艳欲-爱国资料

行程问题公
式
基本概念
行程问题是研究物体运动的，它研
究的是物体速度、时间、行程三者之间
的关系。
基本公式
路程＝速度×时间；
路程÷时间=速度；
路程÷速度=时间
关键问题
确定行程过程中的位置路程 相
遇路程÷速度和=相遇时间 相遇路程
÷相遇时间= 速度和
相遇问题（直线）

甲的路程+乙的路程=总路程
相遇问题（环形）
甲的路程 +乙的路程=环形周长
追及问题
追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间
路程差＝追及时间×速度差
追及问题（直线）
距离差=追者路程- 被追者路程=速
度差X追及时间
追及问题（环形）
快的路程- 慢的路程=曲线的周长
流水问题
顺水行程＝（船速＋水速）×顺水
时间
逆水行程＝（船速－水速）×逆水
时间
顺水速度=船速＋水速
逆水速度＝船速－水速

静水速度=（顺水速度＋逆水速度）
÷2
水速：（顺水速度－逆水速度）÷2
解题关键
船在江河里航行时，除了本身的前
进速度外，还受到流水的推送或顶逆 ，
在这种情况下计算船只的航行速度、时
间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一
种，因此行程问题中三个量（速度、时
间、路程）的关系在这 里将要反复用到.
此外，流水行船问题还有以下两个基本
公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是 指船本身的速度，也
就是在静水中单位时间里所走过的路
程.水速，是指水在单位时间里流过的
路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流
航行时和逆流航行时船在单位时间里
所行的路程 。

根据加减法互为逆运算的关系，由
公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中
的速度，船的实际速度和水速这三个量
中的任意 两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速
度，根据公式（1）和公式（2），相加
和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。



例：设后面一人速度为x，前面得为y，
开始距离为s，经时间t后相差a米。那
么
（x-y)t=s-a

解得t=s-ax-y.
追及路程除以速度差（快速-慢速）=追及时间
v1t+s=v2t
(v1+v2)t=s
t=s(v1+v2)

（一）相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道
上作背向运动，随着时间的发 展，必然
面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。
它的特点是两个运动物体共同走完整个
路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指
相遇问题。
相遇问题根据数量关系可分成三种类
型：求路程，求相遇时间，求速度。
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速
度

（二）追及问题
追及问题的地点可以相同（如环形跑道
上 的追及问题），也可以不同，但方向
一般是相同的。由于速度不同，就发生
快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之
间的关系，罕用下面的公式：
距离差=速度差×追及时间
追及时间=距离差÷速度差
速度差=距离差÷追及时间
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的
距离差、速度差、追及时 间三者之中，
找出两者，然后运用公式求出第三者来
达到解题目的。
（三）二、相离问题
两个运动物体由于背向运动而相离，就
是相离问题。解答相离问 题的关键是求
出两个运动物体共同趋势的距离（速度
和）。
基本公式有：

两地距离=速度和×相离时间
相离时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相离时间
流水问题
顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利
用速度、时间、路程三者之间的关系进
行解答。解答 时要注意各种速度的涵义
及它们之间的关系。
船在静水中行驶，单位时间内所走的距
离叫做划行速度或叫做划力；顺水行船
的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫
做逆流速度；船放 中流，不靠动力顺水
而行，单位时间内走的距离叫做水流速
度。各种速度的关系如下：
（1）划行速度+水流速度=顺流速度
（2）划行速度-水流速度=逆流速度
（3）（顺流速度+ 逆流速度）÷2=划行
速度
（4）（顺流速度- 逆流速度）÷2=水流
速度

流水问题的数量关系仍然是速度、时间
与距离之间的关系。即：速度×时间=
距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=
速度。 但是，河水是流动的，这就有顺
流、逆流的区别。在计算时，要把各种
速度之间的关系弄清楚是 非常必要的。






1 每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
2 1倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
3 速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度

4 单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
5 工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6 加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数
7 被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
8 因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
9 被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 正方形
C周长 S面积 a边长
周长＝边长×4
C=4a
面积=边长×边长

S=a×a
2 正方体
V:体积 a:棱长
表面积=棱长×棱长×6
S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a
3 长方形
C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4 长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2

s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圆形
S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
c:

（4）体积＝侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为
以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,
那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另
一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,
那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如
下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的
份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分
配的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分
配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷
成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜
1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)












