行程问题集锦.docx
包车旅游-龙骧虎步
行程问题集锦
1、 基本行程问题：
基本概念：
行程问题是研究物体运动的， 它研究的是物体速度、时间、 行程三者之间的 关系。
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定行程过程中的位置
2、 简单的相遇、追及问题：
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程
追击问题：追击时间=路程差÷速度差
简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方
1.
相遇问题：与速度和、路程和有关
⑴ 是否同时出发
⑵ 是否有返回条件
⑶
是否和中点有关：判断相遇点位置
⑷ 是否是多次返回：按倍数关系走。
⑸
一般条件下，入手点从 和入手，但当条件与 差有关时，就从差入手，再分析
出时
间，由此再得所需结果
2. 追及问题：与速度差、路程差有关
⑴
速度差与路程差的本质含义
⑵ 是否同时出发，是否同地出发。
⑶ 方向是否有改变
⑷ 环形时：慢者落快者整一圈
(1) 甲、乙两列火车同时从相距 700
千米的两地相向而行，甲列车每小时行 85 千米，乙 列车每
小时行 90
千米，几小时两列火车相遇？
(2) 两列火车从两个车站同时相向出发， 甲车每小时行 48
千米，乙车每小时行 78 千米， 经过
2.5 小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？
(3) 甲、乙两列火车同时从相距 988 千米的两地相向而行，经过 5.2 小时两车相遇。甲
列车每小
时行 93 千米，乙列车每小时行多少千米？ (1)师徒两人合作加工 520 个零件，
师 傅每小时加工 30
个，徒弟每小时加工 20 个，几小时以后还有 70 个零件没有加工？
(2)甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖
天比甲队少挖 5 米，两队合作
8 天挖好，这条水渠一共长多少米？
(3) 甲、乙两艘轮船从相距 654
千米的两地相对开出而行， 8小时两船还相距 22 千米。 已知乙
船每小时行 42
千米，甲船每小时行多少千米？
( 4)一辆汽车和一辆自行车从相距 172.5
千米的甲、乙两地同时出发，相向而行， 3
75 米；乙队从西往东挖，每
小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行 31.5 千米，求汽车、自行车的速度各是多 少？
5)两地相距 270 千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过
知甲车的速度是乙车的 1.5 倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？
4
小时相遇。已
（6）甲、乙两城相距
680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶
时后，快车从乙城开往甲城，每小时行 80
千米，快车开出几小时后两车相遇？
60千米， 2小
（7）甲、乙两车同时从相距
480 千米的两地相对而行，甲车每小时行 45 千米，途中因 汽车故
障甲车停了 1小时，
5小时后两车相遇。乙车每小时行多少千米？
（8）A、B 两地相距
3300米，甲、乙两人同时从两地相对而行，甲每分钟走
乙每分钟走 83 米，已经行了 15
分钟，还要行多少分钟才可以相遇？
（9）甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行。已知甲车每小时行
小时行
32千米，相遇时甲车比乙车多行 52 千米。求甲乙两地相距多少千米？
（10）姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长 770 米。妹妹步行每分钟行 60 米，姐姐
骑自行车
以每分钟 160 米的速度到达少年宫后立即返回， 途中与妹妹相遇。 这时妹妹走了几
分钟？（ 2001
年上海市金山区升级考试卷）
（
11）小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向而行。小明步行每分钟走
卷）
（
12）A、B 两地相距 300 千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。各自达到目的
地后又
立即返回，经过 8 小时后它们第二此相遇。已知甲车每小时行 45 去，千米，乙车每
小时行多少千
米 ?
3、平均速度：平均速度 =总路程÷总时间
例题：张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货， 到
达省城后马上卸货并随即沿原路
返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行 64 千米，返回时每小时行 56千米，往返一
趟共用
去 12小时（在省城卸货所用时间略去不计 ） 。张师傅在省城和县城之间往返
一趟共行了
多少千米？
[ 题说 ] 第五届《小数报》数学竞赛初赛第 1 题
答案： 716.8（ 千米 ）
D10-022 一辆汽车以每小时 60千米的速度从
A地开往B地，它又以每小时 40千米的速度 从B地返
回A地，那么这辆汽车行驶的平均速度是
—千米小时
[题说] 第六届“祖冲之杯”数学邀请赛第 4题
答案： 48（千米
小时）
D10-034王师傅驾车从甲地开往乙地交货。如果他往返都以每小时
千米。如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？
[题说 ]
第二届“华杯赛”复赛第 6题
答案：每小时 66 千米
4、钟面行程 ：
两个速度单位：分针每分钟走 6 度，时针每分钟走 0.5度
时钟问题主要有 3
大类题型：第一类是追及问题（注意时针分针关系的时候往往有两种
情况）；第
60千米的速度行驶，正
好可以按时返回甲地， 可是当到达乙地时，
他发现他从甲地到乙地的速度只有每小 时 55
60 米，小华
45 千米，乙车每
82 米，
骑自行车每分钟行 190米，几分钟后两人在距中点 650米处相遇？
（2002 年上海市金山区 升级考试
二类是相遇问题（时针分针永远不会是相遇的关系，但是当时针分针与某一刻度
夹角相等时，可以求
出路程和） ；第三种就是走不准问题，这一类问题中最关键的一点：找
到表与现实时间的比例关系。
5、走走停停： 行程问题里走走停停的题目应该怎么做
画出速度和路程的图。
要学会读图。
每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。
要注意每一个行程之间的联系。
【题目】甲乙两人同时从一条 800 环形跑道同向行驶，甲 100 米 分，乙 80
米分，两人 每跑
200 米休息 1 分钟，甲需多久第一次追上乙？
【解答】这样的题有三种情况： 在乙休息结束时被追上、 在休息过程中被追上和在行
进中被
追上。 很显然首先考虑在休息结束时的时间最少， 如果不行再考虑在休息过程中被追
上，最后考虑
行进中被追上。 其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否
是在休息点追上的。
由此首先考虑休息 800÷ 200— 1 =
3分钟的情况。甲就要比乙多休息 3分钟，就相当
于甲要追乙 800+ 80× 3=
1040米，需要1040÷（ 100— 80）= 52分钟，52分钟甲行了 52 × 100 =
5200米，刚好是在休息点追上的满足条件。行 5200米要休息5200÷ 200 — 1=
25分 钟。
因此甲需要 52+ 25= 77 分钟第一次追上乙。
【题目】在
400 米环形跑道上， A、B 两点的跑道相距 200 米，甲、乙两人分别从 A、B
两点同时
出发， 按逆时针方向跑步， 甲每秒跑 7米，乙每秒跑 5米，他们每人跑 100米都停
5 秒．那么，甲
追上乙需要多少秒？
【解答】这是传说中的“走走停停”的行程问题。
这里分三种情况讨论休息的时间，第一、如果在行进中追上，甲比乙多休息 10秒，
第二，
如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息 5秒，第三， 如果在休息过程中且又没
有休息
结束，那么甲比乙多休息的时间， 就在这5〜10秒之间。显然我们考虑的顺序是首先
看是否在结束时
