（2）要求学生仔细观察：
看一看、想一想 ，这些长
方形的四条边的长短有
什么关系？学生经过观
察后，会猜想：长方形相
对的两条边长度相等。

（3）教师进一步提出问
题：同 学们敢于大胆猜想
的精神值得鼓励！我们怎
样才能验证长方形相对
的两条边长短相等呢 ？
所以它的对边也是4厘
米。

一、填空题(本大履满
分30分 。本大题共有10
5。面对一个问愿，经过
认真的观察和思考，过归
纳或者类比提出猜 想，然
后从两个方面人手；演绎
证明此猜想为真；或者
这时，学 生会想出许多办
法，如：用尺量、将图形
对折等方法。教师顺势引
导学生通过量量、折 折的
具体*作，确信长方形相
对的两条边长短相等。教
师板书：长方形对边相
等。接着，师生讨论长方
形“对边”的含义，以及
一个长方形有几组对边
的问题。
（4）巩固长方形对边相
等的认识。

利用多媒体展示下面的
长方形：

师：如何填写括号内的数
字？为什么

要求学生会用“因为 所
以” 句式回答。如因为长
方形的对边相等，已知长
方形的一条边是4厘米，
题，每个空桔填 对得3分，
否则一律得零分)

1．《几何原本》所开创的
公理化
方 法不仅成为—
种数学陈述模式，而且还
被移植到其它学科，并且
促进它们的发展．
2．随机现象的特点是
在
一定条件下，可能发生某
种结果，也可能不发 生某
种结果
。

3．等腰三角形概念的抽
象过程，就是把一个新的< br>特征：
两边相等
加入到三
角形概念中去，使三角形
概念得到强化．
4．类比法是指，
由一类
事物所具有的某种属性，
可以推测与其类似的 事
物也具有这种属性
的
一种推理方法．

寻找反例说明此猜想为
假
并且进一步修正成否
定此猜想．

6．化归方法包含的三个
要素是：
化归对象、化归
日标、化归途
径


。

7．算法的有 效性是指，
如果使用该算法从它的
初始数据出发，能够得到
这一问题的正确解

8．数学的研究对象大致
可以分成两类
①研究数
量关系，②研究空间形
式
。

9。一个科学的分类标准
必须能够将需要分类的
数学 对象，
不重复．无遗
漏
进行的划分。

10．根据学 生掌握数学思
想方法的过程有潜意识
阶段、明朗化阶段和深刻
理解阶段等三

个阶段，可相应地将小学
数学思想方法教学设计
成
多次孕育、初步理解、简单应用
三个阶段。

二、判断 (本大题满分10
分。本大题共有5题 ，请
在每题后面的圆括号内
填写”是”或·否’，答
对得2分，)

1，《九章算术》不包括代
数、几何内容．否

2．抽象和概括是两种完
全不同的方法 否

3．没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不
包含数学思想方法的数
学知识．是

4．数学模 型方法是物理
学、工程学的专利，在生
物学、经济学、军事学等
领域投有应用．否
5．在解决敷学问题时，
往往需要综合运用多种
数学思想方法才能奏
效 ．是

三、简答题(本大题满
分30分。本大题共有5
题，只要筒明扼要 地写出
答案，每题均为6分)

1．为什么说《几何原本》
是一个封闭的演绎体系?

、
①《几何原 本》以少数
原始概念和公设、公理为
基础，运用逻辑规则将当
时所知的几何学中的主< br>要命题(定理)全都推出
来，从而形成一个井然有
序的整体．在这个体系
中，除 了逻辑规则外，每
个定理的证明所采用的
论据均是公设、公理或dS
面已证明的定理， 并且引
入的概念(除原始概念)
也基本上符合逻辑上对
概念下定义的要求，原则
上不再依赖其它东西．

②另外．《几何原本)回避
任何与社会生产现实生
括有关的应用问题，对社
会生活的各个领域来说
也是封闭的．因此，(几
何原本)是一 个相对封闭
的演绎体系．

2．简述计算机在数学方
面的三种新用途。

第一，用来证明一些数学
命题；第二，用来预测某
些数学问题的可能结果，
第三，用来验证某些数学
问题的结 果的正确性．

3．试用框阄表示出MM方
法解题的基本步骤。

MM方法解题的基本步骤
可用框图表示为：

4．简述化归方法在数学
教学中的应用。

化归方法在数学教学中
的应用至少有以下三个
方面：

1)利用化归方法学习新
知识，

②利用化归方法指导

解题，

①利用化归方法整理
知识结构．

5．什么是算法的有限性
特点?试举一个不符合算
法有限性特点的例子．

算法的有限性是指．一个
算法必须在有限步之内
终止．

以十进翻小数的除
法这个算法为例，如取敷
2和3作为初始数据，则
有2-- 3=O．6666…

无论怎样延续这个过程
都不能结束，同时也不会
出现中 断．因此，除法对
于2和3这组数不符合算
法有限性特点．

四、解答题(本大题满分
30分。本大属共有2题，
每题均为15分)

1．圆周角定理证明思
路如下：

将四周角的两边所处的
位置分 成三种情况：①角
的一边落在直径上；②角
的两边在某—直径的两
侧，③角的两边在某 一直
径的同侧．如上田所
示．先对情况①进行证
明，然后将情况②、③转
化为 情况①分别进行证
明．最后得出圆周角定理
对任意圆周角都成立的
结论。

试具体分析上述证明中
需要用到哪些数学思想
方法。

该证明中需用到”F面几
种数学思想方法，

①将圃周角分成三种
情况，用到分类方法；

②先证明情况①而情
况①是 角恰有一边在直
径上的特殊情况，用到特
殊化方法：

②通过对所有三种 情
况的证明，最后得出圆周
角定理的结论，用到完全
归纳法，

④在证明过程中需要
进行演绎推理，因此用到
演绎方法．

2．以“三角形面积公
式·为内容，没计一个教
学片断。

(要求： ①教学过程要比
较具体、合理，且有一定
的层次：①要有与数学知
识教学相联系的本课 程
中学习的数学思想方法
教学内容‘③不少于300
字)

一、填空题(每题3分，
共30分)

1．学生理解或掌握数学
思想 方法的过程有如下
三个主要阶段
潜意识阶
段、明朗化阶段、深刻理
解阶段。

2．强抽象就是指，通过
把一些新的特征加入到
某一概念中而形成的 新
概念的抽象过程
而形成
新概念的抽象过程

3．菱 形概念的抽象过程
就是把—个新的特征：
一
组邻边相等
加入到平行
四 边形概念中去，匣平行
四边形概念得到了强化。

4．分类必须遵循的原则
是
①不重复，②无遗漏，
③标准同一④按层次逐
步划分
。

5 ．面对一个问题，经过
认真的观察和思考，通过
归纳或类比提出猜想，然
后从两个方面 入手：演绎
证明此猜想为真；或者
寻
找反例说明此猜想为假
并且进一步修正或 否定
此猜想。

6．《几何原本》所开创的
公理化
方法不仅成为一< br>种数学陈述模式，而且还
被移植到其它学科，并且
促进它们的发展。

7．变量数学产生的数学
基础是
解析几何
，标志是
微积分
。

8．
数学基础知识和数学
思想方法
是数学教学的
两条主线。

9深层类比又称实质性类
比，它是通过
对被比较对
象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种
因果关系的分析
而得到
的类比。

10．一个概括过程包括
比
较、区分、扩张、分析
。
二、判断题(每题2分，
共10分。在括号里填上
是或否)

1．《九章算术》不包括代
数、几何内容。(
否
)

2．既 没有脱离数学知识
的数学思想方法，也没有
不包括数学思想方法的
数学知识．(
是
)

3．对同一数学对象，若
选取不同的标准，可以得
到不同的 分类。(
是
)

4．特殊化是研究共性中
的个性的一种方法。(
否
)
5．数学模型方法应用面
很窄。(
否
)

三、简答题(每题6分，
共30分)


1．简述培养数学猜想能
力的途径。

答：猜想能力培养可以通
过数 学教学，如：①新知
识的学习、②数学规律的
寻求、③解题思路的探索
等途径来实现。

2．简述特殊化方法在数
学教学中的应用。

答：①利用特殊值( 图形)
解选择题；②利用特殊化
探求问题结论；③利用特
例检验一般结果；④利用特殊化探索解题思路。

3．什么是归纳猜想?井举
一个例子说明。
< br>答：①人们运用归纳法，
得出对一类现象的某种
一般性认识的一种推测
性的判断 ，即猜想，这种
思想方法称为归纳猜想。

②例如，人们在 量度了很
多圆的周长和半径以
后．发现它们的比值总是
近似地等于3．14，于是提出了圆周率是3．14的
猜想。后来数学家从理论
上证明了圆周率的数值
为 ，果然和3．14很接
近．

4．简述概括与抽象的关
系。

答：①概括方法与抽象方
法是不同的，但是它们又
有十分密切的联系．抽象
是舍弃事 物的一些属性
而收括固定出其固有的
另一些属性的思维过程，
抽象得到的新概念与表< br>述原来的对象的溉念之
间不一定有种属关系。②
概括是在思维中由认识
个别事物 的本质属性，发
展到认识具有这种本质
属性的一切事物，从而形
成关于这类事物的普遍
概念．由概括得出的新概
念是表述概括对象概念
的一个属概念。③概括和
抽象 虽有差别，但又是互
相联系，密不可分的。抽
象是概括的基础，没有抽
象就不能认识任 何事物
的本质属性，就无法概
括．概括也是抽象思维过
程中所必须的一个环节，
前述“收括”操作实际
上也是一个概括过程，有
人就把“收括”称之为
概括，由于对 共同点的概
括才能得出对象的本质
属性，从而完成抽象过
程。

5．在实施数学思想方法
教学时应注意哪些问题?

答：为了叨实加强数学思
想方法教学，应注意以下
几点事项： ①要把数学
思 想方法的学习纳入数
学目标，并在教案中设计
好数学思想方法的教学
内容和教学过程； ②重视
数学知识发生、发展的过
程，认真设计数学思想方
法教学的目标，③做好数学思想方法教学的铺垫
工作和巩固工作；④不同
类型的数学思想方法应
有不同的教 学要求；⑤注
意不同数学思想方法的
综合运用。

四、解答题(每题15分，
共20分)

1．圆周角定理证明思路
如下： 将 圆周角的两边
所处的位置分成三种情
况：①角的一边落在直径
上；②角的两边在某一直
径的两铡；③角的两边在
某一直径的同侧。如上图
所示。先对情况①进行证
明 ，然后将情况②、③转
化为情况①分别进行证
明。最后得出圆周角定理
对任意圆周角都 成立的
结论。 试具体分析上述
证明中需要用到哪些数
学思想方法

答：该证明中用到下面几
种数学思想方法： ①将
圆周角分成三朴情况，用
到 分类方法；②先证明角
恰有—边正直径上的特
殊情况，用别特殊化方

法 。③将其他两种情况转
化为角恰有—边在直径
上的情况，用到化归方
法；④通过对所有 三种情
况的证明．然后得出圆周
角定理的结论，用到完全
归纳法⑤在证明过程巾
需要进行演绎推理

因此用到演绎方法。

2．论述《几何原本》思
想方法的特点。

答：因为在《几何原本》
中．除了推导时所需要的
逻辑规则外，每个定理酌
证明所采用的论据均是
公设、公理 或前面已经证
明过酌定理．并且引入的
概念(除原始概念)也基
本上是符合逻辑上对概
念下定义的要求．原则上
不再依赖其它东西。所
以．《几何原本》是一个
封闭 的演绎体系。②抽象
化的内容 《几何原本》
中研究的对象都是抽象
的概念和命题，它 所探讨
的是这些概念和命题之
间的逻辑关系．不讨论这
些概念和命题与社会生
活之间的关系，也不考察
这些数学模型所由之产
生的现实原型。因此《几
何原本》的内 容是抽象
的。③公理化的方法《几
何原本》的第一篇中开头
5个公设和5个公理．是< br>全书其它命题证明的基
本前提，接着给出23个
定义，然后再逐步引入和
证明定 理。定理的引入是
有序的，在一个定理的证
明中，允许采用的论据只
有公设和公理与前 面已
经证明过的定理。以后各
篇除了不再给出公设和
公理外也都照此办理。这
种处理知识体系与表述
方法就是公理化方法。

数学思想与方法课程综
合辅导资料

一、单项选择题
1．算法的有效性是指
（ C ）。P.122
A．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够估
计问题的解答范围
B．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够引
出该问题的另一种求解
方案
C．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够得
到这一问题的正确解
D．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够大
致猜想出问题的答案
2．所谓数形结合方法，
就是在研究数学问题时，
（A ）的一种思想方法。
P156
A．由数思形、见形思数、
数形结合考虑问题
B．由数学公式解决图形

问题
C．由已知图形联想数学
公式解决数学问题
D．运用代数与几何解决
问题
3．古代数学大体可分为
两种不同的类型：一种是
崇尚逻辑推理，以《几何
原 本》为代表；一种是长
于计算和实际应用，以
（ D ）为典范。P1
A．阿拉伯的《论圆周》
B．印度的《太阳的知识》
C．希腊的《理想国》
D．中国的《九章算术》
4．数学的统一性是客观
世界统一性的反映，是数
学中各个分支固有的内
在联系的体现，它表现为
（ B ）的趋势。P46
A．数学的各个分支相互
独立并行发展
B．数学的各个分支相互
渗透和相互结合
C．数学的各个分支呈现
包容
D．数学的各个分支呈现
互斥
5．学生理解或掌握数学
思想方法的过程一般有
三个主要阶段：（ B ）。
P197
A．了解阶段、掌握阶段、
运用阶段
B．潜意识阶段、明朗化
阶段、深刻理解阶段
C．感觉阶段、体会阶段、
领悟阶段
D．同化阶段、迁移阶段、
掌握阶段
6．在数学中建立公理体
系最早的是几何学，而这
方面的代表着作是
（B ）。P1
A．阿拉伯的《论圆周》
B．古希腊欧几里得的《几
何原本》
C．希腊的《理想国》
D．中国的《九章算术》
7．随机现象的特点是
（A ）。P23
A．在一定条件下，可能
发生某种结果，也可能不
发生某种结果
B．在一定条件下，发生
必然结果

C．在一定条件下，不可
能发生某种特定的结果
D．在一定条件下，发生
某种结果的概率微乎其
微
8．演绎法与（ D ）被认
为是理性思维中两种最
重要的推理方法。P67
A．推理法
B．模型法
C．猜想法
D．归纳法
9．在化归过程中应遵循
的原则是（ A ）。P105
A．简单化原则、熟悉化
原则、和谐化原则
B．重复化原则、熟悉化
原则、明朗化原则
C．简单化原则、熟悉化
原则、重复化原则
D．熟悉化原则、和谐化
原则、明朗化原则
10．（C ）是联系数学知
识与数学能力的纽带，是
数学科学的灵魂，它对发
展学生的数学能力，提高
学生的思维 品质都具有
十分重要的作用。P191
A．理论方法
B．实验方法
C．数学思想方法
D．计算方法
11．所谓类比，是指
（ B ）。P75
A．由一类事物推测与另
一类事物的相似的一种
推理方法
B． 由一类事物所具有的
某种属性，可以推测与其
类似的事物也具有该属
性的一种推理方法
C．根据某种事物的属性
知道另一种事物的属性
的一种方法
D．两类事物具有可比性
的一种推理方法
12．猜想具有两个显着特
点：（ D ）。P73
A．推测性与准确性
B．科学性与精准性
C．准确性与必然性
D．科学性与推测性
13．所谓数学模型方法是
（ A ）。P132
A．利用数学模型解决问

题的一般数学方法
B．利用数学原理解决问
题的一般数学方法
C．利用数学实验解决问
题的一般数学方法
D．利用数学工具解决问
题的一般数学方法
14．数学模型具有（ C ）
特性。P131
A．抽象性、随机性和演
绎性、预测性
B．抽象性、准确性和必
然性、预测性
C．抽象性、准确性和演
绎性、预测性
D．抽象性、准确性和演
绎性、偶然性
15．概括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出
发，以对
个别事物所作的观察陈
述为基础，上升为普遍的
认识——（ A ）的认识。
P64
A．由对个体特性的认识
上升为对个体所属的种
的特性
B．由个体特性的认识上
升为集体特性
C．由集体特性上升为个
体特性
D．由属的特性上升为种
的特性
16．三段论是演绎推理的
主要形式，它由（D ）
三部分组成。P94
A．大结论、小结论和推
理
B．小前提、小结论和推
理
C．大前提、小结论和推
理
D．大前提、小前提和结
论
17．传统数学教学只注重
（B ）的传授， 而忽略
对知识发生过程中（ ）
的挖掘。P183
A．具体化数学知识，数
学理论方法
B．形式化数学知识，数
学思想方法
C．数学解题强化，数学
思想方法
D．数学系统结构知识，

数学思想方法
18．特殊化方法是指在研
究问题中，（ B ）的思
想方法。P164
A．运用特殊方法解决问
题
B．从对象的一个给定集
合出发，进而考虑某个包
含于该集合的较小集合
C．从对象的一个给定范
围出发，进而考虑某个包
含于该范围的较小范围
D．从对象的一个给定区
间出发，进而考虑某个包
含于该区间的较小区间
19．分类方法的原则是
（ D ）。P151
A．按种类逐步划分
B．按作用逐步划分
C．按性质逐步划分
D．不重复、无遗漏、标
准同一、按层次逐步划分
20．数学模型可以分为三
类：（ C ）。P131
A．人口模型、交通模型、
生态模型
B．规划模型、生产模型、
环境模型
C．概念型、方法型、结
构型
D．初等模型、几何模型、
图论模型
21．数学的第一次危机是
由于出现了（ C ）而
造成的。P82
A．无理数（或
3
）
p
B．整数比
q
不可约
C．无理数（或
2
）
D．有理数无法表示正方
形边长
22．算法大致可以分为
（ A ）两大类。P128
A．多项式算法和指数型
算法
B．对数型算法和指数型
算法
C．三角函数型算法和指
数型算法
D．单向式算法和多项式
算法
23．反驳反例是用
（ D ）否定（ ）
的一种思维形式。P81
A．偶然 必然
B．随机 确定