奥数行程问题的基本公式

时间：2010年02月02日 作者： 来源：
互联网 点击量：244

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间
＝速度；路程÷速度＝时间
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它
研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程
（请写出其他公式）
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写
出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺
水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－
水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水
速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，
参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，
参照以上公式。
仅供参考：
【和差问题公式】
（和+差）÷2=较大数；
（和-差）÷2=较小数。
【和倍问题公式】
和÷（倍数+1）=一倍数；
一倍数×倍数=另一数，
或 和-一倍数=另一数。
【差倍问题公式】
差÷（倍数-1）=较小数；
较小数×倍数=较大数，
或 较小数+差=较大数。
【平均数问题公式】
总数量÷总份数=平均数。
【一般行程问题公式】
平均速度×时间=路程；
路程÷时间=平均速度；
路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】

反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人
从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人
背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式
解答：
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）
路程；
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）
时间；
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
【同向行程问题公式】
追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉
开）时间；
追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速
度差；
（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉
开）路程。
【列车过桥问题公式】
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
【行船问题公式】
（1）一般公式：

静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水
速度；
船速-水速=逆水速度；
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度- 逆水速度）÷2=水速。
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速
度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=
两船距离缩小（拉大）速度。
（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上
面有关的公式去解答题目）。

思维调查卷
时间：30分钟 总分：100分（基分20）
姓名：________ 得分：________
试卷说明：本卷共6题，要求简单明了写出
解答过程，最后的结果请填在试题的横线上。
1. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环行跑道匀
速跑步，如果出发时乙的速度是甲的2.5 倍，
当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高
1
，
4
而乙的速度立即 减少
1
，并且乙第一次追上甲
5
的地点与第二次追上甲的地点相距（较短距< br>离）100米，那么这条环行跑道的周长是______
米；
解：设甲原来的速度是1 个单位，则乙原来的速
度是2.5个单位，甲后来的速度是1.25个
单位，乙后来的速度是2 个单位。设第一
次甲跑了x圈时被乙追上，则此时乙跑了
(x+1)圈；被追上后甲又跑了y圈 再次被乙
追上，则乙又跑了(y+1)圈。利用两次甲乙跑的时
间相等列方程：
xx1


12.5
yy1

1.252
C
B
A

2
,y1
解得：
x
2< br>33
如图，若两人从A出发逆时针跑，则第一次乙在
B点追上甲，第二次在C点追上甲（ A、B、C
是圆周的三等分点）。因为B、C相距100米，
所以环形跑道的周长为
1 003300
米。

2. 两块手表走时一快一慢，快表每9小时比标准
表快3分钟，慢表每7小时比标准表慢3分钟。
现在把快表指示时间调成是8:15，慢表指示时间调成8:31，那么两表第一次指示的相同时刻
是___:___；
答案：5：22

3. 一艘船在一条河里5个小时往返2次，第一小
时比第二小时多行4千米，水速 为2千米／小
时，那么第三小时船行了_____千米；
解：首先判断出开始是顺流。在第1 小时和第2
小时这两个相等的时间内，速差是4，路程差也
是4，那么得到第1小时正好是走一 个顺流的长
度。由于第1个小时在顺水时走的才是一个全
长，那么第4小时肯定是逆水。具体行 驶情况如

图。
再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是
4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小
时的最终时刻到全长的中点。
最后，比较第3 小时和第3小时行
驶的情况：设全长为2a千米，船在静
水中的速度为每小时x千米。
a42a42a

x2x2x2x2
4
4
，
解得a＝10千米。

4. 小明早上从家步行到学校，走完一半路程 时，
爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车
3
去给小明送书，追上时，小明还有
10
的路程未
走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学
校。这样，小明就 比独自步行提早了5分钟到
学校，小明从家到学校全部步行需要______
分钟；
7
712
解：小明走
10

，与小明的爸爸走的时间相
1 0
210
72
同，所以他们的速度比是
10
：
10
＝7：2，接下来
3
如果小明步行，爸爸骑车都走
10
的路程，那么小
明就多用5分钟，设速度的一份为x，则

333
2x7x 5,x
1010140
33
，所以小明的速度是
140
，从
2
70
31
家到学校的路程是1，所用时间是
1
70
23
分钟。
3
行程问题下
【老师寄语】：解行程问题要会读题，一遍
快速归类浏览；二遍逐句解读整理；三遍回头寻
找误解。最终要学会“纸上谈兵”。

