周晓鸥我是歌手-沙宝亮1314

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2014年广东省中考数学试卷

参考答案与试题解析


一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•汕头）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（ ）
A． 1 B． 0 C． 2 D． ﹣3

考点：有理数大小比较．
分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
解答：解：﹣3＜0＜1＜2，
故选：C．
点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．

2．（3分）（2014•汕头）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．




考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故A选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故B选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D选项错误．
故选：C．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后与原图重合．

3．（3分）（2014•汕头）计算3a﹣2a的结果正确的是（ ）
A． 1 B． a C． ﹣a D． ﹣5a

考点：合并同类项．
分析：根据合并同类项的法则，可得答案．
解答：解：原式=（3﹣2）a=a，
故选：B．
点评：本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．

4．（3分）（2014•汕头）把x
3
﹣9x分解因式，结果正确的是（ ）
A．
x

（x
2
﹣9）
B． C． D． x（x+3）（x﹣3）
x（x﹣3）
2
x（x+3）
2


考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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专题：因式分解．
分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：
解：x
3
﹣9x，
=x（x
2
﹣9），
=x（x+3）（x﹣3）．
故选：D．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解， 一个多项式有公因式首先提取公因
式 ，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

5．（3分）（2014•汕头）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A． 1 0 B． 9 C． 8 D． 7

考点：多边形内角与外角．
分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7．
故选：D．
点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．

6．（ 3分）（2014•汕头）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，
4个白球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．


考点：概率公式．
分析：直接根据概率公式求解即可．
解答：解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．
故选：B．
点评：本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数
与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．

7．（3分）（2014•汕头）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）

AC⊥BD
A． A C=BD B． C． AB=CD

考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．
D． AB=BC
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解答：解：A、AC≠BD，故A选项错误；
B、AC不垂直于BD，故B选项错误；
C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C选项正确；
D、AB≠BC，故D选项错误；
故选：C．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．

8． （3分）（2014•汕头）关于x的一元二次方程x
2
﹣3x+m=0有两个不相等的实数根 ，则实
数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


考点：根的判别式．
专题：判别式法．
分析：
先根据判别式的意义得到△=（﹣3）
2
﹣4m＞0，然后解不等式即可．
解答：
解：根据题意得△=（﹣3）
2
﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
点评：
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c= 0（a≠0）的根的判别式△=b
2
﹣4ac：当△＞0，方
程有两个不相等的实数根 ；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有
实数根．

9．（3分）（2014•汕头）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A． 1 7 B． 15 C． 13 D． 13或17

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题：分类讨论．
分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分： （1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等
腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．

10．（3分）（2014•汕头）二次函数y=ax
2
+bx+c（a≠0）的大致图象如图 ，关于该二次函数，
下列说法错误的是（ ）
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A． 函 数有最小值
C．
当x＜，y随x的增大而减小
B．
对称轴是直线x=
D．当 ﹣1＜x＜2时，y＞0

考点：二次函数的性质．
专题：压轴题；数形结合．
分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；
根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；
根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．
解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题
意；
B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2014•汕头）计算：2x
3
÷x= 2x
2
．

考点：整式的除法．
专题：计算题．
分析：直接利用整式的除法运算法则求出即可．
解答：
解：2x
3
÷x=2x
2
．
故答案为：2x
2
．
点评：此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．

12．（4分）（2014•汕头）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618
000 000用科学记数法表示为 6.18×10
8
．

考点：科学记数法—表示较大的数．
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专题：常规题型．
分析：
学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，其中1≤|a|＜10， n为整数．确定n的值时，科
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位 数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×10
8
．
故答案为：6.18×10
8
．
点评：
此题考查科学记数法的表 示方法．科学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整 数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13．（4分）（2014•汕头）如图 ，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，
则DE= 3 ．


考点：三角形中位线定理．
分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定
理可求出DE．
解：∵D、E是AB、AC中点，
解答：
∴DE为△ABC的中位线，
∴ED=BC=3．
故答案为：3．

点评： 本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．



14．（4分）（2014•汕头）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么 圆心O到
AB的距离为 3 ．



垂径定理；勾股定理．
考点：
分析：
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作OC⊥AB于C，连接OA， 根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在Rt△AOC
中利用勾股定理计算OC即可．
解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
解答：
OC⊥AB， ∵
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC===3，
即圆心O到AB的距离为3．
故答案为：3．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查
了勾股定理．

