雀氏纸尿裤-林海英

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2012年苏州中考数学试卷
解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1． 2的相反数是（ ）

A

． ﹣2

考点： 相反数。
专题： 常规题型。
分析： 根据相反数的定义即可求解．
解答： 解：2的相反数等于﹣2．
故选A．
点评： 本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．

2．若式子

A

． x＜2

考点： 二次根式有意义的条件。
分析： 根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．
解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．
故选D．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

3．一组数据2，4，5，5，6的众数是（ ）

A

．
2

考点： 众数。
分析： 根据众数的定义解答即可．
解答： 解：在2，4，5，5，6中，5出现了两次，次数最多，
故众数为5．
故选C．
点评： 此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中，出现次数最多的数位众数，众数可以
有多个．

4．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转
停止 时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
4
B．
5
C．
6
D．
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
B．
x≤2
C． x＞2
x≥2
D．
2
B． C．
﹣
D．

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A

．

考点： 几何概率。
分析： 确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动
时指针指向阴影部分的概率．
解答： 解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2 份，转盘停止转动时指针指
向阴影部分的概率是=；
故选B．
点评： 本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．

5．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，
度数是（ ）
=，∠AOB=60°，则∠BDC的

B．

C．

D．


20°

A

．

考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系。
分析：
由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，利用在同圆或等
25°
B．
30°
C．
40°
D．
圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC
的度数．
解答：
解：∵=，∠AOB=60°，
∴∠BDC=∠AOB=30°．
故选C．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在 同圆或
等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．

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6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE ∥AC，若AC=4，则
四边形CODE的周长（ ）


A

．
4

考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质。
分析： 首 先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD
是矩形，根据 矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而
求得答案．
解答： 解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
点评： 此题考查了 菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形
CODE是菱形是解此题的关键．

7．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）

A

．
2

考点： 一次函数图象上点的坐标特征。
专题： 计算题。
分析： 将点（m，n）代入函数y=2x+1，的到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
解答： 解：将点（m，n）代入函数y=2x+1得，
n=2m+1，
整理得，2m﹣n=﹣1．
故选D．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点的坐标符
合函数解析式．

8．若3×9×27=3，则m的值为（ ）

A

．
2 3 4
B． C．

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mm11
B．
6
C．
8 10
D．
B． ﹣2 C．
1
D． ﹣1
5
D．

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考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析： 先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘， 再利用同底数幂的乘法的性质
计算后根据指数相等列出方程求解即可．
解答：
解： 3•9
m
•27
m
=3•3
2m
•3
3m
=3
1+2m+3m
=3
11
，
∴1+2m+3m=11，
解得m=2．
故选A．
点评： 本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘 法，转化为同底数幂的乘法，理
清指数的变化是解题的关键．

9．如图，将△AO B绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′
的度数是（ ）
25°

A

．

考点： 旋转的性质。

30°
B．
35°
C．
40°
D．
分析： 根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即
可．
解答： 解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45°﹣15°=30°，
故选：B．
点评： 此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，
∠AOB=∠ A′OB′=15°是解题关键．

10．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正 方形（用阴影表示），点B
1
在y轴上，
点C
1
、E
1、E
2
、C
2
、E
3
、E
4
、C3
在x轴上．若正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的边长为1，∠B
1
C
1
O=60°，
B
1< br>C
1
∥B
2
C
2
∥B
3
C
3
，则点A
3
到x轴的距离是（ ）

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A

．


B．

C．

D．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。
专题： 规律型。
分析：
利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出D
1
E
1
=B
2
E
2
=，B
2
C< br>2
=
B
3
C
3
=，求出WQ=×=，FW=WA3
•cos30°=×=
，进而得出
，即可得出答案．
解答：
解：过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A
3
F⊥FQ于点F， ∵正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的边长为 1，∠B
1
C
1
O=60°，B
1
C
1
∥ B
2
C
2
∥B
3
C
3
，
∴∠B
3
C
3
E
4
=60°，∠D
1< br>C
1
E
1
=30°，∠E
2
B
2
C
2
=30°，
∴D
1
E
1
=D
1
C
1
=，
∴D
1
E
1
=B
2
E
2
=， < br>∴cos30°=
解得：B
2
C
2
=
∴B
3
E
4
=
cos30°=
，
=
，
，
，
解得：B
3
C
3
=，
则WC
3
=，
根据题意得出：∠WC
3
Q=30°，∠C
3
WQ=60°，∠A
3
WF=30°，
∴WQ=×=，
FW=WA
3
•cos30°=×=，
=， 则点A
3
到x轴的距离是：FW+WQ=+
故选：D．
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点评：
此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出B
3
C
3
的长是解题关键．