——陈拓
一、环行运动：
1. 男、女两名运动员同时同向从环形跑道上A
点出发跑步，每人每跑完一圈后到达A点会
立即调头跑下一圈。跑第一圈时，男运动员平
均每 秒跑5米，女运动员平均每秒跑3米。此
后男运动员平均每秒跑3米，女运动员平均每
秒跑2米 。已知二人前两次相遇点相距88米
（按跑道上最短距离），那么这条跑道长
______米；
解：因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的
5
倍，所以男运动员跑完第一圈后，女 运动员刚
3
3
刚跑到
5
全长的位置。这时男运动员调头和女运
动员以相同的速度相向而行，所以第一次相遇点

在距A点
1
全长处。
5
下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相 遇
前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二
圈的速度与女运动员第一圈的速度相同，所以 在
男运动员跑完第二圈时，女运动员跑第二圈的时
间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，而女运 动
员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的
22
，所以女运动员刚好跑到距A点的 位置，此
55
时男女运动员相向运动，男运动员的速度为
3ms，女运动员的速度为2 ms。这样第二次相
9
遇点距A点
25
。两次相遇点间的距离为总全长的1914

52525
1114
1
2525
。所 以两点在跑道上的最短距离为全长的
。而这段距离又为88米。所以88÷
11
＝20 0
25
米。

2. 在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙3人同时
从起跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是
6千米小时，乙的速度是
30
千米小时 ，丙的速
7
度是3.6千米小时，_____分钟后3人跑到一
起，_____小时后 三人同时回到出发点；
分析：我们注意到，3人跑到一起的意思是快者
比慢者跑的路程差应是 300的整数倍；如果都同

时回到出发点，那么每人跑的路程都是300的整
数倍。同时注意到本题的单位不统一，首先换算
单位，然后利用求两个分数的最小公倍数的方法
可以解决问题。
解：（1）先换算单位：甲的速度是
6000
100米分钟；
60
50018000
乙的速度是
30000
米分钟； 丙的速度是
60
米
7607560
分钟。
（2）设t分钟 3人第一次跑到一起，那么3人
跑的路程分别是
100t
米、
500
t
米、
60t
米。路程差
7
40t,
20080
t ,t
77
都是300的整数倍。而
，所以第一次3人跑到
t[
3 00300730071537157105
,,][,,]
4
一起的时 间是
105
分钟。
2
（3）设k分钟3人同时回到起点，那么3人跑
t
米、
60t
米。每个路程都的路程分别是
100t
米、
500
7
300300730021
是300的整数倍。而
t[
100
所以3
,,][3,,5]105
，
500605
人同时 回到起点的时间是105分钟。
评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有
分子的最小公 倍数作分子，所有分母的最大公约
数作分母得到的分数。

3. 某体育馆有两条周长分
A
C B
A
B

别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、
乙俩个运动员分别从两条跑道相距最远的两个端点A、B两点同时出发，当跑到两圆的交
汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且
在 小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆
时针跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙
第5次 与甲相遇时，所用时间是______秒。
分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻
烦 的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没
有细心的计算是很难解决问题的。现在我们注意
到 在小圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，如果
这两个圆能“拧开”就是一个在周长400米的大
圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变
得非常简单了。
解：根据分析，甲在A处，乙 在B处，相距200
米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多
跑200米，以后每追上一 次乙都要比甲多跑400
米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑
400×4+200＝1800 米，需要的时间是1800÷（5
－4）＝1800秒。
评注：当一个问题按试题指引的方向比较
复杂时，有时可以换一个角度得以使试题
A
9
N
8
B
6
C
D
P
M
12

简化，而题目本身并没有实质上的变化，这是解
决数学问题经常用到的“转化”的数学思想。

4. 如图，正方形ABCD是一条环行公路。已知
汽车在AB上时速是90千米， 在BC上的时
速是120千米，在CD上的时速是60千米，
在DA上的时速是80千米。从C D上一点P，
同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点
相遇。如果从PC的中点M，同时反 向各发出
一辆汽车，它们将在AB上一点N相遇。那么
AN
______；
NB
分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由
于反向开出的两辆车，不管走什么样的路 况，到
相遇的时候走的时间相同，故可以把每边设成速
度的倍数，转化成时间来解题。
解：设正方形的边长为720千米，那么AB上行
驶的时间是720÷908小时，BC上行驶的时 间
是720÷1206小时，CD上行驶的时间是720÷
6012小时，DA上行驶的时 间是720÷809小
时。那么行驶一周的总时间是8+6+12+935小
时。
从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，

