浮华若梦-出租房屋怎么写

第18讲 流水行船问题
知识点、重点、难点
船在江河里航行时， 除了本身的前进速度外，还会受到水流速度的影响，在
这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路 程，叫做流水行程问题。
流水行船问题有以下两个基本公式
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
那么在整个行船过程中，所行的路程也与顺水速度、逆水速度有关 ，而不是
一般行程问题中的速度概念，它的速度概念更具体。
路程=顺水速度×顺水时间
路程=逆水速度×逆水时间
还有两个常用公式：
船速=(顺水速度+逆水速度) ÷2
水速=(顺水速度-逆水速度）÷2
例题精讲
例1 一艘船顺水行 320千米需要8小时，水流速度是每小时15千米，这艘
船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段 路程需要多少时间？
分析 如果能求出逆水航行的速度，就很容易求出逆水航行所用的时间， 那
么怎样求逆水航行的速度呢？已经知道了水速，如果能求出船速，问题就解决
了。题目中没有 直接给出船速，但是可以按照题意求出顺水速度，再用顺水速
度减去水速就得到船速。
解 320÷8=40（千米）

40-15=25（千米）
25-15=10(千米)
320÷10=32（时）
答：逆水速度是每小时10千米，需要32小时。
例2 甲、乙两港间的水路长28千米 ，一只船从甲港开往乙港，顺水8小
时到达。从乙港返回甲港，逆水13时到达，求船在静水中的速度和 水流速度。
分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求
出顺水 速度和逆水速度。而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，
用路程分别除以顺水、逆水所行 时间求得。
解 顺水速度 208÷8=26（千米小时）
逆水速度 208÷13=16（千米小时）
船速 （26+16）÷2=21（千米小时）
水速 （26-16）÷2=5（千米小时）
答：船在静水中速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。
例3 甲船逆水航行3 60千米需要18小时，返回原地需要10小时;乙船逆
水航行同样的一段水路需要15小时，返回原地 需要多少小时？
分析 如果能知道乙船的顺水速度，这个问题就容易解决了。根据乙船逆
水 航行的路程与时间，可以求出乙船逆水航行的速度。而乙船的顺水速度等于
乙船的逆水速度加上2倍的水 速，因此关键是求出水速。由题目中甲船逆水、
顺水航行的路程和时间，就可以求出甲船的逆水速度和顺 水速度，从而求出水
速。
解 360÷18=20（千米）

360÷10=36（千米）
水速为 （36-20）÷2=2（千米小时）
乙船逆水速度为 360÷15=24（千米小时）
乙船顺水速度为 24+8×2=40（千米小时）
360÷40=9（小时）
答：需要9小时。
例4 小刚和小强租一条小船，向上游划 去，不慎把水壶掉进江中。当他
们发现并掉过船头时，水壶与船已经相距2千米。假定小船的速度是每小 时4
千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
分析 此题是水 中追及问题。已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是
船速+水速，水壶漂流的速度只等于水速，所以 速度差=船水速度-水壶漂流的速
度=（船速+水速）-水速=船速。
解 路程差÷船速=追及时间
2÷4=0.5（小时）
答：他们两人追回水壶需用0.5小时。
例5 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时2 4千米和每小时32千米，
两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，问几小时相遇？如果同 向
而行，甲船在前，乙船在后，问几小时后乙船追上甲船？
解 相遇时用的时间336÷（ 24+32）=336÷56=6（小时），追及用的时间
为（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）3 36÷（32-24）=42（小时）
答：两船6小时相遇;乙船追上甲船需要42小时。

第
19
讲 有余数的除法
知识点、重点、难点
设
a
、
b
为正整数，由除法得
abqr
. ①
其中，
q
是商，
r
是余数，并且
0rb
.
①
称为带余数除法，它就是
被除数=除数×商+余数
或 被除数-余数=除数×商
由此可知 被除数与余数的差能被除数整除，也能被商整除。这样一来，
研究带余数除法问题就可以转化为整除问题 。
根据带余数除法，我们可以推导出余数有如下一些重要性质。
性质一 余数小于除数
性质二 如果
a
、
b
除以
c
的余数相同，那么
a
与
b
的差能被
c
整除
性质三
a
与
b
的和除以
c
的余数等于
a
、
b
分别除以
c
的余数之和（或
这个和除以
c
的余数）
性质四
a
与
b
的乘积除以
c
的余数等于a
、
b
分别除以
c
的余数之积
（或这个积除以
c
的余数）
两个整数被同一个大于1的整数
a
除，所得的余数相同，就说这 两个整数对
于除数
m
来说是同余的。
同余的概念也可以这样说：如果两个整 数的差能被大于1的整数
m
整除，那
么这两个整数对于除数
m
来说是 同余的。
由于一个整数被
m
除的余数只能是0、1、2、…、
m
- 1这
m
个数，所以全体
整数可按被
m
除的余数分类，凡是余数相同的 归为同一类，同类整数就被化成了

