一定会再会-美国现状

第一节 整数的p进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示 出无限多个正整数，人们发明了进位制，
这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统 一关系，近几年来，国内与
国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整 除问题及处理
数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识 给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为
a
m

1
, a
m

2
,

,a
0
，则此数可以简记为：
A

a
m

1
a
m

2

a
0
（其中
a
m
1
0< br>）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的
m1
次多项式，即
A

a
m

1

10
m

1

a
m

2

10m

2

a
1

10

a
0
，其中
a
i
{0,1,2,,9},i1,2,,m 1
且
a
m
1

0
，像这种10的多项式表示的数 常常简记为
A

(a
m

1
a
m

2

a
0
)
10
。在我们的日常
生活中 ，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作
A

a
m
< br>1
a
m

2

a
0
，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的
普及，整 数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是
现代社会人们越来越显 示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种
数学符号，可以分别表示两种对立状 态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是
一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工 具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：
A< br>
a
m

1

p
m

1< br>
a
m

2

p
m

2< br>
a
1

p

a
0
，其中a
i
{0,1,2,,p1},i1,2,,m1
且
am
1

0
。而
m
仍然为十进制数字，简记为
A

(a
m

1
a
m

2

a
0
)
p
。
第二节 整数的性质及其应用（1）
基础知识
整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、 完
全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质
在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设
a,b
是给定的数，
b0
，若存在整数
c
，使得
abc
则称
b
整除
a
，记作
b|a
，< br>并称
b
是
a
的一个约数(因子)，称
a
是
b
的一个倍数，如果不存在上述
c
，则称
b
不能整除
a
记作
b

a
。
由整除的定义，容易推出以下性质：
( 1)若
b|c
且
c|a
，则
b|a
(传递性质)；
1 18

(2)若
b|a
且
b|c
，则
b|(ac)
即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若
反复运用这一性 质，易知
b|a
及
b|c
，则对于任意的整数
u,v
有b|(aucv)
。更一般，若
a
1
,a
2
,

,a
n
都是
b
的倍数，则
b
|(
a< br>1
a
2
a
n
)
。或着
a|b
i
，则
a|

c
i
b
i
其中
i

1
n
c
i
Z,i1,2,,n
；
(3)若
b|a
，则或者
a0
，或者
|a||b|
， 因此若
b|a
且
a|b
，则
ab
；
(4)< br>a,b
互质，若
a|c,b|c
，则
ab|c
；
( 5)
p
是质数，若
p|a
1
a
2
a
n< br>，则
p
能整除
a
1
,a
2
,
,a
n
中的某一个；特别地，若
p
是
质数，若
p|a< br>，则
p|a
；
(6)(带余除法)设
a,b
为整数，
b0
，则存在整数
q
和
r
，使得
abqr
，其中
并且
q
和
r
由上述条件唯一确定；整数
q
被 称为
a
被
b
除得的(不完全)商，数
r
称
0r b
，
为
a
被
b
除得的余数。注意：
r
共有
b
种可能的取值：0,1，……，
b1
。若
r0
，即为
a
被
b
整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为

（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关
b
b
于余数
r
的不等式：
0rb
。证明
b|a
的基本手法是将
a
分 解为
b
与一个整数之积，在
较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分 解中取特殊值而产生，下面两个
分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若
n
是正整数，则
x

y

(x

y)(x< br>nnn1
n

a


a

x< br>n2
y



xy
n2

y< br>n1
)
；
若
n
是正奇数，则
x

y

(x

y)(x
nnn1

x
n 2
y



xy
n2

y
n 1
)
；（在上式中用
y
代
y
）
(7)如果在 等式

a


b
i

1
i
k

1
nm
k
中取去某一项外，其余各项均为
c
的倍数，则这一项也是
c
的
倍数；
(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；
(9)任何n个连续的整数之积一定是n !的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6
整除；
2．奇数、偶数有如下性质： (1)奇数