追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追上。
有了以上的分析，
我们就可以来解答这个题了。 我们假设在同一个地点， 甲比乙晚出 发的
时间在
2007+5=2357和2007+10=2707的之间，在以后的行程中，甲就要比乙少
用这么多时间，由
于甲行 100米比乙少用 1005—1007=407秒。
继续讨论，因为2707 ÷ 407不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追
上的。因
为在这个范围内有 2407÷ 407 = 6是整数，说明在乙休息的中追上的。即甲共行
了 6× 100+ 200 =
800米，休息了 7次，计算出时间就是 8007+ 7× 5
= 149又27秒。
注：这种方法不适于休息点不同的题，具有片面性。
在有些行程问题中， 既有路程上的前后调头， 又有时间上的走走停停， 同时又有速度上的
前后变
化。 遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律， 把整个运动过程分成几段，再仔细
分析每一段中
的情况，然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化，
减少复杂重复的推理及计算。
例：甲、乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道上进行
10000 米长跑比赛， 两人从同 一起
跑线同时起跑， 甲每分钟跑 400 米， 乙每分钟跑
360 米， 当甲比乙领先整整一圈时，两 人同时加
速， 乙的速度比原来快 ，甲每分比原来多跑
18 米，并且都以这样的速度保持到终 点。问：甲、乙
两人谁先到达终点？
停走问题
这类题抓住一个关键 --假设不停走，算出本来需要的时间。
又可
【例 1】龟兔赛跑，全程 5.4千米，兔子每小时跑 25
千米，乌龟每小时跑 4千米，乌 龟不停
的跑，但兔子却边跑边玩，它先跑 1分，然后再玩
15分，又跑 2 分，玩 15分，再跑
3分，玩15
分，……，那么先到达终点的比后到达终点的快几分钟呢？
【例
2】在一条公路上，甲、乙两个地点相距 600 米。张明每小时行走 4 千米，李强 每小时
5
千米。 8 点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，
么，张、李二人相遇时间是 8
点几分呢？
5．多人行程 ---这类问题 主要涉及的人数为
3人,主要考察的问题就是求前两个人相 遇或追及
的时刻, 第三个人的位置,
解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关 系。
【例
1】有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,
甲于乙、
丙背向而行。甲每分 40米,乙每分 38米,丙每分 36 米。出发后,甲和乙相遇后
3 分钟又与丙相遇。
这花圃的周长是多少？
【例 2】甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走
60 米,乙每分钟走 50 米,丙每分钟走 40
米。甲从
A地，乙和丙从B出发相向而行，甲和乙相遇后，过了 15分钟又与丙相遇， 求A、 B
两地的距离。
【题目】在 400米环形跑道上, A、 B 两点的跑道相距
200米,甲、乙两人分别从 A、 B 两点同
时出发, 按逆时针方向跑步, 甲每秒跑
7米,乙每秒跑 5米,他们每人跑 100米都停 5秒．那么,甲追
上乙需要多少秒？
这里分三种情况讨论休息的时间,第一、如果在行进中追上,甲比乙多休息 10秒,
1
分钟后他们都的掉头
反向而行，再过3分钟，他们又掉头相向而行，依次按照 1 , 3, 5,
7, 9,……分钟数掉头 行走，那
第二, 如果在乙休息结束的时候追上,甲比乙多休息
5秒,第三, 如果在休息过程中且又没 有休息结
束，那么甲比乙多休息的时间，
就在这5〜10秒之间。显然我们考虑的顺序是首先
看是否在结束时追
上,又是否在休息中追上,最后考虑在行进中追上。
有了以上的分析,
我们就可以来解答这个题了。 我们假设在同一个地点, 甲比乙晚出 发的时
间在2007 + 5
= 2357和2007 + 10 = 2707的之间，在以后的行程中，甲就要比乙少
用这么多时
间，由于甲行 100米比乙少用1005 — 1007 = 407秒。
继续讨论，因为2707 ÷ 407不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追
上的。因
为在这个范围内有 2407÷ 407 = 6是整数，说明在乙休息的中追上的。即甲共行
了 6× 100+ 200 = 800米，休息了
7次，计算出时间就是 8007+ 7× 5 = 149又27秒。
正方形 ABCD 每边长
100米，甲从 A 出发顺时针沿 A-D-C-B-A 跑步，每秒 7米；乙从
B
出发顺时针沿 B-A-D-C-B 跑步，每秒 6 米，问：（1）他们每到 A、B、C、D 都要停
10 秒，甲何
时追上乙？（ 2）他们每到 A 、B、C、D 都要停 1 秒，甲何时追上乙？（
3）他们 每到A、B、C、
D都要停0.5秒，甲何时追上乙？
例：
快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5 小时相遇。已知慢车 从乙地到
甲地用
12.5小时，慢车到甲地停留 0.5小时后返回。 快车到乙地停留 1 小时后返回，
那么两车从第
一次相遇到第二次相遇需要多少时间？
12. 5 - 5 = 7 .
5小时
5 : 7. 5 =
则
快车与慢车的速度比
所以：
12.5 * （23）= 253 小时 …… 快车到达 B 点所需的时间
12.5 +
0.5 - （253 + 1）= 113小时 …… 返回时快车比慢车先行的时间
即先行了：（113）* 3 =
（253）* 3 = 25
11
……
…… 快车返回时先行的路程
AB 两地的总路程
……
快车先行后两车第二次相遇时间 所以：
两车从第一次相遇到第二次相遇所
2 : 3
…… 慢车行AC这段路所用的时间
…… 行相同路程快车与慢车的时间比
3 ：
2 …… 为相同时间内
（25 - 1 1 ）（ 2+3） = 145 小时
7.5
+ 0.5 + 145 = 10.8 小时
用的时间
或： 253 - 5 + 1
+ 113 + 145 = 10.8 小时
程问题中，
遇到给出条件一个人走多久又休息多久的条件总是觉得思路很不明朗，
各位都有哪些好方法来解此类题，下面提供两个例题：
1、 绕湖一周是 20
千米，甲、乙二人从湖边某一点同时同地出发，反向而行，甲以每
不知
小时 4
千米的速度每走一小时休息 5 分钟， 乙以每小时 6千米的速度每走 50分钟后休息 10
分钟，
则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？
2、 环形跑道周长是 500
米，甲、乙二人按顺时针方向沿环形跑道同时同地起跑，甲 每分钟
跑 60米， 乙每分钟跑
50米， 甲、乙两人每跑 200米均要停下来休息一分钟， 那么甲 首次追上乙
需要多少分钟？
当甲首次追上乙的时候 ,甲跑的距离肯定比乙跑的距离多
则当S200的余数＜=100时,甲停的次数比乙多
500
2（S为乙跑的距离
）
设乙跑的时间为T,则
甲跑的时间为T-2
（此时间为纯跑步用的时间
）
50*T+500=60*（T-2） 得 T=62
S=50*62=3100 S200 的余数 =100 成立
停的次数 =[3100200]=15
则需要的总时间为 :62+15=77
当S200的余数＞100时
,
甲停的次数比乙多 3 则甲跑的时间为 T-3
50*T+500=60*（T-3） 得 T=68
S=50*68=3400 S200
的余数=0 矛盾
所以结果是 : 77
快车和慢车分别从 A ， B
两地同时开出，相向而行
第一次相遇到再相遇共需多少时间？
解：画一张示意图：
.经过 5 小时两车相遇 .已知慢车从 B
到A用了 12.5小时，慢车到
A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回•问：两车从
设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了 5小时，从C到A用了 12.5-5=7.5（小时）.