它们将在AB中 点相遇，相当于从AB中点同时
反向各发出一辆汽车，它们在CD上一点P相遇，
每辆车都行驶 35÷2＝17.5小时，DP上的时间
为17.5494.5小时，PM上的时间为（124 .5）
÷23.75小时。同样得到AN上的时间为
17.53.754.590. 25小时，NB上的时间为8－
0.25＝7.75小时。AN、NB上的速度相同，故路
0. 251
程比就等于时间比。即
AN

。
NB7.7531
评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终
点到起点的时间相同，很容易求得DP上的时间。同时注意到把边长设成速度的最小公倍数解题
可以简化计算。

二、时钟问题：
5. 早上8点多的时候上课铃响了，这时小明看了
一下手表。过了大约1小时下课铃响了，这 时
小明又看了一下手表，发觉此时时针和分针的
位置正好与上课铃响时对调，那么上课时间是< br>_______时______分。
分析：8点多上课，下课是9点多，两次的时针
应 是在8－9与9－10之间，这样可以初步判断
出上课时间是8：点45分到8：50，下课时间是

9：40到9：45之间。再利用分针与时针速度的
关系即可转化成环形上的行程问题。 解：有分析可以知道，分针和时针走的总路程是
1
整个圆周，设分针速度为1，那么时针速 度为
12
，
分针每小时走60个小格，设8与时针的夹角为
x格，9与分针的 夹角为y格，根据时间相同列
方程组：

x45y

1

1


12

y40x
,


1

1

12
x4
8
143
88
。所以上课的时间为40+
4
143

44
143< br>分
钟。

6. 一只旧钟的分针和时针每65分钟(标准时间的
65 分钟）重合一次,这只钟在标准时间的1天
（快或慢）______分钟；
5
分析： 我们标准钟每65
11
标准分钟时针、分针重
合一次。旧钟每65分钟重合一次。显然 旧钟快。
本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65
标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转 速度(每
标准分钟旋转多少格)进而推算出旧钟的针24标
准小时旋转多少格，它与标准钟的针 用24标准

小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比
标准钟快的时间读数。
解：设旧钟分针 每标准分钟走x格。那么，每走
1格用
1
标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分
x
针速度为x (格标准分)。旧钟分针走60格时针
1
走5格，时针速度总是分针 的
12
，所以旧钟时针
1
速度为
12
x (格标准分)。每 次重合耗用65标准分
钟，而且两次重合之间分针赶超了时针60格，
11212
) x6560,x
列方程：
(1
12
.
1311
标准时间一天有60×24＝1440标准分，一天
12
内旧钟分针走的格数为：
1 2
×60×24。但是我们
1311
只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格，
12
即减去1440个(标准钟的)格，所以有
12
×60×24
1311
12
144－143
－60×24＝(
12
－1)×6 0×24＝×60×24＝
1311
1311
6024
131110
＝10
143
(旧钟格)
10
这里一定要明白，这10< br>143
只是旧钟上显示的
多走的格数，也是旧钟的非标准分钟数，并非标

准的分钟数。
10
答：这只旧钟在标准时间一天内快10
143
分钟。(按
旧钟上的时间)

7. 一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指 针每秒
转动的角度为成差数列递增。现在可以设定指
针第一秒转动的角度a（a为整数），以及 相邻
两秒转动的角度差1度，如果指针在第一圈内
曾经指向过180度的位置，那么a最小可以 被
设成_______，这种情况下指针第一次恰好回
到出发点是从开始起第_____秒。
解：对于满足条件的a，即存在1个自然数n，
使得a+(a+1)+(a+2)++(a+ n1)=180，即
(2a+n1)n=360。显然a越小时，2a+n1与n
的差越 小。又2a+n1与n的奇偶性不同，于是
可推出n=15，a=5。故a最小可以被设成5。在这种情况下指针第一次恰好回到出发点时，即
5+6+7+……+n=360k（k是整数，n
5），所以
n+5(n4)能被720整除。注意到
n4
< br>n+5(mod3)，所以n4和n+5是3的倍数。
又n+5与n4的奇偶性不同，故有一 个是16

的倍数。且n+5与n4中有1个是5的倍数。
于是得出 满足条件的最小的n是100。时间为
96秒。

三、流水行船问题：
8. 某人乘坐观光游船沿河流方向从A港到B港
前行。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面
追上游船,每隔20分钟就会有一艘货船迎面开
过。已知A、B两港之间货船发出的间隔时间< br>相同，且船在静水中的速度相同，均是水速的
7倍。那么货船的发出间隔是_____分钟； < br>分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后
追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水< br>与逆水的不同。
解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，
游船的速度为x，时 间间隔为t，那么在追及的
情况下的间隔为30×[(6+1)(x+1)](6+1)×t，迎面
相遇情况下的间隔为20×[(61)+(x+1)](61)×t，
解得t＝7202 9分钟。
评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车
的时间间隔相同时候，在顺水与逆水 的间隔路程
就不同了，就是这样出错的。