C．常量 变量
D．特殊 一般
24．类比联想是人们运用
类比法获得猜想的一种
思想方 法，它的主要步骤
是（ B ）。P78
A．猜测

类比

联想
B．联想

类比

猜测
C．类比

联想

猜测
D．类比

猜测

联想
25．归纳猜想是运用归纳
法得道的猜想，它的思维
步骤是（ D ）。P74
A．归纳

猜测

特例
B．猜测

特例

归纳
C．特例

猜测

归纳
D．特例

归纳

猜测
26．传统数学教学只注重
（ A ）的数学知识传
授，忽略了数学思想方法
的挖掘、整理、提炼。P183
A．形式化
B．科学化
C．系统化
D．模型化
27．所谓统一性，就是
（ C ）之间的协调。
P46
A．整体与整体
B．部分与部分
C．部分与部分、部分与
整体
D．个别与集体
28．中国《九章算术》
（ A ）的算法体系和
古希腊《几何原本》（ ）
的体系在数学历史发展
进程中争奇斗妍、交相辉
映。P1
A．以算为主 逻辑演绎
B．演绎为主 推理证明
C．模型计算为主 几何
作画为主
D．模型计算 几何证明
29．所谓数学模型方法是
（ B ）。P132
A．利用数学实验解决问
题的一般数学方法
B．利用数学模型解决问
题的一般数学方法
C．利用数学理论解决问
题的一般数学方法
D．利用几何图形解决问

题的一般数学方法
30．公理化方法就是从
（ D ）出发，按照一定
的规定定义出其它所有
的概念，推导出其它一切
命题的一种演绎方法。
P95
A．一般定义和公理
B．特定定义和概念
C．特殊概念和公理
D．初始概念和公理
31．概括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出
发 ，以对个别事物所作的
观察陈述为基础，上升为
普遍的认识——（ B ）
的认识。P64
A．由对个体特性的认识
抽象为对种的特性
B．由对个体特性的认识
上升为对个体所属的种
的特性
C．由对个体特性的认识
上升为对个体所属的属
的特性
D．由对个体特性的认识
抽象为对个体所属的种
的特性
32．算法大致可以分为
（ A ）两大类。P128
A．多项式算法和指数型
算法
B．单项式算法和对数型
算法
C．单项式算法和指数型
算法
D．多项式算法和对数型
算法
33．反驳反例是用（ D ）
否定（ ）的一种思维
形式。P81
A．一般 特殊
B．实例 特例
C．特殊 特例
D．特殊 一般
34．类比联想是人们运用
类比法获得猜想的一种
思 想方法，它的主要步骤
是（B ）。P78
A．类比

联想

猜测
B．联想

类比

猜测
C．联想

猜测

类比
D．猜测

类比

联想
35．归纳猜想是运用归纳

法得道的猜想，它的思维
步骤是（ D ）。P74
A．归纳

特例

猜测
B．特例

归纳

猜测
C．特例

猜测

归纳
D．猜测

归纳

特例
36．传统数学教学只注重
（ D ）的数学知识传
授，忽略了数学思想方法
的挖掘、整理、提炼。P183
A．理论化
B．实践化
C．模式化
D．形式化
37．所谓统一性，就是
（ C ）之间的协调。P46
A．部分与部分、整体与
整体
B．形式与内容
C．部分与部分、部分与
整体
D．理论与实践
38．数学的第二次危机是
17世纪伴随牛顿和莱布
尼兹创立（ A ）而产
生的。P83
A．微积分
B．解析几何
C．数学悖论
D．无理数
2

39．我国《数学课程标准》
（实验稿）的总体目标指
出，数学知识包括（ B ）
和( ）。P183
A．数学知识 数学思想
B．数学事实 数学活动
经验
C．数学理论 数学实践
D．数学模型 数学活动
经验
40．所谓特殊化是指在研
究问题时，（ D ）的思
想方法。P164
A．从对象的一个给定集
合出发，进而考虑某个包
含该集合的较大集合
B．从对象的一个给定范
围出发，进而考虑该范围
中某个较小的区间
C．从对象的一个给定数
集出发，进而考虑某个包
含于该数集的较小子数
集
D．从对象的一个给定集

合出发，进而考虑某个包
含于该集合的较小集合
41．所谓数形结合方法，
就是在研究数学问题时，
（ C ）的一种思想方
法。P156
A．由形思数、见数思质、
数形质结合考虑问题
B．由数据、图形结合考
虑问题
C．由数思形、见形思数、
数形结合考虑问题
D．由数思形、见形思数、
数形分离考虑问题
42．古代数学大体可分为
两 种不同的类型：一种是
崇尚逻辑推理，以《几何
原本》为代表；一种是长
于（ A ），以《九章算
术》为典范。P1
A．计算和实际应用
B．模仿和度量
C．推理和证明
D．计算和证明
43．不完全归纳法是根据
（ D ），作出关于该类
事物的一般性结论的推
理方法。P68
A．对某类事物的整体的
分析
B．对某类事物单个对象
的分析
C．对某类事物中的特定
对象的分析
D．对某类事物中的部分
对象的分析
44．公理化的三条逻辑上
的要求是（ D ）。P37
A．依赖性、矛盾性、无
备性
B．独立性、矛盾性、完
备性
C．依赖性、无矛盾性、
完备性
D．独立性、无矛盾性、
完备性
45．《九章算术》系统地
总结了先秦和东汉初年
我国的数学成就，经过历
代名家补充 、修改、增订
而逐步形成，现传世的
《九章算术》是三国时期
魏晋数学家（ B ）注释
的版本。P6
A．张衡
B．刘徽
C．祖冲之

D．贾宪
46．《几何原本》是一本
极具生命力的经典着作，
全书共十三卷475个命
题，包括5个（ C ）、5
个（ ）。P2
A．方程 定义
B．推理 公理
C．公式 公理
D．公式 定义
47．数学思想方法教学主
要有（ B ）三个阶段。
P198
A．单次孕育、初步掌握、
综合应用
B．多次孕育、初步理解、
简单应用
C．多次孕育、深入理解、
综合应用
D．单次孕育、深入理解、
简单应用
48．化隐为显原则是数学
思想方法教学原则之一，
它的含义就是把隐藏在
数 学知识背后的（ A ）
显示出来，使之明朗化，
以达到教学目的。P199
A．数学思想方法
B．数学规律
C．数学定义
D．数学公式
49．在数学学科中人们常
常把研究确定性现象数
量规律的那些数学分支
称为确定数学 ，如代数、
几何、方程、微积分等。
但是确定数学无法定量
地揭示（ ），它的这种
局限性迫使数学家们建
立一种专门分析（ A ）
的数学工具。这个数学工
具就是（ ）。P22
A．随机现象 随机现
象 概率理论和数理
统计
B．必然现象 必然现
象 代数理论
C．变量规律 变量规
律 数学分析
D．分形几何 分形几
何 拓扑理论
50． 小学生的思维特点
是（ D ）。P197
A．感性思维
B．理性思维
C．逻辑思维

D．具体形象思维
二、填空题
1．所谓数形结合方法，
就 是在研究数学问题时，
（由数思形，见形思数，
数形结合考虑问题）的一
种思想方法。
2．古代数学大体可分为
两种不同的类型：一种是
崇尚逻辑推理，以《几何
原 本》为代表；一种是长
于计算和实际应用，以
（《九章算术》）为典范。
3．不完全 归纳法是根据
（对某类事物中的部分
对象的分析），作出关于
该类事物的一般性结论< br>的推理方法。
4．公理化的三条逻辑上
的要求是（独立性、无矛
盾性、完备性）。
5．《 九章算术》系统地总
结了先秦和东汉初年我
国的数学成就，经过历代
名家补充、修改、 增订而
逐步形成，现传世的《九
章算术》是三国时期魏晋
数学家（刘徽）注释的版本。
6．《几何原本》是一本极
具生命力的经典着作，全
书共十三卷475个命 题，
包括5个（公设）、5个（公
理）。
7．数学思想方法教学主
要有（多 次孕育、初步理
解、简单应用）三个阶段。
8．`化隐为显原则是数学
思想方法教学原 则之一，
它的含义就是把隐藏在
数学知识背后的（数学思
想方法）显示出来，使之明朗化，以达到教学目
的。
9．在数学学科中人们常
常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支
称为确定数学，如代数、
几何、方程、微积分等。
但是确定 数学无法定量
地揭示（随机现象），它
的这种局限性迫使数学
家们建立一种专门分析< br>（随机现象）的数学工
具。这个数学工具就是
（概率理论和数理统
计）。
10． 小学生的思维特点
是（具体形象思维）。
11．三段论是演绎推理的
主要形式，它由（大前提、
小前提、结论）三部分组

成。
12．演绎法与（归纳法）
被认为是理性思维中两
种最重要的推理方法。
1 3．（数学思想方法）是
联系数学知识与数学能
力的纽带，是数学科学的
灵魂，它对发 展学生的数
学能力，提高学生的思维
品质都具有十分重要的
作用。
14．分 类方法具有三个要
素：（被划分的对象、划
分后所得的类的概念、划
分的标准）。 < br>15．数学研究的对象可以
分为两类：一类是（研究
数量关系的），另一类是
（ 研究空间形式的）。
16．所谓社会科学数学化
就是指（数学向社会科学
渗透），也 就是运用（数
学方法）来揭示社会现象
的一般规律。
17．在古代的（游戏和赌博）活动中就有概率思想
的雏形，但是作为一门学
科则产生于17世纪中期
前后， 它的起源与一个所
谓的点数问题有关。
18．在数学中建立公理体
系最早的是（几何 学），
而这方面的代表着作是
古希腊学者欧几里得的
（《几何原本》）。
1 9．《九章算术》是世界
上最早系统地叙述（分
数）运算的着作，它关于
（负数）的论 述也是世界
上最早的。
20．数学知识与数学思想
是数学教学的两条主线，
（数学知识）是一条明
线，它被写在教材中；（数
学思想）则是一条暗线，
需要教师挖 掘、提炼并贯
穿在教学过程中。
21．学生理解或掌握数学
思想方法的过程有如下< br>三个主要阶段（潜意识阶
段、明朗化阶段、深刻理
解阶段）。
22．面对一个 问题，经过
认真的观察和思考，通过
归纳或类比提出猜想，然
后从两个方面入手：演绎
证明此猜想为真；或者
（找出反例说明此猜想
为假），并且进一步修正
或否定 此猜想。
23．变量数学产生的数学
基础是（解析几何），标

志是（微积分）。
24．化归方法是将（待解
决的问题）转化为已知问
题。
25．公理方法是 从尽可能
少的初始概念和公理出
发，应用严格的（逻辑推
理），使一门数学构建成为演绎系统的一种方法
26．数学的第一次危机是
由于出现了（不可公度
性）而造成的。
27．数学猜想具有两个明
显的特点：（科学性）与
（推测性）。
28．所 谓社会科学数学化
就是指数学向（社会科
学）的渗透，运用数学方
法来揭示（社会现象 ）的
一般规律。
29．分类必须遵循的原则
是（不重复、无遗漏、标
准同一 、按层次逐步划
分）。
30．深层类比又称实质性
类比，它是通过（对被比
较对象的处于相互依存
的各种相似属性之间的
多种因果关系的分析）而
得到的类比。
31．概括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出
发 ，以对个别事物所作的
观察陈述为基础，上升为
普遍的认识——（由对个
体特性的认识 上升为对
个体所属种的特性）的认
识。
32．算法大致可以分为
（多项式算法和指数型
算法）两大类。
33．反驳反例是用（一个
反例）否定（猜想）的一
种思维形式。
34．类 比联想是人们运用
类比法获得猜想的一种
思想方法，它的主要步骤
是（联想-类比- 猜测）。
35．归纳猜想是运用归纳
法得道的猜想，它的思维
步骤是（猜测- 归纳-特
例）。
36．传统数学教学只注重
（形式化的）的数学知识
传授， 忽略了数学思想方
法的挖掘、整理、提炼。
37．所谓统一性，就是（部
分与部分、部分与整体）
之间的协调。
38． 中国《九章算术》（以

算为主）的算法体系和古
希腊《几何原本》（逻辑
演绎）的体系在数学历史
发展进程中争奇斗妍、交
相辉映。
39．所谓数学模型方法是
（利用数学模型解决问
题的一般数学方法）。
4 0．所谓特殊化是指在研
究问题时，（从对象的一
个给定集合出发，进而考
虑某个包含 于该集合的
较小集合）的思想方法。
41．算法的有效性是指
（如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够得
到这一问题的正确解）。
42．所谓数形结合方法，
就是在研究数学问题时，
（由数思形、见形思数、
数形结合考虑问题）的一
种思想方 法。
43．古代数学大体可分为
两种不同的类型：一种是
崇尚逻辑推理，以《几何< br>原本》为代表；一种是长
于计算和实际应用，以
（中国《九章算术》）为
典范。
44．数学的统一性是客观
世界统一性的反映，是数
学中各个分支固有的内
在 联系的体现，它表现为
（数学的各个分支相互
渗透和相互结合）的趋
势。
4 5．学生理解或掌握数学
思想方法的过程一般有
三个主要阶段：（潜意识
阶段、明朗化 阶段、深刻
理解阶段）。
46．在数学中建立公理体
系最早的是几何学，而这
方面的代表着作是古希
腊欧几里得的（《几何原
本》）。
47．随机现象的特点是
（在一定条件下，可能发
生某种结果，也可能不发
生某种结果）。
48．演绎法与（归纳法）
被认为是理性思维中两
种最重要的推理方法。
4 9．在化归过程中应遵循
的原则是（简单化原则、
熟悉化原则、和谐化原
则）。 50．（数学思想方法）是
联系数学知识与数学能
力的纽带，是数学科学的
灵魂， 它对发展学生的数
学能力，提高学生的思维
品质都具有十分重要的

作用 。
51．三段论是演绎推理的
主要形式，它由（大前提、
小前提、结论）三部分组< br>成。
52．传统数学教学只注重
（形式化的数学知识）的
传授， 而忽略对知识发
生过程中（数学思想方
法）的挖掘。
53．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一
个给定集合出发，进而考
虑某个包含于该集合的
较小集合 ）的思想方法。
54．分类方法的原则是
（不重复、无遗漏、标准
同一、按层次逐步划分）。
55．数学模型可以分为三
类：（ 概念型、方法型、
结构型）。
56．学 生理解或掌握数学
思想方法的过程有如下
三个主要阶段（潜意识阶
段、明朗化阶段、深 刻理
解阶段）。
57．强抽象就是指，通过
（把一些新的特征加入
到某一概 念中）而形成新
概念的抽象过程。
58．菱形概念的抽象过程
就是把一个新的特征：
（一组邻边相等），加入
到平行四边形概念中去，
使平行四边形概念得到
了强 化。
58．分类必须遵循的原则
是（不重复、无遗漏、标
准同一、按层次逐步划分）。
59．面对一个问题，经过
认真的观察和思考，通过
归纳或类比提出猜想 ，然
后从两个方面入手：演绎
证明此猜想为真；或者
（找出反例说明此猜想
为 假），并且进一步修正
或否定此猜想。
60．《几何原本》所开创
的（公理化方法） 方法不
仅成为一种数学陈述模
式，而且还被移植到其它
学科，并且促进他们的发
展。
61．变量数学产生的数学
基础是（解析几何），标
志是（微积分）。
62．（数学基础知识于数
学思想方法）是数学教学
的两条主线。
63．深 层类比又称实质性

类比，它是通过（对被比
较对象的处于相互依存
的各 种相似属性之间的
各种因果关系的分析 ）
而得到的类比。
64．一个概括过程包括
（比较、区分、扩张、分
析等几个主要环节）。
6 5．所谓类比，是指（由
一类事物所具有的某种
属性可以推测与其类似
的事物也具有这 种属性
的一种推理方法）；常称
这种方法为类比法，也称
类比推理。
66． 猜想具有两个显着特
点：（一是具有一定的科
学性，二是具有一定的推
测性）。
67．所谓数学模型方法是
（利用数学模型解决问
题的一般数学方法）。
68．数学模型具有（抽象
性、准确性和演绎性、预
测性）特性。
69．概 括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出
发，以对个别事物所作 的
观察陈述为基础，上升为
普遍的认识——（由对个
体特性的认识上升为对
个 体所属种的特性）的认
识。
70．三段论是演绎推理的
主要形式。三段论由（大前提、小前提、结论）三
部分组成。
71．化归方法是指，（数
学家们把待解决 的问题
通过某种转化过程，归结
到一类已经能解决或者
比较容易解决的问题中，
最终获得原问题的解答
的一种手段和方法）。
72．在计算机时代，（计
算方法 ）已成为与理论
方法、实验方法并列的第
三种科学方法。
73．算法具有下列特点：
（有限性、确定性、有效
性）。
74．化归方法的三个要素
是：（化归对象、化归目
标、化归途径）。
75 ．根据学生掌握数学思
想方法的过程有潜意识、
明朗化、深刻理解三个阶
段，可相应地 将小学数学
思想方法教学设计成（多
次孕育、初步理解、简单
应用）三个阶段。

76．一个概括过程包括
（比较、区分、扩张、分
1．提出 一个问题的猜想往往需要综合运用多种
是解决这个问题的终结。 数学思想方法才能取得
析等几个主要环节）等几
个主要环节。
77．古代数学大致可 以分
为两种不同的类型：一种
是（崇尚逻辑推理），以
《几何原本》为代表；一
种是（长于计算和实际应
用），以《九种算术》为
典范。
78．《九章算术》思想 方
法的特点主要有（开放的
归纳体系、算法化的内
容、模型化的方法）。
7 9．初等代数的特点是
（用字母符号来表示各
种数，研究的对象主要是
代数式的计算和 方程的
求解）。
三、判断题
（ × ）
2．一个数学理论体系内
的每一个命题都必须给
出证明。
（ × ）
3．数学中的许多问题都
无法归结为寻找具体算
法的问题。
（ × ）
4．计算是随着计算机的
发明而被人们广泛应用
的方法。
（ × ）
5．反例在否定一个命题
时它并不具有特殊的威
力。
（ × ）
6．在解决数学问题时，
效果。 （√ ）
7．分类可使知识条理化、
系统化。
（ √ ）
8． 既没有脱离数学知识
的数学思想方法，也没有
不包括数学思想方法的
数学知识。 （ √ ）
9．对同一数学对象，若
选取不同的标准，可以得
到不同的分类。
（ √ ）
10．完全归纳法实质上属
于演绎推理的范畴。
（ √ ）
11．数学模型方法是近代
才产生的。
（ × ）

