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第2讲 二进制与十进制


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所谓数的进位制， 指的是记载数目的一种规则。世界上大多数地区和民族均采用的是十
进制计数法。在十进制计数法中，采 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字表示任
何十进制数，它遵循的原则是“逢十进 一，退一当十”，任何一个十进制数N都可以表示
为：，其中
都只能取0，1，2，…，9中的 数字，简记为
。
类似的，对于在现代计算机运算技术中采用的二进制计数法，我们有以下的说 明：在二
进制计数法中，采用0和1 这两个数字表示任何二进制数，它遵循“逢二进一，退一当二”< br>的原则。同样，任何一个二进制数N都可以表示为：
，
都只能取0和1，我们简记为其中
。

重点·难点
二进制的四则运算是本讲的难点，它遵循“逢 二进一，退一当二”的原则。这就要将它
与十进制区分开来，利用二者的类似点进行计算。本讲的重点在 于这两种进制数之间的互换，
如何选取合适的方法是关键。

学法指导
（1）二进制数转换成十进制数：通过下式
，可以直接计算其结
果。
例如：

（2）十进制数转化成二进制数：我们一般用倒写余数法，即把这个十进制数 用2除，
记下余数，再用2除它的商，再记下余数，直到商为0为止。将所得余数自下而上依次排列起来，就得到二进制数。
例如：化为二进制数。
，即

因此

经典例题
［例1］有一个人拿着两只空瓶，其中一只可以容纳7 斤水，另外一只可以容纳5斤水。
现在要从池中取出6斤水。请问，此人应当怎样用这两只空瓶取回6斤 水来？

思路剖析
本题是一个进制问题，容积为7斤的空瓶，可以装0斤、1斤 、2斤……最多可以装7
斤，再多装就需要“进位”（倒掉重装），这类似于八进制记数法。对容积为5 斤的空瓶的
情形，则类似于六进制记数法。
要得到6斤水，先从算法上实现这一步。首先把6 表示成5和7的加减运算式
6=5+5+5+5-7-7然后在实践中实现这个算式，“+”表示装水， “-”表示倒水。
由于6=5+5+5+5-7-7，因此可以做如下操作：
（1）用容积为5斤的空瓶装满水，倒入容积为7斤的空瓶中，这时7斤瓶中有5斤水。
（2 ）再用容积为5斤的空瓶装满水，往容积为7斤的瓶中倒，直到注满为止。这时，
容积为5斤的瓶中还剩 3斤水，而7斤的瓶中装满了水，把水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶。
（3）把5斤瓶中的3斤水倒入 7斤瓶中，然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，
直到注满为止。这时，5斤瓶中还剩一斤水，而7 斤瓶中又一次装满，将7斤瓶中水倒回水
池中，使7斤瓶为空瓶。
（4）将5斤瓶中剩下的1 斤水倒入7斤瓶中。然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶
中，此时7斤瓶中正好装了6斤水。
[例2]比较下列两组数的大小。
（1）
（2）与
与



思路剖析
对两个不同进制的数，无法直接进行比较，因此我们必须将这两个数进 行转化，使其处
于同一进制里。由于别的进制化为十进制比较容易，因此我们采取将所有数均化为十进制 的
方法。

解答
（1）

即

由于
所以
（2）
即




即
由于
所以



，用七进制表示是三位数，求这个[例3]一个自然数用五进制表示是三位数
自然数。

思路剖析
由五进制数化成的十进制数与由七进制数化成的十进制数是同一个数， 即二者相
等，由此得到一个关于a、b、c的方程，解这个方程便可求出这个自然数。

解答


由于这两个数应表示同一个自然数，因此得到
即12a=b+24c
依题意，a、b、c只能取0、1、2、3、4中的值，因为为三位数，所以a≠0，又

因为b=12a-24c其中12a-24c可以被4整除，因此b必是4的倍数，b=0或4。
当b=4时，12a-24c=4即3a-6c=1，此方程无解；
当b=0时，12a-24c=0即a=2c，所以此方程有解a=2且c=1或a=4且c=2； < br>当a=2，b=0，c=1时，有
当a=4，b=0，c=2时，有
和，在十进制数中应 为
，在十进制数中应为
；
。
答：这个自然数为51或102。
[例4]请判断下列算式是几进制数的乘法。

