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数学故事大全：莫比乌斯传动带

公元1858年，德国数学家莫比乌斯( Mobius，1790～1868)发现：
把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般 的性质。

因为，普通纸带具有两个面(即双侧曲面)，一个正面，一个反面，
两 个面能够涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，
一只小虫能够爬遍整个曲面而不必 跨过它的边缘!

我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯
带”。

拿一张白 的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，
如同上页图那样粘成一个莫比乌斯带。现在像图 中那样用剪刀沿纸带
的中央把它剪开。你就会惊奇地发现，纸带不但没有一分为二，反而
像图中 那样剪出一个两倍长的纸圈!

有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲 面，
它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起!为了让读者直观地看
到这个不太容易想象 出来的事实，我们能够把上述纸圈，再一次沿中
线剪开，这回可真的一分为二了!得到的是两条互相套着 的纸圈，而原
先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，仅仅每条纸圈本身并不
打结罢了。< br>
莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，
却不可思议地在 莫比乌斯带上获得了解决!

比如在普通空间无法实现的“手套易位问题：人左右两手的手 套
虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切
地戴到右手上去;也不能 把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎
么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套 !不过，倘
若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

在自然界有很多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像
的对称部分 ，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着
极大的不同。

“莫比乌 斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮
带传送的动力机械的皮带就能够做成“莫比乌斯带 ”状，这样皮带就
不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就
不存有正 反两面的问题了，磁带就只有一个面了。

莫比乌斯带是一种拓扑图形,什么是拓扑呢?拓 扑所研究的是几何
图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保
持不变， 只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不
产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在 原来图形的点与变换了
图形的点之间存有着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。
这样 的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因
为如果图形都是用橡皮做成的，就能把很 多图形实行拓扑变换。例如
一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓
扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈
就不会变成8,“莫比乌斯带”正 好满足了上述要求。

拓扑学专家创造出了许很多多迷人的物体.德国数学家莫比乌斯(AugustusMobius，1790-1868)所创造的莫比乌斯带，便是其中之一.

上图所示的带子是由一张纸条的两端粘接而成.纸的一面成为带的
内侧，而纸的另一面则成 为带的外侧.如果一只蜘蛛想沿着纸带从外侧
爬到内侧，那么它非得设法跨越带的边缘不可.

上面这张图所示的是莫比乌斯带，它也是由一张纸条两端粘接而
成，不过，在粘接前扭转了 一下.现在，所得的纸带已不再具有两面，
它只有单面.设想一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，那么它能 够爬遍整
条带子而无须跨越带的边缘.要证实这个点，只要拿一支铅笔，笔不离
纸连续地画线. 那么，你将会经过整条的带子，并返回你原先的起点.

莫比乌斯带的另一 个有趣的性质，只要你沿着如下图所示的带子
中央的虚线剪开便会发现.请你不妨试试，看看究竟会发生 些什么!

莫比乌斯带作为汽车风扇或机械设计的传动带，在工业上有着特
殊的重 要性.它比传统的传动带，在磨损方面，表现得更加均匀，同时
刻做到方向传动。