动物的名片-商务旅游

第五讲 进位制问题


1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63
65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95
97 99 101 103 105 107 109 111
113 115 117 119 121 123 125 127
年龄表1
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
72 73 74 75 76 77 78 79
88 89 90 91 92 93 94 95
104 105 106 107 108 109 110 111
120 121 122 123 124 125 126 127
年龄表4
65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88
89 90 91 92 93 94 95 96
96 97 98 99 100 101 102 103
104 105 106 107 108 109 110 111
112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127
年龄表7
个人的年龄在哪几张表格中出现，就能够求出此人的年
龄．
按照类似想法，可以制作出生日表、姓氏表等，生

这是一个按二进制原理制作的年龄表，只要知道一
2 3 6 7 10 11 14 15
18 19 22 23 26 27 30 31
34 35 38 39 42 43 46 47
50 51 54 55 58 59 62 63
66 67 70 71 74 75 78 79
82 83 86 87 90 91 94 95
98 99 102 103 106 107 110 111
114 115 118 119 122 123 126 127
年龄表2
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
80 81 82 83 84 85 86 87
88 89 90 91 92 93 94 95
112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127
年龄表5
年龄表
4 5 6 7 12 13 14 15
20 21 22 23 28 29 30 31
36 37 38 39 44 45 46 47
52 53 54 55 60 61 62 63
68 69 70 71 76 77 78 79
84 85 86 87 92 93 94 95
100 101 102 103 108 109 110 111
116 117 118 119 124 125 126 127
年龄表3
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
96 97 98 99 100 101 102 103
104 105 106 107 108 109 110 111
112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127
年龄表6

有这样一个笑话：请问“
11
”在什 么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下
等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会 出现把
11
算错的情况．不过学
习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，
11
也是可以等于10！说起来很奇怪，
但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能 会有疑问，什么是二进制呢？那还得
从进位制说起．
一、什么是进位制
所谓“进位 制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法
则——逢十进一．由于它规定逢十 进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最
．
常用的就是十进制，例如10分钱就是1 角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10
厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中 也并不总是“逢十进一”，比如时
间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如 西方国家常用的单位
“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤 ”和
“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16
两 ……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．
二、怎么表示进位制 < br>这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，
．．．．．．． ．．．．．
都默认为进制．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制
． ．．．
10
．．．．
中的1234，我们就写成

1234

5
，2进制的101就写成

101

2
．
在n进制中，恰好会用到n种数字：从0一直到
n1
．这里请大家注意以下两点：
（1）
n
进制中，不可能出现数字
n
以及比
n
更大 的数：如5进制中不可能出现数
字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5 的数字，这个数就
一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；

（2）n进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢
16才能进1， 所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上
约定在16进制种，用字母A
、
B
、
C
、
D
、
E
、F
来表示等于10进制中的10、11、
12、13、14、15．
在n进制种，n也称为该进位制的“基”．
三、n进位制化十进制
十进制：
2101210
3
110
2
0101
；
三进制：

2101

3
23
3
132
03
1
1
；
四进制：

2101< br>
4
24
3
14
2
04
11
；
五进制：

2101

5
25< br>3
15
2
05
1
1
；
……

例1．
（1）
2013（_______）（_______）（__ _____）（_______）
5

8

12

16

（_______）
（_______）
（2）

2012

5

10
（3）

2012

12

10

「分 析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数
不断的除以进制数， 保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进
制转化成10进制，可以用位值原理展 开求解．

（_______）
（_______）
练习1、
< br>3A2

12

10

10


ADD

16

（_______）


2012

5

12


2012

8
（_______）
12


（
1
）把三进制数
12121121
改写为九进制，它从 左向右数第
1
位数字是
例2．
多少？

（_______ ）（_______）
（
2
）

111011001
2

4

8
．

「分析」三进制数化为九进制 数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更
简单巧妙的办法呢？

（_ ______）
练习2、

120011221

3
9


5453

7

6245

7
（_______）
例3．
7

「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能 得出
正确答案．


练习
3
、

123< br>
5


123

5
（_______）
5



在
6
进制中有三位数
abc，化为
9
进制为
cba
，这个三位数在十进制中是多少？

例4．
「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能
根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？


练习
4
、在
7
进制中有三位数
abc

，化为
9
进制为
cba

，这个三位数在十进制中是多
少？


一个天平，物品必须放在左盘 ，砝码必须放在右盘，那么为了能称出
1
克到
1000
克，
例5．
至少需要多少个砝码？


「分析」
2
、
3
……克开始推理，从最小的重量
1
、注意已有砝码是可以累加在一起的．



一本书共有
2013
页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是 以前各天的
例6．
总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？