12．在小学数学教学中，
本教材所涉及到的数学
就可实现数 学思想方法
教学目标
21．计算机是数学的创造
。 物，又是数学的创造者。
（ √）
思想方法并不多见。
（ × ）
（ × ）
13．所谓特殊化是指在研
究问题时，从对象的一 个
给定集合出发，进而考虑
某个包含于该集合的较
小集合的思想。
（ √ ）
14．既没有脱离数学知识
的数学思想方法，也没有
不包括数学 思想方法的
数学知识。 （ √ ）
15．对同一数学对象，若
选取不同的标准，可以得
到不同的分类。
（ √ ）
16．数学思想方法教学隶
属数学教学范畴，只要贯
彻通常的数 学教学原则
17.数学基础知识和数学
思想方法是数学教学的
两条主线。
（ √ ）
18.新颁发的《数学课程
标准》中的特点之一“再
创造”体现了我国数学课
程改革与发展的新的理
念。
（ √ ）
19．法国的布尔巴基学派
利用数学结构实现了数
学的统一。
（ √ ）
20．由类比法推得的结论
必然正确。
（ × ）
22．抽象得到的新概念与
表述原来的对象的概念
之间一定有种属关系。
（× ）
23．一个数学理论体系内
的每一个命题都必须给
出证明。
（ ×）
24．贯穿在整个数学发展
历史过程中有两个思想，
一是公理化思 想，一是机
械化思想。 （√ ）
25．提出一个问题的猜想
是解决这个问题的终结。
（×）
26．数学模型方法在生物
学、经济学、军事学等领

域没应用。 32．既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有
37．由类比法推得的结论
必然正确
（× ）
。
27．在解决数学问题时，
往往需要综合运用多种
数 学思想方法才能取得
效果。 （√ ）
28．如果某一类问题存在
算法， 并且构造出这个算
法，就一定能求出该问题
的精确解。（× ）
29．分类可使知识条理
化、系统化。
（ √ ）
30．在建立数学模型的过
程中，不必经过数学抽象
这一环节。
（ × ）
31．《九章算术》不包括
代数、几何内容。
（ × ）
不包括数学思想方法的
数学知识。 （ √ ）
33．对同一数学对象，若
选取不同的标准，可以得
到不同的分类。
（ √ ）
34．特殊化是研究共性中
的个性的一种方法。
（ × ）
35．数学模型方法应用面
很窄。
（ × ）
36．数学思想方法教学隶< br>属数学教学范畴，只要贯
彻通常的数学教学原则
就可实现数学思想方法
教学目标 。
（ × ）
（ × ）
38．有时特殊情况能与一
般情况等价。
（√ ）
39．演绎的根本特点就是
当它的前提为真时，结论
必然为真。
（√ ）
40．抽象得到的新概念与
表述原来的对象概念之
间不一定有种属关系。
（ ×）
41．完全归纳法实质上属
于演绎推理的范畴。
（ √）
42．古希腊的柏拉图曾在
他的学校门口张榜声明：
不懂几何的人不得入内。

这是因为他的学校里所
学习的课程要用到很多
几何知识
46． 《几何原本》是欧几
（√ ）
里得独立创作的。
51．随机现象就是杂乱无
。
（ × ）
（× ）
47.《九章算术》系统地
43．完全归纳法的一般 推总结了先秦和东汉初年
理形式是：
我国的数学成就。
（ √）
设S＝< br>
A
1
，A
2
，A
3
，A
n，

，由于A
1
、A
48.
2
、
丢番图在其着作《算
　A
n
具有性质P，因此推断集术》中用了许多符号，它
合S中的每一个对象都具标志着文字代数开始向
有性质P。 简写代数转变，丢番图的
（ ×）
《算术》是数学史上的里
程碑。
44．《九章算术》是世界
（√ ）
上最早系统地叙述分数
运算的着作，它关于负数49．解析几何的产生主要
的论述也是世界上 最早归功于笛卡儿和费尔马。
的。
（ √）
（ √）
50．英国的牛顿和德国的
45．算术反映的是物体集 莱布尼兹分别以几何学
合之间的函数关系。 和物理学为背景用无穷
（ × ）
小量方法建立了微积分。
章的现象，无论是个别还
是整体，其随机现象都没
有规律性。
（×）
52．数学学科的新发展—
—分形几何，其分形的思
想就是将某一对象的细
微 部分放大后，其结构与
原先的一样。
（√）
53．我国中小学数学成绩
举世 公认，“高分必然产
生高创造力”，我国中学
生的科学测试成绩名列
前茅。
（ ×）
54．我国《数学课程标准》
指出，数学知识就是“数
与形以及演绎的知识”。

（√） （×）
67．类比猜想的主要步骤
是：猜测

联想

类比。
55．在数学基础知识与数
学思想方法是数学教学
的两条主线，而且是两条
明 线。 （×）
56．数学抽象摆脱了客观
事物的物质性质，从中抽
取其数 与形，因而数学抽
象具有无物质性。 （√）
57．数学公理化方法在其
他学科也能起到作用，所
以它是万能的。 （×）
58．数学模型具有预测
性、准确性和演绎性，但
不包括抽象性。 （×）
59．猜想具有两个显着的
特点：一定的科学性和一
定的推测性。 （√）
60．表层类比和深层类比
其涵义是一样的。
61．数学史上着名的“哥
尼斯堡七桥问题”最后由
欧拉用一笔画方法解决
了 其无解。（√）
62．分类方法具有两要
素：母项与子项。
（×）
63．算法具有无限性、不
确定性与有效性。
（×）
64．理论方法、实验方法
和计算方法并列为三种
科学方法。 （√）
65．最早使用数学模型方
法的当数中国古人。
（√）
66．化归方法是一种发现
问题的方法。
（×）
（×）
68．尽管中西方对数学的
贡献不同，但在数学思想
方面是一致的。 （ ×）
69．不可公度性的发现引
发了第二次数学危机。
（×） 70．中学生只需理解数学
思想方法就能运用自如
了，不需经历多次孕育阶
段。（ ×）
四、简答题
1．第一次数学危机最终
如何解决了？ p83
（p245）
答：为了克服无理数悖论
引发的危机，古希腊数学
家发展了几何学中的比

例论，它等价于无理 数理
论。当然，从理论上彻底
解决这一危机还是靠现
代实数理论的建立。在实
数理论中，无理数可以定
义为有理数的极限。第一
次数学危机的结果是使
数学逐渐走上 了演绎科
学的道路，为数学的公理
化奠定了基础。
2．何谓化归方法？它遵
循哪三个原则？
p102-105
答：所谓“化归 ”，可以
理解为转化和归结的意
思。化归方法是指数学家
们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一
类已经能解决或者比较
容易解决的问题中，最终
获得原问 题的解答的一
种手段和方法。
它主要遵循：1、简
单化原则；2、熟悉化原
则；3、和谐化原则。
3．什么是公理方法和公
理体系？p95-96
答：公理方法就是从初始
概 念和公理出发，按照一
定的规定（逻辑规则）定
义出其他所有的概念，推
导出其他一切 命题的一
种演绎方法。由初始概
念、公理、定义、逻辑规
则、定理等构成的演绎体系叫做公理体系。公理方
法是构成公理体系的方
法，公理体系是由公理方
法得到的 数学理论体系。
4．什么是类比猜想？并
举一个例子说明。p77
答：人类运用类 比法，根
据一类事物所具有的某
种属性，得出与其类似的
事物也具有这种属性的
一种推测性的判断，即猜
想，这种思想方法称为类
比猜想。例如，分式与分
数非常相 似，只不过是用
字母代替代数而已。因
此，我们可以猜想，分式
与分数在定义、基本性
质、约分、通分、四则运
算等方面都是对应相似
的。
5．数学思想方法教学为
什么要遵循循序渐进原
则？试举例说明。p200
答：数学思想方法的形成
难于知识的理解和一般
技能的掌握，它需要学生
深入理解事物 之间的本

质联系。学生对每种数学
思想方法的认识都是在
反复理解和运 用中形成
的，是从个别到一般，从
具体到抽象，从感性到理
性，从低级到高级地沿着< br>螺旋式方向上升的。如，
学生理解数形结合方法
可从小学的画示意图找
数量关系 着手孕育；学习
数轴时，要求学生会借助
数轴来表示相反数、绝对
值、比较有理数的大 小。
6．简述《几何原本》思
想方法特点。p3
答：答：（1）封闭的演绎
体系： 因为在《几何原
本》中，除了推导时所需
要的逻辑规则外， 每个
定理的证明所采用的论
据均是公设、公理或前面
已经证明过 的定理，并
且引入的概念（除原始概
念）也基本上是符合逻辑
上 对概念下定义的要
求，原则上不再依赖其它
东西。
（2）抽象化的内容 ：它
所探讨的是概念和命题
之间的逻辑关系，不讨论
这些概念和命题与社会
生活之间的关 系，也不考
察这些数学模型所由之
产生的现实原型。
（3）公理化的方法。 7．什么是算法的有限性
特点？试举一个不符合
算法有限性特点的例子。
p121
答：一个算法必须在有限
步内终止。例如，十进制
小数的除法的算法。若取
数 4.5和3作为初始数
据，计算结果为1.5.
但对于初始数据20和3，
计算过程为：过程为

6.6666……

3| 20

18

20

18

20

18

…
无论怎样延续这个
过程都不能结束，同时也
不会出现 中断。可见，十
进小数除法对于20和3
这组数不符合算法的有
限性这个特点。
8．我国数学教育存在哪
些问题？试举例子说明。
p178-181
答：我国数学教育存在的
问题主要有：
第一，数学教学重结果，
轻过程；重 解题训练，轻
智力、情感开发；不重视
创新能力培养，虽然学生
考试分数高，但是学习 能
力低下。
第二，重模仿，轻探索，
学习缺少主动性，缺乏判
断力和独立思 考能力。例
如，有道着名的测试题：
“有一条船上，有75头
牛，32头羊，问船长几
岁？”学生把75和32两
个数相加，得到107，认
为这不会是船长的年龄，
相乘、相除又不合适，选
择相减得出43岁。美国
着名数学教育家认为“这
是我们把 学生越教越笨
的典型例子。”
第三，学生课业负担过
重。
9．简述公理化方法发
展。p96-100
答：公理方法经历了具体
的公理 体系、抽象的公理
体系和形式化的公理体
系三个阶段。第一个具体
的公理体系就是欧几 里
得的《几何原本》。非欧
几何是抽象的公理体系
的典型代表。希尔伯特的
《 几何基础》开创了形式
化的公理体系的先河，现
代数学的几乎所有理论
都是用形式公理 体系表
述出来的，现代科学也尽
量采用形式公理法作为
研究和表述手段。
10．简述概括与抽象的
关系。p65
答：概括方法与抽象方法
是不同的。 抽象是舍弃事
物的一些属性而收括固
定出其固有的另一些属
性的思维过程，抽象得到< br>的新概念与表述原来的
对象的概念之间不一定
有种属关系。概括是在思

< br>维中由认识个别事物的
本质属性，发展到认识具
有这种本质属性的一切
事物，从 而形成关于这类
事物的普遍概念。
尽管有差别，但是又
互相联系、密不可分。 抽
象是概括的基础，没有抽
象就不能认识任何事物
的本质属性，就无法概
括。 概括也是抽象思维过
程中所必需的一个环节。
11．简述培养数学猜想
能力的途径。p 88-93
答：引导学生面对问题，
认真观察和思考，通过归
纳或者类比提出猜想， 演
绎证明猜想为真，或者寻
找反例说明猜想为假，有
助于激发学生的创新精
神 。数学猜想能力培养途
径：用猜想学习新知识；
用猜想探究数学规律；用
猜想帮助解题 。
12．微积分产生可以归
结为哪四类情况？p19
答：1、已知物体移动的距离为时间的函数，求物
体瞬时速度和加速度；反
过来，已知物体的加速度
为时间 的函数，求速度和
距离；
2、求曲线切线的斜
率和方程；
3、求函数的最大值
和最小值；
4、求曲线的长度，
曲边梯形的面积，曲面围
成的物体的重心。
13．常量数学应用的局
限性是什么？p16
答：初等数学都是以不变
的数 量（即常量）和固定
的图形为其研究对象，运
用这些知识可以有效地
描述和解释相对稳 定的
事物和现象。可是对于那
些运动变化的事物和现
象，它们显然无能为力。
14．为什么说《几何原本》
是一个封闭的演绎体
系？p3
答：因为在《几何原本》
中，除了推导时所需要的
逻辑规则外， 每个定理
的证明所采用的论据均
是公设、公理或前面已经
证明过 的定理，并且引入的概念（除原始概念）
也基本上是符合逻辑上
对概念下定义的要求，原
则上不再 依赖其它东西。

因此《几何原 本》是一
个封闭的演绎体 系。另
外，《几何原本》的理论
体系回避任何与社会生
产现实生活有关的应用
问题，因此对于社会生活
的各个领域来说，它也是
封闭的。所以，《几何原
本》是一个 封闭的演绎体
系。
15．为什么说最早使用
数学模型方法的是中国
人？p134
答：因为在中 国古算书
《九章算术》中就已经系
统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题< br>目归结为九类，即九类不
同的数学模型，故名为
“九章”。它在每一章中
所设置 的问题，都是从大
量的实际问题中选择具
有典型意义的现实原型，
然后再通过“术”（ 即算
法）转化为数学模型。其
中有些章就是专门讨论
某种数学模型的应用，如
“勾股”“方程”等。
16．简述表层类比，并用
举例说明。p75-76
答：表 层类比是根据两个
被比较对象的表面形式
或结构上的相似所进行
的类比。这种类比可靠 性
较差，结论具有很大的或
然性。如，由三角形内角
平分线性质，类比得到三
角形外角平分线性质，就
是一种结论上的类比。
17．《几何原本》贯彻哪
两条逻辑要求？p97
答：《几何原本》贯穿了
两条逻辑要求：第一，公
理必须是明显的，因而是
无需加以证明的，其是否
真实应受推 出结果的检
验，但它仍是不加证明而
采用的命题；初始概念必
须是直接可以理解的，因
而无需加以定义。第二，
由公理证明定理时，必须
遵守逻辑规律与逻辑规
则； 同样，通过初始概念
以直接或间接方式对派
生概念下定义时，必须遵
守下定义的逻辑规 则。
18．简述数学抽象的特
征。p61
答：数学抽象具有以下特
征：
（1）数学抽象具有无物
质性；
（2）数学抽象具有层次

性；
（3）数学抽象过程要凭
借分析或直觉；
（4）数学 的抽象不仅有
概念抽象还有方法抽象。
19．简述将“化隐为显”
列为数学思想方法教 学
的一条原则的理由。p199
答：由于数学思想方法往
往隐含在知识的背后，知< br>识教学虽然蕴含着思想
方法，但是如果不是有意
识地把数学思想方法作
为教学对 象，在数学学习
时，学生往往只注意到处
于表面的数学知识，而注
意不到处于深层的思 想
方法，因此，进行数学思
想方法教学时必须以数
学知识为载体，把隐藏在
知 识背后的思想方法显
示出来，使之明朗化，才
能通过知识教学过程达
到思想方法教学之 目的。
20．简述特殊化方法在
数学教学中的应用。
p166-169
答：特殊化方法在数学教
学中的应用大致有以下
四个方面：
（1）利用特殊值（图形）
解选择题；
（2）利用特殊化探求问
题结论；
（3）利用特例检验一般
结果；
（4）利用特殊化探索解
题思路。
21．什么是归纳猜想？
并举一个例子说明。p73
答：人们运用归纳法，得
出对一类现象的某种一
般性认识的一种推测性
的判断，即猜想，这种思
想方法称为归 纳猜想。例
如，人们在量度了许多圆
的周长和半径后，发现它
们的比值总是近似地等< br>于3.14，于是提出了圆周
率是3.14的猜想，后来
数学家从理论上证明了
圆周率的数值为π，果然
和3.14很接近。
22. 在实施数学思想方法
教学时应注意哪些问
题？p205
答：（1）要把数学思想方< br>法的学习纳入教学目标，
并在教案中设计好数学
思想方法的教学内容和
教学过程 ，这就要求教师

具备较高的数学修养，具
备数学方法论、数学发展< br>史、数学思想方法的基础
知识，更需要教师更新教
学观念，不断提高对教学
重要 性的认识。
（2）重视数学知识发
生、发展的过程，认真设
计数学思想方法教学的
目标；
（3）做好数学思想方法
教学的铺垫工作和巩固
工作；
（4）不同类型的数学思
想方法应有不同的教学
要求；
（5）注意不同数学思想
方法的综合运用。
23．简述确定性现象、随
机现象的特点以及确定
性数学的局限性。p22
答：（1）人们常常遇到两
类截然不同的现象，一类
是决定性 现象，另一类
是随机现象。决定性现象
的特点是：在一定的条
件下，其结果可以唯一确
定。因此决定 性现象的条
件和结果之 间存在着必
然的联系，所以事先可以
预知结果如何。
随机现象的特点是：在一
定的条件下，可能发生某
种结果， 也可能不发生
某种结果。对于这类现
象，由于条件和结果之间
不 存在必然性联系。
（2）在数学学科中，人
们常常把研究决定性现
象数量规律的那些 数学
分支称为确定数学。用这
些的分支来定量地描述
某些决定性 现象的运动
和变化过程，从而确定结
果。但是由于随机现象条
件 和结果之间不存在必
然性联系，因此不能用确
定数学来加以定量 描
述。同时确定数学也无法
定量地揭示大量同类随
机现象中所蕴 涵的规律
性。这些是确定数学的局
限所在。
24．简述计算机在数学
方面的三种新用途。
p119.3
答：（1）电子 计算机把数
学家从繁重的、单调的、
重复性的脑力劳动中解
放出来，让他们有更多的< br>时间从事更富创造性的
抽象思维工作，从而更有