我们
把慢车半小时行程作为 1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个
单位，快车每
小时走 3 个单位 .
有了上面 取单位 准备后，下面很易计算了 .
慢车从C到A ,再加停留半小时，共 8小时•此时快车在何处呢？去掉它在 B停留1
小时.快车
行驶7小时，共行驶3× 7=21 （单位）.从B到C再往前一个单位到 D点.离A点
15-1= 14 （单位）.
现在慢车从A ,快车从D ,同时出发共同行走
14单位，相遇所需时间是
14÷（ 2＋3）= 2.8（小时） .
慢车从 C 到
A 返回行驶至与快车相遇共用了
7.5+ 0.5+ 2.8= 10.8 （小时）.
答：从第一相遇到再相遇共需 10小时 48分.
6
、接送问题
例题：奥数接送问题
例题 1 ：
如果A、B两地相距10千米，一个班有学生 45人，由A地去B地，现在有一辆马车，
车速是
人步行的 3 倍，马车每次可以 乘坐 9 人， 在 A 地先将第一批学生送到 B
地，其余的 学生同时向 B
地前进；车到 B 地后立即返回，在途中与步行的学生相遇后，再接
9 名学生 前往 B 地，余下的学生
继续向 B 地前进 . . .多次往返后，当全体学生到达
B 地时，马车共行 了多少千米？
答案： 10*(1+23*34*2+13*34*2+16*
34*2+18*34*2)=10*4716=2358 千米
例题 2：
某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班 .有一天，专家为了早些到厂，比平时提前一小
时出发， 步行去工厂， 走了一段时间后遇到来接他的汽车， 他上车后汽车立即调头继续前进，
进入
工厂大门时， 他发现只比平时早到 10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车？
（设人和汽
车都作匀速运动，他上车及调头时间不记 ）
解析：设专家从家中出发后走到 M
处（如图 1）与小汽车相遇。 由于正常接送必须从 B →A →
B ,而现在接送是从 B →
M → B恰好提前10分钟；则小汽车从 M →A → M刚好需10 分钟；于是小
汽车从
M→A 只需 5分钟。这说明专家到 M 处遇到小汽车时再过 5分钟，就
是以前正常接送时在家
的出发时间，故专家的行走时间再加上
小时，从而专家行走了： 60
一 5= 55（分钟）。
例题 3：
甲乙两辆汽车分别从 A.B
两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是
行，甲车和乙车的速度比是
是多少千米？
解析：相遇时甲乙的行程比也是： 5：4，即甲行了全程的： 5（4+5）=59，乙行了： 49
又
相遇时甲比乙多行了：
48*2=96 千米 所以路程是：
96（59-49）=864 千米.
5： 4，到两车
5 分钟恰为比平时提前的 1
相遇时距离中点 48 千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两辆汽车分别从 A.B 两成出发，
相向而
5：4，到两车相遇时距离中点 48 千米，两城之间的路程
例题 4：
有两个班的小学生要到少年宫参加活动， 但只有一辆车接送。 第一班的学生做车从学校
出发的
同时，第二班学生开始步行 ；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回
接第二班学生上车
并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时 4 公里， 载学生时车速每小 时
40 公里，空车是 50 公里
小时，学生步行速度是 4 公里
小时，要使两个班的学生同时到
达少年宫，第一班的学生步行了全程
的几分之几？（学生上下车时间不计）
A.17；
B.16； C.34 ； D.25 ；
答：选 A
,两班同学同时出发，同时到达，又两班学生的步行速度相同
生步行的距离和坐车的距离分别相同的
=>所以第一班学生走的路程
距离为y，则二班的步行距离为
第一班学生坐车的路程=第二班学生坐车的路程=> 令第一班学生步行的距离为
=>
说明两班学
X ,二班坐车
=第二班学生走的路程；
X，一班的车行距离为
y。=>X4（ —班的步行时间
）
=y∕40（二班
的坐车时间
）+（y-X）50（ 空车跑回接二班所用时间 ）=>X y=16=>X 占全程的 17=> 选 A
7、发车问题
行程问题之间隔发车问题
2、 小明放学回家
,他沿一路电车的路线步行 ,他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎面开来， 每搁
12
分钟，有一辆一路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点
站的发车间隔时
间也相同，那么一路电车每多少分钟发车一辆？
同向时
电车
12分钟走的路程 -小明 12 分钟走的路程 =发车间隔时间 *车速
反向时
电车
6 分钟走的路程 +小明 6 分钟走的路程 =发车间隔时间 *车速 则:电车 6 分钟走的路程
=小明
18 分钟走的路程
小明 12分钟走的路程 =电车 4分钟走的路程
电车 12 分钟走的路程 - 小明 12 分钟走的路程
电车 12分钟走的路程
-电车 4分钟走的路
= 电车 8 分钟走的路程
=发车间隔时间 *车速
所以,发车间隔时间为 8 分钟
3、
一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的
的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
分析： 要求汽车的发车时间间隔，
只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，
但题目
没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？
由题可知：
相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离） 是不变的，当一辆公共汽车超过步 行人
时，
紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，
车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。
对于骑车人可作同样的分析
.因此，如果我们把汽车的速度记作 V 汽，骑车人的速度为 V 自， 步行人
的速度为
V人（单位都是米分钟），则：
间隔距离=（V汽-V人）× 6 （米），
间隔距离=（V汽-V自）× 10 （米），
V 自 =3V 人。
综合上面的三个式子，可得： V汽=6V人，即V人=1∕6V汽，则：
间隔距离=（V汽-16V汽）× 6=5V汽（米）
所以，汽车的发车时间间隔就等于：
间隔距离÷ V汽=5V汽（米）÷ V汽（米份钟）=5 （分钟）。
小峰沿公交车的路线从终点站往起点站走，他出发时恰好有一辆公交车到达终点，在路上，
他又遇到
了 14辆迎面开来的公交车， 并于 1 小时 1 8分后到达起点站，
这时候恰好又有一辆 公交车从起点
开出。已知起点站与终点站相距 6000 米，公交车的速度为
500 米分钟，且每 两辆车之间的发车间隔
是一定的。求这个发车间隔是几分钟 ?
解析：
3 倍，每隔 6 分
钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔
10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始 发站发车
每隔 6 分钟就有一辆汽
车超过步行人， 这就是说： 当一辆汽车超过步行人时， 下一辆汽车要用 6 分钟才能追上步行
人，汽
发车间隔为 6 分钟。
6000÷ 500= 1
2（分）.
（78+12）=90（ 分）.
90÷ （16-1）=6（ 分）.
公交车走完全程的时间为 6000÷ 500=12（分）。 小峰前后一共看见了
16辆车，并且第 1 6辆车是
他走了 1 小时 18分 即 78 分钟后在起点站遇上的。
如果我们让小峰站在终点站不动，
他可以在 （78+12）=90（分钟）后看见第 1
6辆车恰好到达终点。
第 1 辆车和第 16 辆车中间有 （16-1）=15（
个）发车间隔，
所以一个发车间隔为 90÷ 15=6（分）.
