国庆60周年庆典-优美词句

课题
课型 新授课 课时
进位制
1 备课时间
知识与技能
理解进位制的概念，了解一个数能够作不同进位制之间的
转换；根据对进 位制的理解，体会计算机的计数原理；能
设计不同进位制之间转换的算法程序框图及程序。
学 生经历由探究算理，到抽象算法步骤，绘制程序
框图，再到设计并优化程序的全过程，使学生明确
教学
过程与方法
自己是在学数学而不仅仅是在编程序或玩计算机，
目 标
这一过程的主要目的是使学生得到算法思想的熏陶
与提升。

以问题引导学习，体现数学知识的形成与学生认知
情感态度与价值观
的过程性，加强数学知识间的联系性，促使学生主
动探究，培养学生的创新意识和应用意识。
重点
“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的算理分析

难点
“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的算理分析

教学方法
教学过程

情景步骤
“请先依次指出表格
师生活动 设计意图
1．“猜生月生日游戏”： 教师给出生月生日表，这个游戏中用到的“生月生日
并同时讲清游 戏规则，表”的制作原理是二进制记数
法，它需要掌握“十进制转二（见附注1）中哪些行然后请一位或 两位学
次指出表格中哪些行
的生月生日．”
有你的生月，然后再依生根据表格回答， 教师进制”的方法；计算生月生日
记录学生的回答，并立的程序1的算理是“二进制转
十进制” 的算理，这一过程可
以引起学生对游戏的算法的兴
趣，从而引入本节课．
2．提出进位制的定义、教师在学生阅读课文
表示法及进制的一般
表现形式。
3．以3721为例，探
究十进制数的含义．
9．以1011001
2

为
的基础上介绍进位制
的意义及发展历程。
教师启发，学 生观察了解进位制的基本特点，为学
让学生体会十进制记数法及不
同的进位制实质。
日．
有你的生日，便知道你即给出学生的生月生
3721310
3710
2
习k 进制的含义做准备

2101
师生 一起将“情景步骤
通过实例体会“二进制转十进
制”的算理，为得到“k进制转
例，探 究“二进制化十
4”中的“师生活动”
十进制”的算法程序作铺垫．
进制”的算理．
所得到的算式由后往

前代入并整理得到：
1011001
< br>2

＝1×2
6
＋
0×2
5
＋1×2
4
＋1×2
3
＋0×2
2
＋0×2
1

＋1×2
0
＝89．
6．从操作过程中提炼
算法步骤，并推广到
算法步骤．
7. 由“k进制转十进
序框图
教师让学生先思考上
然后写出算法步骤并
评析并给出正确的算
法步骤．
让学生写出程序框图
评析 并给出正确的
程序框图．
10．编写计算机程序 并
让学生在编写程序并
使学生掌握“十进制转k进制”
上机运行“十进制转k的算法程 序（见附注7），促使
运行，以1011001

2

、
学 生积极主动并有效地学习． 进制”程序．
324

5

分别转十 进制，
检查学生的程序是否
正确．
4．以十进制数89为让学生模仿得出：
例，探究“除2取余”
89 = 44×2 ＋1，
44 = 22×2 ＋0，
的过程．
22 = 11×2 ＋0，
11 = 5×2 ＋1，
5 = 2×2 ＋1，
2 = 1×2 ＋0，
1 = 0×2 ＋1.
5．以89为例，实现“除师生一起进行下述操
2取余”的过程． 作：
89→


（取
得出“除2取余”的二进
制记数法则．
得出“k进制转十进制”的程序
算法结构．
制”的算法步骤写出程并进行交流，随后 教师框图（见附注5），进一步领会
得出“二进制转十进制”的算
进制”的算法步骤（见附注4 ）．
出“二进制转十进制”述操作中的算法结构，法步骤，并推广到“k进制转十
“十进制转 k进制”的进行交流，最后由教师
探究“十进制化二进制”算法
中的主要算法结构：条件结构< br>与循环结构．