9. 有一地 区，从A到B为河流，从B到C为湖。
正常情况下，A到B有水流，B到C为静水。
有一人游泳 ，他从A游到B，再从B游到C
用3小时；回来时，从C游到B，再从B到A
用6小时。特殊情 况下，从A到B、从B到C
水速一样，他从A到B，再到C用2.5小时，
在在这种情况下，从 C到B再到A用______
小时；
解：设BC为1份，AB为x份，则AB占总体
1
的
x
x
，BC占总体的，根据特殊情况下，从A
1x1
到B、从B到C水速一样，他从A到B，再到C
用2.5小时，速度相同，时间的比等于路程的比，< br>x2.5
得到关于时间的等式
2.5
2.5
.
x1x 1
这样得到其它两个条件的等式：
2.5x0.5x35.5x30.5x3
3,6,

x1x1x1x1
而要求的算式是
5.5x3
5.5x3
x
?
x1x1

5.5x3
x
x1
这样知道在BC上逆水时的时间为，静
x32.5
水时所用时间 为
0.5
，顺水时所用时间为，所
x1x1
以在BC上逆水、静水、顺水 时的速度比为
5.5x
x
3
：
1
0.5x3
1
：
2.5
，由于三者是公差为水速的等差数列，

1
2x
所以得到等式：
0.5x
，
35.5x3
2. 5
x
3
2
.
所以
小时。
5.5x3
5.5x3
x
4.537.5
x1x1
.
答：在 特殊情况下，从C到B再到A用7.5
评注：本题的关系十分复杂，把四个条件都用时
间表示出 来，然后寻找在BC上的三种速度是一
个等差数列。

10. A地位于河流的上游 ，
B
地位于河流的下游，
每天早上，甲船从
A
地、乙船从
B
地同时出发
相向而行。从12月1号开始，两船都装上了
新的发动机，在静水中的速度 变为原来的1.5
倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1
千米。由于天气的原因，今天（ 12月6号）
的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇
地点与12月2号相比，将变化__ _____千米；
分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水
中相遇时，速度的和不变；
解：设开始甲船在静水中中速度为V
甲
，乙船在
静水中速度为V
乙< br>，水速为V
水
，相遇时间为t。
（1）开始时相遇时间为t，而速度均增加1.5倍

时，行驶路程不 变，故时间缩小1.5倍时间即为
t1.5=
2
t
，根据两次相遇点相距1 千米，甲两次
3
2
的路程差为1千米，列方程，
t(1.5V
32
2V）（t1.5V
甲
V
水
）=1
甲
水
3
，
tV
水
=3，从而
2
t(1.5V
3
甲
222
2V
水
）（t1.5V
甲
V水
）tV
水
32
333
（千米）；
评注：从题目结论可以看出，路程的变化与甲、
乙速度无关，只与水速的变化有关；

四、综合行程：
11. 司机每天按规定时间开车从工厂到厂长家
接厂长。一天厂长 提前了1小时出门，沿路先
步行，而司机晚出发了4分钟，途中接到厂长，
结果厂长早到厂8分 钟，那么开车速度与厂长
步行速度的比是_____；
分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的
路程下，路程比等于时间的反比。
解 ：司机晚出发4分钟，又早到8分钟，那么相
当于少用4812分钟时间接厂长到厂，又知道
司机来回的时间是相等的，故司机去的时候少用
122＝6分钟。而司机这6分钟走的路程是厂长< br>步行的路程，厂长走这段路的时间应该是早出发
的1小时加上司机遇到厂长时少用的6分钟，共< br>66分钟。根据分析，相同的路程情况下，司机

的速度与厂长步行的速度比是66：6＝11：1。
评注：不要认为司机6分钟的路程是厂长 1小时
的路程，而是要加上司机去的时候少用的6分
钟，想一想，为什么？

12. 某路公交线共有30站（含始发站和终点
站），车站间隔2.5千米，某人骑摩托车以 300
米分的速度从始发站沿公交线出发，差100
米到下一站时，公交总站开始发车，每2分 钟
一辆，公交速度500米分，每站停靠3分钟，
那么一路上摩托车会被公共汽车从后追上并< br>超过_______次；（摩托车从始至终不停，公交
车到终点即停）
解：摩托车与总 站相距2400米的时候，第一辆
车开始发车，它与摩托车超过9次，第二辆超过
8次，第三辆 超过2次，共计19次；

13. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，4
小时 后在某处相遇；如果甲每小时多走1.5千
米，而乙比甲提前24分钟出发，则相遇时仍
在此处 。如果甲比乙晚48分钟出发，乙每小
时少走2.5千米，也能在此相遇，那么A、B

< br>
两地之间的相距_______千米；
分析：本题的关键是三次相遇的地点相同，然后
考虑各自的时间和速度的变化。
解： 假设甲乙4小时相遇在C处，当甲每小时多
行1.5千米时，要走相同的路程，则时间就少用
2 4
0.4
60
小时，实际所用时间是4－0.4＝3.6小时，
3.6< br>13.5
千米小时；当乙每那么甲原来的速度是
1.5
0.4
48< br>0.8
小时少走2.5千米，则走相同的路程要多用
60
小时，实际所用的时 间是4+0.8＝4.8小时，那么
4.8
15
千米小时。乙原来的速度是
2.5
0.8
所以A、B两
地的距离是（13.5+15）×4＝114千米。 < br>解法二：设甲的速度是x千米小时，乙的速度是
y千米小时，则甲乙的路程分别是4x千米、4y
千米。那么
4y24

4x


x1.5y< br>
60



4x

48

4y


x60y2.5
9

x



x1.510

6


y

5y2.5


x13.5


y15

所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝114千
米。
评注：这里注意到乙多走的24分钟，相当于甲

少走了24分钟，速度增加，时间减少，路程不
变的情况。

14. 有轿 车、货车、公共汽车各一辆在一条公路
上行驶，公共汽车在最前面，轿车在最后面，
公共汽车与 货车的车距是货车与轿车车距的2
倍。轿车追上货车的时间为10分钟，再过20
分钟追上公共 汽车，又过20分钟，货车也追
上公共汽车，其中公共汽车每走5分钟就停靠
车站一次，每次停 留2分钟，那么轿车、货车、
公共汽车行驶速度比为___:___:___；
解：如图设轿 车、货车、公共汽车的速度分别为
v
1
,v
2
,v
3
,
轿车和货车的距离为a，那么轿车追上货车
时，各自行驶了10分钟，轿车追上公共汽车时 ，
轿车行驶了30分钟，而公共汽车只行驶了22分
钟（30÷7＝4…2，4×5＋2＝22 ），当货车追上公
共汽车时，货车行驶了50分钟，公共汽车行驶
了36分钟（50÷7＝7… 1，5×5＋1＝36），可以得
到方程组：
(1)

10v
1< br>10v
2
a


30v
1
22v3
3a(2)

50v36v2a(3)
3

2

2
轿车
a
货车
2a
公共汽车
（3）－（1）×2得：
35v10v
1
18v
3
（1）×3－（2）

得：
v
2
:v
3
22:30
12

3
从而得到
v:v:v23:22:30

评注：本题涉及到三个 对象的运动，要弄清各自
的运动情况是理清解题思路的关键，同时注意到
公共汽车是有间歇的行 驶，虽然时间有那么多，
而实际行驶的需要换算。

15. A、B、C三地依次分 布在由西向东的同一
条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C同时
出发，甲、乙向东，丙向西； 乙，丙在距离B
地18千米处相遇，甲，丙在B地相遇，而当
甲在C地追上乙时，丙已经走过B 地32千米，
那么，AC间的路程是______千米；
思路：三人有时间相同的路程，使用比例，路程
比等于速度比；
解：如图设a、b；
（1）V
乙
：V
丙
=18：b；
（2）V
甲
：V
A
①
A
B
18
b
C
丙
②
=（32+a）：
丙
B
丙
C
（18+b）；
（3）V
甲
：V
乙：V
丙
=（50+a+b）：
（18+b）：（50+b）；
由①、②可知V
甲
A
③
甲
a
32
B
乙
C
丙
：V
乙
：V
丙
=（32+a）

