北京大学排名-高一主题班会

重点列表：

重点
重点1
重点2
重点3
名称
算法的概念
顺序结构
分支结构
重要指数
★★★
★★★★
★★★★
重点详解：

1．算法的概念及特点
(1)算法的概念
在数学中，算法通常是指按照一定___ ___解决某一类问题的________和________的步骤．
(2)算法的特点之一是具有 ______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效的执行，
且得到确定的结果，而不应是模 棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步
是后一步的前提，只有执行完前一步才 能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；
其三是具有______性，即一个算法应该在有 限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法
还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定 是唯一的，可以有不同的解法，一
个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题．
2．程序框图
(1)程序框图的概念
程序框图又称流程图，是一种用 、
及 来表示算法的图形．
(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能

图形符
号
名 称 功 能
表示一个算法的起始和
结束
表示一个算法输入和输
出的信息

①

②

③ 赋值、计算
判断某一条件是否成
立，成立时在出口处标
不成

④ 明“是”或“Y”；
立时标明“否”或
“N”

○

3. 算法的基本逻辑结构
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，语句与 语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行
的．它是由若干个__________的 步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序
结构可用程序框图表示为如图所示的形式：
⑤ 连接程序框
⑥ 连接程序框图的两部分

(2)条件结构
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有 不同的流向．常
见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式：

程序语句
1．输入(INPUT)语句
输入语句的一般格式： .
要求：
(1)输入语句要求输入的值是具体的常量；
(2)提示内容提示用户 输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机
屏幕上显示，提示内容与变量之间 要用分号隔开；
(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔．

2．输出(PRINT)语句
输出语句的一般格式： .
功能：实现算法输出信息(表达式)．
要求：
(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息；
(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息 ，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表
达式分开；
(3)如同输入语句一样，输出 语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可
用“，”分隔．
3．赋值语句
赋值语句的一般格式： .
赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样．
作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量．
要求：
(1)赋值语句左 边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的
运算式．如：2＝
x
是错误的；
(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给 赋值号左边的变
量．如“
A
＝
B
”、“
B
＝
A
”的含义和运行结果是不同的，如
x
＝5是对的，5＝
x
是错的 ，
A
＋
B
＝
C
是错的，
C
＝
A< br>＋
B
是对的；
(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)．
4．条件语句
(1)“IF—THEN”语句
格式：
____________________．
说明：当计算机执行“IF—THEN”语句 时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，
那么(THEN)执行语句体，否则执行E ND IF之后的语句．
(2)“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
____________________．
说明：当计算机执行“IF—THEN—EL SE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条
件符合，那么(THEN)执行语句体1 ，否则(ELSE)执行语句体2.
【答案】
1．(1)规则 明确 有限 (2)确定 有序 有穷
2．(1)程序框 流程线 文字说明

(2)①终端框(起止框) ②输入、输出框
③处理框(执行框) ④判断框 ⑤流程线
⑥连接点
3．(1)从上到下 依次执行
程序语句
1．INPUT “提示内容”；变量
2．PRINT “提示内容”；表达式
3．变量＝表达式
IF 条件 THEN
4．(1)
语句体

END IF
(2)





重点1：算法的概念
【要点解读】
算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
【考向1】算法的概念
【例题】下列语句是算法的个数为( )
①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积．
A．1 B．2 C．3 D．4
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF

【评析】算法过程要做 到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且
在有限步后必须得到问题的结果．
【考向2】经典算法
【例题】“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军 事机密，他在点兵

时采用下述方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再 令士兵从1～5报数，结
果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样， 韩信很快就知道
了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．
解：在 本题中，士兵从1～3报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其
他两种情况依此类 推．
(算法一)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4；
第 二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18；
第四步：依次加上35，得18，53，88，…；
第五步：在第四步得到的一列数中，找到 最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们
要求的数．
(算法二)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2；
第二步：依次加3就得到所有满足除以3余 2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，
32，35，38，41，44， 47，50，53，56，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8；
第四步：然后依 次加15就得8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以3余2，又
满足除以5余3；
第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数．
【评析】给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；
(2 )将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程
条理清 楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最
终的结果是一样的， 但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法．
重点2：顺序结构
【要点解读】 (1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图 形．
(2)程序框图通常由程序框和流程线组成．
(3)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．
输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句

输入语句

输出语句

一般格式

INPUT“提示内容”；变量

PRINT“提示内容”；表达式

功能
输入信息
输出常量、变量的值和系统信息

赋值语句

变量＝表达式

将表达式的值赋给变量
【考向1】顺序结构程序框图 【例题】已知点
P
(
x
0
，
y
0
)和 直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0，求点P
(
x
0
，
y
0
)到直线
l
的距离
d
，写出
其算法并画出流程图．
解：算法如下：
第一步： 输入
x
0
，
y
0
及直线方程的系数
A
，< br>B
，
C
.
第二步：计算
z
1
＝
A x
0
＋
By
0
＋
C
.
第三步：计算
z
2
＝
A
＋
B
.
第四步：计算
d
＝
第五步：输出
d
.
流程图如图所示：
22
|
z
1
|
z
2
.

【评析】顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，
画出程序 框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
【考向2】顺序结构语句
【例题】请写出下面运算输出的结果．
(1)a＝5
b＝3
c＝(a＋b)2
d＝c*c
PRINT “d＝”；d
(2)a＝1
b＝2
c＝a＋b
b＝a＋c－b
PRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c
(3)a＝10

b＝20
c＝30
a＝b
b＝c
c＝a
PRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c
解：(1)语句“c＝(a＋b)2”是将
a
，
b
之和的一半赋值给变量
c
，语句“d＝c*c”是将
c
的
平方赋值给
d
，最后输出
d
的值．故输出结果为
d
＝16.
(2)语句“c＝a＋b”是将
a
，
b
之和赋值给
c
，语句“b＝a＋c－b”是将
a
＋
c
－
b
的 值赋值给
了
b
.故输出结果为
a
＝1，
b
＝2，< br>c
＝3.
(3)经过语句“a＝b”后
a
，
b
，< br>c
的值是20，20，30，经过语句“b＝c”后
a
，
b
，
c
的值是
20，30，30，经过语句“c＝a”后
a
，
b
，
c
的值是20，30，20.故输出结果为
a
＝20，
b
＝30，
c
＝20.
【评析】①将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变 量的值保持不变；②可先后给一个变
量赋多个不同的值，但变量的取值总是最后被赋予的值．
重点3：分支结构
【要点解读】
条件语句
(1)算法中的条件结构与条件语句相对应．
(2)条件语句的格式及框图
①IF－THEN格式

②IF－THEN－ELSE格式

【考向1】分支机构程序框图
【例题】某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用
c
(单位：元)与行李的重量
w
(单



0.53
w
，
w
≤50，
位：kg)之间的关系为
c
＝



50×0.53＋（
w
－50）×0. 85，
w
>50.