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
3
11．计算：2= 8 ．

考点： 有理数的乘方。
分析：
正确理解有理数乘方的意义，a表示n个a相乘的积．
解答：
解：2表示3个2相乘的积，2×2×2=8，
3
因此2=8．
点评： 要准确理解有理数乘方的含义．

12．若a=2，a+b=3，则a+ab= 6 ．

考点： 因式分解的应用。
分析： 利用提公因式法进行因式分解，然后把a=2，a+b=3代入即可．
解答： 解：∵a=2，a+b=3，
2
∴a+ab=a（a+b）=2×3=6．
故答案为：6．
点评：
本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法把a
2
+ab进行因式分解是解题的关键．

13．已知太阳的半径约为696000000m，696000000这个数用科学记数法表示为 6.96×10 ．

考点： 科学记数法—表示较大的数。
分析：
科 学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数 变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数 ；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：696000000=6.96×10，
8
故答案为：6.96×10．
n
点评：
此题主要考查科学记数 法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关 键要正确确定a的值以及n的值．

14．已知扇形的圆心角为45°，弧长等于

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8
n
8
2
3
n
，则该扇形的半径为 2 ．

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考点： 弧长的计算。
分析：
根据弧长公式l=可以求得该扇形的半径的长度．
，知
解答：
解：根据弧长的公式l=
r===2，即该扇形的半径为2．
故答案是：2．
点评： 本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径 r的方程，通过
解方程即可求得r的值．

15．某初中学校共有学生720人，该 校有关部门从全体学生中随机抽取了50人，对其到校
方式进行调查，并将调查的结果制成了如图所示的 条形统计图，由此可以估计全校坐公交车
到校的学生有 216 人．


考点： 用样本估计总体；条形统计图；加权平均数。
专题： 数形结合。
分析： 先求出50个人里面坐公交车的人数所占的比例，然后即可估算出全校坐公交车到校
的学生．
解答：
解：由题意得，50个人里面坐公交车的人数所占的比例为：
故全校坐公交车 到校的学生有：720×30%=216人．
即全校坐公交车到校的学生有216人．
故答案为：216．
点评： 此题考查了用样本估计总体的知识，解答本题的关键是根据所求 项占样本的比例，
属于基础题，难度一般．

16．已知点A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
）在二次函数y=（x﹣1） +1的图象上，若x
1
＞x
2
＞1，
则y
1
＞ y
2
（填“＞”、“＜”或“=”）．

考点： 二次函数图象上点的坐标特征。
分析： 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两 点的位置及函数的增
减性，进而可得出结论．
解答：
解：由二次函数y=（x﹣1）
2
+1可，其对称轴为x=1，
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2
=30%，

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∵x
1
＞x
2
＞1，
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x
1
＞x
2
＞1，
∴y
1
＞y
2
．
故答案为：＞．
点评： 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是
解答此题的关键．

17．如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y=图象的一个分支，第二象限内的图象是
反比例函数y=﹣图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交
于点 A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且
AB＜AC，则 点A的坐标为 （，3） ．


考点： 反比例函数综合题。
专题： 综合题。
分析：
设A点坐标为（a，），利用AB平行于x轴，点B的纵坐标为，而点B在 反比例
函数y=﹣图象上，易得B点坐标为（﹣2a，），则AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC=，< br>然后根据矩形的性质得到
AB+AC=4，即3a+=4，则3a﹣4a+1=0，用因式分解 法解得a
1
=，a
2
=1，而AB＜
AC，则a=，即可写出A点坐 标．
解答：
解：点A在反比例函数y=图象上，设A点坐标为（a，），
∵AB平行于x轴，
2
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∴点B的纵坐标为，
而点B在反比例函数y=﹣图象上，
∴B点的横坐标=﹣2×a=﹣2a，即B点坐标为（﹣2a，），
∴AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC=，
∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，
∴AB+AC=4，即3a+=4，
整理得，3a﹣4a+1=0，（3a﹣1）（a﹣1）=0，
∴a
1
=，a
2
=1，
而AB＜AC，
∴a=，
∴A点坐标为（，3）．
故答案为（，3）．
点评： 本题考 查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析
式；利用矩形对边相等的性质 建立方程以及用因式分解法解一元二次方程．