列车每天 18： 00
由上海站出发，驶往乌鲁木齐，经过 50 小时到达，每天 10： 00 从乌鲁木
齐站有一列火车返回上海，所用时间也为 50 小时，为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每
天各有一
辆火车发往对方站， 至少需要准备这种列车多少列？在原题的前提下， 正常运行后， 每天
18： 00
从上海站开往乌鲁木齐的火车在途中，将会遇到几趟回程车从对面开来？在车
速不变的前提下， 为了
实现有五列车完成这一区段的营运任务， 每天两站互发车辆时间间隔
至少需要相差多长时间？（假定
乘客上下车及火车检修时间为一小时）
解：（1）设上海到乌鲁木齐的车第一天晚 18： 00 出发， 到乌鲁木齐为第三天晚 20：
00，
该车可于第四日早 10： 00 从乌鲁木齐出发，于第六日中午 12：
00到上海，当日晚 18： 00 可出
发往乌鲁木齐。
因此，第六日开始重复是同一辆车，所以至少需要
木齐的火车到达乌鲁木齐这段时间，
从乌鲁木齐出发的车它都会遇到，共是 2 辆。
（3）
在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，则第一日从乌鲁
木齐发出的车需在第六日再从同一个站开出，
设每天上海发车时间比乌鲁木齐晚
为第六天的开车前 1 小时。
列方程如下：
24*5-1-（48+（24-x）+50）>0
解得： x>3
为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线路上，
线
路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔 a 分钟驶过一辆公交
车，而从迎
面每隔 b 分钟就有一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？ （假
如公交车的速度不
变，而且中间站停车的时间也忽略不计。 ）
一、把“发车问题”化归为“和差问题”
因为车站每隔相等的时间发一次车， 所以同向的、
前后的两辆公交车间的距离相等。 这 个相等
的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。
我们把这个相等的距离假设为 “1”。
根据“同向追及” ，我们知道：公交车与行人 a
分钟所走的路程差是 1，即公交车比行
x（x〉2，
若 x<2
则来不及在第六天开出前回去）小时，则该车最快回到乌鲁木齐为 48+x+50 小时后，
即至少
5 辆列车。
18： 00 从上海站开往乌 鲁（2）
正常运行后，每天都会有一趟车从乌鲁木齐出发开往上海，在
人每分钟多走 1a， 1a
就是公交车与行人的速度差。
根据“相向相遇”
，我们知道：公交车与行人 b 分钟所走的路程和是 1，即公交车与行
人每分钟一共走 1b，
1b 就是公交车和行人的速度和。
这样，我们把“发车问题”化归成了“和差问题”
。根据“和差问题”的解法：大数 = （和+
差）÷ 2,小数=（和-差）÷ 2
,可以很容易地求出公交车的速度是（
因为公交车在这个“间隔相等的时间”内行驶的路程是
我们可以求出问题的答案， 即公交车站发车的间隔时间是
（ 1∕a+1∕b）。
二、 把“发车问题”优化为“往返问题”
如果这个行人在起点站停留 m
分钟,恰好发现车站发 n 辆车,那么我们就可以求出车 站发车的间
隔时间是 m÷n
分钟。但是,如果行人在这段时间内做个“往返运动”也未尝不
可,那么他的“往返”决
不会影响答案的准确性。
因为从起点站走到终点站，
行人用的时间不一定被 a和b都整除，所以他见到的公交车 辆数也
不一定是整数。 故此,
我们不让他从起点站走到终点站再返回。 那么让他走到哪再立
即返回呢？或
者说让他走多长时间再立即返回呢？
取a和b的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数）
刚有一辆公交车在起点站发出,我们让行人从起点站开始行走,先走
a辆车。也就是说行人返回起点站时第（
点站2ab分钟开出了（ a+b）辆公交车。
这样,就相当于在 2ab 分钟的时间内,行人在起点站原地不动看见车站发出了（ a+b）
辆车。于
是我们求出车站发车的间隔时间也是 2ab÷（ a+b） =2 ÷（ 1a+lb）。
，我们这里取ab
o
假如刚
ab 分钟,然后马上返
1∕a+1∕b）÷ 2。又
1 ,所以再用“路程÷速度 =时间”，
1
÷I（
1∕a+1∕b）÷ 2】=2
÷
回；这时恰好是从行人背后驶过第 b 辆车。当行人再用 ab 分钟回到起点站时,恰好又是从
迎面驶来第
a+b）辆公交车正好从车站开出，即起
这样的往返假设也许更符合“发车问题”的情景,更简明、更严谨,也更易于学生理解
和接受。如
果用具体的时间代入,则会更加形象,更便于说明问题。
三、
请用上述两种方法,试一试,解答下面两题：
1、小红在环形公路上行走，每隔
6分钟就可以看见一辆公共汽车迎面开来，每隔 9 分
钟就有一
辆公共汽车从背后超过她。如果小红步行的速度和公共汽车的速度各自都保持一
定，而汽车站每隔相
等的时间向相反的方向各发一辆公共汽车， 那么汽车站发车的间隔时间 是多少？
2、小明从东城到西城去， 一共用了 24 分钟。两城之间同时并且每隔相等的时间对发一
辆公共
汽车。 他出发时恰好有一辆公共汽车从东城发出， 之后他每隔 4 分钟看见一辆公共汽
车迎面开来，
每隔 6 分钟有一辆公共汽车从背后超过。 问小明从东城出发与到达西城这段时
间内，一共有多少辆公
共汽车从东城发出？
四、下面三题也是发车问题，试一试，揭示问题实质。
3、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。 甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，
甲每分
钟步行 82 千米，每隔 10
分钟遇上一辆迎面而来的电车；乙每分钟步行 60 米，每隔 10 分 15
秒遇
上迎面开来的一辆电车。电车总站每隔 __ 分钟开出一辆电车。
［题说］ 1997
年小学数学奥林匹克决赛 A 卷第 12 题
答案： 11（分钟）
4、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出
发开往乙站。全程要走 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的
时候，恰
好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车，才到达甲站。
这时候，恰好又有
一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？
［题说］
第一届“华杯赛”初赛第 16 题
答案： 40（分钟）
5、一条双向铁路上有
11个车站。相邻两站都相距 7公里。从早晨 7点开始，有 18 列 货车由
第十一站顺次发出，
每隔 5 分钟发出一列， 都驶向第一站， 速度都是每小时 60 公里。 早晨 8
点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是 100 公里，在到达终点站前，
货车与客车都不
停靠任何一站，问：在哪两个相邻站之间，客车能与
［题说］
第三届“华杯赛”决赛二试第 6 题
答案：在第 5 个站与第 6
个站之间，客车与三列货车相遇。 从几个不变来找方法， 比如人步行
的速度不变．
比如车的速度和发车时间间隔不变等等． 就
会比较容易找到已知数量与问题之间的关
系．从而找到解题方法。
8、电梯行程
3
列货车先后相遇？
小学六年级扶梯问题专题分析
1、哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走
, 共走了 100 级 此时妹妹沿向上的自动扶梯从底
2倍. 那么,当自动扶梯静
向上走到顶 , 共走了 50 级. 如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的
止时 ,
自动扶梯能看到的部分有多少级 ???