「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．

课
堂 内 外
计算机与二进制
计算机（compute r）俗称电脑，是一种用于高速计算的电子计算机器，可以进行数值计
算，又可以进行逻辑计算，还具有 存储记忆功能．是能够按照程序运行，自动、高速处理海
量数据的现代化智能电子设备．由硬件系统和软 件系统所组成，没有安装任何软件的计算机
称为裸机．可分为超级计算机、工业控制计算机、网络计算机 、个人计算机、嵌入式计算机
五类，较先进的计算机有生物计算机、光子计算机、量子计算机等． 计算机发明者约翰·冯·诺依曼．计算机是20世纪最先进的科学技术发明之一，对人
类的生产活动 和社会活动产生了极其重要的影响，并以强大的生命力飞速发展．
二进制是计算技术中广泛采用的一种 数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的
数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则 是“借一当二”，由18世纪德国数
理哲学大师莱布尼兹发现．当前的计算机系统使用的基本上是二进制 系统．
二进制是一种非常古老的进位制，由于在现代被用于电子计算机中，而旧貌换新颜变得
身价倍增起来．许多人从我国伟大而神秘的《周易》中发现了二进制．
改革开放前，大多数中国人不知 道计算机是什么东西．1980年，美国人第一台8086CPU
芯片个人计算机（PC，俗称电脑）上 市，80年代初，中国出现了进口电脑．一台苹果机，
价格近两万元，是普通干部工人工资的数百倍，个 人根本没有能力购买．90年代以后中国
有了互联网，电脑才逐步为中国人所熟悉．
近几年电 脑的体积越来越小，功能越来越强大，例如最近流行的平板电脑．平板电脑是
一款无须翻盖、没有键盘、 大小不等、形状各异，却功能完整的电脑．其构成组件与笔记本
电脑基本相同，但它是利用触笔在屏幕上 书写，而不是使用键盘和鼠标输入，并且打破了笔
记本电脑键盘与屏幕垂直的J 型设计模式．它除了拥 有笔记本电脑的所有功能外，还支持
手写输入或语音输入，移动性和便携性更胜一筹． 平板电脑由比尔 盖茨提出，至少应该是
X86架构，从微软提出的平板电脑概念产品上看，平板电脑就是一款无须翻盖、 没有键盘、
小到足以放入女士手袋，但却功能完整的PC．

作业
1.

进制互化：

（
1
）

11202

4

< br>
=

（
3
）

3120

10

（
5
）

11202

4





10

；

（2
）

1CA

16



16

；

（
4
）

1248

10

=


9

；

（
6
）

157

9



10

；


5

；


16

．

2.

（
1
）

202
4


323

4






4

；（
2
）

21

5


322

5
< br>
5

．

3.

一个十进制三位数
abc
2


，其中的
a、
b
、
c
均代表某个数码，它的二进制表达式是一
个七位数
1abcabc


，这个十进制的三位数是多少？

10


4.
一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且 它的各位数字的排列顺序恰好相反，
这个自然数用十进制表示是多少？


5.
a、b是自然数，a进制数47和b进制数74相等，a与b的和的最小值是多少？

第三讲 递推计数
例题
例1．
答案：927
详解：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：
作文数
完成方法数
1
1
2
2
3
4
4
7
5
13
6
24
7
44
8
81
9
149
10
274
11
504
12
927

下面解释一下这张数表是如何累加得到的 ．写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4
篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写 1篇，那么参考数表可得，剩下3
篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇 有2种完成方法；
如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法——因此4篇作文的完成方法总数
为
1247
，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类： 第
一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇，那么剩
下3篇 还有4种完成方法；第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法——因此5
篇作文的完成方法数等于
24713
……以此类推便可填满整张表格．

例2．
答案：28
详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其表示如下：
方格表大小
覆盖方法数
13

1
23

1
33

2
43

3
53

4
63

6
73

9
83

13
93

19
103

28

下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法 数可以枚举得
到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法．如下图所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×
3的方格表， 覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，
因此只剩下一个1×3的方格表 需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3表格的方法数为
2+1=3．用同样的方法分析5×3的
余下部分是
33
的方格表，覆盖方法有2种．
阴影方格下方的格子只能用 横放的纸片盖住，因此只剩下
13
的方格表需要覆盖
方格表，可得其覆盖方法数等于
43
的方法数加上
23
的方法数，因此等于
314
．接着以此类推即可．