15．（4分）（2014•汕头）不等式组的解集是 1＜x＜4 ．

考点：解一元一次不等式组．
专题：计算题．
分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解答：
解：，
由①得：x＜4；
由②得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
故答案为：1＜x＜4．
点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（4分）（2014•汕头）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC= 90°，
AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 ﹣1 ．
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考点：旋转的性质；等腰直角三角形．
专题：压轴题．
分析：
根据 题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，
AF=FC′=AC′=1，进而 求出阴影部分的面积．
，
解答：
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△ A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45 °，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，
﹣1）
2
=
∴图中阴影部分的面积等于：S
△AFC′
﹣S
△DEC′
=×1×1﹣×（
故答案为：﹣1．
﹣1．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′
的长是解题关键．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）（2014•汕头）计算：+|﹣4|+（﹣1）
0
﹣（）
1
．
﹣

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考
点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=3+4+1﹣2
=6．
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点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题
目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18．（6分）（2014•汕头）先化简，再求值：（+）•（x
2
﹣1），其中x=．

考点：分式的化简求值．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=•（x
2
﹣1）
=2x+2+x﹣1
=3x+1，
当x=时，原式=．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

19．（6分）（2014•汕头）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作
法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．


考点：作图—基本作图；平行线的判定．
专题：作图题．
分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠B DE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得
∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得 结论．
解答：解： （1）如图所示：

（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
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∴DE∥AC．

点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相
等两直线平行．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）（2014•汕头）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的
仰角高 度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的
高度（结果精确 到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）


考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：几何图形问题．
分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角
△BDC中，利用三角函数即可求解．
解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
< br>21．（7分）（2014•汕头）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动< br>中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？

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考点：分式方程的应用．
专题：销售问题．
分析：
（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；
（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．
解答：解： （1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
=9%，
解得：x=1200，
经检验：x=1200是原方程的解．
答：这款空调每台的进价为1200元；

（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．
点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．

22． （7分）（2014•汕头）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是
准备在校内 倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校
学生会在某天午餐后， 随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了
如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有 1000 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用
一 餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
专题：图表型．
分析：（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；
（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
（3）根据这次被调查的所有 学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校
的总人数是18000人，列式计算即可．
解答：解： （1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；
故答案为：1000；
（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，
补图如下；
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（3）18000×=3600（人）．
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得 到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分 占总体的百分比大小．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） < br>23．（9分）（2014•广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与 反
比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．


考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
解答：解： （1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，
当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；

（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
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y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；

（3）连接PC、PD，如图，
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得
××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系
数法求解析式．

24．（9分）（2014•汕头）如图，⊙O是△ABC的外 接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB
于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E， 作射线DE交BC的延长线于
F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
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考点：切线的判定；弧长的计算．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；
（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；
（3）连接AP，PC，证出PC为EF的 中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系
求解．
解答：（1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴==2π；
答：劣弧PC的长为：2π．

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；

（3）证明：如图，连接AP，PC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
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∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．


点评：本题主要考查了切线的判定， 解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．

25．（9分）（2014•汕 头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点
P从点 B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD
的直线m从底边BC 出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD
于E、F、H，当点P到达点 C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程 中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求
线段BP的长；
（3 ）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存
在，请说明理 由．

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考点：相似形综合题．
专题：几何综合题；压轴题；动点型．
分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求
解；
（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得：EF=10﹣t．
）， S
△PEF
=EF•DH=（10 ﹣t）•2t=﹣t
2
+10t=﹣（t﹣2）
2
+10（0＜t＜
∴当t=2秒时，S
△PEF
存在最大值，最大值为10cm
2
，此时BP= 3t=6cm．

（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．
∵PF∥AD，∴，即，解得t=；
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③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于 点N，则EM=FN=DH=2t，
EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．
在 Rt△EMP中，由勾股定理得：PE
2
=EM
2
+PM
2
=（2t）
2
+（t）
2
=
∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，
t．
2
t）=
t
2
．
∴PN=BC﹣BP﹣C N=10﹣3t﹣t=10﹣
2
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF
2
= FN
2
+PN
2
=（2t）+（10﹣t
2
﹣85t+10 0．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF
2
=PE
2
+PF< br>2
，
即：（10﹣t）
2
=（
化简得：
解得：t=
∴t=．
秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．
t
2
）+（t
2
﹣85t+100）
t
2
﹣35t=0，
或t=0（舍去）
综上所述，当t=
点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；
第（2 ）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三
角形、勾股定理、解方程 等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．

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