写出计算费用
c
的算法并画出程序框图 ．
解：算法如下：
第一步：输入行李的重量
w
；
第二步：如果
w
≤50，那么
c
＝0.53
w
，
否则
c
＝50×0.53＋(
w
－50)×0.85；
第三步：输出托运费
c
.
程序框图如图所示：

【评析 】条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步
就需要用条件结构．
【考向2】条件语句
【例题】设计算法，求关于
x
的方程
ax＋
b
＝0的解．
解：程序框图如图所示．

根据框图可写出程序语言：
INPUT a，b
IF a〈〉0 THEN
PRINT “x＝”；－ba
ElSE
IF b＝0 THEN

PRINT “解集为R”
ELSE
PRINT “此方程无解”
END IF
END IF
END
【评析】对于三 段或三段以上的分段函数求函数值的问题，通常需用条件语句的嵌套结构．本
例是条件语句内套条件语句 ，即用了两个条件语句，必须有两个END IF，请读者指出前后END
IF分别结束的条件语句．
难点列表：

难点
难点1
难点2
名称
循环结构
算法案例
难度指数
★★★★
★★★★★
难点详解：
循环结构
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这
就是 ．反复执行的步骤称为 ．
循环结构有如下两种形式：
①如图1，这个循环 结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不
满足，就继续执行循环体，直到 条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________．
②如图2表示的也是常见 的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判
断，当条件满足时，执行循环体，否则 终止循环．因此，这种循环结构称为____________．

循环语句
(1)当型循环语句
当型(WHILE型)语句的一般格式为：
________________．
(2)直到型循环语句

直到型(UNTIL型)语句的一般格式为：
______________．
【答案】循环结构 循环体 ①直到型循环结构
②当型循环结构
WHILE 条件DO
(1)
循环体
(2)
循环体

WENDLOOP UNTIL 条件

难点1：循环结构
【要点解读】
循环语句
(1)算法中的循环结构与循环语句相对应．
(2)循环语句的格式及框图．
①UNTIL语句

②WHILE语句

【考向1】循环结构程序框图
111
【例题】设计一个算法求1＋＋…＋＋的值，并画出程序框图．
2910
解：当型循环：
算法如下：
第一步：令
i
＝1，
S
＝0；
第二步：若
i
≤10成立，则执行第三步，否则，输出
S
；
1
第三步：计算
S
＝
S
＋，
i
＝
i＋1，返回第二步．
i
程序框图如图所示：

直到型：
算法如下：
第一步：令
i
＝1，
S
＝0；
1
第二步：计算< br>S
＝
S
＋，
i
＝
i
＋1；
i
第三步：若
i
>10，则输出
S
，否则，返回第二步．
程序框图如图所示：

【评析】如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作 ，且先后参与运算的数之间有
相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循 环结构．在循环结
构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条 件的
表述恰当、准确．
【考向2】循环语句
【例题】读下面的程序：
INPUT n
i＝1
S＝1
WHILE i<＝n
S＝S*i
i＝i＋1

WEND
PRINT S
END
上面的程序在执行时输入6，那么输出的结果为( )
A．6 B．720 C．120 D．1

【评析】计算机执行此程序时，遇到WHILE 语句，先判断条件是否成立，如果成立，则执行
WHILE和WEND之间的循环体，然后返回到WHI LE语句再判断上述条件是否成立，直至返回到
WHILE语句判断上述条件不成立为止，这时不再执行 循环体，而执行WEND后面的语句，这是
当型循环．
难点2：算法案例
【要点解读】
算法案例
(1)辗转相除法
辗转相除法是用于求两个正整 数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前
330年左右首先提出的，因此又叫欧几里 得算法．
(2)更相减损术的定义
任给两个正整数(若是偶数，先用2约数)，以较大的数 减较小的数，接着把所得的差与较小
的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数(等 数)(或这个数与约简的数
的乘积)就是所求的最大公约数．
(3)秦九韶算法
秦 九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元
n
次多 项式的值的方法．
【考向1】辗转相除法与更相减损术
【例题】用更相减损术求120与7 5的最大公约数时，反复相减，直至求出结果，进行减法运
算的次数为( )
A．4
C．6
B．5
D．3
解析：∵120－75＝45,75－45＝30,45－30＝15,30－15＝15，
∴120与75的最大公约数是15，共进行4次减法运算．
答案：A
【考向2】秦九昭算法
【例题】用秦九韶算法求多项式
f
(
x)＝7
x
＋6
x
＋5
x
＋4
x
＋3< br>x
＋2
x
＋
x
＋8的值，当
x
＝3时，765432
v
3
的值为( )

A．27
C．262
B．86
D．789

答案：B
【趁热打铁】
1．用辗转相除法求108和45的最大公约数为( )
A
．2
C
．18
2．已知程序如下：
B．9
D．27

当输入
x
的值为5时，输出的结果为( )
A．15
C．84
B．76
D．34
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出
S
的结果是( )

3
A.
2
25
C.
12
1
B.
6
137
D.
60

4．下列程序运行后的输出结果是( )

A
．17
C
．21
B．19
D．23
5．计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，与10进制的对应
关系如 下表：
16进制 0 1 2
10进制 0 1 2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
A B C D E F
10 11 12 13 14 15
那么，16进制中的16C化为十进制数应为( )
A
．1 612
C
．5 660
B．364
D．360
6．如下框图，当x
1
＝6，x
2
＝9，p＝ 8.5时，x
3
等于( )

A
．7
C
．10
7．如图框图
B．8
D．11

(1)若输入4，则输出的是________；
(2)若输出32，则输入的是________．
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S＝________.

9．根据如图所示的框图，说明该流程图解决什么问题，写出相应的算法，并回答下列问题：

(1)若输入x的值为5，则输出的结果是什么？
(2)若输出的值为8，则输入的x的值是什么？
(3)要使输出的值最小，输入的x的值应是多少？
10．如图是为求3的值而设计的程序框图，请回答下列问题．
10

(1)将空白处补上，指明它是循环结构中的哪一种类型；
(2)画出它的另一种循环结构框图．
第一章
1解析：∵108＝2×45＋18,45＝2×18＋9,18＝9×2，
∴108和45的最大公约数为9.
答案：
B

2解析：该程序表示的是输入
x
输出函数


3
x
，
x
≤5，
y
＝


5.5×10＋
x
－2×7，
x
>5


的值．
答案：A

答案：
C

5解析：16C
(16)
＝1×16＋6×16 ＋12×16＝256＋96＋12＝364.
答案：
B

9＋7
6解析：当x
3
＝7时，|6－9|<|9－7|，即3<2，此时p＝＝8，输出p＝8，< br>A
不正确；当
2
9＋8
x
3
＝8时，|6－9|<| 9－8|，即3<1，此时p＝＝8.5，输出p＝8.5，
B
正确．同理可验证
C< br>、
2
20

D
不正确．
答案：
B

7解析：(1)若输入4，
∵4>1，
∴y＝－2×4＋32＝24.
(2)若输出32，当x＋4x＝32时，x
1
＝4，x
2
＝－8；
当32＝－2x＋32时x＝0，
∵4>1，－8<1，当x＝0时，y＝0＋4×0＝0≠32，
∴x＝－8.
答案：(1)24 (2)－8
8解析：第一次循环S＝1，a＝3，n＝2，
第二次循环S＝4，a＝5，n＝3，
第三次循环S＝9，a＝7，跳出循环．
故输出的值为9.
答案：9
2
2

