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《毕业论文写作指导》作业: 文献综述

关于连分数在解方程方面的应用
姓名: 温巧婷 学号:100501524
（惠州学院数学系10级5班，邮编:516007, E-mail:1048510453@）
摘要 本文主为了说明连分数在方程方面的应用，首先介绍实数展成连分数的方法，接着介绍连分数在解方程方面的应用，最后提出一些建议。

关键词 连分数； 连分数展式； 解方程

1. 引言
研究连分数源于实数在“数学上有纯粹的”表示。每 一个实数基本上能够唯一地表成
简单连分数，并且连分数在对求无理数的有理近似值方面有很好的应用。 学习了循环连分
数后我们知道“每一循环连分数一定是某一整系数二次不可约方程的实根”《初等数论》 （第
三版）闵嗣鹤、严士健编，说明了方程与连分数之间具有某种关系，于是猜想连分数在解
方 程方面具有某种方便的作用或说可以提供一种全新的解题思路，所以收集了连分数在解
方程方面的一些论 文。在应用连分数解方程时，首先要知道实数如何展成连分数以及展式
的一些性质，因为在解方程的过程 中涉及到这方面的知识，因此也收集了实数展成连分数
及其展式性质的一些论文。本文主要介绍实数展成 连分数和利用连分数解方程的一些研究
成果。

2. 正文

连分数的理论在今天的数学中起着重要作用。在数论及线性方程的研究中，它成为一
个最重要的工具。连 分数与概率论、级数递归、函数逼近及工程技术均有联系，它的展开
能使经济问题转化为数学的技巧问题 得到解决。在计算机领域中，连分数常被用来作出各
种复杂函数的近似，并且一旦为计算机编码之后就迅 速地给出对于科学和应用数学有价值
的数值结果。下面我们着重研究连分数在解方程方面的应用。

一、利用连分数解方程的现状

1

姓名：温巧婷 关于连分数在解方程方面的应用
这方面的研究成果比较 丰富：连分数在解丢番图方程的
p_adic算法，连分数求解一次不定
方程，循环连分数与P ell方程等等。由于计算机的发展，机械数学也越来越受到关注，希望可以用计
算机解决具体的数学问 题，所以每种解法都希望可以写成一种算法，在解方程这一块，利用连分数解题
的算法也如雨后春笋般涌 现出来。

二、展成连分数及其展式的一些成果
有限连分数
b; a
1
,b
1
,L,a
n
,b
n
是由整数< br>b;a
1
,b
1
,L,a
n
,b
n
经过有限四则运算的结果，所以它的值是
一个有理数，反之对有理数
a
，有
b
a

a

a

a



b
0

1
,(b
0
,a1
,b
1
是整数，且
0a
1
pb
1
)

b

b

b

b
1
故任一有理数都可表为有限连分数，而且有理数表为有限连分数的表法不唯一；若无限连分数
b
0
,a
1
,b
1
,L,a
n
,b
n收敛，值一定是无理数，反之任一无理数都可表示为无限连分数
。
[3]

1、
an
的连分数展开式
b
an
pp
m< br>p
m
p
m1

an

ap
1
p
1
p
2
可展开：


,,

,
m1
,,


.
其中，若
b
bq
1
q
m1
q
m

b

当
bn
a
时，
b0
取
k
的最大整数
p
，使
b

ap

，其商便是连分数的第一部分商，若b0
取
k
的最小整数
p
，
使
b

ap

，以此类推得到。
2、
d
连分数展开式特征性质和Pell方程的基本解
若
d
的连分数展开式中，
n
是使
a
n1
2a
1
成 立的最小足标，则当
n
为偶数时，
xdy1
22
（
d 0
且不是平方数）无整数解，
p
n
,q
n
为
x dy1
（
d0
且不是平方数）的基本解；当
n
为奇
22
数时，
p
n
,q
n
为
xdy1
的基 本解，
p
2n
,q
2n
为
xdy1
的基本解。
3、无理数表成连分数的几个公式
公式一：
m,p,kN
，则
2 222

km

2
4

mpkmk

p2
为无理数,且可表成连分数
m
2
4n2
为无理数 ,且可表成连分

m,p,k,km,p,km,

；公式二：设m,nN
，则

m

数

0,mn,m ,mn,m,

；公式三：设
m,nN
，则
mnm
2
n
2
4mn2n
为无理数,且可表成连分数

2



《毕业论文写作指导》作业: 文献综述

m ,n,m,n,


mk






；公式四：设
m,p,kN,

Q

，若< br>m

,p

,


r
1
 m

N
，则

km

2
4

mpkmk

p

2


为无理数 ，且可表成连分数

m

,p

,

< br>km

,p

,


km
< br>,

。

三、利用连分数解方程的研究成果
1、一次丢番图方程
axby1
的解
将连分数展开成渐近分数是利用 辗转相除法得到的，而求一次丢蕃图方程和一次同余方程的解的过
程也可通过辗转相除求得.如解一次同 余方程
ax1

