三年-quieter

小学数学文化丛书《历史与数学》
《韩信点兵》教学设计
教学内容：小学数学文化丛书《历史与数学》第115-119页的内容
教学目标：
1、让学生了解韩信点兵(物不知数)问题的由来。
2、让学生经历解决韩信点兵(物不知数 )问题的探索过程,并能自主尝
试运用古代方法解决问题, 掌握剩余定理，拓展学生解题思路。
3、让学生了解列举法、化繁为简等数学思想的方法，从而培养学生的
综合思维能力。
4、学生能在了解中国古代光辉灿烂的数学成就中,开阔数学视野,提高
数学素养,增强爱国主义情感 。
教学重点：
掌握剩余定理
教学难点：
探索剩余定理
课前准备：
课前准备:生:课前浏览、阅读有关汉朝大将韩信的历史知识。
师：教学PPT
教学步骤：
一、 情境导入
1、课前，老师请同学们 通过阅读书本、上网浏览，了解有关汉朝大将
韩信的历史故事，你了解到哪些内容，先让我们来聊一聊吧 。指名交流。
2、播放《韩信点兵》的故事
师：秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信带领1500名将士与楚王大将

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李锋交战。韩信的部队与楚将军大战一场，死伤四五百人。还剩多少人士兵，再次交战能胜利吗？韩信立即命令士兵排队，清点人数。令士兵3人
一排，还多2人；令士兵5 人一排，还多3人；令士兵7人一排，还多2
人。韩信胸有成竹地说：我军有1073名勇士，敌人不足 五百人，我们一定
能打败敌人。
课件：士兵原有1500人，死伤四五百人，现令士兵排队。 士兵3人一
排，还多2人；士兵5人一排，还多3人；士兵7人一排，还多2人，问
还剩多少人 ？
3、你们能一下算出这个数据吗？（不能）这里面有着数学奥秘。想去
探索吗？这就是我们 今天要探究的韩信点兵。板书：韩信点兵 当时，韩
信说出这个数字时，大家就很惊讶问：你是怎么算 的呢？韩信高兴地说：
孙子算经里早有这个算法了。
课件出示：孙子算经
4、只要 我们能把这个问题解决了，韩信点兵这个问题就一定能受到启
发。也就是化繁为简的思想算一算。
二、新授
（一）探一探：其题其解（《孙子算经》课件—化繁为简数学思想）
1、出示《孙子算经》课件
生读：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七
数之，剩二，问物几何？
提问：这是什么意思？指名学生说题意
学生探究其算法。指名交流，强调列举法。

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2、出示导入课时的题目：
问：那么韩信点兵的10 00多人能用这个列举法吗？为什么呢？怎么办
呢？让我们一起来研究吧
3、学生探究算法
（1）四人一小组进行探讨交流，指名汇报。
先算到3、5、7的最小公倍数是105，但在 1500内，所以扩大10倍为
1050，但要有相应的余数，为此还要加上他们最小的数23，刚才我 们已算
过。
（2）验证法：用1073去分别除以3、5、7是否余数与题目要求相同？
（二）研一研：其诗其理
明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，除百零五便得知。
理解题意 ：除是减的意思。用现在的话来说就是：一个数用3除，除
得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21 ；用7除，除得的余数乘15。最
后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少。
2、学生用此方法试着验证一下：
得出：70X2+3x21+2x15-105x2=23
1050+23=1073
3、诗句中70、21、15怎么来的？

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学生小组自主探究，再汇报。
交流得出：
这是因为，被5、7整除，而被3除余1的最小整数是70。
被3、7整除，而被5除余1的最小整数是21；
被3、5整除，而被7除余1的最小整数是15；
所以，这三个数的和15×2＋21×3＋ 70×2，必然具有被3除余2，
被5除余3，被7除余2的性质。
以上解法的道理在于：
被3、5整除，而被7除余1的最小整数是15；
被3、7整除，而被5除余1的最小整数是21；
被5、7整除，而被3除余1的最小整数是70。
因此，被3、5整除，而被7除余2的最小整数是 15×2＝30；
被3、7整除，而被5除余3的最小整数是 21×3＝63；
被5、7整除，而被3除余2的最小整数是 70×2＝140。
于是和数15×2＋21×3＋70 ×2，必具有被3除余2，被5除余3，被
7除余2的性质。但所得结果233（30＋63＋140＝ 233）不一定是满足上述
性质的最小整数，故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍，直
至差小于105为止，即 233－105－105＝23。所以23就是被3除余2，被
5除余3，被7除余2的最小整数。

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教师介绍：我国古算书中给出的上述四句歌诀，实际 上是特殊情况下
给出了一次同余式组解的定理。韩信点兵是一种有趣的猜数游戏。宋朝周
密称为 “鬼谷算”或 “隔墙算”，杨辉叫它“剪管术”，而“韩信点兵”
则是最通用的说法。它的算法，在孙 子兵法上早有说秦九韶著《数书九章》，
称为“大衍求一术”，在国际上称为“孙子定理”或“中国剩余 定理”。
这个问题已成为世界数学史上闻名的问题。
这一算法，还用这个统一的公式。70a +21b+15c-105,你们知道a、b、c
分别表示什么吗？
（三）玩一玩：其巧其趣
1、今有物，不知其数，三三数之，剩一，五五数之，剩三，七七数之，
剩六，问物几何？
2、一日，烽火台边的校场上，韩信发现全体将士三路纵队结果末尾余
2，五路纵队末尾也余2 ，七路纵队末尾余6。你能算出有多少士兵吗？（不
能）对，不能，韩信点兵时，必须先知道部队的大约 人数，否则他也是无
法准确算出人数的。
补充出题目：已知全体将士人数在2000-2300之间。学生独立完成
四、拓展
问：是不是韩信点兵只有用3、5、7三个数呢？用2、3、11行不行呢？
借助这个题目试一试。
如果有堆约100粒的棋子, 2粒一数余1粒,，3粒一数余2粒,11粒一
数余2粒,那么 原有棋子是多少粒?（33a+22b+12c-66）
介绍：4、6、7、这三个数4与6不是互质 的，最大公约数是2，而6
与7的任何一个公倍数都是偶数，被4余后余数也一定是偶数，而不可能是1，所以找不到与70、21、15相当的三个数，因此在韩信点兵里就不能

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用。
五、课堂小结
这节课你有什么收获？



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