b:18(18+b):b(18+b),
从而V
甲
：V
乙
：V
丙
=18（50+a+b）：18(18+b)：
18（50+b）


a40


b30



32a

b18

50ab




b

18b

18

50b


，所以AC间距离为40+32+18+30=120（千
米
行程问题上 练习题
甲
乙
1. 甲、乙二人分别从圆形跑道的直径两端
点同时出发以 匀速反向绕此圆形路线运
动，当乙走了100米后，二人第一次相
遇，在甲差60米走完一周时 又第二次相
遇，如果两个人同向出发，那么甲第一次追上
乙时距离他的出发点有______米 ；
解：第一次相遇时两人共走了半个圆周，从开始
到第二次相遇两人共走了三倍的半圆周，那 么乙
走了100×3＝300米，它恰好是半圆周的多60米，
这样圆周长是（300－60） ×2＝480米。
乙走100米时，甲走了240－100＝140米，这相
当于两人的速度 ，两人同向出发时，甲要比乙多
走半个圆周就追上乙，需要的时间是240÷（140
－100 ）＝6个半圆周，这时甲走了6×140＝840
米，480×2－840＝120米，因此甲第一次追 上乙

时距离他的出发点有120米。

2. 某工厂的计 时钟走慢了，分针70分钟与时针
重合一次，李师傅按照慢钟工作8小时，工厂
规定超时工资比 原工资多3.5倍，李师傅原工
资为每小时3元，这天工厂应付李师傅超时工
资______元 ；
分析：首先要把这个慢表的1小时转换成标准时
间的1小时。
解：在慢表中，7 0分钟分针和时针重合一次，
而标准时间是
720
分钟分针和时针重合一次。那么11
慢表中的8小时在标准时间中是70×8÷
720
，超出
11
的时间是70×8÷
720
－8，由于超出的每小时的工
11
资是3×（1 +3.5）＝13.5元，那么超时工资就是
（70×8÷
720
－8）÷13.5＝ 7.5元。
11
1
评注：设分针的速度是1，那么时针的速度是
12
，
再设x分时针和分针重合，分针比时针多走60
1720
个格，故有
(1 
12
（分钟）。
)x60,x
11

3. 江上有 甲、乙两个码头，相距15千米，甲码
头在乙码头的上游。一艘货船和一艘游船同时
分别从甲码 头和乙码头出发向下游行驶。5小

时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船 上
有一物品落入江中，6分钟后货船上的人发现
并掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。< br>则游船在静水中的速度为每小时______千米；
解：（1）货船比游船每小时快15÷5＝ 3千米，当
相遇后1小时，游船与货船的距离是1×3＝3千
米，当货船返回到物品时的时间还 是6分钟，那
么游船船走6×2＝12分钟时，那么游船12分钟
的顺水路程加上货船逆水6分 钟的路程恰好是
货船6分钟顺水路程加上3千米的路程，即
12
V
60< br>乙
66
V
水

60
V
甲
 V
水
=
60
V
甲
V
水
3，解 得V
乙
=15千米小时。
评注：注意到当一个物体从一个船上掉入水中，
那么船是顺水速度，物体是水速，相当于船在静
水中的速度；而返回寻找物体时，船是逆水速度，
物体还是水速，两者速度和还是船在静水中速
度。即船来回的时间是相同的。

4. 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时
派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用 1
小时。这位劳模在下午1时便离厂步行向学校
走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向< /p>

学校，在下午2时40分到达。那么汽车速度
是劳模步行速度的_____倍；
解： 汽车走单程需要602=30分钟，实际走了
402=20分钟的路程，说明相遇时间是2：20，2< br>点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段
距离汽车要走30-20=10分钟，所 以车速劳模速
度=8010=8
答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。
5. 甲、 乙两人同时从A、B两地出发，甲每分钟
行80米，乙每分钟行60米，
两人在途中C点相遇。 如果甲
A
D E
C
B
晚出发7分钟，两人在途中D处相遇， 且A、
B中点E到C、D两点的距离相等，那么A、
B两地间距离为_______米； 解：甲晚出发7分钟，相当于乙先走7分钟，这
7分钟，乙走了60×7＝420米，如果是甲乙和 走
这段路程，那么需要420÷（80＋60）＝3分钟，
那么第二次比第一次相遇的时间差是 7－3＝4
分钟，4分钟乙走了CD，那么CD＝4×60＝240
米，第一次两人的路程差是 240米，速度差是
80－60＝20米分钟，那么第一次相遇的时间是
240÷20＝12分 钟，所以A、B两地的距离是12×

（80＋60）＝1680米。

6. 某人骑摩托车以300米分的速度从始发站沿
公交线出发，在行驶2400米 时，恰好有一辆
公共汽车总始发站出发，公交速度500米分，
每站停靠3分钟，两站之间要行 驶5分钟，那
么一路上摩托车会与公共汽车遇见_______
次；
解：摩托车与总站相距2400米的时候，遇见10
次。