余）
（取
商）
重复进行上述取余与
取商的操作，直至商为
0．
6．从操作过程中提炼
算法步骤，并推广到
算法步骤．
7. 由“十进制转k进
序框图
8．根据“十进制转k
教师让学生先思考上
然后写 出算法步骤并
评析并给出正确的算
法步骤．
让学生写出程序框图
评析 并给出正确的
程序框图．
让学生在TI－这是本节课的一个重要环节，
不仅能使学生 正确掌握“十进进制”的程序框图，在92PLUS图形计算器
得出“十进制转k进制”的程
会 算法结构．
制”的算法步骤写出程并进行交流，随后教师序框图（见附注5），进一步领
得出 “十进制转二进制”的算
进制”的算法步骤（见附注4）．
出“十进制转二进制”述操作中的 算法结构，法步骤，并推广到“十进制转k
“十进制转k进制”的进行交流，最后由教师
TI－ 92PLUS图形计算上编写程序并运行，以制转k进制”的算法程序（见
器上编写程序并运行． 89分别转二进制、五附注6），还能使学生积极主动
进制，检查学生的程序并有效地学习．
是否正确．
9．以1011001

2

为
师生 一起将“情景步骤
通过实例体会“二进制转十进
制”的算理，为得到“k进制转
例，探 究“二进制化十
4”中的“师生活动”
十进制”的算法程序作铺垫．
进制”的算理．
所得到的算式由后往
前代入并整理得到：
1011001

2

＝1×2
6
＋
0×2
5
＋1×2
4
＋ 1×2
3
＋0×2
2
＋0×2
1

＋1×2
0
＝89．
10．在TI－92PLUS图
让学生在TI －
使学生掌握“k进制转十进制”

形计算器上编写并运
行“k进制转十 进制”
程序．
92PLUS图形计算器
上编写程序并运行，以
101100 1

2

、324分
别转十进制，检查学生
的程序是否正确 ．
的算法程序（见附注7），促使
学生积极主动并有效地学习．
11．把二
让学生先利用“k进制转十进制”的程序得出：1011001

2

＝8 9，
体会任意两种进
数之间的转化方
进制数化先利用“十进制转k进制”的程序得出：
“k进制转十进
为五进制89＝324，
数．

12．讨论让学生讨论、交流对算法的认识及利用算法思想解决问题的基本步
与小结． 骤，教师进行归纳小结．















课题
课型
教学
目 标
新授课
§2.1数列的概念与简单表示法
课时 2 备课时间
“十进制转s进
所以，1011001

2

＝324
（5）
．
使学生体会教学
所期望的学习目
知识与技能
了解数列的递推公式，明确递推 公式与通项公式的异同；
会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前
n项和与a
n
的关系

过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习
的兴趣。
根据数列的递推公式写出数列的前几项
理解递推公式与通项公式的关系
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入] 数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、 通项公式法：如果数列

a
n

的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么
这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
2、 图象法
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1

4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2

5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3

6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4

7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5

8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6

9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7

10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
n3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很< br>快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
4
；
a
2
541a
1
1
；
a
3
651a
2
1

依此类推：
a
n
a
n1
1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
递推公式 ：如果已知数列

a
n

的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n1
（或
前n项）间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

递推 公式为：
a
1
3,a
2
5,a
n
a
n1
a
n2
(3n8)

数列可看作特殊的函数，其表示 也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示
法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法 表示一个函数，数列有这样的表示法：用

表示第一项，用

4、列表法
．简记为

．
表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成为
a
1
1


例3 设数列

a
n

满足

写出这个数列的前五项。
1
a1(n1).

n
a
n1

例4已知
a
1
2
，
a
n1
2a
n< br> 写出前5项，并猜想
a
n
．
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
2
(3)
a
1
＝3,
a
n1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通 项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n
项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
教学反思




课题
课型
教学
目 标
新授课 课时
§2.2等差数列
1 备课时间
知识与技能
了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，
能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等
差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的
首项、公差、项数、指 定的项