221×322=132212

思路剖析
对此类问题，必须仔细观察式子。本式有最大数3，所以这个算式运算 应是在四进制或
四进制以上的进制中进行的。
再观察首位数字的运算情况，2×3的积应该进 位，否则无法得到六位数的乘积。因此可
以判断，该运算可能是在四进制或五进制中进行。

解答
先从表面上可以断定该算式应是在四进制以上进制中进行的运算。因为出现的数字有：< br>0、1、2、3。
其次由首位数字的运算情况来看，3×2必须进位，否则得不到六位数的乘积 。这样可以
判断这个算式只能是在四进制或五进制中进行的。
若是四进制，则有
在五进制中，成立。
因而不是四进制。
答：算式221×322=132212只能在五进制中才能成立。
[例5]判断下列加法是 在几进制中进行的，并指出各字母代表的数码(不同的字母代表不
同的数码)。


思路剖析
解决此类问题的突破口在于不论是在哪个进制中，两个数码相加最多只能进一。据此 可
确定A=1，再设进制为P，由各个位上数的相加情况，得到关于P的一元一次方程，解之便
可。

解答
设进制为P。
根据题意A=1，因为加法是在P进制中进行的，所以B=P-1，否则不能进位。
再由个位数相加情况，D+A=B即D+1=P-1，由此得出D=P-2。
接着由十位数的相加情况，C+C=B即2C=B=P-1，。
最后由百位数的相加情况，B +D一定要进位，否则和的千位数为0，从而B+D=P+C，
把B=P-1，D=P-2，代入上式得 ，求得P=5，于是
有B=4，D=3，C=2，这就是说这个算式是在五进制中进行的，且A=1，B =4，C=2，D=3。
竖式为

[例6]请问自然数能否被18整除。

思路剖析
表面上本题与进制无关。可是如果将这个自然数算出来，再去用18除 看能否除尽，那
么这个计算量比较大。考虑到这个自然数都是由2的幂组成的，所以用二进制数来解决会 比
较方便。

解答

而
计算：


这说明
能被18整除。
答：自然数能被18整除。
能被整除，从而也表明了
[例7]下式是一个八进制的除式，请在“□”中填上恰当的数字。

思路剖析
仔细观察式子，由商的个位数字乘以除数后 为1□，可知，除数为12，且商的个位数字
为1。可以根据余数逐步向上递推，从而确定每个空格所表 示的数字。

解答
先把算式中的各“□”用字母表示，得算式

由于
由L=2，
再由
，所以A=1，G=1，L=2
，即K=1，E=5
，可以推出F=7，H=1，I=0，J=6
由此推出B=1，C=0，D=7。
于是这个算式为：


点津
对进制类型的问题，要求必须对题中的式子进行仔细的观察，特别是例4、例5、例6、
例7，粗一看，可能找不到合适的方法，找不到题中的突破口。有的同学可能采取试探的方
法逐 一寻找，但在实际问题中，应当想办法使得用最少的试探次数来找到问题的答案。



发散思维训练
1．试判断算式123×302=111012在几进制中才能成立。
2．问自然数能否被9整除？

3．证明：当n≥时，费尔玛数的末位数字一定是7。
4．某班共有49名学 生，班里组织了一次全员乒乓球赛，比赛实行淘汰制。为了减少比
赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为 单数时才安排一人轮空。到决出冠军为止，共有几个
人轮空？
5．下面是二进制中的除法，请填上空格中的数字。

6．某军需仓库保管员将10 00发子弹分装在10个盒子里，一旦需要，只要告诉他1000
以内的任何发子弹，他都可以拿出若干 个盒子，凑出所需要的子弹，而不必打开盒子，问这
10个盒子里各装多少发子弹。
7．一个自然数用三进制表示是三位数的，用四进制表示是三位数，求这个
自然数。
8．试确定下列加法是在几进制中进行的，并指出各字母代表的数码（要求不同的字母
代表不同的数字） 。




参考答案
1．解：
从123 ×302=111012的个位数字的变化中可知，要使3×2的个位数字是2，只有在四进
制中才能成 立，3×2=12故可初步确定此乘法是在四进制中，此时123×302的结果为

