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[趣味数学] 韩信点兵

民间故事《韩信点兵》：
韩信 是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为
汉朝的兴建立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水 平也非常
高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道
自己部队的实力，先令士兵 从1至3报数，然后记下最后一
个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个
士兵 所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个
士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士 兵的总人
数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
比如，已知军队人数大概在 1000-1100左右，如果1-3报数
余2人，1-5报数余3人，1-7报数余2人，则韩信立刻 知
道总人数1073人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下
凡”、“神机妙算”。于是每次出战都士气大振，经常大获全胜。
把韩信点兵问题再换个更简单的说法 ，就是说，有个数除3
余2，除5余3，除7余2，问你这个数字最小是几？也可
以给定一个范 围，问你是几。

这类问题，纠结应该怎么下手解决呢？对于这样的问题，要
先观察 ，是否存在规律，如果符合一定的规律，则可以通过

简单口诀来实现；如果没有规律，那 么就要通过一些特殊方
法处理。
一、有规律问题的解法
重要口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加
先来说说最后一句，最小公倍加，意 思是，不管什么情况，
先把最小公倍数求出来，这个是作为基础。然后根据不同情
况进行辨别， 如何继续处理。
（一）和同加和
意思是，如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，
加到最小公倍数上。
例：一个数除5余3，除6余2，除7余1
解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，因 为5＋3＝6＋2
＝7＋1＝8，所以这个数最小就是8，其余满足条件的数字
是210的倍数 ＋8，比如218、428……
（二）差同减差
意思是，如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，
用最小公倍数减掉。
例：一个数除5余3，除6余4，除7余5
解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，因 为5－3＝6－4
＝7－5＝2，所以这个数最小就是：210－2＝208，其余满
足条件的 数字是210的倍数＋208，比如418、628……
（三）余同取余

这个是最简单的了，意思是，如果余数都相同，直接把余数
加到最小公倍数上。
例：一个数除5余3，除6余3，除7余3
解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，所 以这个数最小
就是3，其余满足条件的数字是210的倍数＋3，比如213、
423……
二、无规律问题的解法
一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出2个；如果按6个
一 堆放，最后多3个；如果按7个一堆放，还多出1个。这
筐苹果至少有几个？
（一）逐步约束法
5余2的最小数字是7，看看7除以6是余1不是3，所以
要看看 7上面加多少个5才能除以6余3。
通常的做法是，7+5=12，余0，不对；12+5=17，余 5，不
对；17+5=22，余4，不对；22+5=27，余3，对了！所以
是27。 实际上，也可以用这样的做法，就是：把除以6余3看成是
-3（3－6＝-3），5除以6余-1 。问题就简化为：要把7除以
6的余数1变成余-3，需要多少个5除以6的-1？很明显，
答 案是：（-3-1）÷（-1）＝4，也就是说，要在7上面加4
个5，也就是加上20，则结果为27
27这个数字出来了，还没结束，下面考虑27除以7余6，

不是余1。要在2 7上面加多少个30（5和6的最小公倍数）
才能余1？
同样的思路，要余1，相当于余8（ 1＋7＝8），由于30除以
7余2，问题就转换为，要从余6变成余8，需要多少个2，
答案 是1个，也就是27上面加1个30即可，最终数字是
57。
（二）中国剩余定律
先找出6和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以5
余1的数字，为42×3＝126，用这个数 乘以5的余数。题目
中除以5余2，所以126×3＝252；
再找出5和7的公倍数，从中 选取一个最小的、能够除以6
余1的数字，为35×5＝175，用这个数乘以6的余数。题目
中除以6余3，所以175×3＝525；
再找出5和6的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以7
余1的数字，为30×4＝120，用这个数乘以7的余数。题目
中除以7余1，所以120× 1＝120；
上述3个数字相加：252＋525＋120＝897
897除以5、6、7 三个数的最小公倍数210的余数，即为最
终答案：897－210×4＝57
三、韩信点兵
回到文章开头韩信点兵的故事，已知军队人数大概在
1000-1100左右，如果1-3报数 余2人，1-5报数余3人，

1-7报数余2人
这个题目我们采用混合做法， 既然除以3余2，除以7余2，
那么利用同余取余，秒算出来21＋2＝23
然后，看23除以5余3，正好，不用再加21了，答案就是
23，多么简单。
考虑 到人数在1000-1100之间，23的基础上加上10个3、
5、7的公倍数105，也就是23＋ 10×105＝1073