过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知
识解决问题的过程。
通过等差 数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资
料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
等差数列的性质
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及 给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通
项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反 映数列的特点。下面我们看这样一
些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起 ，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每
相邻两项的差相等——应指明作差的顺 序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一
个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常
数，这个数列 就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数
列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项 公式：
a
n
a
1
(n1)d
【或
a
n

a
m
(nm)d
】
等差数列定义是由一数列相邻 两项之间关系而得若一等差数列

a
n

的首项是
a
1
，公

差是d，则据其定义可得：
a
2
a
1
d
即：
a
2
a
1
d

a
3
a
2
d
即：
a
3
a
2
da
1
2d

a
4
a
3
d
即：
a
4
a
3
da
1
3d< br>……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
a
1
(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
a
1
(m1)d

即：
a
1
a
m
(m1)d

则：
a
n

a
1
(n1)d
=
a
m
(m1)d(n1)da
m
(nm)d

即等差数列的第二通项公式
a
n

a
m
(nm)d
∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
8,d58253
n=20，得
a
20
8(201)(3)49

⑵由
a
1
5,d9(5)4
得数列通项公式为：
a
n
54(n1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
40154(n1)
成立解之得
n=10 0，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{
a
n
}的通项公 式
a
n
pnq
，其中
p
、
q
是常数， 那么这个数列是否一定
是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数 列的定义，要判定

a
n

是不是等差数列，只要看
an
a
n1
（n≥2）是
不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列

a
n

中的任意相邻两项< br>a
n1
与
a
n
（n≥2））
a
m
a
n

mn
a
n
a< br>n1
(pnq)[p(n1)q]
pnq(pnpq)p为常数
∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
 pq
，公差为p。
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等 差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的 一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数
y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线 在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是其通项a
n
=pn+q (p、q是常数)，称其为第3
通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

解：根据题 意可知：
a
1
=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：
a
n
=3+（n－1）×4,即
a
n
=4n－1（n≥1,n∈N*）∴
a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,d=8－10=－2.
∴该数列 的通项公式为：
a
n
=10+（n－1）×（－2）,即：
a
n=－2n+12,∴
a
20
=－2×
20+12=－28.
（ 3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说
明理由.
解：根据题意可得：
a
1
=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：
a
n
=2+（n－1）×7=7n
－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3
是，说明理由.
1
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不
2
177
∴此数列的通项公式为：
a
n
=－n+,
222
774777
令－n+=－20,解得n= 因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这
2222
7
个数列的项.
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
教学反思






课题 §2.2等差数列

课型 新授课 课时 2 备课时间
明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公
式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的
知识与技能
性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
教学

目 标
通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、
过程与方法
函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
解：由题意可知：
a1
=0,d=－3

情感态度与价值观
重点
难点 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列
的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯 物主义观点。
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一 个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一
个常数，即
a
n
－
a
n1
=d ，（n≥2，n∈N

），这个数列就叫做等差数列，这个 常数就叫做
等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
(
a
n< br>
a
m
(nm)d
或
a
n
=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n1
② d=
a
n
a
1
aa
m
③ d=
n

n1nm
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在
a< br>与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数 列，那么A应满足什
么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A
反之，若
A
ab

2
ab
，则A-
a
=
b
-A
2
ab
由此可可得：
Aa,b,
成等差数列
2
[补充例题]
例 在等差数列{
a
n
}中，若a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某 项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须
知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道 这个数列的任意两项（知道任意两项就知道
公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从 这双项关系式入手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9

a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5

∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{
a
n
}是等差数列
∴
a
3

=2,
a
9
=32
（1）2a
5
a
3
a
7
是否成立？
2a
5
a
1
a
9
呢？为什么？
（2）
2a
n
a
n1
a
n1
(n1)
是否成立？据此你能 得到什么结论？
（3）
2a
n
a
nk
a
n k
(nk0)
是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列 中，若m+n=p+q，则，
a
m
a
n
a
p
 a
q