奇数=偶数，偶数

偶数＝偶数，奇数

偶数＝奇数，偶数

偶数＝偶数，奇数

2 18

偶数＝偶数，奇数

奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、
差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；
（2）奇数的 平方都可以表示成
8m1
的形式，偶数的平方可以表示为
8m
或
8 m4
的形式；
（3）任何一个正整数
n
，都可以写成
n2m
l
的形式，其中
m
为负整数，
l
为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则
这些整数中至 少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整
数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数 ，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数
只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6； < br>（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，
平方数被 9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，
4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数
a,b< br>之积是一个正整数的
k
次方幂（
k2
），若（
a,b
）＝1，则
a,b
都
是整数的
k
次方幂。一般地，设正整数
a,b,,c
之积是一个正整数的
k
次方幂（
k2
），
若
a,b,,c
两两互素，则
a,b,,c
都是正整数的k次方幂。
4．整数的尾数及其性质
整数
a
的个位数也称为整数
a
的尾数，并记为
G(a)
。
G(a)
也称为尾数函数，尾数函数
具有 以下性质：
（1）
G(G(a))G(a)
；（2）
G(a
1< br>a
2
a
n
)
＝
G[G(a
1
)G(a
2
)G(a
n
)]
；
（3）
G(a
1
a
2
a
n
)G[G(a
1)G(a
2
)G(a
n
)]
；（4）
G(10 a)0
；
G(10ab)G(b)
；
（5）若
ab10 c
，则
G(a)G(b)
；（6）
G
(
a
（7）
G
(
a
4k

r
4k
)
G(
a
4
),
a
,
kN

；
)
G
(
a
r
),
k
0,0
r< br>4,
a
,
k
,
rN

；
G(a ),当b
1
为奇数，b
2
是偶数


)


G(a
4
),当b
1
为偶数，b
2
为奇 数或b
1
,b
2
同时为偶数时

b
1
< br>G(a),当b
1
,b
2
同为奇数时

（8）
G(a
b
n
b
1
b
2

3 18

5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；
（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；
（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则
不能；
（4）若一个整数的未三位数字能被8（
或125
）整除，则这个数能被8（
或125
）整除，否则
不能；
（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码 之和的差是11的倍数，则这个数能被
11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质 1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它
的因数 只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本
身的因子，则称这 个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质
（1）若
aZ,a1
，则
a
的除1以外的最小正因数
q
是一个质（素）数。如果
qa
，则
q
（2）若
p
是质（素）数，
a
为任一整数 ，则必有
p|a
或（
a,p
）＝1；
（3）设
a
1
,a
2
,

,a
n
为
n
个整数 ，
p
为质（素）数，且
p|a
1
a
2
a
n
，则
p
必整除某个
a
i
（
1in
） ；
（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数
a
，能唯一地表示成质（素）因 数的乘积（不
计较因数的排列顺序）；
a
aa
（5）任何大于1的整数a
能唯一地写成
a

p
1
1
p
22

p
k
k
,i

1,2,,
,k
①
a
；
的形式，其中
p
i
为质（素）数（
p
i

p
j
(i

j)
）。上式叫做整数
a
的标准分解式；
（6）若
a
的标准分 解式为①，
a
的正因数的个数记为
f(a)
，则
f(a)

(a
1

1)(a
2

1)(a
k
1)
。
第三节 整数的性质及其应用（2）
基础知识
最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互
素、最大公约数、最 小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设
因为
符号（
当（< br>不全为零，故
不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。
的最大公约数，用只 有有限多个，我们将其中最大一个称为
）表示。显然，最大公约数是一个正整数。
）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。这是数论
中的非常重要的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数
4 18
，可类似地定义它们的最 大公约

数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出
）＝1。
的
）；
）等
两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（
由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变
符号，不改变（
（
）的值，即；（）可以交换，（）＝（
）＝（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数， 有（
等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：
（1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得
，使得
；
；
使等式成立，不妨
，从而。
（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数
事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有
设
（3）若
（ 4）若
，则
，则
，则
，故
，即
及，于是，即
的任何 一个公约数都是它们的最大公约数的约数；
；
（5）若
整数；
（6）若
，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的
，则，也就是说，与一个固定整数互 素的整数集关
，对于有，进而有对于乘法封闭。并由此可以推出：若
有
（7）设
。
，若，则；
（8）设正整数
a,b
之积是一个正整数的
k< br>次方幂（
k2
），若（
a,b
）＝1，则
a,b
都 是整
数的
k
次方幂。一般地，设正整数
a,b,,c
之积是一个正 整数的
k
次方幂（
k2
），若
a,b,,c
两两互素， 则
a,b,,c
都是正整数的
k
次方幂。
定义2.设是两个非零 整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数
有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍 数，记作，对于多个非零实数
5 18