18．如图①，在梯形ABCD中，AD∥B C，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cms的速
度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点 P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S
2
（单位：cm）与点P移动的时间（单位：s） 的函数如图②所示，则点P从开始移动到停
止移动一共用了 （4+2） 秒（结果保留根号）．
2


考点： 动点问题的函数图象。
专题： 动点型。
分析： 根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD
的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，
然后求出D F的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD
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的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．
解答： 解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4﹣2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cms，
∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2×=，
AE=ABcos60°=2×=1，
∴×AD×BE=3
即×AD×=3
，
，
解得AD=6cm，
∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3，
在Rt△CDF中，CD===2，
，
（秒）．
所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2
∵动点P的运动速度是1cms，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2
故答案为：（4+2）．

点评： 本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、
BC的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边的两个顶点的
高线作出辅 助线也很关键．

三、解答题（本大题共11小题，共76分）
19．计算：（

﹣1）+|﹣2|﹣
0
．
考点： 实数的运算；零指数幂。
专题： 计算题。
分析： 分别计算零指数幂、绝对值及二次根式的化简，然后合并即可得出答案．
解答： 解：原式=1+2﹣2
=1．
点评： 此题考查了实数的运算及零指数幂的知识，属于基础 运算题，解答此题的关键是熟
练掌握各部分的运算法则．
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20．解不等式组

考点： 解一元一次不等式组。
分析： 首先分别解出 两个不等式，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到 ，确定解集即可．
解答：
解：
由不等式①得，x＜2，
由不等式②得，x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确求出两个不等式的解集．

21．先化简，再求值：

考点： 分式的化简求值。
专题： 计算题。
分析： 将原式第二项第一个因式的分子利用完全公式分解因式，分母利用平方差公式分解
因式 ，约分后再利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，然后将a的值代
入化简后的式子中计算，即 可得到原式的值．
解答：
解：+•
，其中，a=+1．
，
．
=
=
=
当a=
+
+
，
+1时，原式=

•
=．
点评： 此题考查了分式的化简求值， 分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公
分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找 公因式，约分时分式的分子分
母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，此外化简求值题要先将原 式化为
最简时再代值．

22．解分式方程：．
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考点： 解分式方程。
专题： 计算题。
分析： 两边同乘分式方程的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再解答，然后检验．
解答： 解：去分母得：3x+x+2=4，
解得：x=，
经检验，x=是原方程的解．
点评： 本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键．

23．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连
接AE、AC．
（1）求证：△ABE≌△CDA；
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．


考点： 梯形；全等三角形的判定与性质。
专题： 证明题。
分析： （1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的
全等； （2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角
和定理即可 得出答案．
解答： （1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，
∴∠ABE=∠CDA
在△ABE和△CDA中，，
∴△ABE≌△CDA．

（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，
∴∠AEB=∠ACE，
∵∠DAC=40°，
∴∠AEB=∠ACE=40°，
∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°．
点评： 此题考查了梯形、全等三角形 的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条
件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯 通．

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24．我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资 源占有量仅为美
国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m，问中、 美两
国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m）？

考点： 二元一次方程组的应用。
专题： 应用题。
3
分析：
设中国人均淡水资 源占有量为xm
3
，美国人均淡水资源占有量为ym，根据题意所述
等量关系得出方程 组，解出即可得出答案．
3
3
解答：
解：设中国人均淡水资源占有量为xm，美国人均淡水资源占有量为ym．
根据题意得：
解得：．
33
33
，
答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m，11500m．
点评： 此题考查了二 元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据题意所述
等量关系得出方程组，难度一般．

25．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上． （1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，
则所画 三角形是等腰三角形的概率是 ；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所 取的这两点及点B、C为顶
点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是 （用树状图或列表法求解）．


考点： 列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定。
分析： （1）根据从A、D、E、F四 个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，
所画三角形是等腰三角形，即可得出答案； < br>（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有
12种可能， 进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边
形是平行四边形，即可求出概 率．
解答： 解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D< br>点时，所画三角形是等腰三角形，
故P（所画三角形是等腰三角形）=；

（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
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∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P=
故答案为：（1），（2）．
点评： 此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率
是解题关键．

26．如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在 斜坡中点
D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡
BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为 11.0 米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部
H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一
条直线 上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
=．


考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析： （1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠B EF=45°时，EF最短，此时ED最长，
进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用 在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用
HM=DM• tan30°得出即可．
解答： 解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF=BD=15，
DF=15，
故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0；