即 m+n=p+q

a
m
a
n
a
p
a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
a
n
a
p
a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
a
n
a
mn

探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列

a
n

中，已知
a
5
10
，
a
12
31
，求首项
a
1
与公差
d

2. 在等差数列

a
n

中, 若
a
5
6

a
8
15
求
a
14

Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．
A
ab
a,A,b,
成等差数列
2
2．在等差数列中， m+n=p+q

a
m
an
a
p
a
q
(m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题
教学反思


§3.3 等差数列的前n项和
新授课
知识与技能
过程与方法
课时 1 备课时间

课题
课型
教学
目 标 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列
的前n项和公式解决一些简单的与前n项和 有关的问题
通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一
般，再从一般到特殊的思维 规律，初步形成认识问题，解

决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对< br>学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水
平.
情感态度与价值观
重点
难点
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
等差数列n项和公式的理解、推导及应
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现
在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+ 2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答
说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小 就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发
现和寻找出某些规律性的东西。
（2 ）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们
要介绍的“倒序相加 ”法。
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前
n
项和公式1：
S
n

n(a
1
a
n
)

2
证明：
S
n
a
1
a
2
a
3


a
n1
a
n
①

S
n
a
n
a
n1
 a
n2


a
2
a
1
② ①+②：
2S
n
(a
1
a
n
)(a2
a
n1
)(a
3
a
n2
)
(a
n
a
n
)

∵
a
1
a
n
a
2
a
n1
a3
a
n2


∴
2S
n
n(a
1
a
n
)
由此得 ：
S
n

n(a
1
a
n
)

2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
na
1

n(n 1)d

2

用上述公式要求
S
n
必 须具备三个条件：
n,a
1
,a
n

但
a
n
a
1
(n1)d
代入公式1即得：
S
n
na
1

n(n1)d

2此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的 定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1
；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n1
，

S
1
(n1)
即
a
n
=

.
SS(n2)
n1

n
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n

n(a
1
a
n
)

2
2.等差数列的前
n
项和 公式2：
S
n
na
1

Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
教学反思



n(n1)d

2





课题
课型 新授课
§2.3等差数列的前n项和

课时 2 备课时间
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公式；了
解等差 数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
教学
目 标
知识与技能
会利用等差数列通项公式与前

项和的公式研究

最值；
过程与方法 经历公式应用的过程
的

情感态度与价值观
重点
难点
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数
学源于 生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观
察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
熟练掌握等差数列的求和公式
灵活应用求和公式解决问题
教学方法
教学过程
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前
n
项和公式1：< br>S
n

n(a
1
a
n
)
2
2.等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
na
1

Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
n(n1)d

2
2
结论：一般地，如果一个数列
a
n

,
的前n项和为
S
n
pnqnr
，其中p、q、r为常
数，且
p0
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是多少？
2
由
S
n
pnqnr，得
S
1
a
1
pqr

22
当
n2
时
a
n
S
n
S
n1
=
(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]
=
2pn(pq )

da
n
a
n1
[2pn(pq)][ 2p(n1)(pq)]
=2p
对等差数列的前
n
项和公式2：S
n
na
1

n(n1)d
可化成式子：
2
S
n

d
2
d
n(a
1
 )n
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
22
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n1
≤0，求得n的值
当
a
n
<0 ，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n1
≥ 0，求得n的值
（2） 利用
S
n
：

由
S
n

d
2
d
n(a
1
)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项 的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列
的通项公式。
2．差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值。
Ⅳ.课时小结
2
1．前n项和为
S
n
pnqnr< br>，其中p、q、r为常数，且
p0
，一定是等差数列，
该数列的
首项是
a
1
pqr

