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列方程解分数、百分数实际问题

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2

列方程解分数、百分数实际问题
一、引入。
一堆球，有红、黄两种颜色．









这道题中取的次数、红球数、球的总数都是未知数量，如果考虑用算术 方法
解决问题，会非常困难。我们不如换一个思考问题的角度，用代数方法解决问题。
解：设 取
x
次后，红球占90％．则球的总数为50+8x，红球数为49+7
x
．
首先数出的50个球中
有49个红球；以后每
如果已知红球占总数


497x

=90％

508x

x
=20
所以这堆球有50+8×20=210个。
我们在解答分数、百分数实际问题时，经常会遇到 一些数量关系比较复杂的
题目。用算术方法来思考，往往把未知量置于特殊位置，使解题方法和思路受到
限制，造成解题困难。列方程解分数、百分数应用题，由于用字母表示未知数，
未知数能直接参 加列式和运算，因而思路直接，解法灵活。这一讲我们就来学习
列方程解分数、百分数实际问题。
二、探索新知。
1
例1：商场运来空调和彩电共152台，卖出彩电的和5台空调后 ，剩下
11
的空调和彩电台数正好相等，商店运来彩电多少台？
1
题目中“ 卖出彩电的和5台空调后，剩下的空调和彩电台数正好相等”
11
这一条件是在间接呈现彩电与 空凋台数之间的关系，请同学们画线段图理解这一
关系。

从图中可以看出，空调的台数比彩电台数的（1-
1
可以解决问题。（152-5）÷（1+1- ）=77（台）
11
1
）多5台，运用假设法
11
利用算术方法解决问题，不仅需 要利用线段图准确理解题目条件间接呈现的
数量关系，还要运用假设的方法对题目进行转化。很多同学在 运用假设方法时，
由于搞不清是该给总台数增加5台还是减少5台，经常出现错误。运用代数方法
就可以回避这些问题。
由于题目的问题是商店运来彩电多少台？我们就设彩电运来x台，则空调运< br>来（152－x）台。根据“剩下的空调和彩电台数正好相等”这一等量关系，我们
可以列方程解 答。
解：设商店运来彩电x台，则空调运来（152－x）台。
1
x－x=152－x－5
11
10
x=147－x
11
10
x＋x=147
11
x=77
答：商店运来彩电77台。
由于题目中间接交待了彩电和空调数量之间的关系，解 决间接呈现数量
关系的问题，代数方法有着明显的优势，因为设未知数后我们可以用含有字母
的 式子表示隐蔽的数量关系。解决例1，我们采用了直接设未知数的方法，即题
目中求什么，就设什么为x 。
5
例2：天竺小学六年级一班有学生若干人，其中男生占，后来又转来6
121
名男生，这时男生正好占全班人数的，这个班现有男生多少人？
2
51
① 和 分别以谁为单位“1”？它们表示的数量关系是什么？
123
通过思考问题，让学生准确理解条件，明确男生人数、全班人数都发生了变化，两个分率的单位1并不相同。
②你会设未知数，用字母表示全班人数、男生人数、女生人数吗？
通过思考，让学生体会到： 如果直接设男生为x人，根据题目数量之间的关
系很难列出方程，这里我们不妨设六一班原来共有x个同 学，那么原来的男生人
51
数就可以用x来表示，后来男生人数就可以用（x＋6）来表示；原 来女生可
122
51
以用（1-x）表示，现在女生可以用（1-）×（x＋6）表示 。
122
解：设天竺小学六一班原来有学生x人。