解：由题可知，
设能看到的部分有 n
级，扶梯每秒移动 p 级，妹妹每秒走 x 级 则哥哥每秒走 2x 级
由题可列方程，
2x*n∕(2x-p)=100 ……(1), x*n(p+x)=50 ……(2)
(
1 ) ( 2)： 2(p+x)(2x-p)=2
p+x=2x-p
x=2p
又由( 1)，所以 n=100*(2x-p)2x=100*(4p-p)4p=75 级
所以自动扶梯能看见的部分有 75 级
2、商声的自动扶梯以匀速由下往上行驶 , 两个孩子嫌扶梯走得太慢 , 于是在行驶的扶梯上 ,
男孩每秒向上走 2梯级,女孩每 2秒向上走 3梯级,结果男孩用 40秒到达楼上 ,女孩用
50秒 到楼上 .
问当该扶梯静止时 , 扶梯可看到的梯级共有多少级 ?
{
分析与解答 ］ 两个孩子从下走到上 , 他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时
间内上
升X级,那么扶梯总的梯级数等于男孩走过的 40乘以2得80级国上自动扶梯上升的
50X级
，
40X级,同样也等于女孩50秒走过的50除以2乘以3得75级加上自动扶梯上升的
列方程可求出解•解设每秒自动扶梯上升 X级.40乘2加上40X=50除以2乘以3加上50X解
X=0.5扶
梯共有40乘以2加上40X等于100级•
3.
商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个小孩在运行的扶梯上由上往下走，男孩每分钟
走 30
级，需 6 分钟到达楼下；女孩每分钟走 25 级，需 8 分钟到达楼下。问：当该扶梯静止
时，自
动扶梯能看到的部分共有多少级？
［分析与解］在这里我们将“自动扶梯”看作“甲”，将“自动扶梯”与男孩、女孩之间的
运动关系
形象地用“追及问题” 的形式来表示。这样，这道题就类比成行程应用题中的追及
问题：男孩、女孩
两个人在 A地，甲在B地，三人同时出发，同向而行，男孩追上甲需
30级，女孩每分钟走 25级。求
A
B两地
6
分钟；女孩追上甲需 8分钟。已知男孩每分钟走
相距多少级？
由于甲的速度一定， 男孩与甲的速度差和女孩与甲的速度差的相差值即为男孩、 女孩速度的
相差值，如果把 A、B两地的路程看作单位“ 1 ”，不难找出男孩、女孩速度的相差值的对应
分率
为 ，故可列式： (级)。所以当该扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有 120级。
4. 自动扶梯以均匀的速度向上运行，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，已知男孩的
速度是女孩
的 2倍，男孩走了 27级到达顶部， 女孩走了 18 级到达顶部。
问：当自动扶梯静 止时，自动扶梯
能看到的部分有多少级？
［分析与解］在这里我们也将“自动扶梯”看作“甲”，将男孩、女孩与自动扶梯之间的运
动关系形
象地用“相遇问题”的形式来表示。这样这道题就类比成行程问题中的相遇问题：
男孩、女孩两个人
在 A地，甲在B地，男孩每分钟走的级数是女孩每分钟走的
人同时出发，男孩、女孩与甲相向而行，当甲与男孩相遇时，男孩走了
相遇时，女孩走了
18 级。求 A、 B 两地相距多少级？
不难看出男孩走 27级与女孩走 18
级所用的时间之比为， 则甲与男孩、 女孩两次相遇所用的 时间之
比为 3:4
。又因为甲的速度一定，所以甲行走的路程与其所用的时间成正比，即甲与
男孩、女孩两次
相遇时所行的路程之比也是 3:4 ，甲与男孩、女孩两次相遇所行的路程之差
也就是男孩、女孩两人所
行的路程差（级），故可列式： （级）或 （级）。所以当自动扶
梯静止时，自动扶梯能看到的部分
有 54 级。
2倍。现在三
27
级；当甲与女孩
5.
商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个孩子在运行的扶梯上上下走动，女孩由下往上
走，男孩由
上往下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩走了 80 级到达楼下，如果男孩单
位时间内走的级数是
女孩单位时间内走的 2 倍，当自动扶梯静止时， 自动扶梯能看到的部分
共有多少级？
［分析与解］我们仍可以将此题中的“自动扶梯”看作“甲”，将“自动扶梯”与“女孩”
以及“自
动扶梯”与“男孩”之间的运动关系分别用相遇与追及两种形式来表示。这样这道
题就类比成行程应
用题： 男孩与女孩在 A地，甲在B地。如果女孩与甲同时出发， 相向而行，
相遇时女孩走了 40
级；如果男孩与甲同时出发，同向而行，当男孩追上甲时，男孩走了
级。已知男孩的速度是女孩的 2倍，求A、B两地相距多少级？
不难求出男孩走
80级与女孩走 40 级所用的时间之比为， 那么甲在这两次运动中所用的时间 之比为
1:1，所以甲在这两次运动中所行的路程之比也为 1:1 。因为甲在这两次运动中共行
路程为（级），所
以甲在与女孩做相遇运动中所行的路程为
所以当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有 60 级。
6、
两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3级阶梯，女孩每秒可走
2级
（级），故A、B两地相距（级）。
80
阶梯，结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300秒。问该扶梯共有
多少级？
7、冬冬沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了 100
级，相同的时间内，恬恬沿
着自动扶梯从底走到顶共走了
50级。如果冬冬同一时间内走的级数是恬恬的 2 倍，那么当
自动扶梯
静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？
8、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶， 两个孩子嫌扶梯走得太慢， 于是在行驶的扶梯上，
男孩每秒钟向上走 2个梯级，女孩每 2秒向上走 3个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达，女孩
用 50 秒
钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为
“男孩或女孩每个单位向上运动的级数” ，如果设电梯匀速时的速度为 X则可列方程如下，
(X+2)× 40=( X+32 )× 50
解得X=0.5也即扶梯静止时可看到的扶梯级数 =(2+0.5) × 40=100
9、 甲步行上楼的速度是乙的 2 倍,一层到二层有一上行滚梯 (自动扶梯 )正在运行．
二人从滚 梯步行
上楼，结果甲步行了
20
级到达楼上，
乙步行了
12
级到达楼上. 问这个滚梯共有多 少级？
设滚梯长度为L,滚梯速度为X,甲速度为2Y,乙为Y,
则由题意得：
[L(X+2Y)]*2Y=20 (1) [L(X+Y)]*Y=12 (2) 联立( 1 )(
2)得 :
X=4Y (3)
将( 3)代入( 1 )或( 2)得 :
L=60.
10. 某商场一楼和二楼之间安装了一自动扶梯
,以均匀的
速度向上行驶 ,一男孩和一女孩同时 从自动扶梯走到二楼 (扶梯行驶 , 两人也走梯
), 如果两人上梯的
速度都是匀速 , 每次只跨 1 级,
且男孩每分钟走动的级数是女孩的 2倍, 已知男孩走了 27级到达扶梯顶部 , 而女孩走了
18
级到达扶梯顶部 .
(1) 扶梯露在外面的部分有多少级 ?
(2)
现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道 , 台阶的级数与自动扶梯级数相等 , 两个孩子各
自到扶梯
的顶部后按原速度再下扶梯 , 到楼梯底部再乘自动扶梯上楼 ( 不考虑扶梯与楼梯之
间的距离 ). 求男孩
第一次追上女孩时走了多少级台阶 ?