公差是d=2p
通项 公式是
a
n



S
1
a
1< br>pqr,当n1时

S
n
S
n1
2p n(pq),当n2时

2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且< br>a
n1
≤0，求得n的值。
当
a
n
<0，d>0 ，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n1
≥0，求得 n的值。
（2）由
S
n

d
2
d
n( a
1
)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题

教学反思






课题
课型 新授课
知识与技能
课时
§2.4等比数列
备课时间
掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
通过实例，理解等比数列的概念；探 索并掌握等比数列的
通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等
比关系，提高数学 建模能力；体会等比数列与指数函数的
关系
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是 来源于
现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不
教学
目 标
过程与方法
情感态度与价值观

是枯燥无味的，提高学习的兴趣
重点
难点
等比数列的定义及通项公式
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义：
a
n
－
a
n1
=d ，（n≥2，n∈N

）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列 ，我们还会遇到下面一类特殊
的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，
1111
，，，，…
248 16
234
③1，20，
20
，
20
，
20
，…
④
100001.0198
，
100001.0198
2
，
100001.0198
3
，
100001.01984
，
100001.0198
5
，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1 ．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，那么这个数 列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q
表示（q≠0），即：
1
a
n
=q（q≠0）
a
n1
“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛
a< br>n
｝成等比数列

2
a
n1

=q（nN
,q≠0）
a
n
隐含：任一项
a
n
0且q0

“
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3 q= 1时，{a
n
}为常数。
n1
2.等比数列的通项公式1:
a
n
a
1
q(a
1
q0)

由等比数列的定义，有：
a
2
a
1
q
； a
3
a
2
q(a
1
q)qa
1
q
2
；

a
4
a
3
q(a1
q
2
)qa
1
q
3
；
… … … … … … …
a
n
a
n1
qa
1
q
n1
(a
1
q0)

m1
3.等比数列的通项公式2:
a
n
a
m
q(a
1
q0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系

[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是
41
，公比是－，求它的第1项（答案：
a
1
=2916）
93
a
1
=（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（ 答案：
a
4
=
a
3
q
=40）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题

教学反思





§2.4等比数列
新授课
知识与技能
教学目
标
过程与方法
情感态度与价值观
课时 2 备课时间
a
2
=5,
q

课题
课型
灵活应 用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项
概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列 是
否成等比数列的方法
通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
充 分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于
现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩 的而不
是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

重点
难点
教学方法
等比中项的理解与应用
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等 比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠
0），即：
a
n
=q（q≠0）
a
n1
n1nm
(a
m
q0)
2.等比数列的通项公式:
a
n
a
1
q(a
1
q0)
， < br>a
n
a
m
q
3．｛
a
n
｝成等 比数列

列的必要非充分条件
a
n1

=q（
nN
,q≠0） “
an
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数
a
n
4．既 是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b中间插 入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数
G为a与b的等比中项. 即G=±
ab
（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比 数列，则
Gb
G
2
abGab
，

aG
反之，若G=ab,则
≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列

a
n

的首项是
a
1
，公 比为
q
1
;

b
n

的首项为
b
1
，公比为
q
2
，
那么数列

a
n
b
n

的第n项与第n+1项分别为：
2
Gb
b

，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列

G
2
=ab（a·
aG
a
1
q
1
n1
b
1
q
2
n1
与a
1
q
1
 b
1
q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n1
与a
1
b
1
(q< br>1
q
2
)
n
nn
a
n1
bn1
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n

q
1
q
2
.

n1
a
n
b
n
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
它是一个与n无关的常数，所以

a
n
b
n

是一个以q
1
q
2
为公比的等比 数列
拓展探究：

对于例4中的等比数列{
a
n
} 与{
b
n
}，数列{
a
n
}也一定是等比数列吗？
b
n
a
n
a
，则
c
n1

n 1

b
n
b
n1
探究：设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为
q
1
和q
2< br>，令
c
n


c
n1
b
n1< br>ab
a
q
(
n1
)(
n1
)1
，所以，数列{
n
}也一定是等比数列。
a
n
c< br>n
a
n
b
n
q
2
b
n
b< br>n
a
n1
课本P59的练习4
22
已知数列{
a
n
}是等比数列，（1）
a
5
a
3
a
7
是否成立？
a
5
a
1
a
9
成立吗？为什 么？
22
（2）
a
n
a
n1
a
n 1
(n1)
是否成立？你据此能得到什么结论？
a
n
a
nk
a
nk
(nk0)
是
否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
a
m
a
n
a
p
a
k

Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
a
m
a
n
a
p
a
q

2、若

a
n

,

b
n

是 项数相同的等比数列，则

a
n
b
n

、{Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题

教学反思





§2.5等比数列的前n项和
新授课
知识与技能
教学
目 标
课时 1 备课时间
a
n
}也是等比数列
b
n

课题
课型
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比
数列的前n项和公式解决有关等比数列 的一些简单问题
经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的
求和方法，并能在具 体的问题情境中发现等比关系建立数
学模型、解决求和问题。
过程与方法

情感态度与价值观
重点
难点
在应用数列知识解决问题的 过程中，要勇于探索，积极进
取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
等比数列的前n项和公式推导
灵活应用公式解决有关问题
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析 问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的
首项是1，公比是2 ，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比
数列的前64项的和。下面我们先 来推导等比数列的前n项和公式。
1、 等比数列的前n项和公式：
a
1
(1q
n
)
aa
n
q
当
q1
时，
S
n

① 或
S
n

1
②
1q
1q
当q=1时，
S
n
na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2a
3
,a
n

它的前n项和是
S
na
1
a
2
a
3
a
n
由


S
n
a
1
a
2
 a
3
a
n

a
n
a
1
q< br>n1

2n2n1


S
n
a1
a
1
qa
1
q

a
1
qa
1
q
得


23n1n

< br>qS
n
a
1
qa
1
qa
1
q 

a
1
qa
1
q
(1q)S
n< br>a
1
a
1
q
n

a
1
(1q
n
)
aa
n
q
∴当
q1时，
S
n

① 或
S
n

1
②
1q
1q
当q=1时，
S
n
na
1

公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
a
a
2
a
3



n
q

a
1
a< br>2
a
n1

根据等比的性质，有
a
2
a
3


a
n
Sa
1

n
q

a
1
a
2


an1
S
n
a
n
即
S
n
a1
q

(1q)S
n
a
1
a
n
q
（结论同上）
S
n
a
n
围绕基本概念，从 等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由
a
1
1,q2,n64
可得
a
1
(1q
n
)
1(12
64
)
64
S
n

==
21
。
1q
12
2
6 4
1
这个数很大，超过了
1.8410
19
。国王不能实现他的 诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时，
S
n
na
1
当
q1
时，
S
n

a
1
a
n< br>q
或
1q
a
1
(1q
n
)
S
n


1q
Ⅴ.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题

教学反思



§2.5等比数列的前n项和
新授课 课时 2 备课时间

课题
课型
会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比
教学
目 标
知识与技能
数列的
S
n
,a
n
,a
1< br>,n,q
中知道三个数求另外两个数的一些
简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法
通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论
的思想、等价转化的思想.

情感态度与价值观
重点
难点
通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，
培养他们实事求是的科学态度.

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
灵活使用公式解决问题
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
a
1< br>(1q
n
)
aa
n
q
当
q1
时，
S
n

① 或
S
n

1
②
1q
1q
当q=1时，
S
n
na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
22
求证：
S
n
S
2n
S
n
(S
2n
S
3n
)

2、设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+ 3+…+n=
n-1n
23n
1
n(n1)

2
若a≠1，S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a-na），Sn=


Ⅲ.课堂练习



Ⅳ.课时小结



Ⅴ.课后作业

教学反思



a
nn1
[1(n1)ana]

2
(1a)

课题
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标
过程与方法
情感态度与价值观
重点
§3.1不等式与不等关系
课时 备课时间
掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不
等式；
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问
题、解决问题的方法；
通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能
力.
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