利于数学理论的发展；
（2）借助电子计算机的
计算，人们可以得到 一些
新的猜想，并据此进一步
作出理论证明；也可以对
已有的结论进行验证；还
可以用计算机来证明某
些理论问题；
（3）电子计算机的发展
本身也提出了许多数学
理论问题。
25．简述化归方法的和
谐化原则p106
答：和谐化是数学内在美
的主要 内容之一。美与真
在数学命题和数学解题
中一般是统一的。因此，
我们在解题过程中， 可根
据数学问题的条件或结
论以及数、式、形等的结
构特征，利用和谐美去思
考问题，获得解题信息，
从而确立解题的总体思
路，达到以美启真的作
用。
26．简述代数解题方法
的基本思想。p13
答：代数解题方法的基本
思想 是：首先依据问题的
条件组成内含已知数和
未知数的代数式，并按等
量关系列出方程， 然后通
过对方程进行恒等变化
求出未知数的值。
27．试对《九章算术》思
想方法的一个特点“算法
化的内容”加以说明。p8 答：《九章算术》在每一
章内先列举若干个实际
问题，并对每个问题都给
出答案， 然后再给出
“术”，作为一类问题的
共同解法。以后遇到其他
同类问题，只要按“术”
给出的程序去做就一定
能求出问题的答案。因
此，内容的算法化是《九
章算术 》思想方法上的特
点之一。
28．简述化归方法在数
学教学中的应用
p110-111
答：化归方法在数学教学
中的功能主要有：
（1）利用化归方法学习
新知识；
（2）利用化归方法指导
解题；
（3）利用化归原则理清
知识结构。
29．试用框图表示用特
殊化方法解决问题的一

般过程。p166
30．变量数学产生的意
义是什么？p21
答：（1）变量数学的产生，
为 自然科学更精确地描
述物质世界提供了有效
的工具；
（2）变量数学的产
生，促进数学自身的发展
和严密；
（3）变量数学的产
生，是辩证法进入了数
学。
31．简述类比的含义，数
学中常用的类比有哪
些？p75-77
答：类比 是指一类事物所
具有的某种属性，可以推
测与其类似的事物也具
有这种属性的一种推理
方法。常称这样的思维方
法为类比法推理，也称类
比推理。
类比的类型有： 表层类比
（形式或结构上的简单
类比）、深层类比（方法
或模式上的纵向类比）、沟通类比（各分科之间的
类比）。
32．简述计算工具的发
展。p114-116
答：计算工具的发展大致
经 历了：古代的计算工
具；机械式计算工具；电
动式计算机；机电式计算
机；电子计算机 。
33．简述小学数学加强
数学思想方法教学的重
要性，具体表现？p185
（p307）
答：（1）数学思想方法是
知识向能力过渡的桥梁；
（2）人的数学智能依
赖于数学思想方法的掌
握；
（3）数学思想方法能
有效地提高人的思维品
质；
（4）数学思想方法能
有效地促进人的全面发
展。
34．简单说明社会科学
数学化的主要原因。
p50-51
答：主要原因有：
第一，社会管理需要精确
化的定量数据，这是促使
社会科 学数学化的最根
本的因素；

第二，社会科学的各分支
逐步走向成熟， 社会科学
理论体系的发展也需要
精确化；
第三，随着数学的进一步
发展，它 出现了一些适合
社会历史现象的新的数
学分支；
第四，电子计算机的发展
与 应用，使非常复杂社会
现象经过量化后可以进
行数值处理。
35．模型化的方法、开放
性的归纳体系及算法化
的内容之间的关系p244
答：模型化的方法与开放
性的归纳体系及算法化
的内容之间是相互适应
并相互促进的 。各个数学
模型间虽然有一定联系，
但它们更具有相对独立
性。一个数学模型的建立< br>与其他数学模型之间并
不存在逻辑依赖关系，正
因为如此，所以可以根据
需要随 时从社会实践中
提炼出新的数学模型。而
一定的算法必与一定的
数学模型相匹配。另一 方
面，由于运用模型化的方
法研究数学，新的数学模
型只有寻找现实原型、立
足于现实问题的研究，不
可能产生封闭式的演绎
体系。
36．算术与代数的解题
方法基本思想有何区
别？p12-13
答：算数解 题方法的基本
思想是：首先围绕所求的
数量，收集和整理各种已
知的数据，并依据问题 的
条件列出用已知数据表
示所求数量的算式，然后
通过四则运算求得算式
的结 果。这种方法的关键
之处是列算式，但面临较
为复杂的数量关系的实
际问题时，列算式 方法较
笨拙，也难以解决问题，
因此代数产生。
而代数解题方法的基本
思想 是：首先依据问题的
条件组成内含已知数和
未知数的代数式，并按等
量关系列出方程， 然后通
过对方程进行恒等变化
求出未知数的值。
37．为什么说数学模型
方法是一种迂回式化
归？p292
答：因为运用书 香模型方
法解决问题时，不是直接

求出实际问题的解，因为
这样做往往 是行不通的
或者花费昂贵。所以常常
先将实际问题化归为一
个合适的数学模型，然后< br>通过求数学模型的解间
接求出原实际问题的解，
走的是一条迂回的道路，
因此， 我们说数学模型方
法是一种迂回式化归。
38．为什么数形结合方
法在数学中有着非常广
泛的应用？p300（p156） < br>答：数学研究的是现实世
界的数量关系和空间形
式，而现实世界本身是同
时兼备 数与形两种属性
的，既不存在有数无形的
客观对象，也不存在有形
无数的客观对象。因 此，
在数学发展的进程中，数
和形常常结合在一起，在
内容上相互联系，在方法
上相互渗透，在一定条件
下互相转化。充分运用数
形结合方法解决数学问
题，对于沟 通代数、三角、
几何各分支之间的联系，
提高分析问题、解决问题
的能力具有重要作用 。
五、论述题
1．论述《几何原本》和
《九章算术》思想方法的
特点。p3-5 p7-9
答：《几何原本》思想方
法上的特点：(1)封闭的
演绎体系。 《几何原本》
就是一个最早的标准的
演绎体系：由少数不定义
的概念，如点、线、平面
等等，和不 证明的命题—
—公理与公设——出发，
在需要的地方，定义出相
应的概念，按着一定的 逻
辑规则，演绎出所有其他
命题来。在《几何原本》
的演绎体系中，公理是最
一般的命题，它们是一系
列演绎推理的前提，这个
体系的所有其他命题，都
是从公理( 通过适当的定
义)推导出来的。除了推
导所需要的逻辑规则外，
《几何原本》的由一系 列
公理、定义、定理等构成
的数学理论体系，原则上
不必依赖于其他东西。
(2)抽象化的内容。《几何
原本》以及以它为代表的
古希腊数学着述，都是论
述一般 的、抽象的数学概
念和命题的，它们探讨的
只是概念和命题的各种
逻辑关系，由一些给 定了

的概念和命题推演出另
一些概念和命题。它不考
虑产生这些概念和 命题
的社会背景，也不研究这
些数学“模型”所由之产
生的那些现实原型。(3)公理化的方法。作为现代
数学的一种基本的表述
方法和发展方式的公理
法就是以欧 几里得的《几
何原本》开其端的。它采
用了前面我们说的比较
严格的演绎体系，通常称
为公理体系，而建立公理
体系的方法就称为公理
方法。
《九章算术》思想方
法的特点：(1)开放的归
纳体系。《九章算术》的
每一章都是同一类型的
应 用问题或者是通过同
类数学模型采解决的多
种应用问题。通过九章的
内容，可以看出它 是一个
与社会实践密切相联系
的“开放”体系，通过这
些章中给出的算法，解决
了当时社会生产和生活
所提出来的各种计算问
题。(2)算法化的内容。
在每一章内 举出若干个
实际问题，对每个问题都
给出答案，然后给出这一
类问题的算法。《九章算
术》中称这种算法为
“术”，按“术”给出的
程序去做就一定能求出
问题的答 案来。历来数学
家对《九章算术》的注、
校基本上都是在“术”上
作文章，即不断改进 算
法。算法化的内容是完全
适合于开放性的归纳体
系的。(3)模型化的方法。
方法论的角度来看，《九
章算术》广泛地采用了模
型化方法。它在每一章中
所设置的 问题，都是在大
量的实际问题中选择具
有典型性的现实原型，然
后再通过“术”(即算 法)
转化成数学模型。
2．你认为素质教育应包
含哪些方面？数学思想
方法 对人的素质有什么
作用？p185-187
答：（1）素质教育包含：
思想道德素质 、科学文化
素质、心理健康素质和劳
动技能素质。
（2）1．数学教育不仅对
于提高人的科学文化素
质有着重要作用，而且对
于提高政治素质和心理
健康素质也有 着不可忽

视的作用。
2．在提高人的素质中发
挥重要作用的是在长期
数学学习中逐步形成的
数学精神和数学思想方
法，而不是具体的数学知
识。数 学思想方法在数学
创造和推动人类文化发
展中有着巨大的作用。因
此，在数学教育中我 们应
该十分重视数学思想方
法的教学。
3．数学素质四要素。(1)
知识观 念。能用数学的观
念和态度去观察、解释和
表示事物的数量关系、空
间形式和数据信息 ，以形
成良好的数感和量化意
识；(2)创造能力。通过
解决日常生活和其他学
科的问题，发展提出数学
模型、了解数学方法、注
意数学应用的创造型数
学能力，井 形成忠诚、坚
定、自信的意志品格；(3)
思维品质。熟悉数学的抽
象概括过程，掌握 数学中
逻辑推理方法，以形成良
好的思维品质和合理的
思维习惯；(4)科学语言。< br>作为一种科学的语言，数
学也是人际交流不可缺
少的工具，数学素质应包
括初步 运用这种简捷、准
确的语言。
3．结合教材的第11、12
章，谈谈目前你所 在的小
学其数学教育教学情况
及改革设想。
1、 以教师的教为中心，
忽视学生的主体作用。
2、 以传授知识为本位，
忽视培养学生的能力。
3、以完成教案为目的，
忽视教学方法的改革。
（一）、注重对学生数学
学习过程和结果的评价
（二）、恰当评价学生基
础知识和基本技能
（三）、重视评价学生发
现问题、解决问题的能力
（四）、评价主体和方式
要多样化
总之，每种评价方式都有
自己的特点，评 价时应结
合评价内容与学生学习
的特点加以选择。这样才
能使课堂具有发展性，充满生命力。
4．(1)什么是类比推理？
(2)写出类比推理的表示

形式。(3)怎样才能增加
由类比得出的结论的可
靠性？p75
答：(1)类比 是指一类事
物所具有的某种属性，可
以推测与其类似的事物
也具有这种属性的一种推理方法。常称这样的思
维方法为类比法推理，也
称类比推理。
(2)类比推理表现形
式：
A具有性质
a1,a2,…,an及d；
B具有性质
a'1,a'2…，a'n；
因此，B也可能具
有性质d'.
其中，a1与a'1，a2与
a'2，…an 与a'n,d与d'
分别相同或相似。
（3）欲增加由类比作出
的结论的可靠性，应尽量
满足下列条件：
1、A和B共同（或相似）
的属性尽可能多些；
2、这些共同（或相似）
的属性应是类比对象A与
B的主要属性；
3、这些共同 （或相似）
的属性应包括类比对象
的各个不同方面，并且尽
可能是多方面的；
4、可迁移的属性d应
该是和a1,a2,…an属于
同一类型。
5．结合自己的教学经
验，谈谈目前的数学课程
改革呈现的特点。p189
答：第一，把“现实数学”
作为数学课程的一项内
容。《数学课程标准》提
供了“现实 数学”的“案
例”。
第二，把“数学化”
作为数学课程的一个目
标。学生学 习数学化的过
程是将学生的现实数学
进一步提高、抽象的过
程。
第三，把“ 再创造”
作为数学教育的一条原
则。把“已完成的数学”
当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创
造”的机会。把传统的“听
中学”与“看中学”变为
主动 的、活动的“做中学”
和“玩中学”，为学生创
造情境。

第四，把“ 问题解决”
作为数学教学的一种模
式。“问题解决”的教学
模式，即：情境——问题< br>——探索——结论——
反思。
第五，把“数学思想
方法”作为课程体系的一< br>条主线，提出基本的数学
思想方法，如观察法、模
型方法等；
第六，把“数学 思想
方法”作为数学课程的一
个方面。《课》强调学生
的数学活动，注重“向学
生提供充分从事数学活
动的机会”，帮助他们获
得广泛的数学活动的经
验；
第七，把合作交流看
成学生学习数学的一种
方式，让学生在解决问题
的过程中学会与 他人合
作，并能与他人交流思维
的过程和结论；
第八，把“现代信息
技术”作为学生学习数学
的一种工具。
6．作为数学教 师，你认
为在小学数学教学中应
该如何加强数学思想的
渗透？p192-193 答：数学思想方法是联系
知识与能力的纽带，是数
学科学的灵魂，它对发展
学生的 数学能力，提高学
生的思维品质具有十分
重要的作用，在数学教学
中，必须重视数学思 想方
法的教学渗透。
首先，要充分挖掘教
材中的数学思想方法。比
如，在进 行加法结合律的
教学中，可进行从特殊到
一般的归纳概括，并及时
介绍这种基本而又常 用
的思想方法。
其次，要有目的、
有意识、有计划、有步骤
地孕育有关数 学的思想
方法。在进行教学时，一
般可以从教学内容中所
蕴含的数学思想方法去
考虑孕育或解释这些数
学思想方法，明确学生在
什么层次上把握数学思
想方法。然后 进行合理的
教学设计，从教学目标的
明确、问题的提出、情境
的创设，到教学方法的选
择，整个教学过程都要精
心设计安排，做到有目
的、有意识地进行数学思
想方 法的教学。

实践表明，数学思想
方法与数学知识是数学
学科中两个不 可分割的
范畴。它们之间相互影
响，相互促进。在教学中
应抓住契机，适时地挖掘和提炼，促使学生去体
验、运用思想方法，建立
良好的认知结构和完善
的能力结构 。
7．简述数学思想方法教
学的几个主要阶段。
p198-199
答：学 生理解数学思想方
法要经历潜意识阶段、明
朗化阶段、深化理解三个
阶段。
数学思想方法教学主
要有多次孕育、初步理
解、简单应用三个阶段，
三个阶段相互依赖 、相互
促进、不可或缺。对此，
可从下列几个方面加以
理解：
第一 、多次孕育阶
段。数学思想方法教学的
多次孕育阶段，是根据学
生学习数学思想方法存
在潜意识阶段而设计的。
因为潜意识的作用是缓
慢的、渐进的，所以要反
复孕 育，而且对于复杂
的、难度较大的思想方
法，孕育的次数也相应多
些。如，在教学化归 方法
时，我们
可以采取： 首先在教
“平行四边形面积”时孕
育化归 方法。要求学生通
过把平行四边形化为长
方形，再利用长方形的面
积公式来推导出平行 四
边形的面积公式。
在教“三角形面积”
时进一步孕育化归方法。
要求学生将三角形化为
平行四边形，利用平行四
边形的面积公式导出三
角形的面积公式 。
第二、初步理解阶
段。数学思想方法教学的
初步理解阶段，是根据学生学习数学思想方法存
在明朗化阶段而设汁的。
当学生对某种数学思想
方法的感性 认识和经验
已经比较丰富了，我们就
可以正面地、直接地介绍
某种数学思想方法，并要
求学生初步掌握该方法
解决问题的要领。如，经
过前面多次孕育后，在教
学： ‘加法和乘法交换

律’’时，我们引领学生
对一些特殊的例子进行
观察 、归纳、提出猜想(交
换律)和验证猜想(交换
律)，使他们亲历了用归
纳猜想方法获 取新知识
的过程，再让学生初步理
解归纳猜想方法就是水
到渠成。
第三、简单应用阶
段。数学思想方法教学的
简单应用阶段，是根据学
生学习数学思想方 法存
在深化理解阶段而设计
的。这个阶段主要是为学
生应用已经初步形成的
思 想方法创造条件，力求
使学生在解决问题的实
践过程中逐步深化对数
学思想方法的理解 。如，
当学生初步理解归纳猜
想方法后，引导学生猜想
减法和除法是否有交换
律，要求学生自己进行归
纳猜想和验证猜想，从而
使学生加深了对归纳猜
想方法的理解 和认识。
一、简答题

1、分别简单叙说算术与
代数的解题方法基本思
想，并且比较 它们的区
别。

答：算术解题方法的基本
思想：首先要围绕所求的
数量， 收集和整理各种
已知的数据，并依据问题
的条件列出关于这些具
体数据的算式，然后通过
四则 运算求得算式的结
果。

代数解题方法的基本
思想是：首先依据问题的
条件组成内含 已知数和
未知数的代数式，并按等
量关系列出方程，然后通
过对 方程进行恒等变换
求出未知数的值。

它们的区别在于算术
解题参与的量必须是已
知的量，而代数 解题允
许未知的量参与运算；算
术方法的关键之处是列
算式，而 代数方法的关
键之处是列方程。

2、比较决定性现象和随
机性现象的特点，简单叙
说确定数 学的局限。

答：人们常常遇到两
类截然不同的现象，一类
是决定性 现象，另一类
是随机 现象。决定性现象
的特点是：在一定的条
件下，其结果可以唯一确
定。因此决定性现象 的条
件和结果之 间存在着必
然的联系，所以事先可以
预知结果如何。

随机现象的特点是：
在一定的条件下，可能发
生某种结果， 也可能不
发生某种结果。对于这类
现象，由于条件和结果之
间不 存在必然性联系。

在数学学科中，人们
常常把研究决定性现象
数量规律的那些 数学分
支称为确定数学。用这些
的分支来定量地描述某
些决定性 现象的运动和
变化过程，从而确定结
果。但是由于随机现象条
件 和结果之间不存在必
然性联系，因此不能用确
定数学来加以定量 描
述。同时确定数学也无法
定量地揭示大量同类随
机现象中所蕴 涵的规律
性。这些是确定数学的局
限所在。