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
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在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，
PA=AD•cos30°=×30=15．
+27， 在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15
在Rt△DMH中，
HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9．
GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．
答：建筑物GH高为45.6米．

点评： 此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐< br>角三角函数得出是解题关键．

27．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A ，点P是直径AB左侧半圆上的动点，
过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接P A、PB，设PC的长为x（2
＜x＜4）．
（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？


考点： 切线的性质；二次函数的最值；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质。
专题： 计算题。
分析： （1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直
于 直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与
PC平行，根据两直线 平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利
用两对对应角相等的两三角形相似可得出三 角形PCA与三角形PAB相似，由相似得
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比例，将PC 及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA
的长，利用勾股定理即可求出 PB的长；
（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出
EC=OA=2 ，用PC﹣EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表
示出CD，代入所求 的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x
的范围，利用二次函数的性质即可求出所 求式子的最大值及此时x的取值．
解答： 解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，又PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB，
∴=，即PA=PC•AB，
2
∵PC=，AB=4，
∴PA==，
，
=；
∴Rt△APB中，AB=4，PA=
由勾股定理得：PB=

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四边形OACE为矩形，
∴CE=OA=2，又PC=x，
∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，
∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=4﹣x，
∴PD•CD=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x+12x﹣16=﹣2（x﹣3）+2，
∵2＜x＜4，
∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．
22
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点评： 此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性 质，垂径定理，勾股定理，
相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本 题的
关键．

28．如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合， 将正方形ABCD以1cms
的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边A D始终与边FG
重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形AB CD
的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x （s），
线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积 为S
1
，△CDG的面积为S
2
．试说明S
1
﹣S
2
是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．


考点： 正方形的性质；一元二次方程的应用；等腰直角三角形；矩形的性质；解直角三角
形。
专题： 代数几何综合题。
分析： （1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例
可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S
1
、S
2
，然后作 差即可．
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范
围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．
解答： 解：（1）∵CG∥AP，
∴△GCD∽△APG，
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∴=，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，
∴=，即y=，
， ∴y关于x的函数关系式为y=
当y=3时，=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．
故x的值为2.5；

（2）∵S
1
=GP•GD=•
S
2
=GD•CD=（3﹣x）1=
∴ S
1
﹣S
2
=﹣
•（3﹣x）=
，
，
=即为常数；

（3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3﹣x=
2
，
化简得：x﹣5x+5=0．
解得：x=
∵0≤x≤2.5，
∴x=，
=（3﹣x）=．
，
在Rt△DGP中，PD=
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点评： 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的
关键 是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．

29．如图，已知抛 物线y=x﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于
点A、B（点A位于点B的 左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 （b，0） ，点C的坐标为 （0，） （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等 于2b，且△PBC是
以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在， 请说明
理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和 △QAB中的任
意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不
存在，请说明理由．
2


考点： 二次函数综合题。
分析：
2
（1）令y=0，即y=x﹣（b+1）x+=0，解关于x的一元二次方 程即可求出A，
B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；
（2）存在，先假设存在这 样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC
是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设 点P的坐标为（x，y），连接OP，过P
作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条 件证明△PEC≌△PDB，进
而求出x和y的值，从而求出P的坐标；
（3）存在，假设存 在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三
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角形均相似， 有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，
即QA⊥x轴； 要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题
意Q的坐标即可．
解答：
2
解：（1）令y=0，即y=x﹣（b+1）x+=0，
解得：x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为（b，0），
令x=0，
解得：y=，
∴点C的坐标为（0，），
故答案为：（b，0），（0，）；

（2）存在，
假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角
顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为（x，y），连接OP．
则S
四边形
POCB
=S
△PCO
+S
△POB
=••x+•b•y=2b，
∴x+4y=16．
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四边形PEOD是矩形．
∴∠EPO=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．
由解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即
解得b=＞2符合题意．
，）；
﹣=b﹣，
∴P的坐标为（

（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均
相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
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∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=．
由AQ=AQ=OA•AB得：（）=b﹣1．
解得：b=8±4．
∵b＞2，
∴b=8+4．
∴点Q的坐标是（1，2+）．
（II）当∠OQC=90°时，△QCO∽△QOA，
∴=，即OQ=OC•AQ．
2
22
又OQ2=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．
解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，
∴点Q的坐标是（1，4）．
∴综 上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB
中的任意两个三角 形均相似．

点评： 此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，全等三角形 的判定和性
质，以及相似三角形的判定和性质，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还
让 学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．

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