m
类。同一类中任何两数被
m
除的余数都相等，或者说同一类中任何两数的差都
能被
m
整除，不同类的任何两数被
m
除的余数都不等，或者说不同类的任何两数
的差都不能被
m
整除。
同余的概念和符号都是德国的伟大数学家高斯引进的。一般地，两个整数
a
和
b
，除以大于1的正整数
m
，如果所得余数相同，就说
a
、
b
对于模
m
同余，
记作
ab

modm


同余有以下性质：
1. 如果
ab

modm

，那么
m

a b

；如果整数
a
和
b
对于模
m
是同余的，那么
a
与
b
的差能被
m
整除。
2.
aa

modm

，任何整数都与自身同余。
3. < br>ab

modm

，则
ba

modm

.
4.
ab

modm

，bc

modm

，则
ac

modm< br>
.
5. 如果
ab
、
m
，
cd
modm

，则
acmod

m
mod

b

d
ac

bd
modm

，
ac

bd
modm

.
6. 如果
ab

modm

，则
anbn

modm

（其中n为正整数）.
例题精讲
例1 用一个奇数去除255和197，所得余数都是23，求这个奇数。
分析与解 因为所求 的奇数去除255和197有相同的余数23，所以这个奇
数一定能够整除255和197的差。255 -197=58，所求的奇数一定是58的一个约
数，并且它的值大于23，因为58=2
< br>29，所以我们所求的奇数是29.
答：这个奇数是29.

例2 有一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，这个
数是多少？
分析与解 如果一个数分别去除几个整数，余数相同的话，那么这个数一定
能整除这几个整数的差。2 001-1000=1001,2001-967=1034,1000-967=33，所求的
数一定 是1001、1034和33的公约数。1001、1034、33的公约数有1和11，可
知这个数是 11.
例3 求乘积28

541

1993被13除的余数.
解 < br>28

2mod135418

mod13

，
19934

mod13

，所以所求的数为12.

，
答：余数为12.
例4 从1、2、…、100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都
不能被3整除？
解 1、2、…、100中，除以3余1的数共有34个，即1、4、7、10…、100.
除以3余 2的共33个，其余的被3整除。选出的数中，如果有除以3余1的，
那么就不能有除以3余2的；如果 有除以3余2的，也就不能有除以3余1的，
所以这两种数只能选出1种。我们选个数较多的一种，即1 、4、7、10…、100。
此外，被3整除的数只能选出1个，所以至多可选出35个数，如1、4、 7、10…、
100与3.
说明 用任意一个正整数去除以一个正整数
b，根据除数
b
及余数
r
的大小，
我们可以把全体正整数进行分类 。因为一个正整数被
被除数=除数商+余数
除时的
余数只能有0、1、2、….、b -2、b-1共b种情况，因此我们就可以把正整数按照
余数的情况分成b类，如上述解答中是按被3除 得到的余数分成3类。把正整
数按被某正整数除后所得的余数来进行分类，是研究整数问题最常用的分类 方

法之一。同一类的两个整数，相应的余数相同，称为同余。
例5 一个正整数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商
除8后余7，最后商是a.又这个 数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得
到的商是a的2倍，求这个正整数。
分析 本题只要按题中所述倒回去写出各次除法的被除数即可。
解 这个数第二次商被8除 余7，所得的商为
a
,则这个第二次的商为
8a7
.
由第一次的商 被8除余1，所得的商是
8a7
，故第一次商为
8

8a7< br>
1
.同样逆
推可知该正整数为
8


8

8a7

1


.由题中第二部分已知 逆推回去可知这个正整
8

数又可能为
17

17 2
，所以
17

172a15a15

1
4

4

8

8a7
< br>，于是
578a259512a457
，
66a198
，a3
.所以原数
512a45751234571993
。
答：正整数是1993.
说明 带余除法式：
被除数=除数商+余数< br>，是一个很重要的式子，在解决整数
问题时有很重要的作用，请大家重视它的应用。
例6 一个正整数除以3余2，除以5余4，除以7余5，求满足条件的最小
正整数。
解 除以5余4的数有4、9、14、19、24、29、34、39、…，即末位是4或9
的数；除 以7余5的数有5,12,19,26,33,40,47,54,61,68,75,82,89,96….同 时满足这
两个条件的数是19,54,89，….,在以上这些数中，头一个满足除以3余2的数是89.
答：满足条件的最小正整数是89.