3叙述抽象的含义及其过
程。
答：抽象是指在认识
事物的过程中，舍弃那些
个别的、偶然的非本质属
性，抽取普遍的、必然的
本质属性，形成科学概
念， 从而把握事物的本质
和规律的思维过程。人们
在思维中对对象的抽象
是从对对象的比较 和区
分开始的。所谓比较，就
是在思维中确定对象之
间的相同点和不同点；而
所谓区分，则是把比较得
到的相同点和不同点在
思维中固定下来，利用它
们把对象分为 不同的类。
然后再进行舍弃与收括，
舍弃是指在思维中不考
虑对象的某些性质，收括< br>则是指把对象的我们所
需要的性质固定下来，并
用词表达出来。这就形成
了抽象 的概念，同时也就
形成了表示这个概念的
词，于是完成了一个抽象
过程。

4、括的含义及其过程。
答：概括是指在认识
事物属性的过程中，把所
研究 各部分事物得到的
一般的、本质的属性联系
起来，整理推广到同类的
全体事物，从而形 成这类
事物的普遍概念的思维
过程。

概括通常可分为经验
概括和理 论概括两种。经
验概括是从事实出发，以
对个别事物所做的观察
陈述为基础，上升为普 遍
的认识——由对个体特
性的认识上升为对个体
所属的种的特性的认识。
理论 概括则是指在经验
概括的基础上，由对种的
特性的认识上升为对种
所属的属的特性的认 识，
从而达到对客观世界的
规律的认识。在数学中经
常使用的是理论概括。

一个概括过程包括比
较、区分、扩张和分析等
几个主要环节

5、简述公理方法历史发
展的各个阶段

答：公理方法经历了
具体的 公理体系、抽象的
公理体系和形式化的公
理体系三个阶段。第一个
具体的公理体系就是 欧
几里得的《几何原本》。
非欧几何是抽象的公理
体系的典型代表。希尔伯
特 的《几何基础》开创了

形式化的公理体系的先
河，现代数学的几乎所有
理论都是用形式公理体
系表述出来的，现代科学
也尽量采用形式公理法
作为研究和表述 手段。

6、简述化归方法并举例
说明。

答：所谓“化归”，从字面上看，应可理解为
转化和归结的意思。数学
方法论中所论及的“化
归方法” 是指数学家们
把待解决或未解决的问
题，通过某种转化过程，
归结到一类已经能解决< br>或者比较容易解决的问
题中去，最终求获原问题
之解答的一种手段和方
法。例如 ：要求解四次方
程??? 可以令??? ，将原
方程化为关于??? 的二
次方程?? 这个方程我们
会求其解： 和 ，从而得
到两个二次方程： 和 这
也是我们会求解的方程，
解它们便得到原方程的
解： ， ， ， .这里所
用的就是化归方法。

7、简述计算和算法的含
义。
答：计算是指根据已
知数量通过数学方法求
得未知数的过程，是一种
最基本的数学 思想方法。
随着电子计算机的广泛
应用，计算的重要意义更
加凸现，主要表现在以下< br>几个方面：(1)推动了数
学的应用；(2)加快了科
学的数学化进程；(3)促
进了数学自身的发展。

算法是由一组有限的
规则所组成的一个过程。
所谓 一个算法它实质上
是解决一类问题的一个
处方，它包括一套指令，
只要按照指令一步一 步
地进行操作，就能引导到
问题的解决。在一个算法
中，每一个步骤必须规定
得精确和明白，不会产生
歧义，并且一个算法在按
有限的步骤解决问题后
必须结束。< br>
数学中的许多问题都
可以归结为寻找算法或
判断有无算法的问题，因
此，算法对数学中的许多
问题的解决有着决定性
作用。另外，算法在日常
生活、社会生 产和科学技
术中也有着重要意义。算
法在科学技术中的意义
主要体现在如下几个方面：(1)用于表述科学结
论的一种形式；(2)作为
表述一个复杂过程的方
法； (3)减轻脑力劳动的
一种手段；(4)作为研究
和解决新问题的手段；(5)
作为一 种基本的数学工
具。

8简述数学教学中引起
“分类讨论”的原因。

答：数学教学中引起
“分类讨论”的原因有：
数学中的许多概念的定
义是分类 给出的，因此涉
及到这些概念时要分类

讨论；数学中有些运算性
质、运 算法则是分类给出
的，进行这类运算时要分
类讨论；有些几何问题，
根据题设不能只用 一个
图形表达，必须全面考虑
各种不同的位置关系，需
要分类讨论；许多数学问
题中含有字母参数，随着
参数取值不同，会使问题
出现不同的结果。因此需
要对字母 参数的取值情
况进行分类讨论。

9简述《国家数学课程标
准》的几个主要特点。

答：把“现实数学”
作为数学课程的一项内
容；把“数学化”作为数
学课程的一个目标；把
“再创造”作 为数学教
育的一条原则。把“已完
成的数学”当成是“未
完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机
会；把“问题解决”作为
数学教学的一种模式；把
“数学思 想方法”作为
课程体系的一条主线。要
求学生掌握基本的数学
思想方法；把“数学活< br>动”作为数学课程的一
个方面。强调学生的数学
活动，注重“向学生提供
充分从 事数学活动的机
会”，帮助他们“获得广
泛的数学活动的经验”；
把“合作交流”看成 学
生学习数学的一种方式。
要让学生在解决问题的
过程中“学会与他人合
作” ，并能“与他人交流
思维的过程和结果”；把
“现代信息技术”作为
学生学习数学的一 种工
具。

10简述数学思想方法教
学的主要阶段。
答：数学思想 方法教
学主要有三个阶段：多次
孕育、初步理解和简单应
用三个阶段。

二、论述题

1、论述社会科学数学化
的主要原因。
答：从整个科学发展
趋势来看，社会科学的数
学化也是必 然的趋势，
其主要原因可以归结为
有下面四个方面：

第一，社会管理需要
精确化的定量依据，这是
促使社会科学 数学化的
最根本的因素。

第二，社会科学的各
分支逐步走向成熟，社会
科学理论体系 的发展也
需要精确化。

第三，随着数学的进
一步发展，它出现了一些
适合研究社会 历史现象
的新的数学分支。

第四，电子计算机的
发展与应用，使非常复杂
社会现象经过 量化后可
以进行数值处理。

2、论述数学的三次危机
对数学发展的作用。

答：第一次数学危机
促使人们去认识和理解

无理数，导致 了公理几
何与逻辑的产生。

第二次数学危机促使
人们去深入探讨实数理
论，导致了分析 基础理
论的完善和集合论的产
生。

第三次数学危机促使
人们研究和分析数学悖
论，导致了数理 逻辑和
一批现代数学的产生。

由此可见，数学危机的解
决，往往给数学带来新的
内容，新 的进展，甚至
引起革命性的变革，这也
反映出矛盾斗争是事物
发 展的历史动力这一基
本原理。整个数学的发展
史就是矛盾斗争的 历
史，斗争的结果就是数学
领域的发展。

3、叙述不完全归纳法的
推理形式，并举一个应用
不完全归纳法的例子。

答：不完全归纳法的
一般推理形式是：

设S= ；

由于具有属性p，
具有属性p，……具有属
性p，因此推断S类事物
中的每一个对象都 可能
具有属性p。

4、叙述类比推理的形式。
如何提高类比的可靠
性？
答：类比推理通常可
用下列形式来表示：

A具
有性质

B具
有性质

因
此，B也可能具有性质。

其中，分别相同或相
似。

欲提高类比的可靠
性，应尽量满足条件：

(1)A与B共同(或相
似)的属性尽可能地多
些；(2)这些共同(或相似)
的属性应是类比对象A与
B的主 要属性；

(3)这些共同(或相似)
的属性应包括类比对象
的各个不同方面 ，并且尽
可能是多方面的；

(4)可迁移的属
性d应该是和属于同一类
型。

符合上述条件的类
比，其结论的可靠性虽然
可以得到提高，但仍不能
保证结论一定正确。

5、试比较归纳猜想与类
比猜想的异同。
答：归纳猜想与类比
猜想的共同点 是：他们都
是一种猜想，即一种推测
性的判断，都是一种合情
推理，其结论具有或然< br>性，或者经过逻辑推理证
明其为真，或者举出反例
予以反驳。

归纳猜 想与类比猜想
的不同点是：归纳猜想是

运用归纳法得到的猜想，
是一种 由特殊到一般的
推理形式，其思维步骤为
“特例—归纳—猜测”。
类比猜想是运用类比 法
得到的猜想，是一种由特
殊到特殊的推理形式，其
思维步骤为“联想—类
比 —猜测”。

6、什么是数学模型方
法？并用框图表示MM方
法解题的基本步骤。

答：所谓数学模型方
法是利用数学模型解决
问题的一般数学方法，简
称MM方法。< br>
MM方法解题的基本步
骤框图表示如下：

7、特殊化方法在数学教
学中有哪些应用？

答：特殊化方法在数
学 教学中的应用大致有
如下几个方面：利用特殊
值(图形)解选择题；利用
特殊化探求问 题结论；利
用特例检验一般结果；利
用特殊化探索解题思路。

8试述小学数学加强数学
思想方法教学的重要性。

答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带，
是数学科学的灵魂，它对
发展学生的数学能力，提
高学生 的思维品质都具
有十分重要的作用。具体
表现在：(1)掌握数学思
想方法能更好地理 解数
学知识。(2)数学思想方
法对数学问题的解决有
着重要的作用。(3)加强数学思想方法的教学是
以学生发展为本的必然
要求。

9、简述数学思想方法教
学应注意哪些事项？

答：数学思想方法教学应注意以下事项：(1)把数
学思想方法的教学纳入
教学目标；

29．重视数学知识发生、
发展的过程，认真设计数
学思想方法教学的目标；

30．做好数学思想方法
教学的铺垫工作和巩固
工作；

31．不同 数学思想方法
应有不同的教学要求；(5)
注意不同数学思想方法
的综合应用。

1

27．分析题

28．几何原本》思想方法
的特点，为什么？

答：（1）封闭的演绎
体系

因为在《几何原本》
中，除了推导时所需要的
逻辑规则外， 每个定理
的证明所采用的论据均
是公设、公理或前面已经
证明过 的定理，并且引
入的概念（除原始概念）
也基本上是符合逻辑上

对概念下定义的要
求，原则上不再依赖其它
东西。因此《几何原 本》
是一个封闭的演绎体系。

另外，《几何原本》
的理论体系回避任何与
社会生产现实生 活有关
的应用问题，因此对于社
会生活的各个领域来说，
它也是 封闭的。所以，
《几何原本》是一个封闭
的演绎体系。

（2）抽象化的内容 ：
《几何原本》中研究的对
象都是抽象的概念和命
题，它所探 讨的是这些
概念和命题之间的逻辑
关系，不讨论这些概念和
命题 与社会生活之间的< br>关系，也不考察这些数学
模型所由之产生的现实
原型。因此《几何原本》
的内容 是抽象的。

（3）公理化的方法：
《几何原本》的第一篇中
开头5个公设和 5个公
理，是全书其 它命题证
明的基本前提，接着给出
23个定义，然后再逐步引
入 和证明定理。定理的
引入是有序的，在一个定
理的证明中，允许采用的
论据只有公设和公理与
前面 已经证明过的定理。
以后各篇 除了不再给出
公设和公理外也都照此
办理。这种处理知识体系
与 表述方法就是公理化
方法。

2、分析《九章算术》思
想方法的特点，为什 么？
答：（1）开放的归纳
体系：从《九章算术》的
内容可以看出，它是以应
用问题解法集成 的体例
编纂而成的书，因此它是
一个与社会实践紧密联
系的开放 体系。

在《九章算术》中通
常是先举出一些问题，从
中归纳出某一 类问题的
一般解法；再把各类算法
综合起来，得到解决该领
域中 各种问题的方法；
最后，把解决各领域中问
题的数学方法全部综 合
起来，就得到整个《九章
算术》。

另外该书还按解决问
题的不同数学方法进行
归纳，从这些 方法中提
炼出数学模型，最后再以
数学模型立章写入《九章
算 术》。 因此，《九章
算术》是一个开放的归纳
体系。

（2）算法化的内容 ：
《九章算术》在每一章内
先列举若干个实际问题，
并对每 个问题都给出答
案，然后再给出“术”，
作为一类问题的共同解
法。因此，内容的算法化
是《九章算术 》思想方法
上的特点之 一。

（3）模型化的方法 ：《九
章算术》各章都是先从相
应的社会实践中选择具
有典 型意义的现实原
型，并把它们表述成问
题，然后通过“术”使其

转 化为数学模型。当然
有的章采取的是由数学
模型到原型的过 程，即
先给出数学模型，然后再
举出可以应用的原型。

3用下列材料，请你设计
一个“数形结合”教学
片断。

材料：如图 13-3-18
所示，相邻四点连成的小
正方形面积为1平方厘
米。(1)分别连接各 点，
组成下面12个图形，你
发现有什么排列规律？
(2)求出各图形外面一周
的点子数、中间的点子数
以及各图形的面积，找出
一周的点子数、中间的点
子数、各 图形的面积三者
之间的关系。

教学片断设计如下：

一、找图的排列规律

师：同学们看图，找
出图的排列规律来。（学
生可以讨论）

生：老师我们发现，
第一行的图中间没有点，
3)

8

0

3

第二行的图中间有一个
点，第三行的图中间有两
(4)

14

0

6

个点。

师：非常好！
(5)

4

1

2


二、数一数每个图周
(6)

6

1

3

边的点数

师：现在我们来数一
(7)

8

1

4

数每个图周边的点数。并
将结果填入下列表中。
(8)

14

1

7

（师生一起数）

三、计算面积

(9)

4

2

3

师：数完边点数，我
(10)

6

2

4

们再来计算每个图的面
积。结果也填入表中。（师
生一起计算面积，过程
(11)

8

2

5

略）

(12)

14

2

8

图形

边上内部
面 积

点数

点数

四、寻找每一列三个
数之间的规律

⑴

4

0

1

师：我们根据这个表，
找一找每列三个数之间
(2)

6

0

2

的关系。告诉同学们，希
望找到相同的规律。

生：第一列，边点数
等于面积乘以4。

师：这个规律能否用
到第二列呢？

生：不能，因为6不
等于2乘以4。

生2：第一列，边点
数除以2，减去面积等于
1。

师：好！看看这个规
律能否用到第二列？

生：能。还能用到第
三、第四列。

生2：老师，这个规
律不能用到第五列。

师：很好！我们看看
这个规律到第五列可以
怎样改一改。

生：我发现了，边点
数除以2，加上内点数，
再减去面积等于1。

师：非常好！大家一
起算一算，是不是每一列
都具有这个规律。

五、总结

师：我们把发现的规
律总结成公式：

边点数2＋内点数－
面积＝1

也可以写为：

边点数2＋内点数－
1＝面积

4、假定学生已有了除
法商的不变性 知识和经
验，在学习分数的性质
时，请你设计一个孕育
“类比法”教学片断。

提示：所设计的教学
片断要求(1)以小组合作
探究的形式，让学生举例
说明 除法的被除数和除
数与分数的分子和分母
之间存在什么样的关系
(相似关系)？商与分 数
又有什么关系(相似关
系)？那么与被除数、除
数同时扩大或缩小相同
的倍 数其商不变相似的
结论又是什么呢？。。。。。

教学片断设计如下：

一、回忆除法和分数
的有关概念

师：同学们还记得除
法的哪些概念和记号？

生：被除数÷除数＝
商

师：对。我们再回忆
分数的概念和记号。

师：好。大家一起来
比较这两个概念的相似
性。

生：商好比分数，被
除数好比分子。除数好比
分母。

二、回忆除法的性质

师：很好。现在我们
回忆除法有哪些性质。

生：被除数与除数同
时扩大，商不变。

生2：被除数与除数
同时缩小，商也不变。

三、类比出分数的性
质

师：对。刚才我们知
道商好比分数，因此我 们
可以问：除法的这些性质
是否可以类比到分数上
来呀？

生：可以。

师：应该怎样类比
呢？

生：分子与分母同时
扩大，分数不变。

生2：分子与分母同
时缩小，分数不变。

四、总结成公式

师：很好！这些性质
÷(B×C)

怎样用公式表示呢？

性质(四)：分数的性质(四)：

生：可以列表如下：

(A÷B)÷(C
除 法
÷D)=

分 数

(A×D)÷(B
除法的表分数的表示：
×C)


示：A÷B

小
性质(一)：分数的性质(一)：若
学数学数形结合 思想
M≠0，则


若M≠0，则
一、数形结合的思想
(A×M)÷(B
方法

×M)= A÷B

数与形是数学教学
研究对象的两个侧面,把
性质 (二)：分数的性质(二)：若
数量关系和空间形式结
M≠0，则

合起来去 分析问题、解决
若M≠0，则
问题,就是数形结合思
(A÷M)÷(B
想。“ 数形结合”可以借
÷M)= A÷B

助简单的图形、符号和文
字所作的示意 图,促进学
生形象思维和抽象思维
性质(三)：分数的性质(三)：
的协调发展

,沟通数学知
A÷B÷C=A
识之间的联系,从复杂的
数量关系中凸显最 本质
的特征。它是小学数学教

材编排的重要原则,也是
小学数学教材的 一个重
要特点,更是解决问题时
常用的方法。

例如,我们常用画线
段图的方法来解答应用
题,这是用图形来代替数
量关系的一种方法。我们
又可以通过 代数方法来
研究几何图形的周长、面
积、体积等,这些都体现
了数形结合的思想。

二、集合的思想方法
把一组对象放在一
起,作为讨论的范围,这
是 人类早期就有的思想
方法,继而把一定程度抽
象了的思维对象,如数学
上的点、数、式 放在一起
作为研究对象,这种思想
就是集合思想。集合思想
作为一种思想,在小学数< br>学中就有所体现。在小学
数学中,集合概念是通过
画集合图的办法来渗透
的。

