完全平方数
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完全平方数
什么是完全平方数？
相等两个整数的乘积是
完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，
25，36，49，64，81，100，121
，144，169，196，225，256，289，324，
361，400，441……
例1.从1~10中最多可以选出
个数，使得选出的数中，任何两
个数的和不是完全平方数.
[答疑编号]
【答案】6
【解答】
选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是
完全平方数。
如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，
1），（5，4），（2
），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那
么它们的和是完全平方数。
所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征：
将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。
推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中，有
个数乘以72后是完全
平方数.
1
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[答疑编号]
【答案】31
【解答
】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数
，所以本身应该是某个完全平方数的2倍.因为<
br>从1到2012中，符合要求的数有31个.
例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平
方的4倍有 个约数.
[答疑编号]
【答案】9
【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有
3×2＝6个约数，故A＝2.
所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.
涉及到完全平方的公式：
例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168
后的结果也是一个完全平方数
.那么这个正整数为 .
[答疑编号]
【答案】156
【解答】设加上100后为，加上168后为，那么
2
，
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即
，
解得
例5.
一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个
“智慧数”，那么在1~2012中，有
多少个“智慧数”？
[答疑编号]
.因此原正整数是.
.因为b＋a和b－a的奇偶性相同，所以只可能是
【答案】1509
【解答】设这个正整数是n,。两个完全平方数分别是a
2
和b.
2
。
.
则n＝
a
2
－b
2
＝（b－a）（b＋a）。
（1）如果b－a和b＋a都是奇数，则n是奇数。
（2）如果b－a和b＋a都是偶数，则n是4的倍数。
下面，我们说明如下情况：
（1）被4除余2的数，不是 “智慧数”。
（2）奇数都是
“智慧数”。因为n＝2k＋1＝（k＋1）
2
－k
2
（3）
4的倍数都是“智慧数”。因为n＝4k＝（k＋1）
2
－（k－1）
2
所以，总共有2012÷4×3=1509个“智慧数”。
例6.证明：形如11，111，1111，11111，……的数中没有完全平方数。
[答疑编号]
3
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【答案】根据完全平方数的特性：一个完全平方数要么是4的倍数，
要么被4除余1。
形如4k＋2和4k＋3型的整数一定不是完全平方数，
而11、111、1111、......被4除的余数均为3，所以，它们中没有完
全平方数。
我们不妨看一下奇数的平方：
所以奇数的平方是除以4余1的数。
进一步思考：形如aa，aaa，aaaa，aaaaa，……的数中有没有完全平
方数？
例7.四个质数的和是55，平方的和是1335，则这四个质数
是： .
[答疑编号]
，
【答案】2，3，19，31
【解答】四个质数的和是55，由于质数中只有2是偶数。
说明四个质数中有一个数是2。所以，
a+b+c=53，a
2
+b
2
+c
2
=1331。
继续分析，完全平方数除以3的余数是0或1，1331除以3是余2的。
所以，有一个数是3的倍数，又由于是质数，所以，只能是3。
我们不妨设a是3。所以，b＋c＝50，b
2
＋c
2
＝1322。
代入数字进行验证，满足以上两式的数是19和31。所以，这四个质数
是：2，3，19，31。
4
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