qq劲舞团-仙人球防辐射

第十一讲
进位制与位值原理


进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．
在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简
化解题过 程的作用．
⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧；
⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．

同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制 ，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这
与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着 人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的
进位制，我们来一起看一些例子．

两 只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，
这里使用 的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，
这里使用的是 二十四进制；
100
平方分米等于
1
平方米，
100
平方厘 米等于
1
平方分米，这里使用的是
一百进制；
1000
米等于
1
千米，
1000
克等于
1
千克，这里使用的是一千进制；……．

进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生 活带来
很多便利哦！

什么叫二进制
所谓二进制，就是只用
0< br>与
1
两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．
大家知道：数是计算物 体的个数而引进的，
0
代表什么也没有，有一个，记为“
1
”；再多一个，< br>记为“
10
”(在十进制下记为
２
)；比“
10
”再 多一个，记为“
11
”．依次类推，我们很容易接受二进
制下从小到大的数列，列表如 下：
十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制
1 1 5 101 9 1001 13 1101
2 10 6 110 10 1010 14 1110
3 11 7 111 11 1011 15 1111
4 100 8 1000 12 1100 16 10000
二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1．这 样，我们便可以通过简单
的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中 主要用电压的高与低)
等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二 进制中要比在十进
制中位数多得多．

十进制与二进制的互相转化
今天， 当我们写上一个数目
1999
时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，
1999 110009100

91091
，也就是说：
1999中含有一个
1000
，九个
100
，九个
10
与九个< br>1
．
为了叙述的方便，我们约定：用
（　）（1010）
（　）2
表示括号内写的数是二进制数，如
2
；用
10
表示
括 号中写的数是十进制数，如
（66）
10
；十进制的标志可省略，
66
就代表十进制下的数．
二进制数
10
表示十进制数
2
；二进制数
100
，表示十进制数
4
；二进制数
1000
，表示十进制 数
8
；
二进制数
10000
表示十进制数
16
；… ；可以看出规律：二进制数
1000000
应该表示十进制数
64
，．那
经典精讲

么我们可以得到，二进制数中计数单位与十进制数有如下关系：
二进制数 十进制数
1

10

100

1000

10000

100000


1

2

422

8222

162222

3222222



⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：
二进制数有0，1两个数符，由低位向高位 是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数
符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制 数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向
高位是“逢十六进一”．根据科学技术 的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．
为了区别各种进位制数，
n
进制中的数用
a
(n)
表示．如果
n10
，那么从10到
n1
的这些数符可
用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用
A
表示10，
B
表示11，
C
表示12，
D
表
示13，
E
表示14，
F
表示15等等．
⑵ 十进制数与
n
进制数的互换：
n
进制数
a
r
a< br>r1
a
1
a
0(n)
写成十进制数是
a
r
n
r
a
r1
n
r1
a
2
n
2
a
1
na
0
．
十进制数化成
n
进制数，只要把十进制数用
n
除，记下余数；再用
n
除它的商，又 记下余数；直到商
为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个
n
进制的数．这叫做“ 除
n
取余法”．
如把1234化成三进制数：
31234
3411余1
3137余0
345余2
315余0

35余0
31余2
0余1

所以，
1234
(10)
1200201
(3)
．
⑶ 一般地，一个自然数
N
可表示为
a
r
a
r1
a
r2
a
1
a
0
的形式，其中
a
r，
a
r1
，…，
a
1
，
a
0
是0，1，
a
1
10a
0
． 2，3，…，9中的一个，且
a
r
0
，即：
Na
r
10
r
a
r1
10
r1

这就是十进制数，记作
N(10)
，简记为
N
．十进制数有两个特征：
一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；
二是“逢十进一”的法 则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向
右的数位．
⑷ 对于进位制需要注意其本质：
n
进制就是逢
n
进一．



例1

［分析］掌握十进制转化为
n
进制的基本方法： 短除法.以

37

10


37的二进制数.< br>
37

10


100101

2
.

2
和

888

10


8
为
例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止 .然后将余数由下至上写出来，就是

2
2
2
237
18
9
4
22
0
...1
...0
...1

...0
...1
8888
8111...0< br>813...7

81...5
0...1
21...0
同样 的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：

888

10


1570

8
.

