痣相-中国大学生音乐节

变速行程问题


课程简介：
变速变道问题属 于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变
速问题， 利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一
步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要 知道
变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种 方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，
也包括公式的各种变形形式；有时条 件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂 的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画
出行 程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解< br>题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可 求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的
题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定 的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题 中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中
用匀速问题的方法去分析 ，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都 很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重
要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
例题精讲：
例1.
小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强 每分走70米，二人在途中的A处相遇。若小
红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人 仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？
☆1☆

解： 小红速度不变,则两次从出发到A点相遇时间不变
那么小强第二次就比原来少用了4分钟，就要多走4×70=280米
即同样路程,提速后每分钟多走90-70=20米
小强每分钟90米,从家到A处用时:280÷20=14分钟
小华和小强家相距:(52+70)×(14+4)=2196米

例2.
A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇。如果甲 加
快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇。如果甲延迟0.5小时 出发，乙每
小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距多少千米？
解：甲提速而乙速度不变，则乙到达桥上仍然用3小时，那么甲用3-0.5=2.5小时
甲提速后2.5小时多走2.5×2=5千米才到达桥
甲原速度为5÷（3-2.5）=10千米∕小时
乙减速而甲速度不变，则甲到达桥上仍然用3小时，那么甲用3+0.5=3.5小时
乙减速后3.5小时少走3.5×2=7千米刚好到达桥
乙原速度为7÷（3.5-3）=14千米∕小时
AB相距路程：（14+10）×3=72千米
答：

例3.
甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速
度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时行多少千米？
解：甲原速度与乙提速速度比为12:（30-12）=2:3
甲提速与乙原速度比为（30-16）:16=7:8
乙提速后甲到相遇点占全程的25
甲提速后到相遇点占全程的715
两相遇点相距28千米,占全程的715-25=115
全程为28×15=420千米
甲乙原速度和为4206=70千米小时
☆2☆

甲原速度为(70+5)*25=30千米小时
乙原速度为70-30=40千米小时
答:

例4.
甲、乙两 人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。如果甲速度不变，乙每小时多行4千
米， 且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多
行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是每
小时多少千米？
解: 甲原速度与乙提速速度比为10:（20-10）=1:1
甲提速与乙原速度比为（15-5）:5=2:1
乙提速后甲到相遇点占全程的12
甲提速后到相遇点占全程的23
两相遇点相距15千米,占全程的23-12=16
全程为15×6=90千米
甲乙原速度和为905=18千米小时
甲原速度为(18+4)2=11千米小时
乙原速度为18-11=7千米小时
答:

例5.
甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行（不一定同时 出发），甲骑自行车，乙步行。两人在距A地500
米处第一次相遇。甲继续走到C地后发现忘带东西， 于是将速度提高一倍，立即返回A地，并在距A地400
米处追上乙。甲到达A地后不作停留立即前往B 地，在距A地300米处与乙第二次相遇，最后两人同时到达
目的地。那么BC两地相距多少米？
解: 设500米处为D点
依据题意甲提速后甲乙速度比为(100+300+300):100=7:1
全程长度为300+300*7=2400米
甲从D到C与C到D的速度比为1:2, 时间比为2:1此段总时间与乙从D向A走(100-1007)米的时间相等,
DC长度为:(100-1007)3*7=200米
☆3☆

BC长度=2400-500-200=1700米
答:

例6.
甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步。如果出发时乙的速度是甲的2. 5倍，当乙第一次追上甲
时，甲的速度立即提高
25%
，而乙的速度立即减少
20%
，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点
相距100米，那么这条环形跑道的 周长是多少米？
解: 开始甲乙速度比为2:5
他们在距离起点行驶环形跑道2(5-2)=23的位置追上
后来速度比为甲:乙=5:8
第二次相遇在第一次后的5(8-5)=53的位置即两次相遇点距离为全周13
周长为100*3=300米
答:

例7.
甲、乙二人在同一条圆形跑 道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出
发点后立即回头加速跑 第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的三分之二。甲跑第二圈的速度比第一圈提
高了三分之一，乙 跑第二圈的速度提高了五分之一，已知沿跑道看，从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇
点的最短路程 是190米，问这条跑道长多少米？
解: 第一次相遇点距离甲起跑点占全程的35
甲到头时乙跑了全程的1÷3×2=23
甲转头而乙未转头的速度比为2:1
乙到转头点时甲距离乙全程13
都转头后的甲乙速度比为5:3
相遇点距离甲起跑点13×38=18
两相遇点距离占全程的35-18=1940
跑道长190÷1940=400米
答:

例8.
甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行1 0000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟
☆4☆

跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速 ，乙的速度比原来快四分之一，甲每
分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、 乙两人谁先到达终点？
解： 甲领先1圈,需要:
400÷(400-360)=10分钟
此时,
甲剩余10000-400×10=6000米
乙剩余6000+400=6400米
甲还需:6000÷(400+18)=14又74209分钟
乙还需:6400÷[360×(1+14)]=14又29分钟＜14又74209分钟
所以乙先到达终点
答：
9 某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩 ，按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后能在约定时间
到达学校，搭载满学生在预定时间到达目的地 ，已知学校的位置在车站和目的地之间，大巴车空载的时候的
速度为60千米小时，满载的时候速度为4 0千米小时，由于某种原因大巴车晚出发了56分钟，学生在约
定时间没有等到大巴车的情况下，步行前 往目的地，在途中搭载上赶上来的大巴车，最后比预定时间晚了
54分钟到达目的地，求学生们的步行速 度．
解： 大巴车空载速度为1千米分,满载为23千米分
因为大巴车晚到学校 56分钟，假设学生没走，到达目的地也应该晚56分钟，实际提前2分钟，却大巴到达
学校时学生已经 走了56分钟。
大巴车提前2分钟的路程23×2=43千米实际是由大巴车的速度差完成的.
即大巴车追上学生用的时间为43÷(1-23)=4分钟
学生走的路与大巴车追的路程相同:4×1=4千米
学生走的总时间为56+4=60分钟=1小时
学生的速度为4÷1=4千米小时
答:
10 两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学 校出发的同时，第二班学
生开始步行 ；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学 生上车并直接开往少年宫。
学生步行速度为每小时4公里， 载学生时车速每小时40公里，空车是50公里小时，要使两个班的学生同
☆5☆

时到达少年宫，第一班的学生步行了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）
解：学生与汽车的速度比分别为1:10及2:25；
设一班步行点为A点，学校到A点的距离为1；
一班到达A点时二班走了110;
二班与汽车相遇走的路程为(1-110) ×227=115;
汽车此时距离A点路程为910-115=56;
一班从A点向前走的路程与二班的路程相同也为115
汽车追击路程差为56+115=910
一班又走了路程为910÷(10-1) ×1=110
一班走的总路程为115+110=16
全程为1+16=76
一班步行走了全程的16÷76=17
答:

巩固练习：
11 小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时速度的3倍，所用时间减少了40分钟。小张
送货时，从甲地到乙地用了多少分钟？

12 上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8 点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度
提高到原来的3倍，乙速度不变；8点3 0分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时
是8点多少分？

13 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。他们相遇时，甲比乙多跑90米。相遇后，乙 的速度减
少50%，甲到B后立即调头，追上乙时离A地还有90米，那么AB两地的之间的距离是多少 ？

14 甲、乙两人同时从环形跑道的同一点出发，同向而行，甲以相同的速度跑了3圈， 乙第一圈的速度是甲速度
的二分之一，第二圈速度是甲的1.5倍。第三圈跑完后，与甲同时到达终点， 乙第三圈的平均速度是甲的多
少倍？
☆6☆

15 甲车以每小时160千米的速度，乙车每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同 时、同地、同
向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速三分之一而乙车则加速三分之一。问在两车的速 度刚好相等的时
刻，他们分别行使了多少千米？

16 丁丁和乐乐各拿了一辆玩具 甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲
虫每分钟跑20米，但 乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫比原来速度的10%倒退1分
钟，按第二次会使 丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次，使丁丁的玩具以
原来的速度的N ×10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按
多少次遥控 器？

☆7☆