新语文课程标准-欺人太甚

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2013年无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2013•无锡）|﹣2|的值等于（ ）
±2
A． 2 B． ﹣2 C． D．


考点：绝 对值．
分析：根 据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解答：解 ：|﹣2|=2．
故选A．
点评：本 题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数．

2．（3分）（2013•无锡）函数y=+3中自变量x的取值范围是（ ）
x≠1
D．
x≥1 x≤1
A． x＞1 B． C．

考点：函 数自变量的取值范围．
分析：根 据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答：解 ：根据题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选B．
点评：本 题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

3．（3分）（2013•无锡）方程
A． x=2 B． x=﹣2
的解为（ ）
C．x=3
:
学§科§网Z§X§
X§K]
D． x=﹣3


考点：解 分式方程
专题：计 算题．
分析：分 式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解 ：去分母得：x﹣3（x﹣2）=0，
去括号得：x﹣3x+6=0，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选C
点评：此 题考 查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整
式方程求解．解分式方程 一定注意要验根．

1

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4．（3分）（ 2013•无锡）已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的
极 差与众数分别是（ ）
A． 4，15 B． 3，15 C． 4，16 D． 3，16

考点：极 差；众数
分析：极 差是一组数中最大值与最小值的差；众数是这组数据中出现次数最多的数．
解答：解 ：极差为：17﹣13=4，
数据15出现了3次，最多，故众数为15，
故选A．
点评：考 查了众数和极差的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数；极差就是这组数中
最大值与最小值的差．

5．（3分）（2013•无锡）下列说法中正确的是（ ）
A． 两直线被第三条直线所截得的同位角相等
B． 两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C． 两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
D． 两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直

考点：平 行线的性质；同位角、内错角、同旁内角
分析：根 据平行线的性质，结合各选项进行判断即可．
解答：解 ：A、两平行线被第三条直线所截得的同位角相等，原说法错误，故本选项错误；
B、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补，原说法错误，故本选项错误；
C、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行，原说法错误，故本选
项错误；
D、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，故本选
项正确；
故选D．
点评：本 题考查了平行线的性质，在判断正误时，一定要考虑条件，否则很容易出错．

6．（3分）（2013•无锡）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
22
22
A． B． C． D．
30πcm 15πcm
30cm 15cm

考点：几 何体的表面积；圆柱的计算
分析：圆 柱侧面积=底面周长×高．
解答：
：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm
2
． 解
故选B．
点评：本 题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，属于基础题．
< br>7．（3分）（2013•无锡）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的 度
数是（ ）
2

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35° 140° 70°
A． B． C． D． 70°或 140°

考点：圆 周角定理
分析：由 A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．
解答：解 ：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选B．
点评：此 题考查了 圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半．

8．（3分）（2013•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥B C，对角线AC、BD相交于O，AD=1，
BC=4，则△AOD与△BOC的面积比等于（ ）
A．


B．

C．

D．


考点：相 似三角形的判定与性质；梯形．
分析：由 梯形ABCD中 ，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，又由AD=1，BC=4，根据相似
三角形的面积比等于相似 比的平方，即可求得△AOD与△BOC的面积比．
解答：解 ：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵AD=1，BC=4，
即AD：BC=1：4，
∴△AOD与△BOC的面积比等于：1：16．
故选D．
点评：此 题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

9． （3分）（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，
则DP：DQ等于（ ）
3

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A． 3：4 B． C． D．
：2 ：2 2：

考点：平 行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理
分析：连 接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作 CM⊥AB于M，根据三角形的面积
和平行四边形的面积得出S
△DEC
=S
△DFA
=S
平行四边形
ABCD
，求出AF×DP=CE×DQ，设
AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，FN=a，CM=a，求出
AF=a，CE=2a，代入求出即可．
解答：解 ：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边 形的面积得：S
△DEC
=S
△DFA
=S
平行四边形
AB CD
，
即AF×DP=CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB：BC=3：2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=a，BE=2a，
BN=a，BM=a，
由勾股定理得：FN=
AF=
CE=
∴a•DP=2a•DQ
∴DP：DQ=：2，
故选D．
=2
a，CM=
=
a，
a，
a，
4

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点评：本 题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等
知 识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．

10．（3分 ）（2013•无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为▱ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则
N（t ）所有可能的值为（ ）
A． 6、7 B． 7、8 C． 6、7、8 D． 6、8、9