37

10


100101

2
;

242

10


22222
< br>3
;

156

10


1111

5
;

888

10

1570

8
.

［巩固］（基础学案1）将
（30 ）（72）
10
、
10
改写成二进制数．
［分析］ 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.
（30）（11110）
10
16 1416861684201
2


（72） （1001000）
10
64864032016804020 1
2


［巩固］（提高学案1）将
（301）（472）
10
、
10
改写成七进制数．
［分析］短除法.

30 1

10


610

7
；
< br>472

10


1243

7


［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十 六两，所
以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用
A,B,C,D,E,F
来表示十六进制中的
10,11,12,13,14,15
.那么，聪明的同学们，你们能把 十进制中的234化成十六进制数吗？
［分析］仍然用短除法.

234

10


EA

16


例2

［分析］
n
进制数化为十进制数的一般方法是：首先将
k
进制数按
k
的次幂形式展开，然后按十进制数
相加即可得结果．

101001

2
12
5
02
4
12
3
02
2
02
1
12
0
< br>
41

10

43210

12021< br>
3
1323032313

142

10



当然计算时，数位是0的可以省略.
例3

［分析］（1）可转化成十进制来计算：
；
(11000111））） ）
2
(10101
2
(11
2
(199)
1 0
(21)
10
(3)
10
(192)
10
(11000000
2
如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对
(10101
进行除法计算，只是每次借位都是
））
2
(11
2
2，可 得
(11000111））））））
2
(10101
2
(11< br>2
(11000111
2
(111
2
(1100000 0
2
；

（2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话 ，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫
“凑整法”，在
n
进制中也有“ 凑整法”，要凑的就是整
n
．
原式
(63121)
8
 [(1247)
8
(26531)
8
][(16034)
8(1744)
8
]

(63121)
8
(300 00)
8
(20000)
8
(13121)
8
；
（3）本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：
(3 021)
4
(605)
7
(34
3
241)< br>10
(67
2
5)
10
(500)
10．

［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法

1 001

2


111

2

 
2

11010

2


101

2


当一”.
1001
111
10000
11010
101

10101

2

［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一” ，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二

［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法
［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：

得：
（101101）（1011 ）（111101111）（10101011）（10011）（1001）
2

2

2
得：
2

2

2


［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化

11

2


16
;


9A5E

16


2

［ 分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制
的互 化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别
和使 用，因此我们把二进制的每4位和在一起
2
4
16
，就变成了十六进制.
那么第一个问题，

11

2
我们把它每4位数码合在一起

1100

2


C

16< br>,

1001

2


9

16
,

101101
×
1011
101101
101101
101101
111101111
10011
1001
10101011
10011
10011
10011
0

1 011

2


B

16
，因此

11

2


C9B

16
.

第二个问题，

9A5E

16
我们把它每一位 拆成4位二进制数，

9

16


1001
2
,

A

16


10 10

2
,
01011110

2
.



5

16


0101
< br>2
,

E

16


1110
2
，因此，

9A5E

16


10011010

例4

［分析］利用尾数分析来解决这个问题：
由于
(4)
10
(3)
10
(12)
10
，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全 部进到上一位．所以
说进位制
n
为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个 ．

但是式子中出现了4，所以
n
要比4大，不可能是4， 3，2进制．另外，由于
(4)
10
(13)
10
(52)10
，
因为
52100
，也就是说不到10就已经进位，才能是100 ，于是知道
n10
，那么
n
不能是12．
所以，
n
只能是6．

［巩固］（基础学案3）在几进制中有
12512516324
？
［分 析］注意
(125)
10
(125)
10
(15625)
10
，因为
1562516324
，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以
n10
．再注意尾数分析，
(5)
10
 (5)
10
(25)
10
，而16324的末位为4，于是
25 421
进
到上一位．
所以说进位制
n
为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．
因为出现了6，所以
n
只能是7．

［拓展］（提高学案3）算式
15342543214
是几进制数的乘法？ < br>［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为
4520
，但是现在 为4，说明进走
20416
，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2． 因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有
153425383504 3214
，所以
在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

［拓展］（尖子学案3）记号

25

k
表示k 进制的数，如果

52

k
是

25
< br>k
的两倍，那么，

123

k
在十进
制表 示的数是多少？
［分析］可用位值原理来进行计算.