。
a,b,,c
，可类似地定义它们的最小公倍数［
a,b,,c
］
最小公倍数主要有以下几条性质：
（1）与的任一公倍数都是
（2）两个整数
的倍数 ，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；
（但请注意，这只限的最大公约数与最小公倍满足：于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；
（3）若
a,b, ,c
两两互素，则［
a,b,,c
］＝｜
a,b,,c
｜；
（4）若，且
a,b,,c
两两互素，则
a,b,,c
｜。
第四节 同余
同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不 定方程等方
面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中< br>国剩余定理。
基础知识
三个数论函数
对于任何正整数均有定义的函数，称 为数论函数。在初等数论中，所能用到的无非也就有三
个，分别为：高斯(Gauss)取整函数[x
]及其性质，除数函数
d
(
n
)和欧拉(Euler)函数< br>它的计算公式。
1． 高斯(Gauss)取整函数[]
设是实数，不大于的最大整 数称为的整数部分，记为[]；
记为｛｝。例如：［0.5］＝0，
由
性质1.
性质2.
性质3.设
性质4.
，则
;
的定义可得如下性质：
；
；
；
;
称为的小数部分，
等等。
和
性质5. ；
性质6.对于任意的正整数，都有如下的埃米特恒等式成立：
6 18

为了描述性质7，我们给出如下记号：若
。例如：我们有
aa
a
；
，且 ，则称为恰好整除，记为
等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1
的整数
a
能唯一地写成
a

p
1
1
p
2
2

p
k
k
,i

1,2,,

,k
的形式，其中
p
i
为质（素）数
（
p
i

p
j
(i

j)
）。我们还可以得到：
性质7.若，则
。
请注意，此式虽然被写成了无限的形式，但实际上对于固定的， 必存在正整数，
使得，因而，故，而且对于时，都有。因此，
上式实际上是有限项的和。另外， 此式也指出了乘数的标准分解式中，素因数的指数
的计算方法。
2．除数函数
d
(
n
)
正整数的正因数的个数称为除数函 数，记为
d
(
n
)。这里给出
d
(
n
)的 计算公式：
d
(
n
)＝，为素数唯一分解定理中的指数。为了叙述
地更加明确，我们组出素数唯一分解定理。
算术基本定理（素数唯一分解定理）：任何一大于1的整数 均可以分解为素数的乘积，
若不考虑素数乘积的先后顺序，则分解式是唯一的。
例如：。当一 个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可以重复出现。
例如在上面的分解式中，2出现了三次。把分 解式中相同的素数的积写成幂的形式，我们就
可以把大于1的正整数写成 （1）
此式称 为的标准分解式。这样，算术基本定理也可以描述为大于1的整数的标准分解式是
唯一的（不考虑乘积的 先后顺序）。
推论1.若的标准分解式是（1）式，则

应说明（2）不能称为 是
能不含有某个素因数
推论2.设
是的正因数的充要条件是：
（2）
的标准分解式，，其原因是其中的某些
）
，若是整数的次方，则
也是整数的平方。
也是整数的次方。特别
可能取零值 （也有可
，因而
，且
地，若是整数的平方，则
7 18

