水瓶座的女人-日行一善作文

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高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）

一、选择题：本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
< br>x25t
1．曲线

(t为参数)
与坐标轴的交点是（ ）．
y12t

(,0)
B．
(0,)、(,0)
C．
(0,4)、
(8,0)

(8,0)
D．
(0,)、
A．
(0,)、
2．把方 程
xy1
化为以
t
参数的参数方程是（ ）．
1


xsint

xcost

xtant
2
xt



A．

B． C． D．
1

11

1
y
yy

yt

2


tant
s intcost



2
5
1
2
15
1
2
5
9
3．若直线的参数方程为

A．< br>
x12t
(t为参数)
，则直线的斜率为（ ）．
y23t

2233
B．

C． D．


3322
4．点
(1,2)
在 圆


x18cos

的（ ）．

y8sin

B．外部 C．圆上 D．与θ的值有关 A．内部
1

xt

5．参数方程为
< br>t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）．


y2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线

x32cos


x3cos

6．两圆

与

的位置关系是（ ）．

y42sin


y3sin

A．内切 B．外切 C．相离 D．内含


xt
(t为参数)
等价的普通方程为（ ）． 7．与 参数方程为



y21t
y
2
y
2
2
1
B．
x1(0x1)
A．
x
44
2
y
2
y
2
2
1 (0y2)
D．
x1(0x1,0y2)
C．
x
44
2

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8．曲线


x5cos


(
< br>

)
的长度是（ ）．

y5sin

3
5

10

D．
3
3
A．
5

B．
10

C．
9．点
P(x,y)
是椭圆2x
2
3y
2
12
上的一个动点，则
x2y的最大值为（ ）．
A．
22
B．
23
C．
11
D．
22

1

x1 t

2

10．直线

(t为参数)
和圆
x
2
y
2
16
交于
A,B
两点，

y33
3
t

2
则
AB
的中点 坐标为（ ）．
A．
(3,3)
B．
(3,3)
C．
(3,3)
D．
(3,3)


x4t
2
(t为参数)
上，则
|PF|
等于（ ）． 11．若点
P(3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线

y4t

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

12．直线


x2t
(t为参数)
被圆
(x3)
2
(y1 )
2
25
所截得的弦长为（ ）．

y1t
1
C．
82
D．
9343

4
A．
98
B．
40
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． < br>tt


xee
(t为参数)
的普通方程为_____ _____________． 13．参数方程

tt


y 2(ee)


x22t
(t为参数)
上与点
A( 2,3)
的距离等于
2
的点的坐标是_______． 14．直线


y32t
15．直线


xtcos


x42cos

与圆

相切，则

_______________．

ytsin

< br>y2sin

22
16．设
ytx(t为参数)
，则圆< br>xy4y0
的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
求直线
l
1
:



x1t
(t为参数)
和直线
l
2
:xy 230
的交点
P
的坐标，及点
P



y53t
与
Q(1,5)
的距离．

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18．（本小题满分12分）
过点
P(
10
,0)
作倾斜 角为

的直线与曲线
x
2
12y
2
1
交于点
M,N
，
2
求
|PM||PN|
的值及相应的

的值．
19．（本小题满分12分）
已知
ABC
中，
A(2,0), B(0,2),C(cos

,1sin

)
(
为变数)，
求
ABC
面积的最大值．
20．（本小题满分12分） 已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角


（1 ）写出直线
l
的参数方程．
（2）设
l
与圆
x
2
y
2
4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之积．
21．（本小题满分12分）

6
，

1
t

t
x(e e)cos



2
分别在下列两种情况下，把参数方程

化为普通方程：
1

y(e
t
e
t
)sin


2
（1）

为参数，
t
为常数；（2）
t
为参数，

为常数．
22．（本小题满分12分）
已知直线
l
过定点
P(3,)< br>与圆
C
：

3
2

x5cos

(

为参数)
相交于
A
、
B
两点． 
y5sin

求：（1）若
|AB|8
，求直线
l
的方程；
（2）若点
P(3,)
为弦
AB
的中点， 求弦
AB
的方程．
答案与解析：
3
2
211
， 而
y12t
，即
y
，得与
y
轴的交点为
(0 ,)
；
555
111
当
y0
时，
t
，而
x25t
，即
x
，得与
x
轴的 交点为
(,0)
．
222
1．B 当
x0
时，
t
2．D
xy1
，
x
取非零实数，而A，B，C中的
x
的范围有各自的限制．
3．D
k
y23t3

