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常用体积及表面积计算公式
计算公式
名称

简 图
表面积S、
体积V
侧表面积M
正
立

方
体
长
立

方
体

圆

柱





空
心
圆
柱
（
管
）

斜
底
截
圆
柱
正
六




角
柱
正
方
角
锥
台





球

圆

锥

截
头

圆
锥

一些数学的体积和表面积计算公式3
立方图形

名称 符号 面积S和体积V
正方体 a－边长 S＝6a
2
V＝a
3

长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)

V＝abc
棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh
棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh3
棱台 S
1
和S
2
－上、下底面积
h－高 V＝h[S
1+S
2
+(S
1
S
2
)
12
]3
正棱台
拟柱体 S
1
－上底面积 S
2
－下底面积 S
0
－中截面积 h－高

V＝h(S
1
+S
2
+4S
0
)6
圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S
底
—底面积 S
侧
—侧面积 S
表
—表面积 C＝

2πr
S
底
＝πr
2
S
侧
＝Ch S
表
＝Ch+2S
底

V＝S
底
h＝πr
2
h
空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h
－高

V＝πh(R
2
-r
2
)
直圆锥 r－底半径 h－高

V＝πr
2
h3
圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高

V＝πh(R
2
＋Rr＋r
2
)3
球 r－半径 d－直径

V＝43πr
3
＝πd26
球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底
半径

V＝πh(3a
2
+h
2
)6 ＝πh
2
(3r-h)3
a
2
＝h(2r-h)
球台 r
1
和r
2
－球台上、下底半径 h－高

V＝πh[3(r
1
2
＋r
2
2
)+h
2
]6
圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－
环体截面半径 d－环体截面直径

V＝2π
2
Rr
2
＝π
2
Dd
2
4
桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－

桶高

V＝πh(2D
2
＋d
2
)12 (母线是圆弧形,圆
心是桶的中心)
V＝πh(2D
2
＋Dd＋3d
2
4)15 (母线是抛
物


我用拟柱体公式来解决一下，至于公式本身证
明需 要用到积分知识（需要同时推广牛顿－莱
布尼茨公式），不详谈：
任何立体的体积均可以归纳成：
V＝16×h×(S1+S2+4S)
S1指上表面
S2指下表面
S指高线垂直平分面

柱体：
V＝16×h×(S1+S2+4S)
V＝16×h×(S1+S1+4S1)
V＝16×h×6S
V＝Sh
锥体：
V＝16×h×(S1+S2+4S)
V＝16×h×(S24×4+S2)

V＝16×h×2S2
V＝13×S2h
球体：
V＝16×h×(S1+S2+4S)
V＝16×2r×(4S)
V＝43×Sr
V＝43兀r^3
棱台：
V＝16×h×(S1+S2+4S)
V＝16×h×
(2S 1+2S2+2sqrt(S1S2))………………………
（S的计算公式）
V＝13×h×(S1+S2+sqrt(S1S2))
圆台、球冠、球缺甚至球台都可以 套用这个公
式，计算并不复杂，建议各位都要牢牢记住。
（当然，这个公式推导过程是相当繁琐 的，有
机会我将专门证明这个公式。）

、、
长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
三角形的面积=底×高÷2
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
直径=半径×2 半径=直径÷2

圆的周长=圆周率×直径=
圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
（长×宽+长×高＋宽×高）×2
长方体的体积 =长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体（正方体、圆柱体）
的体积=底面积×高
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2
长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)
S＝ab
三角形 a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)2 S＝ah2
＝ab2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]12
＝a2sinBsinC(2sinA)

四边形 d,D－对角线长
α－对角线夹角 S＝dD2·sinα
平行四边形 a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角 S＝ah
＝absinα
菱形 a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长 S＝Dd2
＝a2sinα
梯形 a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长 S＝(a+b)h2
＝mh
圆 r－半径

d－直径 C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd24
扇形 r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a360)
S＝πr2×(a360)
弓形 l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数 S＝r22·(πα180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)r] - (r-h)(2rh-h2)12
＝παr2360 - b2·[r2-(b2)2]12
＝r(l-b)2 + bh2
≈2bh3
圆环 R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径 S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)4
椭圆 D－长轴
d－短轴 S＝πDd4
立方图形
名称 符号 面积S和体积V
正方体 a－边长 S＝6a2
V＝a3
长方体 a－长
b－宽
c－高 S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱 S－底面积
h－高 V＝Sh
棱锥 S－底面积
h－高 V＝Sh3
棱台 S1和S2－上、下底面积
h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)12]3
拟柱体 S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积
h－高 V＝h(S1+S2+4S0)6
圆柱 r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积