10解：(1)空白部分应填：i≤10？，它为当型循环结构；
(2)直到型循环结构的程序框图如下图所示：

重点列表：

重点
重点1
重点2
名称
简单随机抽样
分层抽样
重要指数
★★★
★★★★
重点详解：
1．简单随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N
个个体，从中逐个
________
地抽取
n
个个体作
为样本(
n
≤
N
)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会
________
，就把这种抽样方
法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随 机抽样方法有两种：
________
法和
________
法．
抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的
N
个个体
________
，把号码写在号签上，
将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取
______个号签，连续抽取
________
次，
就得到一个容量为
n
的 样本．
随机数法：随机数法就是利用
______________
、随机数骰子或 计算机产生的随机数进行抽样．
简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
2．系统抽样
(1)一般地，假设要从容量为
N
的总体中抽取容量为
n
的样本，我 们可以按下列步骤进行系统
抽样：
①先将总体的
N
个个体
____ ____
．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、
门牌号等；
② 确定分段间隔
k
，对编号进行分段．当(
n
是样本容量)是整数时，取
k
＝，如果遇到不是
整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个 体数能被样本容量
整除；
③在第1段用
______________
抽样 方法确定第一个个体编号
l
(
l
≤
k
)；
④按照 一定的规则抽取样本．通常是将
l
加上
________
得到第2个个体编号
________
，再
N
n
N
n
N
n________
得到第3个个体编号
________
，依次进行下去，直到获 取整个样本．
(2)当总体中元素个数较少时，常采用
____________
， 当总体中元素个数较多时，常采用

______________
．
3．分层抽样
(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成
______ __
的层，然后按照一定的
________
，
从各层独立地抽取一定数量的 个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是
一种分层抽样．
(2)当总体是 由
__________
的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是
________
的．
【答案】
1．(1)不放回 都相等
(2)抽签 随机数 编号 1
n
随机数表
2．(1)①编号 ③简单随机
④间隔
k
(
l
＋
k
) 加
k
(
l
＋2
k
)
(2)简单随机抽样 系统抽样
3．(1)互不交叉 比例 (2)差异明显 (3)均等
重点1：简单随机抽样
【要点解读】
1、 简单随机抽样对于总体比较少的情况比较适用
2、 要注意“搅拌均匀”
3、 用随机数表法要注意编号的方法
【考向1】抽签法
【 例题】某大学为了支援我国西部教育事业，决定从应届毕业生报名的18名志愿者中选取6
名组成志愿小 组．请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
解：(抽签法)
第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3，…，18；
第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
(随机数表法)
第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03，…，18；
第二步：在随机数表中 任选一数作为开始，按任意方向读数，比如从第8行第29列的数7开
始，向右读；
第三步： 从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01～18中的数或已读过的数，都跳过去
不作记录，依次可 得到12，07，15，13，02，09；

第四步：找出以上号码对应的志愿者，即是志愿小组的成员．
【评析】考虑到 总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法很容易获取样本，但须按这两
种抽样方法的操作步骤进行． 注意掌握随机数表的使用方法．
【考向2】随机数表法
【例题】有一批机器，编号为1， 2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入
样，请写出用简单随机抽样方法获得样 本的步骤．
解法一：将112个外形完全相同的号签(编号001，002，…，112)放入一个不 透明的盒子里，
充分搅拌均匀后，每次不放回地从盒子中抽取1个号签，连续抽取10次，就得到1个容 量为
10的样本．
解法二：第一步，将机器编号为001，002，003，…，112；
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如选第9行第7个
数“ 3”，向右读；
第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去 不读，前面
已经读过的数也跳过去不读，依次可得到074，100，094，052，080，003 ，105，107，083，
092，这样就得到一个容量为10的样本；
第四步，找出以上号码对应的机器，即是要抽取的样本．
重点2：分层抽样
【要点解读】
分层抽样对于个体差异比较明显的情况比较适用
特别注意抽样比的应用
【考向1】分层抽样的步骤
【例题】某企业共有5个分布在 不同区域的工厂，职工3万人，其中职工比例为3∶2∶5∶2∶
3.现从3万人中抽取一个300人的 样本，分析员工的生产效率．已知生产效率与不同的地理
位置的生活习俗及文化传

【评析】分层抽样的实质为按比例抽取，当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层抽样．应认识到，在各层抽取样本时，又可能会用到简单随机抽样，系统抽样，甚至分层抽样来抽取
样本．
【考向2】分层抽样的应用
【例题】某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采 用分层抽样的方法从这些学校
中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取
____ ____
所学校，中学中抽取
________
所学校．
解：设从小学、中 学、大学分别抽取
x
，
y
，
z
所，且
x
∶
y
∶
z
＝150∶75∶25＝6∶3∶1，则
x
6
＝30×＝18(所)，
10
y
＝30×＝9(所)．故填18；9.
3
10
难点列表：

难点
难点1
难点2
名称
系统抽样
抽样方法的选择与计算
难度指数
★★★★
★★★★
难点详解：

抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中均匀分段后 的第一段，可采用简单随机抽样；分层

抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以 系统抽样等．
三种抽样方法的比较
类别
简单随机抽样
共同点 各自特点
从总体中逐
个抽样
将总体均分
成几部分，
按事先确定
的规则在各
部分抽取
将总体分成
几层，分层
进行抽取

相互联系 适用范围
总体中的个体
数较少
系统
抽样
分层
抽样
抽
样
过
程
中
每
个
个
体
被
抽
取
的
概
率
相
等
在起始部分
抽样时采用< br>简单随机抽
样
分层抽样时
采用简单随
机抽样或系
统抽样
总体中的个体
数较多
总体由差异明
显的几部分组
成

难点1：系统抽样
【要点解读】
系统抽样又称等距抽样，号码序列一旦确定，样本 即确定好了．但要注意，如果编号的个体
特征随编号的变化呈现一定的周期性，那么样本的代表性是不可 靠的，甚至会导致明显的偏
向．
【考向1】系统抽样步骤
【例题】从某厂生产的1 0002辆汽车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法
进行抽样，并写出抽样过程．
解：因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样．
抽样步骤如下：
第一步，将10002辆汽车用随机方式编号；
第二步，从总体中剔除2辆(剔除法可用随机 数表法)，将剩下的10000辆汽车重新编号(分别
为00001，00002，…，10000)， 并分成100段；
第三步，在第一段00001，00002，…，00100这100个编号中用简 单随机抽样方法抽出一个
作为起始号码(如00006)；
第四步，把起始号码依次加上间隔100，可获得样本．
【评析】①总体容量和样本容量都较 大时，选用系统抽样比较合适；②系统抽样的号码成等
差数列，公差为每组的容量．
【考向2】系统抽样的应用
【例题】某单位有840名职工， 现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查， 将840人按1,

2, … , 840随机编号， 则抽取的42人中， 编号落入区间481, 720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14

难点2：抽样方法的选择与计算
【要点解读】
分层抽样和系统抽样中的计算
(1)系统抽样
总体容量为
N
，样本容量为
n
，则要将总体均分成
n
组，每组个(有零 头时要先去掉)．
若第一组抽到编号为
k
的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次 为
k
＋，…，
k
＋(
n
－1).
(2)分层抽样
按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．
【考向1】系统抽样的计算
【例题】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查， 为此将他们随机编号为1，2，…，
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9. 抽到的32人中，编号落入区
间1，450]的人做问卷
A
，编号落入区间451，7 50]的人做问卷
B
，其余的人做问卷
C
.则抽到
的人中，做问卷< br>B
的人数为( )
A．7 B．9 C．10 D．15
960
【解析】 由题意，可知系统抽样中每一组的样本数为＝30，因为第一组抽取的样本号 码
32
为9，所以第
k
组抽取的号码为9＋30×(
k
－1 )．由451≤9＋30×(
k
－1)≤750，得
16≤
k
≤25 (
k
∈Z)，所以
k
＝16，17，…，25，共10个，即应该有10人做 问卷B.
【答案】 C
【考向2】分层抽样的计算
已知某地区中小学生人数和 近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视
形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的 学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数
分别为( )
N
n
N
n
N
n