3. 欧拉(Euler)函数
设正整数0,1，……
的标准分解式是

例如：

以下我们讲述同余的概念：

中与互素的个数，称之为的欧拉函数，并记为
，则的计算公式是：

；
.
。若
同余的概念是高斯（Gauss）在1800年左右给出的。设
所得 的余数相同，则称为与关于模
于模不同余。
，若
对模
同余，记作
是 正整数，若用去除整数，
，否则，称为与关
定义1.（同余）设
若不然，则称和
，则称和对模
不同余，记作
同余，记作
。例如：
；
，
等等。
当时，，则称是对模的最小非负剩余。
除得的余数相同。对于由带余除法可知，和对模同余的 充要条件是与被
固定的模，模的同余式与通常的等式有许多类似的性质：
性质1. 的充要条件是也即。
性质2.同余关系满足以下规律：
（1）（反身性）
（2）（ 对称性）若
（3）（传递性）若
（4）（同余式相加）若
（5）（同余式相乘）若；
，则
，
，
，
；
，则
，则
，则；
；
；
反复利用（4）（5），可以对多个两个的（模相同的）同余式建立加、减和 乘法的运算公
式。特别地，由（5）易推出：若，为整数且，则；
8 18

但是同余式的消去律一般并不成立，即从
是我们却有以下结果：
（6 ）若，则
未必能推出，可
，由此可以推出，若，则有
，即在与互素时，可以在原同余式 两边约去而不改变模（这一点再一
次说明了互素的重要性）。
现在提及几个与模相关的简单而有用的性质：
（7）若
（8）若
（9）若< br>两两互素时，则有
，
，
｜，则
，则
，则
；
；
；
，特别地，若
性质3.若，则；；
性质4.设是系数全为整数的多项式，若，则。
这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的 式子时，可以改变成与它同余的小的数字，使
计算大大地简化。如例3。
定义2.设，是使成立的最小正整，则称为对模的阶。
在取定某数后，按照同余关系把彼此同 余的整数归为一类，这些数称为模的剩余类。
一个类的任何一个数，都称为该类所有数的剩余。显然，同 类的余数相同，不同类的余数不
相同，这样我们就把全体整数按照模划分为了个剩余类：
。在上 述的
余，可以得到个数，称为模
个剩余类中，每一类任意取一个剩
的一个完全剩余系。 例如关系模7，下面的
每一组数都是一个完全剩余系：
0，1，2，3，4，5，6；
-7，8，16，3，-10，40，20；
-3，-2，-1，0，1，2，3。
显然，一组整数成为模的完全剩余系只需要满足两个条件（1）有个数；（2）各数关
于模两 两不同余。最常用的完全剩余系是最小非负完全剩余系及绝对值最小完全剩余系。
模的最小非负完全剩余 系是：0，1，2，………,
数的全部值。
当为奇数时，绝对值最小的完全剩余系是：
;即除数为时，余数可能取到的
；
9 18

当为偶数时，绝对值最小的完全剩余系有两个：
；
。
以上只是我们个人对同余及剩余类的理解，为了方便大家研究，我们把有关材料上的具体概
念给出，希望大家好好地研究：
定义3.（同余类）设
为模的同余类。
来 分类，确切地说，若和模同余，则和属同一
，每一个这样的类
说明：整数集合可以按模
类，否则不属于同一类，每一个这样的类为模
恰与0,1,……，
因此模共有
中的一个 模
的一个同余类。由带余除法，任一整数必
这个数彼此模不同余，
。
同余， 而0,1,……，
个不同的同余类，即
例如，模2的同余类共有两个，即通常说的偶数类与奇数 类，这两类中的数分别具有形式
和（为任意整数）。
是正整数，把全体整按对模
，其 中
的余数分成类，相应的
，称为模
个集合
的一个
定义4。（剩余类） 设
记为：
剩余类。以下是几条常用性质：
（1）且；
的一个里；
，则的充要条件是
称为模
。
的完全剩余系，如果对任意有且仅
（2 ）每一个整数仅在
（3）对于任意
定义5.（完全剩余系）一组数
有一个
设< br>是对模
为模
的剩余，即。换一种说法更好理解：
中任取一个，得个数组的全部剩余类，从每个
成的数组，叫做模的一个完全剩余系。
说明：在个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的
余系，简称模
彼此模
完系。
10 18
的完系。换句话说，个数
是模
个数称为模的一个完全剩
称为模的一个完系，是指它们
的最小非负不同余，例如0,1，2，……，的一个完系，这称作是模< /p>

