剩余定理1
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在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：
韩信
是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说
他在点兵的时候，
为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然
数；再令士兵从１至５报
数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最
他很快就算出了自己部队士兵的
总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计
算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式
一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位
。
最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数
题目是这样的：
“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数
个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”
用简练的数学语言来表述就
是：求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余
题目的解法和答案，用算式表示即为：
用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定
知道：
《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组
的一般解：
其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一
“三人同行七十（７０）稀，
五树梅花二一（２１）枝。
七子团圆正半月（１５），
除百零五（１０５）便得知。”
《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次
同余式研究的先河，但由于题目比较简单，
所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从
完整的计算程序和理论上解决这个问
秦九韶。秦
九韶在他的《数书九章》（见图１一７一１）
中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述
原理和一般程序。
秦九韶为什
么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其
“求一”。所
谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”
我们可以从“物不知
数”题的几个关键数字７０、２１、１５中找到如下的规律：
图1-7-1
文澜阁四库全书本《数书九章》书影
其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和<
br>何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出
率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。（由于解法
展开叙
述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。）直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题
真正得到了一
个普遍的解法，才真正上升到了
“中国剩余定理”的高度。
从《孙子算经》到秦九
韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在１９世纪中期开
８５２年，英国传教士伟烈亚力向欧洲
介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求
人马蒂生指出，中国的这一解法与西方１９世
纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全
的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学
史著作中正式被称为“中国剩余定理”。