难点 利用不等式的性质证明简单的不等式。
教学方法
教学过程
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
abacbc

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
ab,c0acbc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
ab,c0acbc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
（1）
ab,bcac

（2）
abacbc

（3）
ab,c0acbc

（4）
ab,c0acbc

2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）
ab,cdacbd
；
（2）
ab0,cd0acbd
；
nn
（3）
ab0,nN,n1ab;
n
a
n
b
。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d． ②
由①、②得 a＋c＞b＋d．

ab,c0acbc

2）
< br>acbd

cd,b0bcbd

3）反证法）假设n
a
n
n
b
，
这都与
ab
矛盾， 则：若
a
a
n
n< br>n
bab
bab
n
∴
n
ab
．
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（
3
＋
2
）
2
６＋2
6
；（2）（
3
－
2
）
2
（
6
－1）
2
；
（3）
1

52
1
；(4)当a＞b＞0时，log
1
a log
1
b
65
22
[补充例题]
例2、比较(a
＋3)（
a
－５）与（
a
＋2）（
a
－4） 的大小。
随堂练习2

1、 比较大小：
2
（1）（
x
＋５）（
x
＋７）与（
x
＋６）
（2）
x5x6与2x5x9

22
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何
比较两个实数 （代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是
n
个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题

教学反思



3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
新授课 课时 备课时间
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次 函数的关系，
掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能
力，培养分类讨论的思想 方法，培养抽象概括能力和逻辑
思维能力；

课题
课型
教学
目 标
知识与技能

过程与方法
经历从实际 情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和
通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精
神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
情感态度与价值观
重点
难点
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系
教学方法
教学过程
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模 型：
x
2
5x0
…………………………(1)
2.讲授新课
1）
一元二次不等式的定义
象
x5x0
这样，只含有一个未知 数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元
二次不等式
2
2）
探究一元二次不等式
x
2
5x0
的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数
yx5x
的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x< 0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即
2
x
2
5x 0
；当0x
2
5x 0
；所以，不等式
x
2
5x0
的解集是

x |0x5

，从而解决了本节开始时
提出的问题。
3）
探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种 形式：
ax
2
bxc0,(a0)或ax
2
bxc0 ,(a0)

一般地，怎样确定一元二次不等式
axbxc
>0与< br>axbxc
<0的解集呢？
组织讨论，总结讨论结果：
（l）抛物线
y
axbxc
（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一
元二次方程
axbxc
=0的判别式
b4ac
三种取值情况(Δ> 0，Δ= 0，Δ<0）来
22
2
22

确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式< br>axbxc
>0与
axbxc
<0的解
集
一元二次 不等式
axbxc0或axbxc0

a0

的解集 ：
22
22
设相应的一元二次方程
axbxc0

a0

的两根为
x
1
、x
2
且x
1x
2
，
2
b
2
4ac
，则不等式的解 的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)


二次函数

0

0

0

yax
2
bxc

yax
2
bxc

yax
2
bxc

yax
2
bxc

（
a0
）的图象

一元二次方程
有两相异实根


有两相等实根


无实根

R





axbxc0
2

a0

的根
ax
2
bxc0
(a0)的解集
ax
2
bxc0
(a0)的解集
[范例 讲解]
x
1
,x
2
(x
1
x
2
)

x
1
x
2

b

2a

b


xxx
1
或xx
2



xx


2a



xx
1
xx
2





例2 (课本第87页)求不等式
4x4x10
的解集.
解：因为
0, 方程4x4x10的解是x
1
x
2

所以，原不等式的解集 是

xx
2
2
1
.
2


1



2

例3 (课本第88页)解不等式
x2x30
.
解：整理，得
x2x30
.
因为
0,方程x2x30
无实数解，
2
2
2< /p>

所以不等式
x
2
2x30
的解集是
< br>.
从而，原不等式的解集是

.
3.随堂练习
课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=
axbxc
>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式

，分析不等式的解的情况：
2

若A0，则xx
1
或x
2
；
ⅰ.