如用圆圈图(韦恩图)
向学生直观的渗透集合
概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属
性,可以看作一个整体,
这个整体就是一个集合。
利用图形 间的关系则可
向学生渗透集合之间的
关系,如长方形集合包含
正方形集合,平行四边形
集合包含长方形集合,四
边形集合又包含平行四
边行集合等。

三、对应的思想方法
对应是人的思维对
两个集合间问题联系的
把握,是现代 数学的一个
最基本的概念。小学数学
教学中主要利用虚线、实
线、箭头、计数器等图形
将元素与元素、实物与实
物、数与算式、量与量联
系起来,渗透对应思想。
如 人教版一年级上册教
材中,分别将小兔和砖
头、小猪和木头、小白兔
和萝卜、苹果和梨 一一对
应后,进行多少的比较学
习,向学生渗透了事物间
的对应关系,为学生解决问题提供了思想方法。

四、函数的思想方法

恩格斯说:“数学中
的转折点是笛卡儿的变
数。有了变数,运动进入
了数学,有了变数,辩证
法进 入了数学,有了变数,
微分和积分也就立刻成
为必要的了。”我们知道,
运动、变化是 客观事物的
本质属性。函数思想的可
贵之处正在于它是运动、
变化的观点去反映客观< br>事物数量间的相互联系
和内在规律的。学生对函
数概念的理解有一个过
程。在小 学数学教学中,
教师在处理一些问题时
就要做到心中有函数思
想,注意渗透函数思想。

函数思想在人教版
一年级上册教材中就有
渗透。如让学生观察《20
以内进位加法表》,发现
加数的变化引起的和的

变化的规律等,都较好的
渗透了函数的思想,其目
的都在于帮助学生形成
初步的函 数概念。

五、极限的思想方法

极限的思想方法是
人们从有限 中认识无限,
从近似中认识精确,从量
变中认识质变的一种数
学思想方法,它是事物转
化的重要环节,了解它有
重要意义。

现行小学教材中有
许多处注 意了极限思想
的渗透。在“自然数”、
“奇数”、“偶数”这些
概念教学时,教师可让 学
生体会自然数是数不完
的,奇数、偶数的个数有
无限多个,让学生初步体
会 “无限”思想;在循环
小数这一部分内容
中,1÷3=0.333……是一
循环小数, 它的小数点后
面的数字是写不完的,是
无限的;在直线、射线、
平行线的教学时,可让 学
生体会线的两端是可以
无限延长的。

六、化归的思想方法

化归是解决数学问
题常用的思想方法。化归,
是指将有待解决或未解
决的问题 ,通过转化过程,
归结为一类已经解决或
较易解决的问题中去,以
求得解决。客观事物 是不
断发展变化的,事物之间
的相互联系和转化,是现
实世界的普遍规律。数学
中充满了矛盾,如已知和
未知、复杂和简单、熟悉
和陌生、困难和容易等,
实现这些 矛盾的转化,化
未知为已知,化复杂为简
单,化陌生为熟悉,化困
难为容易,都是化归 的思
想实质。任何数学问题的
解决过程,都是一个未知
向已知转化的过程,是一
个等价转化的过程。化归
是基本而典型的数学思
想。

在教学平面图形求
积公式中,就以化归思
想、转化思想等为理论武
器,实现长方形、正方形、
平 行四边形、三角形、梯
形和圆形的面积计算公
式间的同化和顺应,从而
构建和完善了学 生的认
知结构。

七、归纳的思想方法
在研究一般性性问
题之前 ,先研究几个简单
的、个别的、特殊的情况,
从而归纳出一般的规律
和性质,这种从特 殊到一
般的思维方式称为归纳
思想。数学知识的发生过
程就是归纳思想的应用
过程。在解决数学问题时
运用归纳思想,既可认由
此发现给定问题的解题
规律,又能在 实践的基础
上发现新的客观规律,提
出新的原理或命题。因此,
归纳是探索问题、发现 数
学定理或公式的重要思
想方法,也是思维过程中
的一次飞跃。

八、符号化的思想方
法

数学发展到今天,已
成为 一个符号化的世界。
符号就是数学存在的具
体化身。英国着名数学家
罗素说过:“什么 是数学?
数学就是符号加逻辑。”
数学离不开符号,数学处
处要用到符号。怀特海曾< br>说:“只要细细分析,即
可发现符号化给数学理
论的表述和论证带来的
极大方便 ,甚至是必不可
少的。”数学符号除了用
来表述外,它也有助于思
维的发展。如果说数 学是
思维的体操,那么,数学
符号的组合谱成了“体
操进行曲”。现行小学数
学教材十分注意符号化
思想的渗透。

人教版教材从一年
级就开始用“□” 或
“()”代替变量x,让学
生在其中填数。例
如:1+2=□,6+()=8,7= □
+□+□+□+□+□+□;再
如:学校有7个球,又买来
4个。现在有多少个?要 学
生填出□○□=□(个)。

符号化思想在小学
数学内容中随处可见,教
师要有意识地进行渗透。
数学符号是抽象的结晶
与基础,如果不了解其含
义与 功能,它如同“天
书”一样令人望而生畏。
因此,教师在教学中要注
意学生的可接受性 。

小学数学除渗透运
用了上述各数学思想方
法外,还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想
方法、比较的思想方法、
分类的思想方法、类比的
思想方 法等。总之,在教
学中,教师要既重视数学
知识、技能的教学,又注
重数学思想、方法 的渗透
和运用,这样无疑有助于
学生数学素养的全面提
升,无疑有助于学生的终
身学习和发展。

数学思想与方法课程综
合辅导资料

一、单项选择题
1．算法的有效性是指
（ C ）。P.122
A．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够估
计问题的解答范围
B．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够引
出该问题的另一种求解
方案
C．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够得
到这一问题的正确解
D．如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够大
致猜想出问题的答案
2．所谓数形结合方法，
就是在研究数学问题时，

（A ）的一种思想方法。
P156
A．由数思形、见形思数、
数形结合考虑问题
B．由数学公式解决图形
问题
C．由已知图形联想数学
公式解决数学问题
D．运用代数与几何解决
问题
3．古代数学大体可分为
两种不同的类型：一 种是
崇尚逻辑推理，以《几何
原本》为代表；一种是长
于计算和实际应用，以
（ D ）为典范。P1
A．阿拉伯的《论圆周》
B．印度的《太阳的知识》
C．希腊的《理想国》
D．中国的《九章算术》
4．数学的统一性是客观
世界统一性的反映，是数
学中各个分支固有的内
在联系的体现，它表现为
（ B ）的趋势。P46
A．数学的各个分支相互
独立并行发展
B．数学的各个分支相互
渗透和相互结合
C．数学的各个分支呈现
包容
D．数学的各个分支呈现
互斥
5．学生理解或掌握数学
思想方法的过程一般有
三个主要阶段：（ B ）。
P197
A．了解阶段、掌握阶段、
运用阶段
B．潜意识阶段、明朗化
阶段、深刻理解阶段
C．感觉阶段、体会阶段、
领悟阶段
D．同化阶段、迁移阶段、
掌握阶段
6．在数学中建立公理体
系最早的是几何学，而这
方面的代表着作是
（B ）。P1
A．阿拉伯的《论圆周》
B．古希腊欧几里得的《几
何原本》
C．希腊的《理想国》
D．中国的《九章算术》
7．随机现象的特点是
（A ）。P23

A．在一定条件下，可能
发生某种结果，也可能不
发生某种结果
B．在一定条件下，发生
必然结果
C．在一定条件下，不可
能发生某种特定的结果
D．在一定条件下，发生
某种结果的概率微乎其
微
8．演绎法与（ D ）被认
为是理性思维中两种最
重要的推理方法。P67
A．推理法
B．模型法
C．猜想法
D．归纳法
9．在化归过程中应遵循
的原则是（ A ）。P105
A．简单化原则、熟悉化
原则、和谐化原则
B．重复化原则、熟悉化
原则、明朗化原则
C．简单化原则、熟悉化
原则、重复化原则
D．熟悉化原则、和谐化
原则、明朗化原则
10．（C ）是联系数学知
识与数学能力的纽带，是
数学科学的灵魂，它对发
展学生的数学能力，提高
学生的思维 品质都具有
十分重要的作用。P191
A．理论方法
B．实验方法
C．数学思想方法
D．计算方法
11．所谓类比，是指
（ B ）。P75
A．由一类事物推测与另
一类事物的相似的一种
推理方法
B． 由一类事物所具有的
某种属性，可以推测与其
类似的事物也具有该属
性的一种推理方法
C．根据某种事物的属性
知道另一种事物的属性
的一种方法
D．两类事物具有可比性
的一种推理方法
12．猜想具有两个显着特
点：（ D ）。P73
A．推测性与准确性
B．科学性与精准性

C．准确性与必然性
D．科学性与推测性
13．所谓数学模型方法是
（ A ）。P132
A．利用数学模型解决问
题的一般数学方法
B．利用数学原理解决问
题的一般数学方法
C．利用数学实验解决问
题的一般数学方法
D．利用数学工具解决问
题的一般数学方法
14．数学模型具有（ C ）
特性。P131
A．抽象性、随机性和演
绎性、预测性
B．抽象性、准确性和必
然性、预测性
C．抽象性、准确性和演
绎性、预测性
D．抽象性、准确性和演
绎性、偶然性
15．概括通常包括两种：
经验概括 和理论概括。
而经验概括是从事实出
发，以对
个别事物所作的观察陈
述为基础，上升为普遍的
认识——（ A ）的认识。
P64
A．由对个体特性的认识
上升为对个体所属的种
的特性
B．由个体特性的认识上
升为集体特性
C．由集体特性上升为个
体特性
D．由属的特性上升为种
的特性
16．三段论是演绎推理的
主要形式，它由（D ）
三部分组成。P94
A．大结论、小结论和推
理
B．小前提、小结论和推
理
C．大前提、小结论和推
理
D．大前提、小前提和结
论
17．传统数学教学只注重
（B ）的传授， 而忽略
对知识发生过程中（ ）
的挖掘。P183
A．具体化数学知识，数
学理论方法

B．形式化数学知识，数
学思想方法
C．数学解题强化，数学
思想方法
D．数学系统结构知识，
数学思想方法
18．特殊化方法是指在研
究问题中，（ B ）的思
想方法。P164
A．运用特殊方法解决问
题
B．从对象的一个给定集
合出发，进而考虑某个包
含于该集合的较小集合
C．从对象的一个给定范
围出发，进而考虑某个包
含于该范围的较小范围
D．从对象的一个给定区
间出发，进而考虑某个包
含于该区间的较小区间
19．分类方法的原则是
（ D ）。P151
A．按种类逐步划分
B．按作用逐步划分
C．按性质逐步划分
D．不重复、无遗漏、标
准同一 、按层次逐步划分
20．数学模型可以分为三
类：（ C ）。P131
A．人口模型、交通模型、
生态模型
B．规划模型、生产模型、
环境模型
C．概念型、方法型、结
构型
D．初等模型、几何模型、
图论模型
21．数学的第一次危机是
由于出现了（ C ）而
造成的。P82
A．无理数（或
3
）
p
B．整数比
q
不可约
C．无理数（或
2
）
D．有理数无法表示正方
形边长
22．算法大致可以分为
（ A ）两大类。P128
A．多项式算法和指数型
算法
B．对数型算法和指数型
算法
C．三角函数型算法和指
数型算法
D．单向式算法和多项式
算法

23．反驳反例是用
（ D ）否定（ ）
的一种思维形式。P81
A．偶然 必然
B．随机 确定
C．常量 变量
D．特殊 一般
24．类比联想是人们运用
类比法获 得猜想的一种
思想方法，它的主要步骤
是（ B ）。P78
A．猜测

类比

联想
B．联想

类比

猜测
C．类比

联想

猜测
D．类比

猜测

联想
25．归纳猜想是运用归纳
法得道的猜想，它的思维
步骤是（ D ）。P74
A．归纳

猜测

特例
B．猜测

特例

归纳
C．特例

猜测

归纳
D．特例

归纳

猜测
26．传统数学教学只注重
（ A ）的数学知识传
授，忽略了数学思想方法
的挖掘、整理、提炼。P183
A．形式化
B．科学化
C．系统化
D．模型化
27．所谓统一性，就是
（ C ）之间的协调。
P46
A．整体与整体
B．部分与部分
C．部分与部分、部分与
整体
D．个别与集体
28．中国《九章算术》
（ A ）的算法体系和
古希腊《几何原本》（ ）
的体系在数学历史发展
进程中争奇斗妍、交相辉
映。P1
A．以算为主 逻辑演绎
B．演绎为主 推理证明
C．模型计算为主 几何
作画为主
D．模型计算 几何证明
29．所谓数学模型方法是
（ B ）。P132
A．利用数学实验解决问
题的一般数学方法

B．利用数学模型解决问
题的一般数学方法
C．利用数学理论解决问
题的一般数学方法
D．利用几何图形解决问
题的一般数学方法
30．公理化方法就是从
（ D ）出发，按照一定
的规定定义出其它所有
的概念，推导出其它一切
命题的一种演绎方法 。
P95
A．一般定义和公理
B．特定定义和概念
C．特殊概念和公理
D．初始概念和公理
31．概括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而 经验概括是从事实出
发，以对个别事物所作的
观察陈述为基础，上升为
普遍的认识—— （ B ）
的认识。P64
A．由对个体特性的认识
抽象为对种的特性
B．由对个体特性的认识
上升为对个体所属的种
的特性
C．由对个体特性的认识
上升为对个体所属的属
的特性
D．由对个体特性的认识
抽象为对个体所属的种
的特性
32．算法大致可以分为
（ A ）两大类。P128
A．多项式算法和指数型
算法
B．单项式算法和对数型
算法
C．单项式算法和指数型
算法
D．多项式算法和对数型
算法
33．反驳反例是用（ D ）
否定（ ）的一种思维
形式。P81
A．一般 特殊
B．实例 特例
C．特殊 特例
D．特殊 一般
34．类比联想是人们运用
类比法获得猜想的一种
思 想方法，它的主要步骤
是（B ）。P78
A．类比

联想

猜测

B．联想

类比

猜测
C．联想

猜测

类比
D．猜测

类比

联想
35．归纳猜想是运用归纳
法得道的猜想，它的思维
步骤是（ D ）。P74
A．归纳

特例

猜测
B．特例

归纳

猜测
C．特例

猜测

归纳
D．猜测

归纳

特例
36．传统数学教学只注重
（ D ）的数学知识传
授，忽略了数学思想方法
的挖掘、整理、提炼。P183
A．理论化
B．实践化
C．模式化
D．形式化
37．所谓统一性，就是
（ C ）之间的协调。P46
A．部分与部分、整体与
整体
B．形式与内容
C．部分与部分、部分与
整体
D．理论与实践
38．数学的第二次危机是
17世纪伴随牛顿和莱布
尼兹创立（ A ）而产
生的。P83
A．微积分
B．解析几何
C．数学悖论
D．无理数
2

39．我国《数学课程标准》
（实验稿）的总体目标指
出，数学知识包括（ B ）
和( ）。P183
A．数学知识 数学思想
B．数学事实 数学活动
经验
C．数学理论 数学实践
D．数学模型 数学活动
经验
40．所谓特殊化是指在研
究问题时，（ D ）的思
想方法。P164
A．从对象的一个给定集
合出发，进而考虑某个包
含该集合的较大集合
B．从对象的一个给定范
围出发，进而考虑该范围
中某个较小的区间

C．从对象的一个给定数
集出发，进而考虑某个包
含于该数集的较小子数
集
D．从对象的一个给定集
合出发，进而考虑某个包
含于该集合的较小集合
41．所谓数形结合方法，
就是在研究数学问题时，
（ C ）的一种思想方
法。P156
A．由形思数、见数思质、
数形质结合考虑问题
B．由数据、图形结合考
虑问题
C．由数思形、见形思数、
数形结合考虑问题
D．由数思形、见形思数、
数形分离考虑问题
42．古代数学大体可分为
两 种不同的类型：一种是
崇尚逻辑推理，以《几何
原本》为代表；一种是长
于（ A ），以《九章算
术》为典范。P1
A．计算和实际应用
B．模仿和度量
C．推理和证明
D．计算和证明
43．不完全归纳法是根据
（ D ），作出关于该类
事物的一般性结论的推
理方法。P68
A．对某类事物的整体的
分析
B．对某类事物单个对象
的分析
C．对某类事物中的特定
对象的分析
D．对某类事物中的部分
对象的分析
44．公理化的三条逻辑上
的要求是（ D ）。P37
A．依赖性、矛盾性、无
备性
B．独立性、矛盾性、完
备性
C．依赖性、无矛盾性、
完备性
D．独立性、无矛盾性、
完备性
45．《九章算术》系统地
总结了先秦和东汉初年
我国的数学成就，经过历
代名家补充 、修改、增订
而逐步形成，现传世的
《九章算术》是三国时期

魏晋数学 家（ B ）注释
的版本。P6
A．张衡
B．刘徽
C．祖冲之
D．贾宪
46．《几何原本》是一本
极具生命力的经典着作，
全书共十三卷 475个命
题，包括5个（ C ）、5
个（ ）。P2
A．方程 定义
B．推理 公理
C．公式 公理
D．公式 定义
47．数学思想方法教学主
要有（ B ）三个阶段。
P198
A．单次孕育、初步掌握、
综合应用
B．多次孕育、初步理解、
简单应用
C．多次孕育、深入理解、
综合应用
D．单次孕育、深入理解、
简单应用
48．化隐为显原则是数学
思想方法教学原则之一，
它的含义就是把隐藏在
数 学知识背后的（ A ）
显示出来，使之明朗化，
以达到教学目的。P199
A．数学思想方法
B．数学规律
C．数学定义
D．数学公式
49．在数学学科中人们常
常把研究确定性现象数
量规律的那些数学分支
称为确定数学 ，如代数、
几何、方程、微积分等。
但是确定数学无法定量
地揭示（ ），它的这种
局限性迫使数学家们建
立一种专门分析（ A ）
的数学工具。这个数学工
具就是（ ）。P22
A．随机现象 随机现
象 概率理论和数理
统计
B．必然现象 必然现
象 代数理论
C．变量规律 变量规
律 数学分析
D．分形几何 分形几
何 拓扑理论