11、自动扶梯以均匀的速度向上行驶， 一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走， 男孩的速度
是女孩的 2倍，已知男孩走了 27 级到达扶梯的顶部， 而女孩走了 18级到达顶部。
问扶梯露 在外
面的部分有多少级？
12．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，
两位性急的孩子要从扶梯上楼。 已知男孩每分钟
走 20 级梯级， 女孩每分钟走 15
级梯级， 结果男孩用了 5 分钟到达楼上， 女孩用了 6 分钟到
达
楼上。问：该扶梯共有多少级？ 150
13．商声的自动扶梯以匀速由下往上行驶 ,
两个孩子嫌扶梯走得太慢 , 于是在行驶的扶梯上 ,
男孩每秒向上走 2 梯级,女孩每 2
秒向上走 3梯级, 结果男孩用 40秒到达楼上 ,女孩用 50秒 到楼
上 .
问当该扶梯静止时 , 扶梯可看到的梯级共有多少级 ?
{ 分析与解答 ] 两个孩子从下走到上
, 他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时
间内上升
X级,那么扶梯总的梯级数等于男孩走过的 40乘以2得80级国上自动扶梯上升的
50X级
，
40X级,同样也等于女孩50秒走过的50除以2乘以3得75级加上自动扶梯上升的
列方程可求出解•解设每秒自动扶梯上升 X级.40乘2加上40X=50除以2乘以3加上50X解
X=0.5扶梯共有40乘以2加上40X等于100级•
14.
哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走
，
共走了 1 00级;此时妹妹沿向上的自动扶梯从
底向上走
到顶
，
共走了 50级.如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的
静止时
，
自动扶梯能看到的部分有多少级
妹妹每秒走 x 级
则哥哥每秒走 2x 级
由题可列方程，
2x*n∕(2x-p)=100 ……(1),
x*n(p+x)=50 ……(2)
2倍.那么
，
当自动扶梯
？
?
？
设能看到的部分有 n级，扶梯每秒移动 P级，
( 1
) ( 2)： 2(P+x)(2x-P)=2
p+x=2x-p
x=2p
又由( 1)，所以
n=100*(2x-p)2x=100*(4p-p)4p=75 级 所以自动扶梯能看见的部分有 75级
9、猎狗追兔 猎狗追兔问题
猎狗前面 26 步远有一只野兔，猎狗追之。兔跑 8
步的时间狗跑 5 步，兔跑 9 步的距离等于 狗跑 4
步的距离。
问：兔跑多少步后被猎狗抓获？此时猎狗跑了多少步？
第一个条件：兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离：4X9=36份。把兔子9步的距离和狗4步
的距离都
细
分成 36 小份。则兔子一步为 4 小份，狗一步为 9
小份。这样我们就可以比较兔子步长与狗
第二个条件：兔跑 8步的时间狗跑 5
步。在相同的时间内，兔子 8 步，等于 4×8=32 份。狗 5 步等于
5×
9=45 份。两者的速度差是 45-32=13 小份。
猎狗前面 26
步远有一只野兔，是 26 个狗步， 26×9=234 小份，
根据追及：路程差÷速度差
=追及时间，234÷13=18 18个单位时间。
兔跑了 18×8=144 个步。猎狗跑了
18×5=90 步
狼与狗的相遇问题
狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬。一天，
它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑
568 步。如果
狼跑 9 步的时间狗跑
7 步，狼跑 5 步的距离等于狗跑 4 步的距离， 那么从它们同时奔向对方 到相
遇，狗跑
了多少步？狼跑了多少步？
第一个条件：狼跑 5 步的距离等于狗跑 4 步的距离。
4×5=20 份。则狗一步为 5 小份，狼一步为 4
小份。这样我们就可以比较狼步长与狗步长。 第二个条
件： 如果狼跑 9 步的时间狗跑 7
步，在相同的时间内， 狼跑9 步，等于 4×9=36 份。 狗跑 7 步等
于5
×7=35份。两者的速度和是 36+35=71小份。
它们之间的距离狼要跑 568步，
568×4=2272 小份，
根据相遇：路程和÷速度和 =相遇时间，2272÷7仁32
32个单位时间。
狼跑了 32×9=288 步。猎狗跑了
32×7=224 步
猎狗跑
4
步的距离
兔子跑
9
步的距离
狗一步
5
小份
狼一步
4
小份典型例题： 猎狗追赶前方
15
米处的野兔。猎狗跑
3
步的时间野兔跑
5
步，猎狗跑
4
步的距离
野兔要跑
7
步。猎狗至少跑出多少米才能追上野兔？
分析过程
猎狗追兔，一般都不给出具体的速度，只会告诉你猎狗跑几步的时间兔子跑几步，猎狗跑几步的距离
兔子
需要跑几步。通过这两个关系可以求出猎狗和兔子的速度比。
所以，我们根据其他条件，思考怎么把所
求结论转化成比例关系。
设猎狗至少跑
x
米才能追上野兔
则兔子跑了（
x-15
）
m
因为猎狗和兔子同时跑的，所以他们跑的时间相等，则他们的路程比与速度比相等。
所以，把所求的路程，转化成了只需要求狗和兔的速度比。
求狗和兔的速度比是每个猎狗追兔问题的关键，在
这里给大家介绍三种求狗兔速度比的方法，大家可以专
攻一种方法，对其他方法做简单了解。
猎狗追兔问题练习题
1.
一只猎狗正在追赶前方
20
米处的兔子， 已知狗一跳前进
3
米，兔子一跳前进
2.1
米，狗跳
3
次的时间兔
子可以跳
4
次。问；兔子跑出多远将被狗追上？
（280）
2.
猎狗追赶前方
30
米处的野兔。猎狗步子大，它
跑
4
步的路程兔子要跑
7
步，但是兔子动作快，猎狗跑
3
步的时间兔子能跑
4
步。猎狗至少跑出多远才能追
上野兔？（
126
）
3.
在一只野兔跑出
90
米后
猎狗去追它 野兔跑
8
步的路程 猎狗只需跑
3
步 猎狗跑
3
步的时间 野兔能跑
4
步 问猎狗至少跑出多远才能追上野兔。（
180
）
4.
猎狗追赶前方
35
米处的野兔，猎狗步子大，它跑
4
步的路程兔子要
7
步，但是兔子动作快，猎狗跑
3
步 的时间兔子跑
4
步，猎狗至少要跑出多远才能追上野
兔？（
147
）
5.
猎狗追赶前方
50
米处的野兔。猎狗跑
4
步的路程兔子要跑
7
步
,
但猎狗跑
3
步的时间兔子能跑
5
步。猎
狗至少跑出多远才能追上野兔
?
（
1050
）
6.
一只野兔逃出
80
步后猎狗才追它，野兔跑
8
步的路程猎狗只需跑
3
步，猎狗跑
4
步的时间兔子只能跑
9
步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？（
192
）
7.
一只野兔逃出
85
步后猎狗才追它
,
野兔跑
8
步的路程猎狗只需跑
3
步
,
猎狗跑
4
步的时间野兔能跑
9
步
,
问
:
猎狗至少要跑多少步才能追上野兔
?