modb

中使用飞大衍求一术。所以连分数与一 次不
定方程、一次同余方程有密切的关系，其中的基础就是辗转相除法。
将
ab即
p
n
q
n
展开为连分数，倒数第二个渐近分数
pn1
q
n1
的分子
p
n1
就是y值，分母
q
n1
就
是x值。同样可求一次同余方程
ax1

m odb

的解。
2、n元一次不定方程的全体整数解
设整数k

2,c,a
1
,

,a
k
是整数 且
a
1
,

,a
k
都不等于零，若不定方程
a
1
x
1

a
k
x
k
< br>c
有解，则
全体整数解为
a
2

2
bQ

2n

a,a

t
1
,i1;
12


a,

,a
i1

t,i 2,3,

,k1;

x
i


b< br>i
P
n
i

1
i1

a,
,a
1i



cP
k


a,

,a

t,ik.
n1k1k1


a
i1

i1
bQt
i
,i 2,3,

,k2;

i1n

a
1
,

,a
i1

b
i


k< br>上式中，而
P
n
k
,Q
n
写成连分数形式，再求出它 的第n

cQ
k
at,ik1.
kk1

n
个渐近分数
P
n
便可以得到，（其中
i1,2,3,,k,t
1
,t
2
,,t
k1
是参数且
t
1< br>,t
2
,,t
k1
0,1,2,
）。
Q
n
22
3、佩尔方程
axby1
的最小解
佩尔方程
axby1
（
a,bZ,a1,ab
为非平方的正整数）的 最小解的求法：
22

3

姓名：温巧婷 关于连分数在解方程方面的应用
⑴通过求
p
b

的连分数的渐近分 数
k

kZ

，然后再找出满足方程
ax
2by
2
1
的渐近分数
q
k
a

p
k
,q
k


kZ


，则满 足方程
ap
k
2
bq
k
2
1
的最小的

p
k
,q
k


kZ

即为方程
ax
2
by
2
1
的最小
解。
⑵通过求
ab
的连分数的渐近分数
p
ts
（
tZ
，且st为双数），从而得出最小的

p
ts
,q
ts

（
tZ
，
q
ts

且st为双数），则最小的

p
ts
,q
ts

（
tZ
，且st为双数）即为方程
ax
2
by
2
1
的最小解。
4、佩尔方程
x
2
Dy
2
1
的通解
若
p,q
是满足方程
x
2
Dy
2
1
的最小值,则
x
2
Dy
2
p
2
Dq
2
1.

方程两边分别n次幂得

x
因式分解后得:
2
Dy
2
p< br>2
Dq
2
1
n
,


n
n

xDyxDypDq
x
x
x

p



y


p


2


pDq

,
Dy

pDq

,

Dy

pDq

,

Dq



pDq


2,



Dq



pDq

< br>2.



nn
n
n
nn
nn用同样的方法也可得出
xDy1
的同解。
5、三元范式
aKb xcya,b,cZ,x0,y0
（K是等式成立的最小正整数）一个解法
⑴引理一 ：若连分数

a
0
,a
1
,

,a
n

的渐近分数是
2

P
K

K0,1,,
n

，则连分数
G
K

ai
,a
i1
,

,a
1


G
i

1in

.

G
i1⑵引理二：设正整数
a,b,c
两两互素，且
ab,1Kb
，则< br>cK
不可经
axby

x0,y0

表出的充
分必要条件是

4

《毕业论文写作指导》作业: 文献综述

v

u

cK



cK


a

b


其中
aubv1,bu1,av1.

P
j
'
P
i
vu

i

0,1,

, n

,
'

j

0,1,

,m

，则
⑶定理：设
c,c
的渐近分数分别为
G
i
G
j
ab
P
i
P
i
'
P
S
P
S
'
①存在
S

0Smin
< br>n,m

，使

'

i0,1,,S1
,
'
；
G
i
G
i
G
S
G
S
'
②令
G
S
minG
S
, G
S
,c

G
S
G
S1

可 表为
axby

x0,y0

.


KG
S
G
S1
就是所求的最小正整数K。
6、不定方程
x
2
x2y
2
的一个解法
第一步用母函数方法求方程
x
2
x2y
2
的解，第二步用连分数 理论求解方程
x
2
x2y
2
——化
归为佩尔方程。于是 便得出定理：方程
x
2
x2y
2
有无穷多组正整数解，且它的全 部正解由小到大按
顺序为：
nn
1

3838

2



1,2,


,

x
n

2

y
n

同时， 这些解满足递推关系：

38



38


n

1,2,


.

nn< br>28
x
n1

6x
n

x
n1

2

n

2,3,


,
y
n1

6y
n

y
n1
n

2,3,


.