例3．
答案：5051

详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其写为如下的一张数表：
直线数量
平面被分成的区域
1
2
2

2
4
3

3
7
4

4
11
5

5
16
…
…

100
5051
100


下面详细说明该递推过程．平面上有1、2 、3条直线的情形画图即可解决，我们从第4
条直线开始分析．如右图所示，当画上第4条直线时，会把 原有的区域一分为二（如编
号为I、II、III、IV的4个区域），因此会增加4个新区域．而之所 以能产生4个新区
域，就是由于第4条直线会与原有的3条直线产生3个交点，而这3个交点会把第4< br>条直线分为4部分，每一部分都会位于一个原有的区域中，因此每一部分都就会把原有
的某个区域 一分为二，因此直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分．上述逻
辑关系在下方右侧有明确的表 示．由此可得，增加到第n条直线就会增加n个新区域，
因此答案是
2

2 34L100

5051
．
I
I
II
III
IV
IV
第4条
II
III
增加第n条直线
产生
n1
个交点
第n条直线被分成n部分
直线的每一部分
都分出一个新区域
增加n个新区域


例4．
答案：1641
详解：本题的方法称为“传球法”．传球法在很多问题中有 着广泛的应用．如右侧表格
所示，除了第“0”行外，其余每一行的数量都是由上一
A B C
行的数量通过某种规则累加得到的．比如第“1”行A下
方的0，就是通过第“0”行B、 C、D的数量相加得到的；
0 1 0 0
第“3”行B下方的7，就是通过第“2”行A、 C、D的数
量相加得到的；第“4”行C下方的20，就是通过第“5”
1 0 1 1
行A、B、D的数量相加得到的；第“6”行D下方的182，
2 3 2 2
就是 通过第“5”行A、B、C的数量相加得到的．之所以
有这样的累加规则，就是因为A想拿球，必须由B 、C、D
3 6 7 7
传球给他，所以他下方的数也必须由B、C、D累加给他
4 21 20 20
——这就是传球规则决定累加规则．依据这一累加规则，
我们不停地将数表 向下累加，每传一次球就多累加一行，
5 60 61 61
最后得到第“8”行．这一行的 四个数分别为1641、1640、
1640和1640．他们分别表示8次传球后，由A、B、C、D 拿球的传球方法数．由于题
目要求最后球回到A手中，因此答案为1641种．
D
0
1
2
7
20
61

例5．
答案：1224
详解：我们把这个七位数看作是1、2、3三个人之间传6
次球的一个传球顺序，具体的传球规则是：1能传球给2、
3，但不能给自己；2、3都能传球 给1、2、3．依据“传球
规则决定累加规则”，我们可以列出如右表所示的一张递推
表格．表 格的第“0”行是发球行，对应的是这个七位数的
首位数字．由于1、2、3都能作首位，因此第“0” 行写的
都是1．接着按照传球规则累加即可．表格中第“6”行（最
后一行）中的三个数分别表 示第六次传球后，球在1、2、3
手中的方法数，对于七位数而言，就是表示分别以1、2、3
结尾的符合题意的七位数有多少个．所以最后答案应该把
它们全加起来，等于328+448+448= 1224．


0
1
2
3
4
5
6

1
1
2
6
16
44
120
328
2
1
3
8
22
60
164
448
3
1
3
8
22
60
164
448
例6．
答案：42
详解：我们依照连续偶数的次序进行递推累加．（1）圆周上有2个点，只有1种 连法．（2）圆周上有
4个点，只有2种连法．（3）圆周上有6个点A
1
、A
2
、A
3
、A
4
、A
5
、A
6
（如下左图），那么与A
1
相连
的点只能是A
2
、A
4或A
6
．依次分三类情况讨论：第一，A
1
连A
2
，剩 下4个点连法数为2；第二，A
1
连A
4
，剩下4个点连法数为1；第三，A
1
连A
4
，剩下4个点连法数也为2．由此可得，6个点共有5
种不 同的连法．（4）如果圆周上有8个点A
1
、A
2
、A
3
、 A
4
、A
5
、A
6
、A
7
、A
8
（如下右图），那么与A
1
相连的点有四种可能，分别是A
2
、A< br>4
、A
6
或A
8
．以此分四类讨论，共14种方法．
还剩6个点，
还剩4个点，
A
1