15
（x＋6）=x +6
212
15
x＋3－x=6
212
1
x=3
12
x=36
11
（x＋6）=（36＋6）=21（人）
22
答：这个班现有男生21人。
思考：如果用女生人数相等可以怎样列方程呢？
例2设未知数的方法与例1不同，它不像例1那样求什么，设什么，而是
先设六一班共有学生x 人，然后再通过这个未知数男生人数，这种设未知数的
方法叫做间接设法。这两种设未知数的方法，我们 要根据具体的问题灵活运用。
例2中男生人数的变化带来了全班总人数的变化，解决数量有变化的问题 ，代
数方法有着明显的优势，因为设未知数后我们可以用含有字母的式子表示变化
后的数量。
例3：王老师有两张存本取息的存单，共4500元。一张存单的存款利率为4%，
另一张存单 的存款利率为5%。如果她这两笔存款每年得到的利息相同，
那么她每年两笔存款得到多少利息？ 题目只给了两张存单共4500元，而没有给两张存单的金额各是多少元，而
计算利息需要知道存款 金额。代数方法可以帮我们解决这一问题，如果设利率为
4%的存单有x元，你能用含有字母的式子表示 哪些数量？
解：设第一张存单的金额为x元，则第二张存单为（4500-x）元。
4%x=5%（4500-x）
4x=5（4500-x）
9x=4500×5
X=2500
第一张存单的利息为：4%x=4%×2500=100（元）
两张存单的利息为100×2=200（元）
答：王老师每年从这两张存单上得到200元的利息。
这是一道利率问题，我们运用两张存单 的总钱数是4500元设未知数，用两
张存单获得的利息相等这一等量关系列方程。在列方程时要用到利 率问题最基
本的数量关系：本金×年利率=利息。
（四）学习例4。
例4：有两堆 棋子，A堆有黑子350和白子500个，B堆有黑子400个和白
子100个．为了使A堆中黑子占5 0％，B堆中黑子占75％，那么要从B堆中拿
到A堆黑子多少个?白子多少个?
①你如何理解“A堆中黑子占50％”这一条件？
题中条件“A堆中黑子占50％”，可以理 解为：“A堆中的白子与黑子一样多”。
现在A堆中白子比黑子多500-350=150个，所以从B 堆中拿到A堆的棋子中，黑
子应比白子多150个。
②如果设从B堆中拿白子
x
个，你能用字母表示哪些数量？

如果设从B堆中拿白子
x
个，则可以表示出：从B堆中拿黑 子(
x
+150)个，
此时B堆有棋子[（400＋100）－x－（x＋150）] 个，其中黑子有[400－（x＋
150）]个。
根据上面用字母表示的数量和B堆中黑子占75%这一等量关系列方程解答。
解：设从B堆中拿白子
x
个，则拿黑子(
x
+150)个。

[400-

x150

]
=75%
[

400100

x

x150

]< br> 4[400－（x＋150）]=3[（400＋100）－x－（x＋150）]
4[250-x]=3[350－2x]
X=25
黑子：25＋150=175（个）
答：要从B堆中拿到A堆黑子175个，白子25个。
本题分析的关键是根据“A堆有黑子3 50和白子500个”和“A堆中黑子占
50％”这两个条件，挖掘出“B堆中拿到A堆的棋子中，黑子 应比白子多150个”
这一隐蔽条件，运用这一隐蔽条件设未知数，再利用B堆中黑子占75%这一等量
关系列方程解答。
例5：现有浓度为10%的酒精溶液20千克，再加入多少千克浓度为30 %的
酒精溶液，可以得到浓度为22%的酒精溶液？
解决这道题首先要理解什么是“酒精溶液 ”，纯酒精溶液溶解于水得到的混
合液，浓度为10%的酒精溶液是指纯酒精占溶液总量的10%。两种 溶液混合过
程中，纯酒精的总量不变，根据混合前后纯酒精相等这一等量关系，可以列方程
解答 。
解：设需要加入x千克浓度为30%的酒精溶液。
20×10%＋30%x=（20＋x）×22%
2＋30%x=4.4＋22%x
30%x－22%x=4.4－2
8%x=2.4
X=30
答：需要加入30千克浓度为30%的酒精溶液。
例5是浓度问题，将纯酒精溶于水就得到酒 精溶液。酒精溶液=纯酒精＋水，
我们把纯酒精叫做溶质，水叫做溶剂，纯酒精和水的混合液叫做溶液， 纯酒精
与酒精溶液的比值叫做浓度。溶质、溶剂和浓度具有以下基本关系式：
溶液的质量=溶质的质量＋溶剂的质量