A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10

【答案】 A
【名师点睛】
解题(1)的关键是掌握系统抽样的原理及步骤； < br>题(2)在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近
视 人数．
【趁热打铁】

1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学 习兴趣与业余爱好方面是否存在显
著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查 ，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法

B．随机数法
D．分层抽样法 C．系统抽样法
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位， 有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，
为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为
了了解 教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是( )
A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样
C．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样
D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样
3．从2006名学生中选取50名组成参观 团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2006

人中剔除6人，剩下的200 0人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率( )
A．不全相等 B．均不相等
251
C．都相等，且为 D．都相等，且为
100340
4．要从1 0名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随
机抽样，则选取的男生 人数是( )
A．4 B．6 C．2 D．1
5

5．总体 由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，
选取方法 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选
出来的第5个个体的编 号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A. 08 B．07 C．02 D．01
2
6．将参加夏令营的600名学 生编号为001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为
50的样本，且随机抽得的号 码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营
区，从301到495在第Ⅱ 营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( )
A．25，17，8
C．26，16，8


B．25，16，9
D．24，17，9
7．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样 的方法抽取若干人，若
抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有
________
人．
8．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000 ，打算从中抽取
一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为000 1，0002，…，
0020，从第一部分随机抽取一个号码0015，则第40个号码为
__ ______
．
9．为了考察某校的教学水平，将抽查该校高三年级部分学生本学年的考试成 绩进行考察．为
了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽样(已知该校高三年级共有20个教学 班，
并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年
级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班
都抽取1 人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通
三个级别，从中抽取 100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，
良好生共600人，普通 生共250人)．根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本 分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，
其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中各自采用了何种抽取样本的方法？
10．某公司有1000名员工 ，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为

150名，属于中等收 入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况
进行调查，欲抽取100名员 工，应当怎样进行抽样？


第二章
1解：由题意，男、女生需要按比例抽样，所以需要分层抽样．故选D.
2解：由各抽样方法 的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①用简单随机抽样，②用系统抽
样，③用分层抽样．故选A.
3解：抽样过程中每个个体被抽取的机会均等，概率相等，题中的抽取过程与从2006人中抽
5025
取50人，每人入选的概率相同，其概率为＝.故选C.
20061003
4解：依题意得从10名女生和5名男生中选出6名学生，按性别分层抽样时，女生选4名，
男生选2名 ，故选A.
5解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的 编
号分别为08，02，14，07，01，…，因此选出来的第5个个体的编号为01.故选D. < br>6解：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12
103
*
名学生，第
k
(
k
∈N)组抽中的号码是3＋12 (
k
－1)．令3＋12(
k
－1)≤300得
k
≤，因此 第
4
103
Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(
k
－ 1)≤495得＜
k
≤42，因此第Ⅱ营区被抽中
4
的人数是42－25＝1 7；同理可知第Ⅲ营区被抽中的人数是8.故选A.

8解：系统抽样号码构成一个等差数列 ，公差为每组编号个数，所以第40个号码为0015＋(40
1000
－1)×＝0795. 故填0795.
50
9解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本学年 的考试成绩，个体都是
指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的2 0名学生本
学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的 考
试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
(2)第一种采用简单随机抽样法；第二种采用系统抽样法和简单随机抽样法 ；第三种采用分层
抽样法和简单随机抽样法．
10解：可以采用分层抽样的方法，按照收入水 平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入

50
者．从题中数据可以看出，高 收入者为50名，占所有员工的比例为＝5%，为保证样本的
1000
代表性，在所抽取的10 0名员工中，高收入者所占的比例也应为5%，数量为100×5%＝5，所
以应抽取5名高层管理人员 ．同理，抽取15名中层管理人员、80名一般员工，再对收入状况
分别进行调查．

重点列表：

重点
重点1
重点2
重点3
名称
频率分布直方图
茎叶图
抛物线
重要指数
★★★★
★★★
★★★★
重点详解：
用样本的频率分布估计总体分布
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样 本的
__________
估计总体的
__________
；另一种是用样 本的
________
估计总体的
__________
．
(2) 在频率分布直方图中，纵轴表示
________
，数据落在各小组内的频率用
___ _____________
表示．各小长方形的面积总和等于
________
．
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布
________
．随着样本容量
的增加，作图时所分的
________
增加，组距减小，相应的频 率折线图会越来越接近于一条光
滑曲线，统计中称之为
__________________ ____
，它能够更加精细地反映出
__________________________ __________
．
(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可 以
____________________
，
而且可以
________ ______
，给数据的记录和表示都带来方便．
【参考答案】
(1)频率分布 分布 数字特征 数字特征
频率
(2) 各小长方形的面积 1
组距
(3)折线图 组数 总体密度曲线
总体在各个范围内取值的百分比

(4)保留所有信息 随时记录
重点1：频率分布表、频率分布直方图及其应用
【要点解读】
用样本频率分布来估 计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率
分布估计总体分布；难点是频率分 布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一
定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过 频率分布表和频率分布直方图可以对总体作
出估计．
频率分布直方图的纵坐标为频率组距，每 一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的
频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条 形图是常见的错误．
【考向1】根据数据画出频率分布直方图
【例题】某市2013年4月 1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可
吸入颗粒物):
61， 76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77， 86，81，83，
82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
(1)完成下列频率分布表、频率分布直方图；
频率分布表
分组

41，51)
51，61)
61，71)
71，81)
81，91)
91，101)
101，111)

频率分布直方图
频数








频率









(2)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优； 在51～100之间时，为良；在
101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻 度污染．请你依据所给数据和上述

标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
解：(1)如图所示：
频率分布表
分组

41，51)

51，61)

61，71)

71，81)

81，91)

91，101)

101，111)

频数

2

1

4

6

10

5

2

频率
2

30
1

30
4

30
6

30
10

30
5

30
2

30
频率分布直方图

(2)答对下述两条中的一条即可：
1< br>①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，
15
1314
占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本 良
1515
好．
1
②轻微污染有2天，占当月天数的，污染指数在80以上 的接近轻微污染的天数有15天，
15
17
加上处于轻微污染的天数，共有17天，占 当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待
30
进一步改善．
【评析】首先根 据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确
定空气质量为优、良、轻微污 染、轻度污染的天数；对于开放性问题的解答，要选择适当的

数据特征进行考察，根据数 据特征分析得出实际问题的结论．本题主要考查运用统计知识解
决简单实际问题的能力、数据处理能力和 应用意识．
【考向2】频率分布直方图的逆用
【例题】某校100名学生期中考试语文成绩 的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间
是：
[
50，60
)
，
[
60，70
)
，
[
70，80
)
，
[
80，90
)
，
[
90，100
]
.