考点：平 行四边形的性质；坐标与图形性质．
分析：分 别求出t=1，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
解答：解 ：当t=0时，A（ 0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），
（1，2），（1 ，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4 ），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，
2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t=2时，A（0，0），B（0 ，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，
2），（1，3），（1，4 ），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选C．
点评：本 题考查了平行四边形的性质，函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和归纳
能力．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分）
11．（3分）（2013•无锡）分解因式：2x﹣4x= 2x（x﹣2） ．

考点：因 式分解-提公因式法
分析：首 先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
解答：
：2x
2
﹣4x=2x（x﹣2）解．
故答案为：2x（x﹣2）．
点评：此 题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．

12．（3分）（2013•无锡）去年，中央财政安排资金 8 200 000 000 元，免除 城市义务教育
学生学杂费，支持进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表< br>示为 8.2×10 元．

考点：科 学记数法—表示较大的数
分析：
学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，科
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
5
9
2

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解答：
：将8 200 000 000 用科学记数法表示为8.2×10
9
． 解
9
故答案为：8.2×10．
点评：
题考查科学记数法的表示方法．科 学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，此其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示 时关键要正确确定a的值以及n的值．

13．（3分）（2013•无锡）已知双曲线y=

考点：反 比例函数图象上点的坐标特征
分析：
直接把点（﹣1，2）代入双曲线y=
解答：
解：∵双曲线y=
∴2=
经过点（﹣1，2），那么k的值等于 ﹣3 ．
，求出k的值即可．
经过点（﹣1，2），
，解得k=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评：本 题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定
适合此函数的解析式．

14．（3分）（2013•无锡）六边形的外角和等于 360 度．

考点：多 边形内角与外角
分析：根 据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
解答：解 ：六边形的外角和等于360度．
点评：任 何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．

15．（3分）（2013 •无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD
的中点，则OE的长等于 4 ．


考点：菱 形的性质；直角三角形斜边上的中线．
分析：
根据菱形的性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE=AB，代入求出即
可．
解答：解 ：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，
6

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∵AB=8，
∴OE=4．
故答案为4．
点评：
本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE=AB，此题
比较简单．

16．（3分）（2013•无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB， BE⊥AC，AF⊥BC，
则∠EFC= 45 °．


考点：等 腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质
分析：根 据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 可得AE=BE，然后求出△ABE
是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=∠A BE=45°，再根据等
腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合 一的性质
可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和列式计 算即可得解．
解答：解 ：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∴BF=EF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．
故答案为：45．
点评：本 题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平
分 线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半的性质，熟记各性质 并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．

7

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17．（3分）（2013•无锡）如图是一个几何体的三视图， 若这个几何体的体积是36，则它的
表面积是 72 ．


考点：由 三视图判断几何体
分析：根 据主视图与左视图得出长方体的边长，再利用图形的体积得出它的高，进而得出表
面积．
解答：解 ：∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是36，
∴设高为h，则6×2×h=36，
解得：h=3，
∴它的表面积是：2×3×2+2×6×2+3×6×2=72．
故答案为：72．
点评：此 题主要考查了利用三视图判断几何体的边长，得出图形的高是解题关键．
18．（3分）（2013•无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四 边
形的四个顶点，则CD长的最小值为 7 ．

考点：平 行四边形的性质；坐标与图形性质．
分析：① CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②C D是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作B N⊥DF于N，
证△DBN≌△ACAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，得出D（（8﹣ a，6+a），由
勾股定理得：CD=（8﹣a﹣a）+（6+a+a）=8a﹣8a+100=8（a ﹣）+98，求出即
可．
解答：解 ：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD==10
22222
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
8

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∴△DBN≌△ACAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，
D（（8﹣a，6+a），
由勾股定理得：CD=（8﹣a﹣a）+（6+a+a）=8a﹣8a+100=8（a﹣）+98，
当a=时，CD有最小值，是
∵＜10，
∴CD的最小值是
故答案为：7．

22222
=7，

点评：本 题考查了平行四边形性质，全等 三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关
键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难 度偏大．

