考研数学二(常微分方程)-试卷1.doc
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考研数学二（常微分方程）-试卷1
(总分：64.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：11，分数：22.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
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_______________________________________
2.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜
x=2
=1的特解为(
)（分数：2.00）
=4。
=4。
C.x y=4。
D.一xy=4。
3.设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直
线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所
得旋转体的体积最小，则y(x)=(
)（分数：2.00）
A.
B.
C.
D.
2
2
4.已知y
1
(x)和y
2
(x)是方程y的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）
A.y=Cy
1
(x)。
B.y=Cy
2
(x)。
C.y=C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)。
D.y=c[y
1
(x)一y
2
(x)]。
5.设y
1
，y
2
是一阶线性非齐次微分方程y的两个特解，若常数λ，μ使λy
1
+μy
2
是该
方程的解，λy
1
一μy
2
是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）
A.
B.
C.
D.
6.设线性无关的函数y
1
，y
2
，y
3
都是二阶非齐次线性方程y的解，C
1
，C
2
是
任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）
A.C
1
y
1
+C
2
y
2
+y
3
。
B.C
1
y
1
+C
1
y
2
一(C
1
+C
2
)y
3
。
C.C
1
y
1
+C
2
y
2
一(1一C
1
—C
2
)y
3
。
D.C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1一C
1
—C
2
)y
3
。
7.已知，y
1
=x，y
2
=x ，y
3
=e 为方程y的二个特解，则该方程的通解为(
)
（分数：2.00）
A.y=C
1
x+C
2
x +e 。
B.y=C
1
x +C
2
e
+x。
C.y=C
1
(x一x )+C
2
(x一e
)+x。
2x
2x
2x
2x
D.y=C
1
(9C一x )+C
2
(x 一e )。
8.具有特解y
1
=e ，y
2
=2xe ，y
2
=3e 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）
A.y一y一y。
B.y一y一y=0。
C.y一6y一6y=0。
D.y一2y一y。
9.在下列微分方程中，以y=C
1
e +C
2
cos2x+C
3
sin2x(C
1
，C
2
，C
3
为任意常数)为通解的是( )（分
数：2.00）
A.y一4y一4y=0。
B.y。
C.y一y一4y。
D.y一y一4y=0。
10.函数y=C
1
e +C
2
e +xe 满足的一个微分方程是( )（分数：2.00）
A.y一y一2y=3xe
。
B.y一y一2y=3e 。
C.y一2y=3xe 。
D.y一2y=3e 。
11.若y=xe +x是微分方程y一2y的解，则(
)（分数：2.00）
A.a=1，6=1，c=1。
B.a=1，b=1，c=一2。
C.a=一3，b=一3，c=0。
D.a=一3，b=1，c=1。
x
x
x
x
x
x-2xx
x
-x-xx
22x
二、填空题(总题数：10，分数：20.00)
12.微分方程（分数：2.00）
填空项1:__________________
13.微分方程（分数：2.00）
22
填空项1:__________________
14.微分方程y +xy
的通解为 1。（分数：2.00）
填空项1:__________________
15.微分方程xy满足初始条件y(1)=2的特解为 1。（分数：2.00）
填空项1:__________________
16.微分方程3e
tanydx+(1一e )sec ydy=0的通解是 1。（分数：2.00）
填空项1:__________________
17.微分方程（分数：2.00）
xx2
填空项1:__________________
18.微分方程y的通解y= 1。（分数：2.00）
填空项1:__________________
19.微分方程 （分数：2.00）
填空项1:__________________
20.微分方程xy满足条件
填空项1:__________________
21.微分方程y xcosx满足条件y(0)=0的特解为 1。（分数：2.00）
填空项1:__________________
-x
（分数：2.00）
三、解答题(总题数：10，分数：22.00)
22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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__________________________________________________
_________________________
23.求微分方程(x
一1)dy+(2xy—cosx)dx=0满足y(0)=1的解。（分数：2.00）
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___________________________________
24.求微分方程y一3y 的通解。（分数：2.00）
_______________
__________________________________________________
_________________________
25.求微分方程y一a(y
=0(a＞0)满足初始条件y｜=0=0,y｜=一1的特解。（分数：2.00）
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__________________________________________________
_________________________________
已知函数f(x)满足方程f一2f(x)=0及f 。（分数：4.00）
(1).求f(x)的表达式；（分数：2.00）
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__________________________________________________
______________________
(2).求曲线y=f(x )∫
0
一t )dt的拐点。（分数：2.00）
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26.求微分方程y
)=y满足初始条件y(1)=y的特解。（分数：2.00）
_________________
__________________________________________________
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设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)
=1，且满足等式
(1).求导数f；（分数：2.00）
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__________________________________________________
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(2).证明：当x≥0时，成立不等式e
≤f(x)≤1。（分数：2.00）
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__________________________________________________
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27.设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫
0
f(s)sinsds，求f(t)。（分数：2.00）
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28.用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x )y一xy，并求其满足y｜
x=0
=1，y｜
x=0
=2的特解。（分数：2.00）
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29.利用代换
（分数：2.00）
2
t
-x
2x2
x
2
x
2
（分数：4.00）
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