(1)求图中
a
的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学 生的语文成绩在某些分数段的人数(
x
)与数学成绩在相应分数段的人数(
y
)之
比如下表所示，求数学成绩在
[
50，90
)
之外的人数.
分数段

[
50，60
)

[
60，70
)

[
70，80
)

[
80，90
)

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5
x
∶
y
解：(1)由
(
2
a
＋0.02＋0.03＋0.04
)
×10＝1，
解得
a
＝0.005.
(2)＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.
(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：
分数段

50，60)

60，70)

70，80)

80，90)
x
x
∶
y
y
5

1∶1

5

40

2∶1

20

30

3∶4

40

20
4∶5
25
于是数学成绩在50，90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.
重点2：茎叶图
【要点解读】
茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述 样本数据的分布情况的．茎叶图由所有
样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分 布表和频率分布直方图则
损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．
【考向1】根据茎叶图求方差
【例题】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数． 乙组记录中有一个数据模糊，
无法确认，在图中以
X
表示．

如果
X
＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
1
2222< br>注：方差
s
＝(
x
1
－)＋(
x
2
－)＋…＋(
x
n
－)]，其中
x
为
x
1
，
x
2
，…，
x
n
的平均数．
n
解：当
X
＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，
8＋8＋9＋1035
所以平均数为＝＝；
44
35

2
111

35

2

35

2< br>
35

2

方差为
s
＝

8－

＋

8－

＋

9－

＋

10－

]＝.
4

4

4

4

4

16

2【考向2】根据茎叶图求平均数
【例题】某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零 件个数的茎叶图如图所示，
其中茎为十位数，叶为个位数.
1

2

3

(1)根据茎叶图计算样本平均值；
(2)日加工零件个数大于样本均 值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有
几名优秀工人？
7

0

0
9
1



5

难点列表：

难点
难点1
名称
用样本的数字特征估计总体的数字
特征
难点2 导数与函数的极值、最值 ★★★
难度指数
★★★★
难点详解：

用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数，中位数，平均数

众数：在一组数据中，出现次数
________
的数据叫做这组数据的众数．
中 位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的
______ __
)叫做这组数据的中位数．
平均数：样本数据的算术平均数，即＝
_______
．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该
________
．
(2)样本方差，样本标准差
标准差
s
＝
1
[(x1
x)
2
(x
2
x)
2
(xn
x)
2
]
，其中
x
n
是
____ ______________
，
n
是
________
，
n
是
________
．标准差是反映总体
__________
的 特征数，
________
是样本标准差的平方．通常
用样本方差估计总体方差，当样 本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
1
【答案】 (1)最多 平均数 (
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
) 相等
n
(2)样本数据的第
n
项 样本容量 平均数
波动大小 样本方差
难点1：用样本的数字特征估计总体的数字特征
【要点解读】
能从一组数据中求出中位数、平均数和众数
【考向1】平均数、中位数
【例题】某 汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮
胎行驶的最远里程数( 单位：1000 km)：
轮胎A 96 112
103 86 98
轮胎B 108 101 94 105 96
93 97 106
(1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；
(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；
(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？
97 108 100

(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为：112－86＝26，
标准差为：
22222222
s
=
(4)12(3)8 03(14)(2)

8
＝
221
≈7.43；
2
B轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，
标准差为：
2 2222222
s
＝
81(6)5(4)(7)(3)6
8
＝
118
≈5.43.
2
(3)虽然A轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B轮胎行驶的最远里程的极差和标
准差相对于A轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定．
【评析】在理解平均数、中位数、众数、极差、标准差、方差的统计意义和数学表 达式的情
况下，不难作出解答．
【考向2】平均数、标准差
【例题】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.
则(1)平均命中环数为
____________
；
(2)命中环数的标准差为
____________
．

难点2：根据频率分布直方图计算样本的数字特征
【要点解读】
会从频率分布直方图中求出中位数、平均数和众数
【考向1】中位数
【例题】如图 所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中
位数为( )

A．12.5
C．13.5
B．13
D．14

【答案】 B
【考向2】平均数
【例题】某市为了节约能源，拟出台“ 阶梯电价”制度，即制订住户月用电量的临界值
a
.若
某住户某月用电量不超过
a
度，则按平价计费；若某月用电量超过
a
度，则超出部分按议价
计费，未 超出部分按平价计费．为确定
a
的值，随机调查了该市100户的月用电量，工作人
员 已将90户的月用电量填在了下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为：
18，63 ，43，119，65，77，29，97，52，100.

组别

①

月用电量

0，20)

频数统计


频数


频率

②

③

④

⑤

⑥

20，40)

40，60)

60，80)

80，100)

100，120]

正正
正正正正
正正正正正
正正正正











(1)完成频率分布表并绘制频率分布直方图；

(2)根据已有信息，试估计全市住户的平均月用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)； (3)若该市计划让全市75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，试求临界值
a.
解] (1)

组别

①

②

③

④

⑤

⑥

月用电量

0，20)

20，40)

40，60)

60，80)

80，100)

100，120]

频数统计

频数

4

12

24

30

25

5

频率
0.04
0.12
0.24
0.30
0.25
0.05

正正

正正正正

正正正正正正

正正正正正

正


(2)由题意，用每小组的中点值代表该小组的平均月用电量，则10 0户住户组成的样本的平均
月用电量为10×0.04＋30×0.12＋50×0.24＋70×0. 30＋90×0.25＋110×0.05＝65(度)．
用样本估计总体，可知全市居民的平均月用电量约为65度．
(3)计算累计频率，可得下表：

分组

频率

累计
频率

0，20)

0.04

0.04

20，40)

0.12

0.16

40，60)

0.24

0.40

60，80)

0.30

0.70

80，100)

0.25

0.95

100，120]
0.05
1.00
由此可知临界值
a
应在区间80，100)内，且频率分布直方图 中，在临界值
a
左侧小矩形的总
面积(频率)为0.75，故有0.7＋(
a
－80)×0.012 5＝0.75，解得
a
＝84，由样本估计总体，可
得临界值
a
为84.
【趁热打铁】
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分
组
频
数
10，
20)
2
20，30) 30，40) 40，50) 50，60) 60，70)
3 4 5 4 2
则样本数据落在区间10，40)的频率为( )
A．0.35
C．0.55


B．0.45
D．0.65
2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十
分制) 如图所示，假设得分的中位数为
m
e
，众数为
m
o
，平均值 为，则( )

A．
m
e
＝
m
o
＝
C．
m
e
＜
m
o
＜


B．
m
e
＝
m
o
＜
D．
m
o
＜
m
e
＜
3．某班级有50名 学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女
生在某次数学测验中的成绩， 五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩
分别为88，93，93，88 ，93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
4．小波一星期的总开支分布如图1所 示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡

蛋开支占总开支的百分比为( )

图1

图2
A．30%
C．3%




B．10%
D．不能确定
5．从甲 乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶
图表示(如图所示) ，设甲乙两组数据的平均数分别为
甲
，
乙
，中位数分别为
m
甲
，
m
乙
，则( )

甲 乙
8 6 5 0
8 8 4 0 0 1 0 2 8
7 5 2 2 0 2 3 3 7
8 0 0 3 1 2 4 4 8
3 1 4 2 3 8
A.
甲< br><
乙
，
m
甲
>
m
乙
B．< br>甲
<
乙
，
m
甲
<
m
乙
< br>C．
甲
>
乙
，
m
甲
>
m
乙
D．
甲
>
乙
，
m
甲
<
m< br>乙

6．样本(
x
1
，
x
2
，…，
x
n
)的平均数为，样本(
y
1
，
y
2< br>，…，
y
m
)的平均数为
y
(≠
y
)，若样 本(
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，< br>y
1
，
y
2
，…，
y
m
)的平均数 ＝
α
＋(1－
α
)
y
，其中0<
α
<， 则
n
，
m
的大小关系为( )
A．
n
<
m