>0时，求根
x1
<
x
2
，



若A0，则x< br>1
xx
2
.

若A0，则xx
0
的 一切实数；

ⅱ.

=0时，求根
x
1
＝
x
2
＝
x
0
，

若A0，则x
；


若A0，则xx.
0

ⅲ.
<0时，方程无解，

③ 写出解集.

若A0，则xR；

若A0，则x

.

5.评价设计
课本第89页习题3.2[A]组第1题
教学反思










课题
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标 过程与方法
情感态度与价值观
§3.2一元二次不等式及其解法
第2课时
课时 备课时间
巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
进一步熟练解一元二次不等式的解法；
培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能
力和逻辑思维能力；
激发学 习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精

神，同时体会从不同侧面观察同一事物 思想
重点
难点
熟练掌握一元二次不等式的解法
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
教学方法
教学过程
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x kmh有如下的关系：
s
11
2
xx

20180< br>在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多
少？ （精确到0.01kmh）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x kmh，根据题意，我们得到
移项整理得：
x9x71100

显然
0
，方程
x9x71100
有两个实数根，即
2
2
11
2
xx39.5

20180
x
1
88.94,x
2
79.94
。所以不等式的解集为< br>
x|x88.94,或x79.94


在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94kmh.
例4、一 个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量
x（辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：
y2x
2
220x

若这家工厂 希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大
约应该生产多少辆摩托车 ？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
2x
2
220x6000

移项整理，得
x
2
110x30000

因为
1000
，所以方程
x110x30000
有两个实数根
2
x
1
50,x
2
60

由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩 托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在

51—59辆之间时，这家工厂能够获 得6000元以上的收益。
3．随堂练习1
课本第89页练习2
[补充例题]
▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
2
例：设不等式
axbx10
的解集为
{x|1x
1
3
}
， 求
ab
?
▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设
A{x|x4x30},B{x|x2xa80}
，且
AB
， 求
a
的取值
范围.
改：设
x2xa80
对于一切
x(1,3)
都成立，求
a
的范围.
2
改：若方程x2xa80
有两个实根
x
1
,x
2
，且x
1
3
，
x
2
1
，求
a
的范围.
2
22
随堂练习2
2
1
x
的不等式1 、已知二次不等式
axbxc0
的解集为
{x|x
1
3或x
2
}
，求关于
cx
2
bxa0
的 解集.
2、若关于
m
的不等式
mx(2m1)xm10
的解集为空集，求
m
的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
2
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5.评价设计
课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题

教学反思





课题
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标 过程与方法
情感态度与价值观
§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
课时 备课时间
了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组
表示平面区域；
经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高
数学建模的能力；
通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习

兴趣
重点
难点
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
二元一次不等式的几何意义
教学方法
教学过程
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”
教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：
2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题
转化
数学问题：
设用于企业贷款的资金为
x
元，用于个人贷款的资金为
y
元。
（把文字语言
转化
符号语言）
（资金总数为25 000 000元）

xy25000000
（1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）

(12%)x+(10%)y30000
即
12x10y3000000
（2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）

x0,y0
（3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

xy 25000000


12x10y3000000


x0,y0

2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元
一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（ 3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有
序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）
的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（ 组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有
序实数对就可以看成是平面内点的坐标 ，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成
是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点
被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使 它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第
93页的表格，
横坐标x
点P的纵坐标
y
1

点A的纵坐标
y
2

-3


-2


-1


0


1


2


3


并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直 角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在
直线x-y=6的左上方；反过来，直线 x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表 示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点
组成的平 面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0同一侧的所有点(x,y
)，把它的坐标（
x,y
)代入
Ax
+
By+
C
，
所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
B y
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+< br>C
＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当
C
≠0时，常把
原点 作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式
x4y4
表示的平面区域。
解：先画直线
x4y4
（画成虚线）.
取原点（0，0），代入
x
+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,