性质：（1）个整数构成模的一个完全剩余系
，则与
两两对模不同余；
的完全剩余系。 （2）若同时跑遍模
第五节 初等数论中的几个重要定理
基础知识
定义（欧拉(Euler)函数）一组数
，
的剩余，即
且 对于任意的
。并定义
称为是模
，若
的既约剩余系，如果对任意的
是对 模＝1，则有且仅有一个
中和互质的数的个数，
称为欧拉（
Euler
）函数 。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然
中与
引理：
互素的数的个数，比 如说
，而对于，
。
就是1,2，…，
是素数，则有
；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1： （欧拉（Euler）定理）设
证明：取模
互质，故
的一个既约剩余系
仍与< br>＝1，则
，考虑
互质，且有
，使得

。
，由于与< br>，于是对每个
，这种对应关系是都能找到唯一的一个
一一的，从而，。
，，故。证毕。
分析与解答：要证
想到中与互质的
也是与
，我们得 设法找出
的个数：
互质的
个相乘，由
，由于
个数我们
＝1， 从而
个数，且两两余数不一样，故
（），而
（）＝1，故
11 18
。

这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成 另外一组剩
余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数
设为质数，若是的倍数，则
，
互质的任一整数，则
为质数，则
及任意整数有< br>。若不是
。
的倍数，则
，由此即得。
。
。
由 引理及欧拉定理得
定理推论：设为质数，是与
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找
证明：对于，在
则好是
从而对
若
对于
，
，有
，则
个数，然后来对应乘法。
中，必然有一个数除以余1，这是因为
的一个剩余系去0。
，使得
，
。即对于不同的对应于不同的
余1，然后有，使
，或
；
，故
，即
中数可两两配对，其积除以
己配对，这时
或
除
定义：设
。
，
，即与它自
，
外，别的数可两两配对，积 除以
为整系数多项式（
（
余1。故
），我们把含有
。
的一组同余式
）称为同余方组程。特别地，，当均为的一次整系数

）称为同
多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：
，则剩余类
余方程组 的一个解，写作
定理4：（中国剩余定理）设

（其中
是两两互素的正整数，那么对于任意整数
12 18

，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：

这里，，以及满足，
（即为对模的逆）。
中国定理的作用在于它能断言所说的同余式 组当模两两互素时一定有解，而对于解的
形式并不重要。
定理5：（拉格郎日定理）设
是一个模
解（在模
是质数，是非负整数，多项式
），则同余方程至多有个为次的整系数多项式（即
有意义的情况下）。
定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知 识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外
还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中 起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到
意想不到的作用，如：，。这里我们
只介绍几个 较为直接的应用这些定理的例子。
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例：
例 3．求证：对于任意整数，
证明：令
由3，5是素数及Fetmat小定理得
；
而（3，5）=1，故
例4．求证：
证明：令
所以含有因式
7|
能 整除
，即
（为任意整数）。
，则


。
；
是15的倍数。所以
，则只需证
，
是一个整数。
是15的倍数即可。
，则

是整数。
由Fetmat小定理， 知13|
又13，7，5，3，2两两互素，所以2730=
13 18

例5．设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：
。
，又因为
可以被30整除。
证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则
若2 ，2 ，2
c
，则
所以2|
若3
.
，3 ，3
c
，因为
.
，
矛盾！
矛盾！
，则，又
，矛盾！从而3|
若 5 ，5 ，5
c
，因为
所以或0(mod5)与
，
从而5|.
又(2,3,5)=1，所以30|.
下面讲述中国剩余定理的应用
例6．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都有大于1的平
方因子。
证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取个互不相同的素数
组
因为
于是，连 续个数
①
显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
分别被平方数整除。 ，而考虑同余
注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续个正 整数
具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容
易 解决的。
（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数
两两 互素，故将①中的转化为后，相应的同余式也
有解，同样可以导出证明。
例7．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都不是幂数。
分析：我 们来证明，存在连续个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的
标准分解中仅出现一次， 从而这个数不是幂数。
证明：取个互不相同的素数
因为
对于因为
，考虑同余组
显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
，故，但由①式可知 ，即在
14 18