三、计算题
19．（8分）（2013•无锡）计算：
（1）﹣（﹣2）+（﹣0.1）；
2
（2）（x+1）﹣（x+2）（x﹣2）．

考点：完 全平方公式；实数的运算；平方差公式；零指数幂．
分析：（ 1）原 式第一项利用平方根的定义化简，第二项表示两个﹣2的乘积，最后一项利
用零指数幂法则计算即可得到 结果；
（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并
即 可得到结果．
解答：解 ：（1）原式=3﹣4+1=0；
（2）原式=x+2x+1﹣x+4=2x+5．
点评：此 题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及
法则是解本题的关键．

20．（8分）（2013•无锡）（1）解方程：x+3x﹣2=0；
9
2
22
20

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（2）解不等式组：．

考点：解 一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组
分析：
1）求出b
2
﹣4ac的值，代入公式求出即可； （
（2）先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．
2
解答：
：解（1）x+3x﹣2=0，
∵b﹣4ac=3﹣4×1×（﹣2）=17，
∴x=
x
1
=

（2）
，
，x
2
=﹣；
22
∵解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞5，
∴不等式组的解集为：x＞5．
点评：本 题考查了解一元二次方程和解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．

21．（6分 ）（2013•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A=，求BC的
长和tan∠B的值．


考点：解 直角三角形．
专题：计 算题．
分析：在 直角三角形ABC中，根据sinA的值及AB的长，利用锐角三角函数定义求出BC
的长，再利用勾股定理求出AC的长，利用锐角三角函数定义即可求出tanB的值．
解答：
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA===，
∴BC=4，
根据勾股定理得：AC=
则tanB===．
=2，
点评：此 题属于解 直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾
股定理是解本题的关键．

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22．（12分）（2013•无 锡）小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三
人中仅有一人出“手心”或“手背 ”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜
负，那么在一个回合中，如果小明出“ 手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”
或“列表”等方法写出分析过程）

考点：列 表法与树状图法
分析：首 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能 的结果与他获胜的情况，再
利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解 ：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种情
况，
∴他获胜的概率是：．
点评：本 题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状 图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步 以
上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（6分）（2 013•无锡）某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制
作”，“数学思维 ”，“阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下
面是根据收集的数据绘制的 不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了 200 名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是 144 度；
（2）请把这个条形统计图补充完整；
（3）现该校共有800名学生报名参加这四个选修项 目，请你估计其中有多少名学生选修“科
技制作”项目．

考点：条 形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
分析：（ 1）根据阅读写作的人数和所占的百分比，即可求 出总学生数，再用艺术鉴赏的人
数除以总人数乘以360°，即可得出答案；
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（2）用总学生数减去“艺术鉴赏”，“科技制作”，“阅读写作 ”，得出“数学思维”的人数，
从而补全统计图；
（3）用“科技制作”所占的百分比乘以总人数8000，即可得出答案．
解答：解 ：根据题意得：
调查的总学生数是：50÷25%=200（名），
“艺术鉴赏”部分的圆心角是×360°=144°；
故答案为：200，144；

（2）数学思维的人数是：200﹣80﹣30﹣50=40（名），
补图如下：


（3）根据题意得：800×=120（名），
答：其中有120名学生选修“科技制作”项目．
点评：本 题考查的是条形统计图和扇形统 计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每 个项目的数据；扇形统计图直
接反映部分占总体的百分比大小．

24．（12分 ）（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在
①AB∥CD；②A O=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四
边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2） 写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，
那么…．”的形 式）


考点：平 行四边形的判定；命题与定理
分析：（ 1）根据平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，根据平行四边形
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的判定推出即可；
（2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可．
解答：（ 1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴=，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题， 即如果有一组对边平行，而另一组对
边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形 ；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，
且O A=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，

根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．
点评：本 题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识点
的 应用，主要考查学生的推理能力哈辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错
的题目．

25．（8分）（2013•无锡）已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：
A元素含量 单价（万元吨）
甲原料 5% 2.5
乙原料 8% 6
已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元 素要排放废气
0.5吨，若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这 两种
原料的费用最少是多少万元？

考点：一 次函数的应用
分析：设 需要甲原料x吨，乙原料y吨．由20千克=0.02吨就可以列出方程5%x+8%y=0.02
和不 等式5%x×1000x1+8%y×1000x0.5≤16，设购买这两种原料的费用为W万元，根
据条件可以列出表达式，由函数的性质就可以得出结论．
解答：解 ：设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由题意，得