．
x12t2
22
4．A ∵点
(1,2)
到圆心
( 1,0)
的距离为
(11)2228
(圆半径)
∴点
(1,2)
在圆的内部．
5．D
y2
表示一 条平行于
x
轴的直线，而
x2,或x2
，所以表示两条射线．

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22
6．B 两圆的圆心 距为
(30)(40)5
，两圆半径的和也是
5
，因此两圆外切．
y
2
y
2
22
1t1x,x1,而t0,0 1t1,得0y2
． 7．D
xt,
44
2
8．D 曲线是圆
x
2
y
2
25
的一段圆弧，它所对圆心角为


所以曲线的长度 为

3

2

．
3
10

．
3
x
2
y
2
1
，设
P(6cos

,2sin

)
， 9．D 椭圆为
64
x2y6cos

4sin
22sin(



)22
．
10．D < br>(1
tt
1
2
3
2
t)(33t)16
，得
t
2
8t80
，
t
1
t2
8,
12
4
，
2
22
1
< br>x14


2

x3
中点为

．



y3

y3 3
3
4


2
2
11．C 抛物线为y4x
，准线为
x1
，
|PF|
为
P(3,m)
到准线
x1
的距离，即为
4
．

2
x22t

x2t

x2t

2
12．C

，把直线




y1t
y1t



y12t
2

2
代入
(x3)(y1)25
，得
(5t)(2 t)25,t7t20
，
22222
|t
1
t
2
|(t
1
t
2
)
2
4t
1t
2
41
，弦长为
2|t
1
t
2
|82
．
y


xe
t
e
t< br>x2e
t

yy
xy

2
(x )x()
．
4

1,(x2)


y
13．

tt
22
416

ee

x
y
2e
t
2

2
2214．
(3,4)
,或
(1,2)

(2t) (2t)(2),t
15．
2222
12
,t
．
22

5

22
，或 直线为
yxtan< br>
，圆为
(x4)y4
，作出图形，相切时，
6
6

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易知倾斜角为

5

，或．
6
6
4t< br>
x

4t

1t
2
22
x 0
x
16．

，当时，，或；
y0
x(tx )4tx0
2
2
1t

y
4t

1t
2

4t

x

4t
2

1t
2
而
ytx
，即
y
，得

．
2
21t

y
4t

1t
2

17 ．解：将



x1t
，代入
xy230
，得
t23
，


y53t
得
P(1 23,1)
，而
Q(1,5)
，
得
|PQ|(23)
2
6
2
43
．

10
tcos


x
18．解：设直线为

(t为参数)
，代入曲线
2

ytsin


并整理得
(1sin

)t(10cos

)t< br>22
3
0
，
2
3
2
则
|PM| |PN||t
1
t
2
|
，
2
1sin< br>

3

2
所以当
sin

1< br>时，即


，
|PM||PN|
的最小值为，此时


．
242
19．解：设
C
点的坐标为
(x, y)
，则

22

xcos

，
y 1sin


即
x(y1)1
为以
(0,1)
为圆心，以
1
为半径的圆．
∵
A(2,0),B(0,2)
，
∴
|AB|4422
，
且
AB
的方程为
xy
1
，
22
即
xy20
，

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则圆心
(0,1)
到直线
AB
的距离为
|(1)2 |
1
2
(1)
2
3
2
，
2

3
2
．
2
∴点
C
到直线< br>AB
的最大距离为
1
∴
S
ABC
的最大值是13
22(12)32
．
22


< br>3
x1tcos
x1t




6
2
20．解：（1）直线的参数方程为

，即

，

y1tsin


y1
1
t


6

2

3
x1t


2
，代入
x
2
y
2
4
， （2 ）把直线


y1
1
t

2
得(1
3
2
1
t)(1t)
2
4,t
2
(31)t20
，
22
t
1
t
2
2
，则点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2
．
21．解：（1）当
t0
时，
y0,xcos