7. 一辆客车 和一辆面包车分别从甲、乙两地同时
出发相向而行。客车每小时行驶32千米，面
包车每小时行 驶40千米，两车分别到达乙地
和甲地后，立即返回出发地点，返回时的速度，
客车每小时增加 8千米，面包车每小时减少5
千米。已知两次相遇处相距70千米，那么面
包车比客车早返回出 发地______小时；
解：客车与面包车速度比为32：
4
404：5，设AB 为1，则AC
9
，
5
5441
CB
9
，当面包 车到达A，客车距B点
9

，
955
4057
当客车 到达B点时，面包车已经返回
1

，
53232

1
725

3232
25354055555
，DB
32

，CD=
,AB70504
，
4
5
面包车从D点返回需要的时间是
504
12
356
小时，
客车从D点返回需要（504－210）÷40＝7.35。
那么面包车比客车早返回出发地7.35－6＝1.35
小时。

8. 小 明和小亮分别从相距3千米的甲、乙两地同
时出发，保持均匀的速度相向而行。当二人相
遇后， 小明又用了16分钟到达了乙地，此后
又经过9分钟小亮到达了甲地，那么当小明到
达乙地时小 亮距甲地______米；
解：设小亮的速度是x米分钟，小亮的速度是y
米分钟，那么

x

300016y

xy



3000
y
(169)x

xy
x

x16(xy)


y3000



y

25(xy)

3000

x< br>(xy)
2

30003000
,xy150
16 25
，
200200
,9x9600
33
.

9. A、B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑
车从A、B两地同时出发，甲速度为每小 时40
千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、

乙两人继续沿各 自方向往前骑。在他们相遇3
分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在
C地追上乙。若甲以 每小时20千米的速度，
乙以每小时比原速快2千米的车速，两人同时
分别从A、B出发相向而 行，则甲、乙二人在
C点相遇。则丙的车速是每小时______米；
45
解：乙原 来车速是每小时（105÷
1
60
）40=20千
米，乙加速后与甲在C相 遇，CA距离是
20×
20
105
=50千米，乙原来速度到C点时间是22
1055011

204
小时。甲、乙原来相遇地点与C点的距
3
小时。丙车速是每小时
22
19
23
千米。

2019
48
离是
401
60
5022
千米 ，丙走这22千米用的时间是
44819
1
116020

10. 一架飞机带的燃料最多用6小时，顺风去，
每小时1500公里，逆风回，每小时12 00公里，
飞机最多飞出______小时返回；
解：我们知道去时顺风，每小时1500公 里，也
1
就是去时每走1公里用
1500
小时，回来时逆风，
每小时 1200公里，也就是回来时每走1公里用
1
小时。这样，每公里的路程来回共需要
1 200
113

15
小时。
燃料最多能用6小时，所以飞机最多可飞行

6
3
2000
=4000(公里)
顺风时飞行4000公里需要4000÷1500=
8
小时。
3
所以最多飞出
8
小时。
3

11. 已知猫跑 5步的路程与狗跑3步的路程相
同。猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。
而猫跑3步的时间 与狗跑5步的时间相同。猫
跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。猫、狗、
兔沿着周长为300 米的圆形跑道,同时同向同
地出发。当它们出发后第1次相遇时各跑了
______、____ __、_____米；
分析：从所给的路程和时间的关系得到它们三者
的速度比是很重要的， 猫跑一步的时间为
1
，跑
3
3
5步的时间是
5
，同 样得到狗跑3步的时间是，
35
35
这时路程相同，速度比是时间的反比，为
5
:
＝9：
3
25，同样求猫与兔子的速度比。
解：由题意,猫与 狗的速度之比为9∶25,猫与兔
的速度之比为25∶49。设单位时间内猫跑1米,
则狗跑< br>
25
9
米,兔跑
49
25
米。狗追上猫一圈需
675
25

49

300÷

；兔追上猫一圈需300÷

1

＝

1

＝
4
925

625
2
。

猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是
675
的整数倍,4
675625
又是
625
整数倍。与的最小公倍数等于两个
2 42
分数中,分子的最小公倍数除以分母的最大公约

675,625
＝
16875
＝8437.5。
675625

数,即

＝
,

4
2
(4,2)
2


上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第
1次相遇。此时,猫跑了8437 .5米,狗跑了
49
8437.5×
25
＝23437.5(米),兔跑了8 437.5×＝
25
9
16537.5(米)。
评注：注意三者的速度比， 然后求出第一次相遇
的时间是解题的关键，同时要会求两个分数的最
大公约数。