由①，得
13

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y=．
． 把①代入②，得x≤
设这两种原料的费用为W万元，由题意，得
W=2.5x+6y=﹣1.25x+1.5．
∵k=﹣1.25＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x=时，W
最小
=1.2．
答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元．
点评：本 题考查了利用一元一次不等式 组和一次函数解决实际问题．解答时列出不等式组，
建立一次函数模型并运用一次函数的性质求最值是难 点．

26．（12分）（2013•无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口 向上的抛物线过原点
交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于 点C，
直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．


考点：二 次函数综合题．
分析：（ 1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2 AF+AE=4①，
由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出==，
即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点
A 的坐标；
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax+bx，再根据抛物线
过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为﹣
4得 出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可
分两种情况讨论： ①当OB=BC时，设B（﹣4，y
1
），列出方程，解方程求出y
1
的2
值，将A，B两点坐标代入y=ax+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②
当OC=BC时，设C（2，y
2
），列出方程，解方程求出y
2
的值，将A ，C两点坐标代
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2

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入y=ax+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
解答：解 ：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴==，即AE=2AF②，
2
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；

（2）∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），
∴对称轴为直线x==﹣1，
2
∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2﹣（﹣4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（﹣4，y
1
），
则16+=36，解得y
1
=±2（负值舍去）．
）代入y=ax+bx，
2
将A（﹣2，0），B（﹣4，2
得，解得．
∴此抛物线的解析式为y=x+
2
x；
②当OC=BC时，设C（2，y
2
），
则4+=36，解得y
2
=±4（负值舍去）．
）代入y=ax+bx，
．
2
2
将A（﹣2，0），C（2，4
得，解得
∴此抛物 线的解析式为y=x+x．
x+
2
综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的 函数关系式为y=
y=x+
2
x或
x．
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点评：本 题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到 二次函数的对称性，相似三角形的判定
与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质， 两点间的距离公式
等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

27．（12分）（2013•无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A 出发，以2cms的
速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀 速运动
到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm）与t（s）之间函数关系的
图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABC D的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，
求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．
2


考点：相 似形综合题；动点问题的函数图象．
分析：（ 1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合
时的情形，运动时间为 3s，可得AB=6cm；再由S
△APQ
=，可求得AQ的长度，
进而得到点Q的运 动速度；
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段
C D上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部
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分，如答图3所示，求出t的值；
当点P在BC 上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4
所示，求出t的值．
解答：解 ：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，
则菱形的边长AB=2×3=6cm．
此时如答图1所示：

AQ边上的高h= AB•sin60°=6×
S=S
△APQ
=AQ•h=AQ×=
=cm，
，解得AQ=3cm，
∴点Q的运动速度为：3÷3=1cms．

（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2
所示：

点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至 终
点D所需时间为18÷2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段 CD上继续运动，且时间
t的取值范围为：6≤t≤9．
过点P作PE⊥AD交AD的延长线 于点E，则PE=PD•sin60°=（18﹣2t）
×=t+．
t+）=t+， S=S
△APQ
=AD•PE=×6×（
∴FG段的函数表达式为：S=t+（6≤t≤9） ．

（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=．
当点P在AB上运 动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，
如答图3所示．
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此时△APQ的面积S=AQ•AP•sin60°=t•2t×
根据题意，得
解得t=s；
t=×
2
=t，
2
，

当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4
所示．
此时，有S
梯形
ABPQ
=S
菱形
ABCD
，即（ 2t﹣6+6）×6×
解得t=
∴存在t=
s．
和t=，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．
=×，
点评：本 题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图
形面积等知识点．解题 关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的
实际意义，理解动点的完整运动过程．

28．（12分）（2013•无锡）下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按 下列要求设计
一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的< br>符号和数据，并作简要说明．
（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱 模型，使它的表面积与原
正方形面积相等；
（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是 正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积
与原正三角形的面积相等；
（3）将图3中的正五边 形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积
与原正五边形的面积相等．


考点：图 形的剪拼
专题：操 作型．
分析：（ 1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直
四棱柱的底面即可；
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（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是 5的点，然后作边的垂线，剪下后拼
成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；
（3） 在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼
成一个正五边形，作为直五 棱柱的一个底面即可．
解答：解 ：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折
叠即可；
（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；
（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．

点评：本 题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相
等， 从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．



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