50． 小学生的思维特点
是（ D ）。P197
A．感性思维
B．理性思维
C．逻辑思维
D．具体形象思维
二、填空题
1．所谓数形结合方法，
就是在研究数学问 题时，
（由数思形，见形思数，
数形结合考虑问题）的一
种思想方法。
2． 古代数学大体可分为
两种不同的类型：一种是
崇尚逻辑推理，以《几何
原本》为代表； 一种是长
于计算和实际应用，以
（《九章算术》）为典范。
3．不完全归纳法是根据
（对某类事物中的部分
对象的分析），作出关于
该类事物的一般性结论
的推理 方法。
4．公理化的三条逻辑上
的要求是（独立性、无矛
盾性、完备性）。
5．《九章算术》系统地总
结了先秦和东汉初年我
国的数学成就，经过历代
名家补充 、修改、增订而
逐步形成，现传世的《九
章算术》是三国时期魏晋
数学家（刘徽）注释 的版
本。
6．《几何原本》是一本极
具生命力的经典着作，全
书共十三卷4 75个命题，
包括5个（公设）、5个（公
理）。
7．数学思想方法教学主
要有（多次孕育、初步理
解、简单应用）三个阶段。
8．`化隐为显原则是数学
思想方法教学原则之一，
它的含义就是把隐藏在
数学知识 背后的（数学思
想方法）显示出来，使之
明朗化，以达到教学目
的。
9．在 数学学科中人们常
常把研究确定性现象数
量规律的那些数学分支
称为确定数学，如代数 、
几何、方程、微积分等。
但是确定数学无法定量
地揭示（随机现象），它
的 这种局限性迫使数学
家们建立一种专门分析
（随机现象）的数学工
具。这个数学工具就 是
（概率理论和数理统

计）。
10． 小学生的思维特点
是（具体形象思维）。
11．三段论是演绎推理的
主要形式，它由 （大前提、
小前提、结论）三部分组
成。
12．演绎法与（归纳法）
被认为是理性思维中两
种最重要的推理方法。
1 3．（数学思想方法）是
联系数学知识与数学能
力的纽带，是数学科学的
灵魂，它对发 展学生的数
学能力，提高学生的思维
品质都具有十分重要的
作用。
14．分 类方法具有三个要
素：（被划分的对象、划
分后所得的类的概念、划
分的标准）。 < br>15．数学研究的对象可以
分为两类：一类是（研究
数量关系的），另一类是
（ 研究空间形式的）。
16．所谓社会科学数学化
就是指（数学向社会科学
渗透），也 就是运用（数
学方法）来揭示社会现象
的一般规律。
17．在古代的（游戏和赌博）活动中就有概率思想
的雏形，但是作为一门学
科则产生于17世纪中期
前后， 它的起源与一个所
谓的点数问题有关。
18．在数学中建立公理体
系最早的是（几何 学），
而这方面的代表着作是
古希腊学者欧几里得的
（《几何原本》）。
1 9．《九章算术》是世界
上最早系统地叙述（分
数）运算的着作，它关于
（负数）的论 述也是世界
上最早的。
20．数学知识与数学思想
是数学教学的两条主线，
（数学知识）是一条明
线，它被写在教材中；（数
学思想）则是一条暗线，
需要教师挖 掘、提炼并贯
穿在教学过程中。
21．学生理解或掌握数学
思想方法的过程有如下< br>三个主要阶段（潜意识阶
段、明朗化阶段、深刻理
解阶段）。
22．面对一个 问题，经过
认真的观察和思考，通过
归纳或类比提出猜想，然
后从两个方面入手：演绎

证明此猜想为真；或者
（找出反例说明此猜想
为假），并且进一步修正
或否定此猜想。
23．变量数学产生的数学
基础是（解析几何），标
志是（微积分）。
24．化归方法是将（待解
决的问题）转化为已知问
题。
25．公理方法是 从尽可能
少的初始概念和公理出
发，应用严格的（逻辑推
理），使一门数学构建成为演绎系统的一种方法
26．数学的第一次危机是
由于出现了（不可公度
性）而造成的。
27．数学猜想具有两个明
显的特点：（科学性）与
（推测性）。
28．所 谓社会科学数学化
就是指数学向（社会科
学）的渗透，运用数学方
法来揭示（社会现象 ）的
一般规律。
29．分类必须遵循的原则
是（不重复、无遗漏、标
准同一 、按层次逐步划
分）。
30．深层类比又称实质性
类比，它是通过（对被比
较对象的处于相互依存
的各种相似属性之间的
多种因果关系的分析）而
得到的类比。
31．概括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出
发， 以对个别事物所作的
观察陈述为基础，上升为
普遍的认识——（由对个
体特性的认识上 升为对
个体所属种的特性）的认
识。
32．算法大致可以分为
（多项式算法和指数型
算法）两大类。
33．反驳反例是用（一个
反例）否定（猜想）的一
种思维形式。
34．类 比联想是人们运用
类比法获得猜想的一种
思想方法，它的主要步骤
是（联想-类比- 猜测）。
35．归纳猜想是运用归纳
法得道的猜想，它的思维
步骤是（猜测- 归纳-特
例）。
36．传统数学教学只注重
（形式化的）的数学知识

传授，忽略了数学思想方
法的挖掘、整理、提炼。
37．所谓统一性，就是（部
分与部分、部分与整体）
之间的协调。
38． 中国《九章算术》（以
算为主）的算法体系和古
希腊《几何原本》（逻辑
演绎）的体系 在数学历史
发展进程中争奇斗妍、交
相辉映。
39．所谓数学模型方法是
（利用数学模型解决问
题的一般数学方法）。
4 0．所谓特殊化是指在研
究问题时，（从对象的一
个给定集合出发，进而考
虑某个包含 于该集合的
较小集合）的思想方法。
41．算法的有效性是指
（如果使用该算法从它
的初始数据出发，能够得
到这一问题的正确解）。
42．所谓数形结合方法，
就是在研究数学问题时，
（由数思形、见形思数、
数形结合考虑问题）的一
种思想方 法。
43．古代数学大体可分为
两种不同的类型：一种是
崇尚逻辑推理，以《几何< br>原本》为代表；一种是长
于计算和实际应用，以
（中国《九章算术》）为
典范。
44．数学的统一性是客观
世界统一性的反映，是数
学中各个分支固有的内
在 联系的体现，它表现为
（数学的各个分支相互
渗透和相互结合）的趋
势。
4 5．学生理解或掌握数学
思想方法的过程一般有
三个主要阶段：（潜意识
阶段、明朗化 阶段、深刻
理解阶段）。
46．在数学中建立公理体
系最早的是几何学，而这
方面的代表着作是古希
腊欧几里得的（《几何原
本》）。
47．随机现象的特点是
（在一定条件下，可能发
生某种结果，也可能不发
生某种结果）。
48．演绎法与（归纳法）
被认为是理性思维中两
种最重要的推理方法。
4 9．在化归过程中应遵循
的原则是（简单化原则、

熟悉化原则、和谐化原
则）。
50．（数学思想方法）是
联系数学知识与数学能
力的纽带，是数学科学的
灵魂，它对发展学生的数
学能力，提高学生的思维
品质都具有十分重要的
作用 。
51．三段论是演绎推理的
主要形式，它由（大前提、
小前提、结论）三部分组< br>成。
52．传统数学教学只注重
（形式化的数学知识）的
传授， 而忽略对知识发
生过程中（数学思想方
法）的挖掘。
53．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一
个给定集合出发，进而考
虑某个包含于该集合的
较小集合 ）的思想方法。
54．分类方法的原则是
（不重复、无遗漏、标准
同一、按层次逐步划分）。
55．数学模型可以分为三
类：（ 概念型、方法型、
结构型）。
56．学 生理解或掌握数学
思想方法的过程有如下
三个主要阶段（潜意识阶
段、明朗化阶段、深 刻理
解阶段）。
57．强抽象就是指，通过
（把一些新的特征加入
到某一概 念中）而形成新
概念的抽象过程。
58．菱形概念的抽象过程
就是把一个新的特征：
（一组邻边相等），加入
到平行四边形概念中去，
使平行四边形概念得到
了强 化。
58．分类必须遵循的原则
是（不重复、无遗漏、标
准同一、按层次逐步划分）。
59．面对一个问题，经过
认真的观察和思考，通过
归纳或类比提出猜想 ，然
后从两个方面入手：演绎
证明此猜想为真；或者
（找出反例说明此猜想
为 假），并且进一步修正
或否定此猜想。
60．《几何原本》所开创
的（公理化方法） 方法不
仅成为一种数学陈述模
式，而且还被移植到其它
学科，并且促进他们的发
展。

61．变量数学产生的数学
基础是（解析几何），标
志是（微积分）。
62．（数学基础知识于数
学思想方法）是数学教学
的两条主线。
63．深 层类比又称实质性
类比，它是通过（对被比
较对象的处于相互依存
的各种相似属性之间 的
各种因果关系的分析 ）
而得到的类比。
64．一个概括过程包括
（比较、区分、扩张、分
析等几个主要环节）。
6 5．所谓类比，是指（由
一类事物所具有的某种
属性可以推测与其类似
的事物也具有这 种属性
的一种推理方法）；常称
这种方法为类比法，也称
类比推理。
66． 猜想具有两个显着特
点：（一是具有一定的科
学性，二是具有一定的推
测性）。
67．所谓数学模型方法是
（利用数学模型解决问
题的一般数学方法）。
68．数学模型具有（抽象
性、准确性和演绎性、预
测性）特性。
69．概 括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出
发，以对个别事物所作 的
观察陈述为基础，上升为
普遍的认识——（由对个
体特性的认识上升为对
个 体所属种的特性）的认
识。
70．三段论是演绎推理的
主要形式。三段论由（大前提、小前提、结论）三
部分组成。
71．化归方法是指，（数
学家们把待解决 的问题
通过某种转化过程，归结
到一类已经能解决或者
比较容易解决的问题中，
最终获得原问题的解答
的一种手段和方法）。
72．在计算机时代，（计
算方法 ）已成为与理论
方法、实验方法并列的第
三种科学方法。
73．算法具有下列特点：
（有限性、确定性、有效
性）。
74．化归方法的三个要素
是：（化归对象、化归目
标、化归途径）。

75．根据学生掌握数学思
容、模型化的方法）。
的方法。
想方法的过程有潜意识、
明朗化、深刻理解三个阶
段，可相应地将小学数学
思 想方法教学设计成（多
次孕育、初步理解、简单
应用）三个阶段。
76．一个概括过 程包括
（比较、区分、扩张、分
析等几个主要环节）等几
个主要环节。
77 ．古代数学大致可以分
为两种不同的类型：一种
是（崇尚逻辑推理），以
《几何原本》 为代表；一
种是（长于计算和实际应
用），以《九种算术》为
典范。
78． 《九章算术》思想方
法的特点主要有（开放的
归纳体系、算法化的内
79．初等代数的 特点是
（用字母符号来表示各
种数，研究的对象主要是
代数式的计算和方程的
求解）。
三、判断题
1．提出一个问题的猜想
是解决这个问题的终结。
（ × ）
2．一个数学理论体系内
的每一个命题都必须给
出证明。
（ × ）
3．数学中的许多问题都
无法归结为寻找具体算
法的问题。
（ × ）
4．计算是随着计算机的
发明而被人们广泛应用
（ × ）
5．反例在否定一个命题
时它并不具有特殊的威
力。
（ × ）
6．在解决数学问题时，
往往需要综合运用多种
数学思想方法才能取得
效果。 （√ ）
7．分类可使知识条理化、
系统化。
（ √ ）
8．既没有脱离 数学知识
的数学思想方法，也没有
不包括数学思想方法的
数学知识。 （ √ ）
9．对同一数学对象，若
选取不同的标准，可以得
到不同的分类。

（ √ ）
10．完全归纳法实质上属
数学知识。 （ √ ）
15．对同一数学对象，若19．法国的布尔巴基学派
利用数学结构实现了数
学的统
于演绎推理的范畴。 选取不同的标准，可以得
（ √ ）
到不同的分类。
（ √ ）
一。
11．数学模型方法是近代
才产生的。
（ × ）
12．在小学数学教学中，
本教材所涉及到的数学
思想方法并不多见。
（ × ）
13．所谓特殊化是指在研
究问题时，从对象的一个
给定集合出 发，进而考虑
某个包含于该集合的较
小集合的思想。
（ √ ）
14．既没有脱离数学知识
的数学思想方法，也没有
不包括数学思想方法的
（ √ ）
16．数学思想方法教学隶
属数学教学范畴，只要贯
彻通常的数学教学原则< br>就可实现数学思想方法
教学目标。
（ × ）
17.数学基础知识和数学
思想方法是数学教学的
两条主线。
（ √ ） < br>18.新颁发的《数学课程
标准》中的特点之一“再
创造”体现了我国数学课
程 改革与发展的新的理
念。
（ √ ）
20．由类比法推得的结论
必然正确。
（ × ）
21．计算机是数学的创造
物，又是数学的创造者。
（ √）
22．抽象得到的新概念与
表述原来的对象的概念
之间一定有种属关系。
（× ）
23．一个数学理论体系内
的每一个命题都必须给
出证明。
（ ×）
24．贯穿在整个数学发展
历史过程中有两个思想，

一是公理化思想，一是机
械化思想。 （√ ）
25．提出一个问 题的猜想
30．在建立数学模型的过
程中，不必经过数学抽象
这一环节
（ × ）
36．数学思想方法教学隶
。
属数学教学范畴，只要贯
彻通常的数学教学原则
（ × ）
是解决这个问题的终结。
（×）
26．数学模型方法在生物
学、经济学、军事学等领
域没应用。
（× ）
27．在解决数学问题时，
往往需要综合运用多种
数学思想方法才 能取得
效果。 （√ ）
28．如果某一类问题存在
算法，并且构造出这 个算
法，就一定能求出该问题
的精确解。（× ）
29．分类可使知识条理
化、系统化。
（ √ ）
31．《九章算术》不包括
代数、几何内容。
（ × ） < br>32．既没有脱离数学知识
的数学思想方法，也没有
不包括数学思想方法的
数学 知识。 （ √ ）
33．对同一数学对象，若
选取不同的标准，可以得
到不同的分类。
（ √ ）
34．特殊化是研究共性中
的个性的一种方法。
（ × ）
35．数学 模型方法应用面
很窄。
就可实现数学思想方法
教学目标。
（ × ）
37．由类比法推得的结论
必然正确。
（ × ）
38．有时特殊情况能与一
般情况等价。
（√ ）
39．演绎的根本特点就是
当它的前提为真时，结论
必然为真。
（√ ）
40．抽象得到的新概念与
表述原来的对象概念之
间不一定有种属关系。

（ ×）
41．完全归纳法实质上属
上最早系统地叙述分数
运算的着作，它关于负数
（√ ）
49．解析几何的产生主要
的论述也是世界上最早
于演绎推理的范畴。 归功于笛卡儿和费尔马。
的。
（ √）
（ √）
42．古希腊的柏拉图曾在
45．算术反映的是物体集
他的学校门口张榜声明：
合之间的函数关系。
不懂几何的人不得入内。
（ × ）
这是因为他的学校里所
学习的课程要用到很多46．《几何原本》是欧几
几何知识。 里得独立创作的。
（× ） （ × ）
43．完全归纳法的一般推47.《九章算术》系统地
理形式是：
总结了先秦和东汉初年
我国的数学成就。
设S＝

（ √）
A
1
，A
2
，A
3
，A
n
，

，由于A
1
、A
2
、　A
n
具有性质P，因 此推断集48.丢番图在其着作《算
合S中的每一个对象都具术》中用了许多符号，它
有性质P 。 标志着文字代数开始向
（ ×）
简写代数转变，丢番图的
《算术》是数学史上的里< br>44．《九章算术》是世界
程碑。
（ √）
50．英国的牛顿和德国的
莱布尼兹分别以几何学
和物理学为背景用无穷
小量方法建立了微积分。
（√ ）
51．随机现象就是杂乱无
章的现象，无论是个别还
是整体，其随 机现象都没
有规律性。
（×）
52．数学学科的新发展—
—分形几何，其分形的思
想就是将某一对象的细
微 部分放大后，其结构与
原先的一样。
（√）

53．我国中小学数学成绩
举世公认，“高分必然产
生高创造力”，我 国中学
生的科学测试成绩名列
前茅
58．数学模型具有预测
性、准确性和演绎 性，但
不包括抽象性。 （×）
和计算方法并列为三种
科学方法。 （√）
65．最早使用数学模型方
59．猜想具有两个显着的法的当数中国古人。
。
（×）
54．我国《数学课程标准》
指出，数学知识就是“数
与形以及演绎的知识”。
（√）
55．在数学基础知识与数
学思想方法是数学教学
的两条主线，而且 是两条
明线。 （×）
56．数学抽象摆脱了客观
事物的物质性质，从中 抽
取其数与形，因而数学抽
象具有无物质性。 （√）
57．数学公理化方法在其
他学科也能起到作用，所
以它是万能的。 （×）
特点：一定的科学性和一
定的推测性。 （√）
60．表层类比和深层类比
其涵义是一样的。
（×）
61．数学史上着名的“哥
尼斯堡七桥问题”最后由
欧拉用一笔画方 法解决
了其无解。（√）
62．分类方法具有两要
素：母项与子项。
（×）
63．算法具有无限性、不
确定性与有效性。
（×）
64．理论方法、实验方法
（√）
66．化归方法是一种发现
问题的方法。
（×）
67．类比猜想的主要步骤
是：猜测

联想

类比。
（×）
68．尽管中西方对数学的
贡献不同，但在数学思想
方面是一致的。 （ ×）
69．不可公度性的发现引
发了第二次数学危机。
（×）
70．中学生只需理解数学
思想方法就能运用自如
了，不需经历多次 孕育阶