浓度=
溶质的质量
×100%
溶液的质量
解决浓度问题，要能正确理解浓度的含义及相关数量关系。
例6：甲容器 中有纯酒精22升，乙容器中有水30升，第一次将甲容器中的
一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混 合，第二次将乙容器中的一部分混合
溶液倒入甲容器。这时甲容器中酒精溶液的浓度为62.5%，乙容 器中酒精浓度为
25%。求第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液有多少升？
第二次从乙容器 中倒一部分混合溶液给甲容器，乙容器中剩下酒精溶液
的浓度为25%。也就是说，第一次从甲容器中倒 部分纯酒精给乙容器，混合
后乙容器中纯酒精含量是25%。由于此时乙容器中水的质量不变，根据“溶
液总量=水的质量÷水所占的百分比”可求出此时乙容器中溶液总量，这样
就可以计算出从甲容 器中倒入乙容器的纯酒精的量。
虽然溶液在两个容器中倒来倒去，浓度的变化较大，但从整体上看，纯
酒精的总量始终是22升，利用这一不变的量可以列方程解答。
解：第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精有30÷（1－25%）－30=10（升）
此时甲容器有纯酒精22－10=12（升），乙容器有浓度为25%的酒精
溶液30＋10=40（升 ）。
设从乙容器倒入甲容器的混合溶液有x升
（12＋x）×62.5%＋（40－x）×25%=22
7.5＋62.5%x＋10－25%x=22
17.5＋37.5%x=4.5
X=12
答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液有12升。
本题是比较复杂的浓度问题 ，在分析中我们两次利用了“变中抓不变”的
方法。第一次利用从甲容器倒入乙容器纯酒精时，乙容器中 水的质量不变，求
出了倒入乙容器的纯酒精的量；第二次利用甲、乙两容器中酒精的总量不变列
方程。在解决比较复杂的浓度问题时， “抓住不变量”列方程是经常采用的方
法。
三、练习应用。
36
1．一桶油用去总数的，又买来85千克，这时油的质量恰好是 原来的，
47
原来有油多少千克？

1
2．一包糖，有奶糖和水果 糖两种，其中奶糖占总数的，再放入18块水果
3
2
糖后，那糖占总数的，奶糖有多少 块？
9


3．某厂向银行申请甲、乙两种贷款共30万元。每年需付利息 4万元。甲种
贷款的年利率为12%，乙种贷款的年利率为14%，该厂申请甲、乙两种贷款的金
额是多少？

4．某人到商店买红、蓝两 种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元，由于购买
量较多，商店给与优惠：红笔八五折，蓝笔八折，结果此 人付的钱比原来节省了
18%，已知他买了蓝笔30支，那么红笔买了多少支？


5．现有浓度为20%的盐水700克，要把它变成浓度为30%的盐水，需要加
盐多少克？


6．甲容器中有浓度为8%的盐酸溶液300克，乙容器中有浓度为12.5%的 盐酸
溶液120克。现在往两个容器中加入同样多的蒸馏水，使两个容器中盐酸溶液的浓度
相同 。每个容器中应加蒸馏水多少克？



四、趣味驿站。
小明答对几道题？
一次数学测验中。











1
已知，两人都答对的题目占题目总数的，你能算出小明答对几道题吗？
6
这是一道拓宽同学解题思路的开放题。解题的关键是给这些题目一一分类。
这些题目共分为四类：

第一类：小明对，第二类：小明错、第三类：小明对、第四类：小明错、
小红对 小红错 小红错 小红对
用字母a表示 用字母b表示 用字母c表示 用字母d表示
根据题目中条件，我们可以找到很多的等量关系式。具体解法如下：
解：设共有n道题。


1

9
小红：我答对了7道题。
小明：我答错的题目
b+d=n ①……小明小红都答错的题＋

小明独自答错的题=小明共答错的题
a＋d=7 ②……甲小红都答对的题＋小

由①知n为9 的倍数，由③知n为6的倍数，因此由①③可知，n是9和6
的公倍数，即是18的倍数。
18
（1）当n=18时，把n=18代入③得a==3
6
把a=3代入②得d=7－3=4
再把d=4代入①得b=2－4=－2,d等于负数不符合题意。
36
（2）当n=36时，把n=36代入③得a==6
6
把a=6代入②得d=7－6=1
再把d=1代入①得b=2－1=1,
符合题意。
（3）当n=54时，把n=54代入③得a=
54
=9
6
把a=8代入②得d=7－9=－2，b等于负数不符合题意。
……
当n为更大的18的倍数时，都不符合题意。
所以，只有n=36时，此题才有解。
188
a＋c=n－（b＋d）=n－n=n=36×=32（道）
999
所以，小明答对了32道题。
本题涉及的未知数量比较多，我们共设 了5个未知数，不是让同学们学习
复杂的方程组，而是想让大家体会代数的优势。通过代数表示，未知数 量之间
的关系就非常明显了，通过观察、比较很容易发现新的信息。如本题在分析中
发现了小明 共答的题既是9的倍数又是6的倍数，根据这一新的信息，利用枚
举的方法很容易就能解决问题。