的标准分解中恰好出现一次，故
例8． 设是给定的偶数，
使得
且是偶数。
，且
都不是幂数。
证明：存在整数。
使 证明：我们先证明，当为素数幂

若
若
且：
时结论成立。实际上，能够证明，存在
，则条件表明为偶 数，此时可取
，则与
；
中有一对满足要求。
是的一个标准分解，上面已经 证明，对每一般情形下，设
个存在整数使得且，而由中国剩余定理，
①有解，
②有解。

，
，
同余式
同余式
现不难验证解
于是
故
符合问题中的要求：因
，又由①②知
。
，故
注：此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用：将一个关于任意正整数的问题，化
为为素数幂的问题，而后者往往是比较好处理的。
第六节 不定方程
所谓不定方程，是指未 知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理
数、整数或正整数等等）的方程或方程组。 不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支
学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内 容十分丰富，与代数数论、几何数
论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛 中也得到了充分的体
现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思 维能力
的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定
的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定
方程的基础 性的题目。

基础知识
1．不定方程问题的常见类型：
（1）求不定方程的解；
15 18

（2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（3） 同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方
程的整数解或判定 其无解；
（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；
（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：
（一）二元一次不定方程（组）
定义1.形如
定理1.方程
定理2.若(
有解的充要是
，且为
不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
；
的一个解，则方程的一切解都可以表示成
为任意整数)。
定理3.元一次不定方程
条件是
方法与技巧：
.
，()有解的充 要
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从
而写出通解。 当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减
小系数，直到容易得其特解 为止；
2．解元一次不定方程
……，.若 ，则方程无解；若
时，可先顺次求出
|，则方程有解，作方程组：
，
求出 最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数
第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程 的一切解。
3．个元一次不定方程组成的方程组，其中，可以消去个未知数，从而消去
16 18

了个不定方程，将方程组转化为一个元的一次不定方程。
（二）高次不定方程（组）及其解法
1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作 质因式分解，然后对比两边，转而
求解若干个方程组；
2．同余法：如果不定方程
足
有整数解，则对于任意，其整数解满
，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块 试金石；
3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；
4．无限递降法：若关于正整数的命题
小正整数，可以推出：存在，使得
对某些正整数成立， 设是使成立的最
成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：
1．因式分解 法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作
为解题的一种手段，没有因 定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；
2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必 要条件，为进一步求解或求证作准备。同
余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；
3 ．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，
则着眼于一个 有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解
是无界的，则着眼于整数， 利用整数的各种性质产生适用的不等式；
4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它 比已选择的解“严格地小”，由
此产生矛盾。
（三）特殊的不定方程
1．利用分解法求不定方程
将转化为
整数解的基本思路：
后，若可分解为，
则解的一般形式为，再取舍得其整数解；
2．定义2：形如
对于方程
此时易知
的方程叫做勾股数方程，这里
，如果，则
为正整数。
的情形，，从而只需讨论
两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
满足条件
，其中
的一切解可表示为：
且为一奇一偶。
定理3.勾股数方程
推论：勾股数方程的全部正整数解（的顺序不加区别）可表示为：
17 18

其中
数，是一个整数。
是互质的奇偶性不同的一对正整
勾股数不定方程
3．定义3.方程
殊情况，称为沛尔(Pell)方程。
的整数解的问题主要依据定理来解决。
且不是平方数)是的一种特
这种二元二次方程 比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程
都是整数，
体的
且非平方数，而
的研 究，其中
。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具
，则称使可用尝试法求出一组成正整 数解。如果上述pell方程有正整数解
的最小的正整数解为它的最小解。
且不是平方数)必有正整数解
，则它的全部解可以表示成：
定理方程
它的最小解为
，且若设
.
上面的公式也可以写成以下几种形式：
（1）；（2）；（3）.
定理方程
穷多组正整数解
且不是平方数)要么无正整数解，要么有无
，且在后一种情况下，设它的最小 解为，则它的全部解可以
表示为
定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程为整数)无正整数解。
费尔马（Fermat）大定理的证明 一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国
普林斯顿大学的数学教授完全解决了这一难题。 至此，这一困扰了人们四百多年的
数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。


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