B．
n
>
m

D．不能确定
1
2
C．
n
＝
m

7．甲、乙两人 在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下．中间一列的数字表示零件
个数的十位数，两边的数字 表示零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平
均数分别为
________
和
________
．

甲 乙
9 8 1 9 7 1
0 1 3 2 0 2 1 4 2 4
1 1 5 3 0 2 0

8．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布 直方图，
其中平均气温的范围是20.5，26.5]，样本数据的分组为20.5，21.5)，21 .5，22.5)，22.5，
23.5)，23.5，24.5)，24.5，25.5)，25.5 ，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市
个数为11，则样本中平均气温不低于25. 5℃的城市个数为
________
．

9．为了了解高一学生的体能情况 ，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据
整理后，画出频率分布直方图(如图所示)， 图中从左到右各小长方形面积之比为
2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．
10．为了比较 两种治疗失眠症的药(分别称为
A
药，
B
药)的疗效，随机地选取20位患者 服用
A
药，20位患者服用
B
药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们 日平均增加的睡眠时间
(单位：h)，试验的观测结果如下：
服用
A
药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0
.
6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3.5 2
.
5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2.3 2.4

服用
B
药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3
.
2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1.4 1
.
6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A
药













0.
1.
2.
3.
B
药




第三章
1解：由频率 分布表可知：样本数据落在区间10，40)内的频数为2＋3＋4＝9，样本总数为
9
20， 故样本数据落在区间10，40)的频率为＝0.45.故选B.
20
179
2解：中位数为5.5，众数为5，平均值为.
30
故选D.
86＋94＋88＋92＋90
3解：这种抽样方法为简单随 机抽样，该班这五名男生成绩的平均数为＝
5
1
22222
90，方差为(8 6－90)＋(94－90)＋(88－90)＋(92－90)＋(90－90)]＝8；
5
该班这五名女生成绩的平均数为
88＋93＋93＋88＋93
＝91，
5
1
22222
方差为(88－91)＋(93－91)＋(93－91)＋ (88－91)＋(93－91)]＝6.故选C.
5

5解：易知
甲
＝21.5625，
乙
＝28.5625，
m
甲
＝20，< br>m
乙
＝29，∴
甲
＜
乙
，
m
甲＜
m
乙．
故选B.
6解：∵
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
＝
n
，
y
1< br>＋
y
2
＋…＋
y
m
＝
m
y
，
∴
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n< br>＋
y
1
＋
y
2
＋…＋
y
m
＝(
m
＋
n
)
＝(
m
＋
n
)
α
＋(1－
α
)
y
]
＝(
m
＋
n
)
α
＋(
m
＋
n
)(1－
α< br>)
y
，
∴
n
＋
m
y
＝(
m
＋
n
)
α
＋(
m
＋
n
)(1－
α
)
y
.


n
＝（
m
＋
n
）
α
，
∴



m＝（
m
＋
n
）（1－
α
）.

故n
－
m
＝(
m
＋
n
)
α
－( 1－
α
)]＝(
m
＋
n
)(2
α
－1)．
1
∵0＜
α
＜，∴2
α
－1＜0.
2
∴
n
－
m
＜0，即
n
＜
m
.故选A.
7解：设甲、乙在这10天中日加工零件的平均数分别为
a
，
b
，则
a
＝20＋
＝24，
－1－2＋0＋1＋3＋2＋0＋11＋11＋15

10
b
＝20＋
＝23.
－1－3－9＋1＋4＋2＋4＋10＋12＋10

10
故填24；23.
8解：平均气温低于22.5℃的城市所占频率为最左边两个矩形面积之和，即0.10×1＋0.12 ×1
11
＝0.22，又其频数为11，故总城市数为＝50，故样本中平均气温不低于25. 5℃的城市共
0.22
有50×0.18＝9(个)．
故填9.
9解：( 1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二
4第二小组频数< br>小组的频率为＝0.08.又因为第二小组频率＝，所以样本容
2＋4＋17＋15＋9＋3样本 容量
第二小组频数12
量＝＝＝150.
第二小组频率0.08
(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17＋15＋9＋3
×100%＝88%.
2＋4＋17＋15＋9 ＋3
(3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为 69，
前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．
10解：(1)计算得
A
＝2.3，
B
＝1.6，从计算结果来看，
A
药的疗效更好．
(2)
A
药
B
药
6 0. 5 5 6 8 9
8 5 5 2 2 1.
9 8 7 7 6 5 4 3 3
2
1 2 2 3 4 6 7 8
9
2. 1 4 5 6 7
5 2 1 0 3. 2 7
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
10
的叶集中在茎2，3上，而 B药疗效的试验
7
结果有
10
的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效 更
好．
重点列表：

重点
重点1
重点2
重点3
名称
相关关系的判断
线性回归方程有关概念
散点图
重要指数
★★★★
★★★
★★★★
重点详解
：
1．变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是
________
；与函数关
系不同，相关关系是一种
________关系，带有随机性．
2．两个变量的线性相关
(1)如果散点图中点的分布从整体上看 大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有

____________
，这条直线叫
________
．
(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右 上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系
称为
________
；如果点分布在从 左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称
为
________
.
4、 (3)相关系数
r
＝

(xx)(yy)
ii
i1
n

(xx)

(y
2
i
i1j1
nn
，当
r
＞0时，表示两个变量正相关；当
r＜0时，表示两个
j
y)
2
变量负相关．
r
的绝对值 越接近
________
，表示两个变量的线性相关性越强；
r
的绝对值越接近
________
，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当
r
的 绝对值大于0.75时，认
为两个变量具有很强的线性相关关系．
3．回归直线方程
(1)通过求
Q
＝
2
(y



x)
的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回

ii
i1n
归直线的距离的平方和最小的方法叫做
____________
．该式取最小 值时的
α
，
β
的值即分别
为，.
(2)两个具有线性相关 关系的变量的一组数据：(
x
1
，
y
1
)，(
x< br>2
，
y
2
)，…，(
x
n
，
yn
)，其回归方
ˆ
x

a
ˆ

bˆ
，则
程为
y
n

(x
i
x)( y
i
y)


ˆ
i1



b
n

(x
i
x)
2

< br>i1

ˆ
x.

ˆ
yb

a

xy
i
i1
n
n
i
nxy
nx
2
,

x
i1
2
i


【答案】
1．相关关系 非确定性
2．(1)线性相关关系 回归直线
(2)正相关 负相关
(3)1 0
3．最小二乘法

重点1：相关关系的判断
【要点解读】
在研究两个变量之间是否存 在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下
判断：
(1)如果所有的样本 点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之
间具有函数关系．
(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．
(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
【考向1】确定性关系与随机关系
【例题】下列变量之间的关系不是相关关系的是( )
．．
A．已知二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
，其中
a
，
c
是已知常数，取
b
为自变 量，因变量是这个函数
的判别式
Δ
＝
b
－4
ac