A
1

A
6
6个点
共5种方法．
A
2

A
3

剩余
42
个
点，方
法数为
21
．
2种方法．
A
2

1种方法．
A
8

A
7

A
6

8个点
共14种方法
A
5
共5种方法
A
3

A
4

还剩4个点，
2种方法．
A
5

A
4

剩余
42
个
点，方
法数为
21
．
还剩6个点，共5种方法．
（5）如果圆周上有10个点，同样考虑能与A
1
相连的点，分五类讨论，如下图所示．共42种方法．

A
10

A
9

A
8

A
7

A
1

A
2

A
3

A
4

A
10

A
9

A
8

A
7

A
1

A
2

A
3

A
4

A
10

A
9

A
8

A
7

A
1

A
2

A
3

A
4

A
10

A
9

A
8

A
7

A
1

A
2

A
3

A
4

A
10

A
9

A
8

A
7

A
1

A
2

A
3

A
4

A
6

A
5

A
6

A
5

A
6

A
5

A
6

A
5

A
6

A
5

剩余8个点
共14种方法

剩余
26
个点
共
15
种方法
剩余
44
个点
共
22
种方法
剩余
26
个点
共
15
种方法
剩余8个点
共14种方法
评析：本题虽然不像之前那样，只遵循一个简单的累加规则，但也仍然是一个由 小求大的递推过程：
在求解6个点的方法数时，会用到2个、4个点的方法数；在求解8个点的方法数时，也会用到2个、4个、6个点的方法数；而在求解10个点的方法数时，则
会用到2个、4个 、6个、8个点的方法数……由此可见“由小求大”应该说是
递推法真正的内涵．我们再处理问题时，要 有能力将数目较大的情形通过变形，
化归为数目较小的情形来解决．
另外，请大家观 察右图．从A处出发，每次只能向右或向上走一步，那么从
A到B、C、D、E、F的最短路径分别有多 少？大家不妨用标数法（参考四年级
上册第16讲《加法原理与乘法原理》）自己做一做，在把相应的结 果与本题的结
果对照一下，你能发现其中的奥妙吗？

A
B
C
D
E
F

练习：

练习1、
答案：12
简答：仿照例题1进行分类讨论，列出如下数表进行累加即可，注意累加规则．
台阶数
上台阶方法数
1
0
2
1
3
1
4
1
5
2
6
2
7
3
8
4
9
5
10
7
11
9
12
12

练习2、
答案：21
简答：仿照例题2 ，找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即
可得递推规则．
方格表大小
覆盖方法数
12

22

32

3
42

52

8
62

13
72

21 1 2 5


练习3、
答案：1276
简答：本题与直线分平面的问题本质相同，因此与例题3类似进行递推即可．如下表所示
直线数量
圆被分成的区域
1
2
2

2
4
3

3
7
4

4
11
5

5
16
…
…

50
1276
50


练习4、
答案：43
简答：本题的传球规则和例题4相同，都只能把球传给别人，因此累加规则也相同 ．但最
后的拿球人不是发球人这一点要注意！

作业：

1.

答案：
89
简答：


蛋黄派数
吃的方法数
1
1
2
2
3
3
4
5
5
8
6
13
7
21
8
34
9
55
10
89

2.

答案：
36
简答：


石子数
抓取方法数
1
0
2
1
3
1
4
2
5
2
6
4
7
5
8
8
9
11
10
17
11
24
12
36

3.

答案：
14
简答：略．

0
0
4
12
52
204
1
1
3
13
51
205
2
1
3
13
51
205
3
1
3
13
51
205
4
1
3
13
51
205
4.

答案：
3277
简答：如右表所示，用传 球法列表解决．传球规则是：
0
不能发球，其它都可以发球；传球不能传给自己，只能
传给别人；总共传球传
6
次．

5.

答案：
29
简答：如下方左图所示，和例题
2
类似，找到某个方格，
0
1
2
3
4
依据这个方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两种情况讨论．情况一 ，横着覆盖：这类情况其实
就是
72

的覆盖方法，利用练习
2< br>的分析方法和相关结论，可得答案为
21
．情况二，竖着
覆盖：在这类情况下， 有另外四个格子的覆盖方法唯一确定，如下方右图中的虚线所示，剩
下需要覆盖的是一个
52

的方格表，其方法数量也可参考练习
2
的分析方法和相关结论来
取 得，答案为
8
．上述两种情况相加，可得答案为
21829

．