段。（×）
四、简答题
1．第一次数学危机最终
如何解决了？ p83
（p245）
答：为了克 服无理数悖论
引发的危机，古希腊数学
家发展了几何学中的比
例论，它等价于无理数理
论。当然，从理论上彻底
解决这一危机还是靠现
代实数理论的建立。在实
数理 论中，无理数可以定
义为有理数的极限。第一
次数学危机的结果是使
数学逐渐走上了演 绎科
学的道路，为数学的公理
化奠定了基础。
7．何谓化归方法？它遵
循哪三个原则？
p102-105
答：所谓“化归 ”，可以
理解为转化和归结的意
思。化归方法是指数学家
们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一
类已经能解决或者比较
容易解决的问题中，最终
获得原问 题的解答的一
种手段和方法。
它主要遵循：1、简
单化原则；2、熟悉化原
则；3、和谐化原则。
8．什么是公理方法和公
理体系？p95-96
答：公理方法就是从初始
概 念和公理出发，按照一
定的规定（逻辑规则）定
义出其他所有的概念，推
导出其他一切 命题的一
种演绎方法。由初始概
念、公理、定义、逻辑规
则、定理等构成的演绎体系叫做公理体系。公理方
法是构成公理体系的方
法，公理体系是由公理方
法得到的 数学理论体系。
9．什么是类比猜想？并
举一个例子说明。p77
答：人类运用类 比法，根
据一类事物所具有的某
种属性，得出与其类似的
事物也具有这种属性的
一种推测性的判断，即猜
想，这种思想方法称为类
比猜想。例如，分式与分
数非常相 似，只不过是用
字母代替代数而已。因
此，我们可以猜想，分式
与分数在定义、基本性
质、约分、通分、四则运
算等方面都是对应相似
的。

10． 数学思想方法教学
为什么要遵循循序渐进
原则？试举例说明。p200
答：数学思想 方法的形成
难于知识的理解和一般
技能的掌握，它需要学生
深入理解事物之间的本质联系。学生对每种数学
思想方法的认识都是在
反复理解和运用中形成
的，是从个 别到一般，从
具体到抽象，从感性到理
性，从低级到高级地沿着
螺旋式方向上升的。如 ，
学生理解数形结合方法
可从小学的画示意图找
数量关系着手孕育；学习
数轴 时，要求学生会借助
数轴来表示相反数、绝对
值、比较有理数的大小。
11．简述《几何原本》思
想方法特点。p3
答：答：（1）封闭的演绎
体系： 因为在《几何原
本》中，除了推导时所需
要的逻辑规则外， 每个
定理的证明所采用的论
据均是公设、公理或前面
已经证明过 的定理，并
且引入的概念（除原始概
念）也基本上是符合逻辑
上 对概念下定义的要
求，原则上不再依赖其它
东西。
（4）抽象化的内容 ：它
所探讨的是概念和命题
之间的逻辑关系，不讨论
这些概念和命题与社会
生活之间的关 系，也不考
察这些数学模型所由之
产生的现实原型。
（5）公理化的方法。 14．什么是算法的有限
性特点？试举一个不符
合算法有限性特点的例
子。p12 1
答：一个算法必须在有限
步内终止。例如，十进制
小数的除法的算法。若取
数4.5和3作为初始数
据，计算结果为1.5.
但对于初始数据20和3，
计算过程为：过程为

6.6666……

3| 20

18

20

第一，数学教学重结果，
18
轻过程；重解题训练，轻
重。
16．简述公理化方法发
智力、情感开发；不重视

展。p96-100
20

18

…
无论怎样延续这个
过程都不能结束，同时也
不会出现中断。可见，十
进小 数除法对于20和3
这组数不符合算法的有
限性这个特点。
15．我国数学教育存在
哪些问题？试举例子说
明。p178-181
答：我国数学教育存在的
问题主要有：
创新能力培养，虽然学生
考试分数高，但是学习能
力低下。
第二，重模仿， 轻探索，
学习缺少主动性，缺乏判
断力和独立思考能力。例
如，有道着名的测试题：< br>“有一条船上，有75头
牛，32头羊，问船长几
岁？”学生把75和32两
个 数相加，得到107，认
为这不会是船长的年龄，
相乘、相除又不合适，选
择相减得出 43岁。美国
着名数学教育家认为“这
是我们把学生越教越笨
的典型例子。”
第三，学生课业负担过
答：公理方法经历了具体
的公理体系、抽象的公理
体系和形式 化的公理体
系三个阶段。第一个具体
的公理体系就是欧几里
得的《几何原本》。非欧< br>几何是抽象的公理体系
的典型代表。希尔伯特的
《几何基础》开创了形式
化的公 理体系的先河，现
代数学的几乎所有理论
都是用形式公理体系表
述出来的，现代科学也 尽
量采用形式公理法作为
研究和表述手段。
17．简述概括与抽象的
关系。p65
答：概括方法与抽象方法

是不同的。抽象是舍弃事
物的一些属性而收括固
定出其固有的另一些属
性的思维过 程，抽象得到
的新概念与表述原来的
对象的概念之间不一定
有种属关系。概括是在思< br>维中由认识个别事物的
本质属性，发展到认识具
有这种本质属性的一切
事物，从 而形成关于这类
事物的普遍概念。
尽管有差别，但是又
互相联系、密不可分。 抽
象是概括的基础，没有抽
象就不能认识任何事物
的本质属性，就无法概
括。 概括也是抽象思维过
程中所必需的一个环节。
18．简述培养数学猜想
能力的途径。p 88-93
答：引导学生面对问题，
认真观察和思考，通过归
纳或者类比提出猜想， 演
绎证明猜想为真，或者寻
找反例说明猜想为假，有
助于激发学生的创新精
神 。数学猜想能力培养途
径：用猜想学习新知识；
用猜想探究数学规律；用
猜想帮助解题 。
19．微积分产生可以归
结为哪四类情况？p19
答：1、已知物体移动的距离为时间的函数，求物
体瞬时速度和加速度；反
过来，已知物体的加速度
为时间 的函数，求速度和
距离；
2、求曲线切线的斜
率和方程；
3、求函数的最大值
和最小值；
4、求曲线的长度，
曲边梯形的面积，曲面围
成的物体的重心。
20．常量数学应用的局
限性是什么？p16
答：初等数学都是以不变
的数 量（即常量）和固定
的图形为其研究对象，运
用这些知识可以有效地
描述和解释相对稳 定的
事物和现象。可是对于那
些运动变化的事物和现
象，它们显然无能为力。
14．为什么说《几何原本》
是一个封闭的演绎体
系？p3
答：因为在《几何原本》
中，除了推导时所需要的
逻辑规则外， 每个定理

的证明所采用的论据均
是公设、公理或前面已经
证明过 的定理，并且 引
入的概念（除原始概念）
也基本上是符合逻辑上
对概念下定义的要求，原
则 上不再依赖其它东西。
因此《几何原 本》是一
个封闭的演绎体系。另
外，《几何原本 》的理论
体系回避任何与社会生
产现实生活有关的应用
问题，因此对于社会生活
的各个领域来说，它也是
封闭的。所以，《几何原
本》是一个封闭的演绎体
系。
17．为什么说最早使用
数学模型方法的是中国
人？p134
答：因为在中 国古算书
《九章算术》中就已经系
统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题< br>目归结为九类，即九类不
同的数学模型，故名为
“九章”。它在每一章中
所设置 的问题，都是从大
量的实际问题中选择具
有典型意义的现实原型，
然后再通过“术”（ 即算
法）转化为数学模型。其
中有些章就是专门讨论
某种数学模型的应用，如
“勾股”“方程”等。
18．简述表层类比，并用
举例说明。p75-76
答：表 层类比是根据两个
被比较对象的表面形式
或结构上的相似所进行
的类比。这种类比可靠 性
较差，结论具有很大的或
然性。如，由三角形内角
平分线性质，类比得到三
角形外角平分线性质，就
是一种结论上的类比。
17．《几何原本》贯彻哪
两条逻辑要求？p97
答：《几何原本》贯穿了
两条逻辑要求：第一，公
理必须是明显的，因而是
无需加以证明的，其是否
真实应受推 出结果的检
验，但它仍是不加证明而
采用的命题；初始概念必
须是直接可以理解的，因
而无需加以定义。第二，
由公理证明定理时，必须
遵守逻辑规律与逻辑规
则； 同样，通过初始概念
以直接或间接方式对派
生概念下定义时，必须遵
守下定义的逻辑规 则。

19．简述数学抽象的特
征。p61
答：数学抽象具有以下特
征：
（5）数学抽象具有无物
质性；
（6）数学抽象具有层次
性；
（7）数学抽象过程要凭
借分析或直觉；
（8）数学的抽象不仅有
概念抽象还有方法抽象。
21．简述将“化隐为显”
列为数学思想方法教学
的一条原则的理由。p199 答：由于数学思想方法往
往隐含在知识的背后，知
识教学虽然蕴含着思想
方法，但 是如果不是有意
识地把数学思想方法作
为教学对象，在数学学习
时，学生往往只注意到 处
于表面的数学知识，而注
意不到处于深层的思想
方法，因此，进行数学思
想 方法教学时必须以数
学知识为载体，把隐藏在
知识背后的思想方法显
示出来，使之明朗 化，才
能通过知识教学过程达
到思想方法教学之目的。
22．简述特殊化方法在
数学教学中的应用。
p166-169
答：特殊化方法在数学教
学中的应用大致有以下
四个方面：
（5）利用特殊值（图形）
解选择题；
（6）利用特殊化探求问
题结论；
（7）利用特例检验一般
结果；
（8）利用特殊化探索解
题思路。
22．什么是归纳猜想？
并举一个例子说明。p73
答：人们运用归纳法，得
出对一类现象的某种一
般性认识的一种推测性
的判断，即猜想，这种思
想方法称为归 纳猜想。例
如，人们在量度了许多圆
的周长和半径后，发现它
们的比值总是近似地等< br>于3.14，于是提出了圆周
率是3.14的猜想，后来
数学家从理论上证明了
圆周率的数值为π，果然
和3.14很接近。

23. 在实施数学思想方法
教学时应注意哪些问
题？p205
答：（1）要把数学思想方< br>法的学习纳入教学目标，
并在教案中设计好数学
思想方法的教学内容和
教学过程 ，这就要求教师
具备较高的数学修养，具
备数学方法论、数学发展
史、数学思想方法的 基础
知识，更需要教师更新教
学观念，不断提高对教学
重要性的认识。
（6）重视数学知识发
生、发展的过程，认真设
计数学思想方法教学的
目标；
（7）做好数学思想方法
教学的铺垫工作和巩固
工作；
（8）不同类型的数学思
想方法应有不同的教学
要求；
（9）注意不同数学思想
方法的综合运用。
23．简述确定性现象、随
机现象的特点以及确定
性数学的局限性。p22
答：（1）人们常常遇到两
类截然不同的现象，一类
是决定性 现象，另一类
是随机现象。决定性现象
的特点是：在一定的条
件下，其结果可以唯一确
定。因此决定 性现象的条
件和结果之 间存在着必
然的联系，所以事先可以
预知结果如何。
随机现象的特点是：在一
定的条件下，可能发生某
种结果， 也可能不发生
某种结果。对于这类现
象，由于条件和结果之间
不 存在必然性联系。
（3）在数学学科中，人
们常常把研究决定性现
象数量规律的那些 数学
分支称为确定数学。用这
些的分支来定量地描述
某些决定性 现象的运动
和变化过程，从而确定结
果。但是由于随机现象条
件 和结果之间不存在必
然性联系，因此不能用确
定数学来加以定量 描
述。同时确定数学也无法
定量地揭示大量同类随
机现象中所蕴 涵的规律
性。这些是确定数学的局
限所在。
25．简述计算机在数学
方面的三种新用途。

p119.3
答：（1）电子计算机把数
学家从繁重的、单调的、
重复性的脑力劳动中解
放 出来，让他们有更多的
时间从事更富创造性的
抽象思维工作，从而更有
利于数学理论的 发展；
（4）借助电子计算机的
计算，人们可以得到一些
新的猜想，并据此进一步< br>作出理论证明；也可以对
已有的结论进行验证；还
可以用计算机来证明某
些理论 问题；
（5）电子计算机的发展
本身也提出了许多数学
理论问题。
29．简述化归方法的和
谐化原则p106
答：和谐化是数学内在美
的主要 内容之一。美与真
在数学命题和数学解题
中一般是统一的。因此，
我们在解题过程中， 可根
据数学问题的条件或结
论以及数、式、形等的结
构特征，利用和谐美去思
考问题，获得解题信息，
从而确立解题的总体思
路，达到以美启真的作
用。
30．简述代数解题方法
的基本思想。p13
答：代数解题方法的基本
思想 是：首先依据问题的
条件组成内含已知数和
未知数的代数式，并按等
量关系列出方程， 然后通
过对方程进行恒等变化
求出未知数的值。
27．试对《九章算术》思
想方法的一个特点“算法
化的内容”加以说明。p8 答：《九章算术》在每一
章内先列举若干个实际
问题，并对每个问题都给
出答案， 然后再给出
“术”，作为一类问题的
共同解法。以后遇到其他
同类问题，只要按“术”
给出的程序去做就一定
能求出问题的答案。因
此，内容的算法化是《九
章算术 》思想方法上的特
点之一。
32．简述化归方法在数
学教学中的应用
p110-111
答：化归方法在数学教学
中的功能主要有：
（4）利用化归方法学习

新知识；
（5）利用化归方法指导
解题；
（6）利用化归原则理清
知识结构。
39．试用框图表示用特
殊化方法解决问题的一
般过程。p166
40．变量数学产生的意
义是什么？p21
答：（1）变量数学的产生，
为 自然科学更精确地描
述物质世界提供了有效
的工具；
（2）变量数学的产
生，促进数学自身的发展
和严密；
（3）变量数学的产
生，是辩证法进入了数
学。
41．简述类比的含义，数
学中常用的类比有哪
些？p75-77
答：类比 是指一类事物所
具有的某种属性，可以推
测与其类似的事物也具
有这种属性的一种推理
方法。常称这样的思维方
法为类比法推理，也称类
比推理。
类比的类型有： 表层类比
（形式或结构上的简单
类比）、深层类比（方法
或模式上的纵向类比）、沟通类比（各分科之间的
类比）。
42．简述计算工具的发
展。p114-116
答：计算工具的发展大致
经 历了：古代的计算工
具；机械式计算工具；电
动式计算机；机电式计算
机；电子计算机 。
43．简述小学数学加强
数学思想方法教学的重
要性，具体表现？p185
（p307）
答：（1）数学思想方法是
知识向能力过渡的桥梁；
（2）人的数学智能依
赖于数学思想方法的掌
握；
（3）数学思想方法能
有效地提高人的思维品
质；
（4）数学思想方法能
有效地促进人的全面发
展。
44．简单说明社会科学

数学化的主要原因。
p50-51
答：主要原因有：
第一 ，社会管理需要精确
化的定量数据，这是促使
社会科学数学化的最根
本的因素； 第二，社会科学的各分支
逐步走向成熟，社会科学
理论体系的发展也需要
精确化；
第三，随着数学的进一步
发展，它出现了一些适合
社会历史现象的新的数
学分 支；
第四，电子计算机的发展
与应用，使非常复杂社会
现象经过量化后可以进
行数值处理。
45．模型化的方法、开放
性的归纳体系及算法化
的内容之间的关系p244
答：模型化的方法与开放
性的归纳体系及算法化
的内容之间是相互适应
并相互促进的 。各个数学
模型间虽然有一定联系，
但它们更具有相对独立
性。一个数学模型的建立< br>与其他数学模型之间并
不存在逻辑依赖关系，正
因为如此，所以可以根据
需要随 时从社会实践中
提炼出新的数学模型。而
一定的算法必与一定的
数学模型相匹配。另一 方
面，由于运用模型化的方
法研究数学，新的数学模
型只有寻找现实原型、立
足于现实问题的研究，不
可能产生封闭式的演绎
体系。
46．算术与代数的解题
方法基本思想有何区
别？p12-13
答：算数解 题方法的基本
思想是：首先围绕所求的
数量，收集和整理各种已
知的数据，并依据问题 的
条件列出用已知数据表
示所求数量的算式，然后
通过四则运算求得算式
的结 果。这种方法的关键
之处是列算式，但面临较
为复杂的数量关系的实
际问题时，列算式 方法较
笨拙，也难以解决问题，
因此代数产生。
而代数解题方法的基本
思想 是：首先依据问题的
条件组成内含已知数和
未知数的代数式，并按等
量关系列出方程， 然后通

过对方程进行恒等变化
求出未知数的值。
47．为什么说数学模型
方法是一种迂回式化
归？p292
答：因为运用书 香模型方
法解决问题时，不是直接
求出实际问题的解，因为
这样做往往是行不通的或者花费昂贵。所以常常
先将实际问题化归为一
个合适的数学模型，然后
通过求数 学模型的解间
接求出原实际问题的解，
走的是一条迂回的道路，
因此，我们说数学模型 方
法是一种迂回式化归。
48．为什么数形结合方
法在数学中有着非常广
泛的应用？p300（p156） < br>答：数学研究的是现实世
界的数量关系和空间形
式，而现实世界本身是同
时兼备 数与形两种属性
的，既不存在有数无形的
客观对象，也不存在有形
无数的客观对象。因 此，
在数学发展的进程中，数
和形常常结合在一起，在
内容上相互联系，在方法
上相互渗透，在一定条件
下互相转化。充分运用数
形结合方法解决数学问
题，对于沟 通代数、三角、
几何各分支之间的联系，
提高分析问题、解决问题
的能力具有重要作用 。
五、论述题
1．论述《几何原本》和
《九章算术》思想方法的
特点。p3-5 p7-9
答：《几何原本》思想方
法上的特点：(1)封闭的
演绎体系。 《几何原本》
就是一个最早的标准的
演绎体系：由少数不定义
的概念，如点、线、平面
等等，和不 证明的命题—
—公理与公设——出发，
在需要的地方，定义出相
应的概念，按着一定的 逻
辑规则，演绎出所有其他
命题来。在《几何原本》
的演绎体系中，公理是最
一般的命题，它们是一系
列演绎推理的前提，这个
体系的所有其他命题，都
是从公理( 通过适当的定
义)推导出来的。除了推
导所需要的逻辑规则外，
《几何原本》的由一系 列
公理、定义、定理等构成
的数学理论体系，原则上
不必依赖于其他东西。