，即
x1,且y0
；
当
t0
时，
cos


x
1
tt
(ee)
2
, sin


y
1
tt
(ee)
2
，
而
xy1
，
22
即
x
2
1
t
(ee
t
)
2
4

y
2
1
t
(ee
t
)
2
4
 1
；
（2）当

k

,kZ
时，
y 0
，
x
1
t
(ee
t
)
，即< br>x1,且y0
；
2

1
tt
当
< br>k

,kZ
时，
x0
，
y(ee)< br>，即
x0
；
22
2x

tt
ee

k


cos

,kZ
时，得

当


，
2y
2

e
t< br>e
t


sin



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2x2y

t
2e

2x2y2x2y
cos

sin

tt
)()
， 即

，得
2e2e(
cos

sin

cos
sin


t
2x2y


2e 
cos


sin

即
x
2
y
2
cos
2


sin
2

1
．
22．解：（1）由圆
C
的参数方程


x 5cos

x
2
y
2
5sin

 25
，

y

设直线
l
的参数方程为①

x3tcos


(


y
3
t为参数)
，
2
tsin

将参数方程①代入圆的 方程
x
2
y
2
25

得
4t
2
12(2cos

sin

)t550
， ∴△
16[9(2cos

sin

)
2
55]0
，
所以方程有两相异实数根
t
1
、
t
2
，
∴
|AB||t)
2
1
t
2
|9(2cos

sin

558
，
化简有
3cos
2< br>
4sin

cos

0
，
解之cos

0
或
tan


3
4< br>，
从而求出直线
l
的方程为
x30
或
3x4 y150
．
（2）若
P
为
AB
的中点，所以
t
1
t
2
0
，
由（1）知
2cos

sin

0
，得
tan

2
，
故所求弦
AB
的方程为
4x2y150(x
2
y< br>2
25)
．

备用题：
1．已知点
P(x8cos

0
,y
0
)
在圆

x3
上，则

y28sin

x
0
、
y
0
的取值范围是（
A．
3x
0
3,2y
0
2


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）．

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B．
3x
0
8,2y
0
8

C．
5x
0
11,10y
0
6

D．以上都不对
1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C．

x 12t
2．直线

(t为参数)
被圆
x
2
y< br>2
9
截得的弦长为（ ）．

y2t
A．
121299
5
D．
10

5
C． B．
55
55

x15t

x12t


2． B




y2t

y15t< br>

2

x12t
5
，把直线

代入
1y2t

5
x
2
y
2
 9
得
(12t)
2
(2t)
2
9,5t
2
8t40
，
12
81612
5
．
|t< br>1
t
2
|(t
1
t
2
)
2< br>4t
1
t
2
()
2

，弦长为5|t
1
t
2
|
5
555

x 2pt
2
3．已知曲线

(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数分别为
t
1
和t
2,
，
y2pt
且t
1
t
2
0
，那么
|MN| 
_______________．
3．
4p|t
1
|
显然线段
MN
垂直于抛物线的对称轴，即
x
轴，
|MN|2p|t
1
t
2
|2p|2t
1
|
．
4．参 数方程


xcos

(sin

cos
)
(

为参数)
表示什么曲线？

ys in

(sin

cos

)
y
y2
11
2
,cos


4．解：显然
tan

，则
2
1
，
2
2
y
x< br>xcos

1
2
x

xcos
sin

cos


2
y
1x
即
x
y
2
2
1
2
x
2
112tan

2
sin2

cos
2

cos

，
2
221tan

y< br>1
y
2
y
1
x
x(1)1
， ，< br>
x
2
x
y
2
y
2
1
2
1
2
xx
y
2
y
1
， 得
x
xx

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即
x
2
y
2
xy0
．
5．已知 点
P(x,y)
是圆
x
2
y
2
2y
上 的动点，
（1）求
2xy
的取值范围；
（2）若
xya0
恒成立，求实数
a
的取值范围．
5．解：（1）设圆的参数方程为


xcos

， < br>
y1sin

2xy2cos

sin

15sin(



)1
，
∴
512xy51
．
（2）
xyacos

sin

1a0
，
∴
a(cos

sin

)12sin(


即
a


4
)1
恒成立，
21
．

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