7、不定方程
axbyczxdxyz
的整数解
主要利用同余理论 、代数数表成连分数和数论中的有关结论，给出了不定方程的满足所给条件的整
数解。
2
8、同余式
xl

modp

的一种快速算法
222
⑴
定理一：该同余式有解的充要条件是存在自然数u、v，使
ulv

modp

，且若以
v
表
22
1
5

姓名：温巧婷 关于连分数在解方程方面的应用




示域
ZpZ

0,1,,P1
中v的逆元，则
xuv
1
是该同余式的一个解。
< br>⑵
引理：设

a
0
,a
1
,
,a
N

是既约分数
pp
p
的简单连分数展开式，且< br>n
表示的第n个渐近分
rr
q
n
数，则以下各式成立： p
0
a
0
,p
1
a
1
a
0
1,p
n
a
n
p
n1
p
n2

2nN

,

q
0
1,q
1
a
1
,q
n
a
n
q
n1
q
n2

2nN

,

p
n1
p
n

1

,

q
n1
q
n
q
n
q
n1
n< br>p
n
q
n2
p
n2
q
n
< br>
1

a
n

n2

,

n
p
p
n

1


n,0

n
1,1nN2
，且

N1< br>1.

rq
n
q
n
q
n1
n< br>⑶
定理二：若该同余式有解，则存在自然数l、u、v，
1tl,v
p< br>,tpu
l

t1

p
，
使
u
2
tplv
2
.

由定理一和定理二，得出该同余式的一种快速算法如下：
①
利用Legendre符 号和互逆定理判断同余式是否有解，若有解，则转入
②
；
②
利用
u
2
tplv
2
，求使得
u
2
tp

modl

有解的t值，
1tl1
，它们就是应当试算的值；
③
对符合条件的t，从小到大，依次取同余式
utp

modl< br>
的解
u

t

,tpu

t< br>

2

t1

p
，
u
2
tp
u
2
tp
检验是否是完全平方数，如果是，则令
v
，转入
④
，如果不是，则取下一
l
l
个
u
t

，若对于某个t，满足条件的
u

t

已经取完而v仍未出现，则取下一个t；
④
解同余式
urv
< br>modp

，则
ruv
是该同余式的解。
1
9、兰伯特方程的一种快速解法
首先简要阐述了兰伯特方程的拉格朗日形式，进 而根据超几何函数的连分数表达形式推导出无量纲
转移时间对参数x的一、二阶导数。在此基础上，采用 Halley迭代公式给出求解兰伯特方程的具体步
骤。

6

《毕业论文写作指导》作业: 文献综述

3. 结论与建议
实数的连分数展式具有较好的性质，这些性质为我们提供了新思路、新方法，产生一
些 较为简便的、容易实施的算法。在研究利用连分数解方程的文献中，特别是在解不定方
程时，连分数都起 到了直接或间接的作用，大大简化了运算，由此可见对该课题的研究是
有意义的。
虽然对该课题的研究起步的较早，但是仍存在着不少的问题：
1、除了
e
外的超越数如何展成连分数的形式；
2、
n

n3

次方根如何展成连分数的形式；
3、用连分数表示实数，比起用小数表示的优点之一在于截段后更接近原数，是否可
用这个特点来对含 多层根号的数进行一个较好的估值；
4、研究了二元一次不定方程和二元二次不定方程，是否可向n元m次不定方程推广；
5、三 元范式可以利用连分数来求解，那么更多元的范式是否可用这种法或说沿着这
种思路去研究；
6、一个方程可以有很多种思路、很多中解法，连分数与其他解法相比，它的优点在
哪里、缺点又在哪里 ；
7、在有些情况下，连分数并不是直接起作用，而是先用它证明一个问题再解决最终
问题， 那么连分数与其他知识之间有着怎样的联系或者说连分数在整个数学框架中扮演着
一个怎样的角色；
8、连分数作为一种表示方式，它的优缺点在哪，它适合用在何种场合；
9、如果不同的问题 可以用相同的方法解决，那么这些问题之间是否有一定的连通性，
正如均可用连分数解决的方程之间是否 有关联，如果有，有怎样的联系；
10、在解方程的过程中，只用到连分数的一部分性质，这部分性质 可以说方程与连分
数共同“拥有”，是否利用这部分性质来研究方程。
该课题遗留的 问题大多可通过推广得到，有些就比较新颖需更多的创新。若想解决这
些问题需要对连分数做更全面的掌 握，熟知它的性质。希望可以利用连分数构造更多、更
简单的算法，使得机器智能进一步。



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姓名：温巧婷 关于连分数在解方程方面的应用

参考文献

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Application of Continued Fraction in Equation
Wen QiaoTing
(Class 5 Grade 10, Department of Mathematics, Huizhou College, Huizhou 516015)
(E-mail: 1048510453@)

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《毕业论文写作指导》作业: 文献综述

Abstract
In this paper, the main in order to illustrate the application of continued
fraction in terms of equations, introduces real exhibition as a continued fraction method,
then introduces the application of continued fraction in terms of solving equations, finally
puts forward some Suggestions.

Keywords continued fraction; expand form continued fraction solving equations

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