第
20
讲 长方体与正方体
知识点、重点、难点
1、 理解长方体和正方体的表面积组成，并利用长方体和正方体的表面特
征，进行计算。
2、 利用空间想象力，能够充分理解立体的组合图形的表面积特征，并结
合长方体和正方体的 表面积计算方法进行计算。
3、 理解长方体与正方体的空间位置关系，并能正确计算长方体和正方体
的体积和容积。
4、 能够正确区分长方体和正方体的体积与表面积，同时能够利用两者之
间的关系来帮助解题。
5、 要有比较强的空间想象能力，能够想象物体在空间的位置以及变化。
例题精讲
例1 一个长方体的表面积是14平方厘米，并能够把这个长方体分割成3
个完全相同的正方体 ，问每个正方体的表面积是多少平方厘米？
解 把一个长方体分割成3个完全相同的正方体，说 明原来长方体的六个面
中，必定有两个面是正方形，其他四个面都是面积、形状相等的长方形。为了增加对长方体表面积的理解，我们可以画一个示意图，帮助理解。
如图157，由于3个正方体大 小一样，则正方体的棱长就相当于长方体的宽和
高，而长方体的长相当于3 图157
个正方体的棱长。通过这个示意图，
得到长方体的表面积相当于3

4+2=14
个正方形的面积总和，所以每 个正方体的表面积是
14

34+2

6=6
（平方 厘米）

例2 如图158，三个棱长分别是1厘米，2厘米，3厘米的正方体，如图< br>叠放在一起，问这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
解 如图放置的这个由三个正方体叠成的立体图形，要求它
的表面积，首先要观察它的表面积到底是由哪些正方体的
表面组成。棱长是3厘米的正方体，有5个面都是完整的
正方形，而上面被棱长为2厘米的正方体盖住一部分，这
部分的面积是2

2；棱长为2厘米的正方体，有4各面是 图158
完整的正方形，下面没有，上面被棱长为1厘米的正方体盖住一部分，这部分
面积是 1

1；棱长是1厘米的正方体，有5个面是完整的正方形，下面没有。接
着可以考虑 ，用棱长为1厘米的正方体的上面补到棱长为2厘米的正方体的上
面，它的面积就是2
2，再用这个面补到棱长为3厘米的正方体的上面。这时
图形的表面积是棱长为3厘米的正方体有6 个面，棱长为2厘米的正方体有4
个面，棱长为1厘米的正方体有4个面，所以它的表面积=
3
2
6+2
2
4+1
2
4=74
（平
方厘米）
例3 一个长方体，如果把它的高增加2厘米，长和宽不变，则体积增加50立
方厘米。这时长方体正好变成正方体，问原来
长方体的体积是多少立方厘米？
解 如图159，如果把一个长方体的高增加2厘米，
长和宽不变，则长方体正好变成了正方体。说明原
来长方体的地面是正方形，而增加部分的体积是个 图159
底面为正方 形、高为2厘米的长方体，所以长方体的底面积是50

2=25（平方
厘米）。又因 为它是个正方形，则边长是5厘米。新的正方体的边长也是5厘

米，原来长方体的高就是 5-2=3（厘米），所以原来长方体的体积是25

3=75
（立方厘米）。
例 4 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形，
用红、蓝、黄三种颜色去染这些小正方形，要求把有公
共边的正方形染成不同的颜色，那么用红色染的正方形
最多有多少个？
解 先从正方体的上面开始染色，它最多可以有5个方格染成 图160
红色（见图161A ）。因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所
以

红 红
红
红 红
红 红

红


红

红 红
A B C
下面染色方法同上面一样，共有 两个面可以染成5个红色方格，其余四个面中，
每个面的四个角上的方格不能再染成红色，这样至多能染 4个红色方格（见图
161B）。因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，如果染的是前面，
则后面应该与前面相同，所以最多有两个面可以染成4个红色方格。最后剩下
两个相对的面，每 个面最多可以染有2个红色方格（见图161C）。
所以红色方格最多有
52+42+22=22
（个）.
例 5 图162是由 120块小正方体构成的
456
的长方体，如果将其表面涂成红
色，那么其中一面 、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

解 一个长方体有6个面、8个顶 点、12条棱长，在这个长方体的表面涂上红
色，每个小正方体被涂成红色的面的情况共有三种，且分布 具有一定的特征。
三面被涂成红色的小正方体在长方体的8个顶点处；
二面被涂成红色的小正方体在长方体的棱上（不包
括顶点处的小正方体）；一面被涂成红色的小正方体
在长方体每个面的中央（四周除外）；没有面被涂成
红色的小正方体在长方体的内部，所以三面被涂成红色的 图 162
小正方体有8块。
二面被涂成红色的小正方体有

4-2
< br>4+

5-2

4+

6-2

4=36
；一面被涂成红
（块）
（块）
色的小正方体有

6-2



5-2

2

52



42

2

62



42

2
52
。
例 6 把一个长方体形状的木料分割成3个小长方体，使这3个小长方体的体积
相等。已知这个长方体的长为1 5厘米，宽为12厘米，高为9厘米，分割时要
求只能锯两次，请你画出9种不同的分割方法。
解 根据题意，把一个长方体木料分割成3个体积相等的小长方体，但是并没
有要求形状也要 相同，所以分割时第一次分割长方体的，第二次将剩下部分的
体积平均分割即可。具体分割如图163.

3
3

3
4
4
1
3
5 5 5
4
4.5 7.5 7.5
7.5 7.5 4 4.5 4 3

6
6 4.5
6 6 4.5
3 5 6 5
图163