可见在四进制中成立。

2．解：


这说明
除。
3．解：
费尔玛数中，这个数的增长是非常迅速的，化成二进制数形式较简单
能被整除，从而得到能被9整

所以
要求费尔玛的个位数字，即是求由费尔 玛被10除所得的余数，而10的二进制形式为
，下面用竖式除法求余数。

由上面竖式除法可知，被除数每隔8位，商数循环出现一次，而且每隔4位开始重复出
现余数1 1。
费尔玛数是一个位数，先考虑费尔玛数的前
位数被
位数，由于n≥2，因此恰好是4的倍数，从而知这除所得的余数是11。再考虑费尔玛数的
。 最后一个数字是1，所以最后的余数是
因此费尔玛数的末位数字是7。
4．解：
显 然，当参赛人数为2，4，8，16，32，…时，每一轮比赛都不会有人轮空。49人参赛，
不是2的 正整数次幂，因而一定有人轮空。现补上15名，凑够64名，这15名选手为假先
手，与49名真选手 中的任何一个人比赛时一定被淘汰。在每轮比赛中尽可能安排真对真，
只有真选手剩下一个时，才安排真 假对阵，这时真的必胜，如同轮空一样。这样，假选手碰
真的人数和要计算的轮空人数是一致的。
假选手碰真的人数：
15÷2=7…1（1人碰真）
7÷2=3…1（又1人碰真）
3÷2=1…1（又1人碰真）
1÷2=0…1（又1人碰真）
所以共有4人碰真，即比赛中有4人轮空。
上面计 算15名假选手碰真的过程，与把15表示成二进制的过程完全一致，而碰真人数
就是15的二进制数中 所含1的个数。
5．解：
因为这是在二进制中的除法，所以只能在“□”中填入0或1，并 且每个数的最高位必
然是1。我们用字母来表示“□”。

（1）由M×1=Y，显然有Y=M=1，U=0，并且L=0，从而商为101；
（2）J =T=X，是与其他数无关的，所以它们可以同时取0或同时取1，经检验，取1时
无解；
（3）由余数上推，可以得到其他的数。
因此，该式为

6．解：
本题是如何用10个数来表示从1到1000内的所有数。由于

即二进制数中，
这说明，在二进制数中用1，10，100，…，1000000000能表示从1到< br>。
中
任何数，对应的有，在十进制数中，用1，2，4，8，…，256，512这1 0个数能表示从1
到1023之间的所有自然数。
但只有1000发子弹，而在第10个盒子 中装入489发子弹，即可保证不打开合子就能得
到从1到1000之间任何数目的子弹。
7．解：

这两个数表示同一个自然数，因而有
即8a=b+15c 由题设，a、b、c只能取0、1、2三个值，因为
所以在等式8a=b+15c，a只能取2，即 a=2
此时有b+15c=8×2=16
只有1+15×1=16
所以b=c=1
因此这个自然数的三进制和四进制形式分别为
，故所求自然数为22。
8．解：
根据进位特点，两个数相加最多只能进1，因面B=1。
此算式中共出现了4个不同字母，代 表着4个不同的数字，所以至少四进制，至多十进
制。分情况讨论为：
（1）当算式为四进制 算式时，由A和均为两个四位数的千位数字，因面A≠0，C≠0。
这样，A和C只能取2或3。由两个 四位数的百位数字B+B+1=C，可知C=3，从而A=2、
B=1、D=0，此算式成立。即
和，而在十进制中应为
为三位数，所以c≠0，据此b+15c>15>8

（2）当算式为五进制时，C+A的和的个位数字为1，因此C+A一定超过 10，即会向百
位数进一位。这样B+B+1=C，即C=3，于是A必须也取得3，才有3+3=11 ，但A与C重
复，故不成立。
（3）当算式为六进制时，C=3、A=4、D=0，算式成立。

（4）当算式为七进制、八进制、九进制、十进制时，算式都能成立。
综上所述，此加法在四 进制中成立，此时A=2，B=1，C=3，D=0；在七进制中也成立，
A=5，B=1，C=3，D =0；在八进制中也成立，A=6，B=1，C=3，D=0；在九进制中也成立，
A=7，B=1，C =3，D=0。