25

k
2k5,

52

k
5k2
，依题意，< br>2

2k5

5k2
，解得
k8
.

123

8
188283

83

10
.

例5

［分析］设此数为
abc

4


cba

3
，利用位值原理转化为十进制数.
16a4bc9c3ba15ab8c0.又
a,b,c
是三进制中的数字，所以
a,b,c0,1,2
，那么 易得
a1,b1,c2
，

112

4
1 1614222
.十进制表示是22.

［巩固］在七进制中有三位数< br>abc
，化为九进制为
cba
，求这个三位数在十进制中为多少？
［ 分析］首先还原为十进制：
(abc)
7
a7
2
b7c 49a7bc
；
(cba)
9
c9
2
b9a 81c9ba
．
于是
49a7bc81c9ba
；得到< br>48a80c2b
，即
24a40cb
．
因为
24 a
是8的倍数，
40c
也是8的倍数，所以
b
也应该是8的倍数，于 是
b0
或8．但是在7进
制下，不可能有8这个数字．于是
b0
，
24a40c
，则
3a5c
．
所以
a
为< br>5
的倍数，
c
为3的倍数．所以，
a0
或5，但是，首位不 可以是0，于是
a5
，
c3
；
所以
(abc)
7
(503)
7
5493248
．
于是，这个三位数在十进制中为248．

［拓展］用
a,b,c,d,e
分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果
(ade)
5
，
(ad c)
5
，
(aab)
5
是由小到

大排列的连续正整数，那么
(cde)
5
所表示的整数写成十进制的表示是多少？ < br>［分析］注意
(adc)
5
(1)
5
(aab)
5
，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则
b0
，而
c(10 )
5
(1)
5
(4)
5
，则
c4
．
而
(ade)
5
(1)
5
(adc)
5
，所以
e1c
，则
e3
．
又
d1a
，所以
d1
，
a2
．
那么，
(cde)
5
为
(413)
5
45
2< br>153108
．
即
(cde)
5
所表示的整数写成十进制的表示是108．
［提高］自然数
x(abc)
10
化为二进制后是一个7位数
(1ab cabc)
2
，那么
x
是多少？
［分析］根据位值原理
1 00a10bc6432a16b8c4a2bc6436a18b9c
，
于是
6464
.又
a,b,c
是二进制中的数字，因此
a ,b,c0,1
，那么易得
ab88c8a8bc
a1,b0,c 0
.
x100
．

[补充]
a,b
是自然数 ，
a
进制数

47

a
和
b
进制 数

74

b
相等，
ab
的最小值是多少？ < br>［分析］
a,b8
，根据位值原理，
4a77b47b4a3< br>．
左右两边取4的模，有
3b3

mod4

 b1

mod4

，那么，
b
的最小值是9，此时
a

7935
ab24
．


41
.那么，

例6

2
［分析 ］若给每个盒子分别放入：
1
，
2
，
2
，，
2发子弹，即相当于二进制数中的：

，
9

，
10
，
1000000000
，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以
（1111）（1023）
任意抽出：
2

10
以内的任何 发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9
1
，
2
，
2
2
，，
2
8
发子弹，个盒子中分别装：相当于二进制数中的000000001
，
000000010
，
000000100
，
，
100000000
发子弹，最后一个盒子中只能放发子弹，即
489
发子弹．即可凑出1000以内
（2
9
23）
的任何数发子弹．所 以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．

［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于
是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包
交给 顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买
1~31
中的任 何整
两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？ 5
［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为
31322
，所以用
2
4
，
2
3
，
3
42
2
，
2
1
，
2
0
就可以表示
1~31
中的所有整数．因为
2
0
1
，
2
1< br>2
，
2
2
4
，
28
，
21 6
，所以茶
叶店只要有
5
包茶叶，分别重
1
，
2< br>，
4
，
8
，
16
两，就可以满足一位顾客
1 ~31
两茶叶的需要．

［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值 ：
1,3,9,27,81,243
.任意搭配这些筹码（也可
以只选择一个筹码）可 以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第
39
个是多少？
［分析］由例 题我们可以知道一共有
63
个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中< br>的39转化为2进制，应记为：
(100111)
2
．