B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩施用肥料量和粮食亩产量
解：由函数关系和相关关系的定义可知，A中
Δ< br>＝
b
－4
ac
，因为
a
，
c
是已知 常数，
b
为自变
量，所以给定一个
b
的值，就有唯一确定的
Δ
与之对应，所以
Δ
与
b
之间是一种确定的关
系，是函数关 系．B，C，D中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A.
【评析】要注意函数关系与相关关系的 区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机
的、不确定的．
重点2：线性回归方程有关概念
【要点解读】
样本中心点一定在回归直线上
【考向1】样本中心点
【例题】为了考查两个变量
x
和
y
之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15
次试验，并且利用线性回归方法，求得回归 直线分别为
l
1
，
l
2
，已知两人得到的试验数据中，变量
x
的平均值都等于
s
，变量
y
的平均值都等于t
，那么下列说法正确的是( )
A．直线
l
1
和
l
2
一定有公共点(
s
，
t
)
B．直线
l
1
和
l
2
相交，但交点不一定是(
s
，
t
)
C．必有直线
l
1
∥
l
2

D．直线
l
1
和
l
2
必定重合
2
2
2

【评析】回归方程一定通过样本点的中心( ，
y
)；中心相同的样本点的回归方程不一定相同．
【考向2】线性回归直线的理解
ˆ
x

a
ˆ

b
ˆ
，那
【例题】由一组样本数据(
x
1
，
y
1
)，(
x< br>2
，
y
2
)，…，(
x
n
，
yn
)得到回归直线方程
y
么下面说法错误的是( )
．．
ˆ
x

a
ˆ

b
ˆ
必经过点(，
y
)
A．直线
y
ˆ
x

a
ˆ
< br>b
ˆ
至少经过点(
x
1
，
y
1
)， (
x
2
，
y
2
)，…，(
x
n
，
y
n
)中的一个点
B．直线
y
ˆ
x
< br>a
ˆ

b
ˆ
的斜率＝
C．直线
y

xy
i
i1
n
n
i
nxy
nx2


x
i1
2
i
ˆ
x

a
ˆ
xa
ˆ

b
ˆ
和各点(
x
1
，
y
1
)，(
x
2
，
y
2
)，…，(
x
n
，
y
n
)的偏差
< br>[y
i
(b
ˆ
)]
2
是该坐D．直线
y< br>i
i1
n
标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的
重点3：散点图
【要点解读】
根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型
【考向1】正相关与负相关 < br>【例题】(1)对变量
x
，
y
有观测数据(
x
i，
y
i
)(
i
＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u
，
v
有观测数据(
u
i
，
v
i)(
i
＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

图1
A．变量
x
与
y
正相关，
u
与v
正相关
图2

B．变量
x
与y
正相关，
u
与
v
负相关
C．变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
正相关
D．变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
负相关
解：由这 两个散点图可以判断，变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
正相关，故选C.
【评析】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相 关；点分布在从
左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关．

(2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)：
施化肥量15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(Ⅰ)将上述数据制成散点图；
(Ⅱ)你能从散点图中发现施 化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥
量的增加而增长吗？
解：(Ⅰ)散点图如下：

(Ⅱ)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关 关系，当施化肥量由小到大变化时，
水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此 施化肥量和水稻产量近
似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长， 不会一直
随化肥施用量的增加而增长．
【评析】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图 ，散点图可以直观地观察两个变量间的
关系．
【考向2】散点图的画法及相关关系识别 【例题】(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量
x
与
y
的关系依次 为
________
(正相关记
作①；负相关记作②；不相关记作③)．

(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区 年降雨量与年平均
气温的统计数据(单位分别是mm，℃)，并作了统计：
年平均气温 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05
年降
748
雨量
(Ⅰ)试画出散点图；
(Ⅱ)判断两个变量是否具有线性相关关系．
解：(Ⅰ)作出散点图如图所示．
542 507 813 574 701 432

(Ⅱ)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系．
难点列表：
难点
难点1
难点2
难点详解：
求线性回归直线方程的步骤
(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；
n
^^
－－
名称 难度指数
求回归方程及用回归方程进行估计 ★★★★
复数的模与共轭复数 ★★★★★
n
－－
(2)求系数
b
：公式有两种形式，
b
＝
i
＝1
∑ （
x
i
－
x
）（
y
i
－
y
）
ni
＝1
－
2
＝
i
＝1
∑
x
i
y
i
－
nx

y
n
2
－
2
，根据题目具体情
∑ （
x< br>i
－
x
）
i
＝1
∑
x
i
－
nx
况灵活选用；
^^－^－
(3)求
a
：
a< br>＝
y
－
bx
；
(4)写出回归直线方程．
说明： 当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式
^
的哪种形 式求
b
.
难点1：求回归方程及用回归方程进行估计
【要点解读】

(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性
时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．
(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值．
(3)用最小二乘法 求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细
小心，分层进行(最好列出表 格)，避免因计算而产生错误．
【考向1】求线性回归方程
【例题】下表提供了某厂节能降 耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
x
(吨)与相应的生
产能耗
y(吨标准煤)的几组对照数据：
x

y

(1)请画出上表数据的散点图；
3
2.5
4
3
5
4
6
4.5
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法 求出
y
关于
x
的线性回归方程；
(3)已知该厂技术改造前100 吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，
预测生产100吨甲产品的生产能耗 比技术改造前降低多少吨标准煤？
(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)散点图如下：

(2)由系数公式可知，＝4.5，
y
＝3.5，
＝
66.5－4×4.5×3.5
＝0.7，
2
86－4×4.5
＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
ˆ
＝0.7
x
＋0.35. 所以线性回归方程为
y
ˆ＝0.7
x
＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造 (3)
x
＝100时，
y
前降低19.65吨标准煤．
【评析】牢 记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，
y
，

xy
，

x
ii
i1i1
nn
2
i
;(3) 代入公
ˆ
x
求，
ˆ

y

b
式求 ，再利用
a
（4）写出回归方程.

【考向2】利用线性回归方程进行预测
【例题】从某居民区随机抽取10个家 庭，获得第
i
个家庭的月收入
x
i
（单位：千元）与月储
蓄
y
i
（单位：千元）的数据资料，算得

x
i1
10
i
=80,

y
i1
10
i
=2 0,

xy
=184,

x
ii
i1i11010
2
i
=720.
(1)求家庭的月储蓄
y
对月收入
x
的线性回归方程
y
＝
bx
＋
a
；
(2)判断变量
x
与
y
之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程
y
＝
bx
＋
a
中，
b
＝

xy
i
i1
n
n
i
nx y
nx
2
，
aybx
，

x
i 1
2
i
其中，
y
为样本平均值，线性回归方程也可写为
y< br>＝
bx
＋
a
.
解：(1)由题意知
n
＝1 0，＝
1
^^^
x
n

i1
2
i
n
i
80
＝＝8，
10
1
y
＝
nn

i1
n
20
y
i
＝＝2，又
1 0

x
i1
n
- n
2
=720 -10×8
2
=80，


xy
-
n
xy
＝184－10×8×2＝24，
ii
i1
24
由此得
b
＝＝0.3，
80
a
＝
y
－
b
＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为
y
＝0.3
x
－0.4.
(2)由于变 量
y
的值随
x
的值增加而增加(
b
＝0.3>0)，故x
与
y
之间是正相关．
(3)将
x
＝7代入回归方程 可以预测该家庭的月储蓄为
y
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
难点2：非线性相关转化为线性相关
【要点解读】
通过观察散点图，分析其函数模型，然后转化成线性相关
【考向1】非线性相关转化为线性相关
【例题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 ，需了解年宣传费
x
(单位：千元)对年
销售量
y
(单位：t)和年 利润
z
(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费
x
i
和年销售量
y
i
(
i

＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得 到下面的散点图及一些统计量的值．


(1)根据散点图判断，
y
＝
a
＋
bx
与
y
＝
c
＋
dx< br>哪一个适宜作为年销售量
y
关于年宣传费
x
的回
归方程类型？ (给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立
y
关于
x
的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润
z
与
x
，
y
的关系为
z
＝0.2
y
－
x
.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费
x
＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费
x
为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(
u
1
，
v
1
)，(
u
2
，
v< br>2
)，…，(
u
n
，
v
n
)，其回归直线< br>v
＝
α
＋
β

u
的斜率和截距
^
＝的最小二乘估计分别为
β

解题指导] 切入点：回归分析中对散点图的理解，回归方程的求法和应用；关键点：通过换
元 把非线性回归方程转化为线性回归方程求解．
解] (1)由散点图可以判断，
y
＝
c
＋
dx
适宜作为年销售量
y
关于年宣传费
x的回归方程类型．
(2)令
w
＝
x
，先建立
y
关于
w
的线性回归方程．

^^

w
＝563－68×6.8＝100.6，
c
＝
y
－d
所以
y
关于
w
的线性回归方程为
^
y
＝100.6＋68
w
，

因此
y
关于
x
的回归方程为
^
y
＝100.6＋68
x
.
(3)①由(2)知，当
x
＝49时，
^
＝100.6＋6849＝576.6， 年销售量
y
的预报值
y
年利润
z
的预报值
^
z
＝576.6×0.2－49＝66 .32.
②根据(2)的结果知，年利润
z
的预报值
^
z
＝0.2(100.6＋68
x
)－
x
＝－
x
＋13.6
x
＋20.12.
13.6
所以当
x
＝＝6.8，即x
＝46.24时，
^
z
取得最大值．
2
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
【趁热打铁】
1．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( )
A．点分布在从左下角到右上角的区域
B．散点图在某方形区域内
C．散点图在某圆形区域内
D．点分布在从左上角到右下角的区域
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线通过近似表示两者关系来估计总体的均值
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
3．下列命题：
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
其中正确的命题为( )
A．①③④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )

A．
r
2
<
r
4
<0<
r
3
<
r
1

C．
r
4<
r
2
<0<
r
3
<
r
1



B．
r
4
<
r
2
<0<r
1
<
r
3

D．
r
2
<< br>r
4
<0<
r
1
<
r
3

5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据
收集到的数 据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程
y
＝0.67
x
＋54.9.
零件数
x

加工时间
y
(min)
10
62
20
&
30
75
40
81
50
89
^
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )
A．67 B．68 C．69 D．70
6．变量
X
与
Y
相对 应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量
U
与
V
相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(1 1.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．
r
1
表示变量
Y
与
X
之间的线性相关系数，
r
2
表示变量
V
与U
之间的线性相关系数，则( )
A．
r
2
＜
r
1
＜0
C．
r
2
＜0＜
r
1



B．0＜
r
2
＜
r
1

D．
r
2
＝
r
1

7．某市物价部门对本 市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，得到售价
x
(元)
和销售量< br>y
(件)之间的一组数据如下表：

价格
x

销售量
y

9
11
9.5
10
10
8
10.5
6
11
5
ˆ
＝由散点图可知，销售量
y
与价格
x
之间有较好的线性相关关系，其线性回归 直线方程是：
y
－3.2
x
＋
a
，则
a
＝
______
．
8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.
因儿子的身高与 父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为
________
cm.
9．假设关于某种设备的使用年限
x
(年)与所支出的维修费用
y
( 万元)有如下统计资料：
x

y

2
2.2
3
3.8
4
5.5
5
6.5
6
7.0

已知

x
i1
5
2i
=90，

xy
＝112.3.
ii
i1
5
(1)求，
y
；
(2)如果
x
与
y
具有线性相关关系，求出线性回归方程；
(3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
10．某班主任为了对本班学生的月考 成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中
随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人；
(2)随机抽取8位同学的数学、物理分数对应如表：

学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数
x
60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数
y
72 77 80 84 88 90 93 95
根据上表 数据用散点图说明物理成绩
y
与数学成绩
x
之间是否具有线性相关性？如果具 有线
性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．











第四章
1解：正确的只有D选项．故选D.
2解：任两个变量均可作出 散点图，从散点图上看有相关关系的才具有分析的价值，无相关关
系的则作不出什么结论．故选C.

4解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知
r
2
<
r
4
<0<
r
3
<
r
1
，故选A.
1
^
5解：＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，由于
y
＝0. 67
x
＋54.9必过点(，
y
)，∴
y
＝0.67×30
5
＋54.9＝75，因此图表中的模糊数据为75×5－(62＋75＋81＋89)＝68 .故选B.

6解：对于变量
Y
与
X
而言，
Y
随
X
的增大而增大，故
Y
与
X
正相关；对于变量
V
与
U
而言，
V
随
U
的增大而减小，故< br>V
与
U
负相关，故
r
2
＜0＜
r
1
.故选C.
9＋9.5＋10＋10.5＋1111＋10＋8＋6＋5
7解：价格 的平均数＝＝10，销售量的平均数
y
＝＝8，
55
ˆ
＝－3.2< br>x
＋
a
知
b
＝－3.2，所以
a
＝
y
－
b
＝8＋3.2×10＝40.故填40. 由
y
8解：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高的对应数据可列表如下：
父亲的身高(
x
)
儿子的身高(
y
)
173
170
170
176
176
182
＝173，
y
＝176，∴＝

(x
i1
3
3
i< br>x)(y
i
y)
2
(xx)

i
i 1
3×6
＝
22
＝1，＝
y
－＝176－173＝3. < br>（－3）＋3
ˆ
＝
x
＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝1 85(cm)．故填185. ∴回归直线方程为
y

88
10解：(1)按 性别比例分层抽样，应选男生15×＝3(人)，选女生25×＝5(人)．
4040

(2)以数学成绩
x
为横坐标，物理成绩
y
为纵坐标作散点图如图所示．
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近， 并且在逐步上升，故物理与数学成绩线
性正相关．
ˆ
＝
bx
＋a
，根据所给的数据，可以计算出≈0.65，≈34.5， 设
y
与
x
的线性回归方程是
y
ˆ
＝0.65x＋34.5.所以y与x的回归方程是< br>y
第五章 概率
重点列表：

重点
重点1
重点2
名称
随机事件的概念
对立与互斥的概念
重要指数
★★★
★★★★
重点详解：
1．随机事件和确定事件
(1) 在条件
S
下，一定会发生的事件，叫做相对于条件
S
的
______ ______
．
(2)在条件
S
下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件
S
的
____________
．
必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件．
(3)在一定条件下可能发生也可 能不发生的事件，叫做相对于条件
S
的
__________
．
( 4)
____________
和
____________
统称为事件，一 般用大写字母
A
，
B
，
C
，…表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件
S
下重复
n
次试验， 观察某一事件
A
是否出现，称
n
次试验中事件
A
出现的次数
n
A
为事件
A
出现的
________
， 称事件
A
出现的比例
f
n
(
A
)＝
___ _____
为事件
A
出现的频率．
(2)对于给定的随机事件
A< br>，如果随着试验次数的增加，事件
A
发生的
____________f
n
(
A
)稳定
在某个常数上，把这个
____________< br>记作
P
(
A
)，称为事件
A
的
______ ______
．
(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为
____________
．
3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)

定义 符号表示