（
204
）
8.
猎人带猎狗追野兔， 野兔先跑出
80
步，猎狗跑
2
步的时间等于野兔跑
3
步的时间，
猎狗跑
4
步的距离等 于野兔跑
7
步的距离，问猎狗需要多少步可以追上
野兔？（
320
）
9.
一只野兔逃出
66
步后猎狗才追它
,
野兔跑
8
步的路程猎狗只需跑
3
步
,
猎狗跑
4
步的时间兔子能跑
7
步。
猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？（
72
）
10、多人行程
11、二次相遇、追及问题
第一讲
多人（或多次）相遇与追及问题
1. 学会画图解行程题
2.
能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题
专题一、【多人相遇与追击】
多人相遇追及问题，即在同一直线上，
3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕 路程二速度
时间”这一条基本关系式展开的， 比如我们遇到的
两大典型行
程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化.
如下两条关系式：
路程和=速度和 相遇时间；
路程差=速度差追及时间；
多人相遇与追及问题虽然较复杂， 但只要抓住这两条公式，
量，问题即可迎刃而解.
逐步表征题目中所涉及的数
由此还可以得到
板块一、多人从两端出发
一一相遇、追及
【例1】（难度级别 探※）有甲、乙、丙 3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走
80米， 丙每分钟走
75米.现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途
中甲与乙相遇6分钟后，
甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米 ？
【解析】
甲、丙6分钟相遇的路程： 100 75 6=1050（米）;
甲、乙相遇的时间为： 1050
-75讦210（分钟
）
；
东、西两村之间的距离为： 100 80 210
=37800 （米）.
【巩固】 （难度等级 探※）甲、乙、丙三人每分分别行
乙和丙从 A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后
地的距离.
60米、50米和40米，甲从B地、
15分又遇到丙•求 A, B两
【解析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候， 甲和丙之间的距离为：（60
1500 ÷50-40） =150 + 40） ×15= 1500
（米）,而乙丙之间拉开这么大的距离一共要
（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了
150分钟，所以A、B之间的距离为：
（60+50）
×150 = 16500 （米）.
【例2】（难度等级 探※※）甲、乙两车的速度分别为
52千米时和 40千米时，
它们同时从 A地出发到
B地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，
1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。
【解析】甲乙两车最初的过程类似追及，速度差 ×追及时间=路程差；路程差为 72千米;
72千米就是1小时的甲车和卡车的路程和，速度和
度和为72千米时，所以卡车速度为
对目遇时间=路程和，得到速
72-40=32千米时。
【例3】（难度等级
探※※）李华步行以每小时 4千米的速度从学校出发到 20.4千米处
的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接， 每小时比李华多走 1.2千米。
又过了 1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。
问骑车人每小时行驶多少千米？
【解析】老师出发时，李华已经走了 4 0.5=
2（千米）。接下来相遇所需要的时间为
20.4-2汁
（
4 • 4 1.2
=2 （小时）。相遇地点与学校的距离用李华的速度和时
间进行计算：4 0.5 =10
（千米）。所以张明要用2T∙5=0∙5小时感到距离学
校10千米处，张明的速度为10~'0.5=20 （千米时）
板块二、多人从同一端出发一一追及问题
【例4】（难度级别 探※※）张、李、赵
3人都从甲地到乙地.上午 6时，张、李两人
一起从甲地出发，张每小时走 5千米，李每小时走
4千米.赵上午8时从甲地出
发•傍晚6时，赵、张同时达到乙地•那么赵追上李的时间是几时 ？
【解析】甲、乙之间的距离：张早上 6时出发，晚上6时到，用了 12小时，每小时5千米，
所以
甲、乙两地距离 5 12=60千米。赵的速度：早上 8时出发，晚上6时到，用 了
10小时，
走了 60千米，每小时走60 千米。所以，赵追上李时用了： 4
2
亠
6-4 =4小时，即
中午 12时。
【巩固】 （难度级别 探※※）甲、乙、丙三辆车先后从
少？
A地开往B地，乙比丙晚出发 5
分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发
15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速 度比是多
【解析】 根据题意可知，乙和丙的时间比为 45
: 50 =9： 10 ,即速度比为10： 9。甲和乙的
时间比为60: 75 =4 : 5 ,即速度比为5: 4,甲、乙和丙的速度比为 25:
20: 18。
甲和丙的速度比为 25: 18
【例5】（难度级别
探※※）甲、乙、丙三人同时从 A向B跑，当甲跑到 B时，乙离B
还有20米，
丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。问：（1） A，
B相距多少米？
（ 2）如果丙从 A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？
【解析】
a） 乙跑最后20米时，丙跑了 40-24 = 16 （米），
、 16 4
丙的速度是乙的 —=-
。
20 5
因为乙到B时比丙多跑24米,
4
所以A、B相距24 (1-— )=120米
5
b） 甲跑120米，丙跑120-40=80米,
丙的速度是甲的
80 =2
面=3
2
甲的速度是（120） 一一 =7.5
（米秒）
3
A地沿同一公路开往 B地，途中有
7分钟、8分钟、14分钟追上
【例6】（难度等级 探※※）甲、乙、丙三车同时从
个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用
骑摩托车人。已知甲车每分钟行
度是多少？
1000米，丙车每分钟行 800米，求乙速车的速
【解析】甲与丙行驶7分钟的距离差为：
（
1000— 800） ×7= 1400
（米），也就是说当甲追上 骑摩
托车人的时候，丙离骑摩托车人还有 1400米，丙用了
14-7=7 （分）钟追上了
1400 ÷ 14— 7）= 200 （米分），
这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：
骑摩托车人的速度为：800 — 200=
600 （米分），三辆车与骑摩托车人的初始距离
为：
（
1000— 600）
×7= 2800 （米），乙车追上这 2800米一共用了 8分钟，所以乙
车的速度为：2800 8÷ 600= 950 （米分）
。
【巩固】（难度级别
探※※）快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前 面的一个
骑车人.这
3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人.现在知
道快车每小时走24千
米，中车每小时走 20千米，那么，慢车每小时走多少千米
？
【解析】 快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车的路程差为 24（千
米
）
，中车追上这段路用了 10 -6 =
4（分钟
）
，所以骑车人与中车的速度差为
10
_6二4（千米小时）.则骑车人的速度为10_6二4（千米小时
）
，所以三车出发时与
骑车人的路程差为10 -6 =4（千米）.慢车与骑车人的速度差为
时），所以慢车速度为14 ∙5=19 （千米小时）.
10 -6 =4 （千米小
专题二、【多次相遇与追击】
板块一 由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕 “路程=速度 时间”这一条基本关系式展开的， 多次相遇与
追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎 刃而解.
【例7】 甲、乙两名同学在
周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒
钟跑
3.5
米，乙每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到岀 发点？
【解析】
从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的
为
300 10 =3000
米，因为甲的速度为每秒钟跑
10倍,
4 米,
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑
3 5
所以这段时间内甲共行了
3000
3.5+4
1400
米
，也就是甲最后一次离开出发点
继续行了
200米，可知甲还需行
300-200=100
米才能回到出发点.
【巩固】
甲乙两人在相距 90米的直路上来回跑步, 2
米•如果他们同时分别从直路两端出发，
【解析】17
甲的速度是每秒 3米，乙的速度是每秒
10分钟内共相遇几次？
板块二运用倍比关系解多次相遇问题
1. 两地相向出发：第 1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
第N次相遇，共走2N-1个全程;
注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是
2个全程。即甲第1次如果走了 N米，以后每
次都走2N米。
2. 同地同向出发：第 1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
第N次相遇，共走2N个全程;
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
多人相遇追及的解题关键
几个全程
路程差
【例8】
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发， 8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在
离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，
再追上小明
的时候，离家恰好是 8千米，这时是几点几分？
【解析】画一张简单的示意图：
Q千米 4千米
家 ----------- * ---------- 4
L
α
I -------------------------
小明
[
----------- 爸爸
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
骑的距离是 4 + 8 = 12 （千米）
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的
8-4 = 4 （千米）
而爸爸
12 ÷4 = 3 （倍）•按照这个
倍数计算，小明骑 8千米，爸爸可以骑行
8 ×3 = 24 （千米）•
但事实上，爸爸少用了 8分钟，骑行了 4 + 12 = 16
（千米）•
少骑行24-16 = 8 （千米）•摩托车的速度是 8 ÷8=1
（千米分），爸爸骑行16千米 需要
16分钟.
8 + 8+ 16 =
32.所以这时是8点32分。
【例9】 甲、乙两车分别同时从 A、B两地相对开出，第一次在离
A地95千米处相遇.相 遇后继续
前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离
B地25千米处相遇.求 A、
B两地间的距离是多少千米？
【解析】画线段示意图
（
实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线 ）:
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
A、B两地间距离，第二次相遇意味着两
A、B两地间的距离
3个
车共行了三个
A、B两地间的距离•当甲、乙两车共行了一个
时，甲车行了 95千米，当它们共行三个
A、B两地间的距离时，甲车就行了
95千米，即95 ×3=285 （千米），而这
285千米比一个 A、B两地间的距离多 25 千米，可
得：95
×3-25=285-25=260（ 千米）.
【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从
A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距
地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
【解析】4 ×3=12
千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距
地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距 9- （3+4 ） =2千米。
B
B
【例10】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向
绕此圆形路线运动， 当乙走了 100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60
米处又第
二次相遇•求此圆形场地的周长.
1
【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 一圈的路程，当甲、乙第
2
1
二次相遇时，甲乙共走完
3
2
1+ —
=-圈的路程•所以从开始到第一、二次相遇
2
所需的时间比为1 : 3
,因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走 的总路程
的3倍，即100
×3=300米•有甲、乙第二次相遇时，共行走 （1圈一
60）+300
,为
3
圈，所以此圆形场地的周长为 480米.
2
【巩固】 如图，A
B是圆的直径的两端，小张在 A点，小王在B点同时出发反向行走，他
们在C点
第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求 这个圆的周长•
Tl
【解析】360
模块三解多次相遇问题的工具一一柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间
-距离图，再画上密密麻麻的
交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇
的次数”，
“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程” ，使用折线示意图法一般需要我
们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我
这样的一般
人儿来说不容易。
【例11】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，
且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往
哈佛•轮船在途中均要航行七天七夜•试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约
前（途
中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】
这就是著名的柳卡问题•下面介绍的法国数学家柳卡•斯图姆给出的一个非常直观
巧妙的解法.
他先画了如下一幅图:
这是一张运行图.在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示
纽约.那么，从哈佛或纽约开出的轮船， 就可用图中的两组平行线簇来表示•图中
的每
条线段分别表示每条船的运行情况•粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航
行，它与其他线
段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船 （图中用实线表示） 会与从纽约
开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）•而且在这相遇的15艘船中，有1艘是
在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛） ，1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出）
剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和
子夜•如果不仔细思考，可能认为仅遇到
后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.
7艘轮船•这个错误，主要是只考虑以
【例12】甲、乙两人在一条长为
30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒
度是每秒
0.6
米•如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了
共相遇几次？
【解析】采用运行图来解决本题相当精彩！
1米，乙的速
10分钟后,
首先，甲跑一个全程需
30
（秒），乙跑一个全程需
30
（秒）•与
上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙,
那么实虚两线交点就是甲乙相
遇的地点）
一个周期内共有5次
相遇，其中第1, 2,
4, 5次是迎面相遇，
从图中可以看出，当甲跑
重新开始，这正好是一周期
5个全程时，乙刚好跑
3个全程，各自到了不同两端又
5次，所以两人跑 150秒•在这一周期内两人相遇了
10分钟，正好是四个周期，也就相遇了
5 4=20
（次）
【例13
】
（
2009年迎春杯复赛高年级组
）
A
、
B
两地
位于同一条河上，
B
地在
A
地下游100
千米处•甲船从
A
地、乙船从
B
地同时出发，相向而行，甲船到达
B
地、乙船到
达
A
地后，都立即按原来路线返航.水速为
2米秒，且两船在静水中的速度相
同•如果两船两次相遇的地点相距
米秒.
20千米，那么两船在静水中的速度是
【解析】本题采用折线图来分析较为简便.
A D E
如图，箭头表示水流方向，
A
> C > E
表示甲船的路线，
B > D > F
表示乙船
的路线，两个交点
M
、
N
就是两次相遇的地点•
由于两船在静水中的速度相同， 所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同， 那么
两船
顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，
长度相同，
AD
和
CF
的长度相同.
那么根据对称性可以知道，
M
点距
BC
的距离与
N
点距
DE
的距离相等，也就是 说两次
相遇地点与
A
、
B
两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距 20千米，
所以第一次相
遇时，两船分别走了
100-20
2=40
千米和
100-40 = 60
千米，
可得两船的顺水速度
和逆水速度之比为
60: 40 = 3: 2
•
而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2倍，即为 4米秒，可得顺水速度为
表现在图中，就是
BC
和
DE
的
4
亠
3-2 3 =12
米秒，那么两船在静水中的速度为
12-2=10
米秒.
多人
（
或多次
）
相遇与追及
1.
70km
h , 50km h的速度匀速行驶，若汽车
站开往甲站，并且在途中，汽车
两站相距多少
km
?
测试题
B
、C从乙
（难度级别 探※）（2009年四中入学测试题）在公路上，汽车
A
、
B<
br>、C分别以80km h ,
A
从甲站开往乙站的同时，汽车
A
在与汽车
B
相遇后的两小时又与汽车 C相遇，求甲、乙
【解析】汽车
A
在与汽车
B
相遇时，汽车
A
与汽车C的距离为：（80 50） 2=260千米，
此时汽车
B
与汽车C的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了
260 （70 - 50） =13小时，那么甲、乙两站的距离为： （80 70） 13
=1950千米.
2. （难度等级 探※※）甲、乙、丙三辆车同时从 A地出发到
B地去，甲、乙两车的速
5度分别为60千米时和48千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后
时、
6时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
【解析】甲车每小时比乙车快
60 -48 =12（千米
）
•贝U 5小时后，甲比乙多走的路程为
60千米，又因为 12 £=60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为
卡车与乙在卡车与甲相遇的
6-左=1小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为
60-T-48=12（千米小时）,卡车在与甲相遇后，再走
8-5「3（小时）才能与丙相