S侧—侧面积
S表—表面积 C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h

空心圆柱 R－外圆半径
r－内圆半径
h－高 V＝πh(R2-r2)
直圆锥 r－底半径
h－高 V＝πr2h3
圆台 r－上底半径
R－下底半径
h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)3
球 r－半径
d－直径 V＝43πr3＝πd26
球缺 h－球缺高
r－球半径
a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)6
＝πh2(3r-h)3
a2＝h(2r-h)
球台 r1和r2－球台上、下底半径
h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]6
圆环体 R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径 V＝2π2Rr2
＝π2Dd24
桶状体 D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d24)15
(母线是抛物线形)
棱台体体积计算公式：
V=（13）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）
H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。
棱台体积 V=（上底面积+下底面积+4×中截面面积）÷6×高
V＝(上口边长-0.025)(上口边宽-0.025)杯深
＝（下口边长＋0.025）(下口边宽+0.025)杯深

V=(h3)(a2+a b+b2)﹝其中a，b，h分别为正四棱台的上、下底边及高的大小）
棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h

注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。
关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因
关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因
鲁班算量2006在计算独立基础时，发现 所有的正四棱台计算正确，而计算有长边与短边的四棱台时，就不对了，
量都偏大的原因：
独立基础体积正确的计算公式为：
四棱台计算公式为(s1+s2+sqr(s1*s2))*h3,sqr(x)对x求根
或
A*B*H+h6*(AB+ab+(A+a)(B+b))其中A、B、H分别为独立基础下部长方体 的长、宽、高；a、b、h分别为四棱
台的长、宽、高，当然，A与a、B与b相对应。
用A*B*H+h6*(AB+ab+(A+a)(B+b))是偏小
实际工作中，这两种公式都有人用，结果有时是不一样.
而使用鲁班算量计算结果偏大，计 算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不一样是因为我们预算中的四梭台计
算公式是近似的计算方法， 而鲁班用的是微积分算法，结果相差很小
另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别， 其实我们算构造柱时是
按如果有两边有马牙槎的为边长上加6cm计算，鲁班算量考虑了层高的不同与马 牙槎的高
度位也考虑了（马牙槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会小，但其实鲁班算的是实
际的量）。

公式分类
公式分类 公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)
(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-b+√(b2-4ac)2a
根与系数的关系 X1+X2=-ba X1*X2=ca 注：韦达定理
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)
倍角公式 tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)
2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2 1+3+5+7+9+11+1
3+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2
=n(n+1)(2n+1)6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n
(n+1)=n(n+1)(n+2)3
正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积 S=12(c+c')h'
圆台侧面积 S=12(c+c')l=π(R+r)l 球的表面积 S=4π*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2π*h 圆锥侧面积 S=12*c*l=π*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=12*l*r
锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式 V=13*π*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π*r2h
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数列问题
1．关键提示：
一般而言，公务员考试中的数列问题仅限于数列的简单求和及其变化形式， 一般难
度不大。考生只要很好的掌握基本公式，尤其是要学会运用等差中项的相关知识解
题。
2．核心公式：
（1）等差数列通项公式 ＝ ＝
（2）等差数列求和公式 ＝ ＋ ＝
（3）等差数列中项公式，
当n为奇数时，等差中项为1项即 ， ＝ ；
当n为偶数时，等差中项为2项即 和 ，而 ＋ ＝ ；

（4）等比数列通项公式 ＝ ＝
例题1：一张考试卷共有10道题，后面的每- 道题的分值都比其前面一道题多2分。
如果这张考卷的满分为100分，那么第八道题的分值应为多少( )
A．9 B．14 C．15 D．16
解析：显然可将此题 转化为一个等差数列的问题。每道题的分值组成了一个公差d
=2的等差数列 ，显然 =100，可利用等差数列的求和公式 = ＋ 求出 ，显然代入
后可求 =1，然后根据等差数列的通项公式 = 求出 =15。
注：此题亦可通过求等差中项的方法解，即等差数列 ，当n=10时其等差中项的和
为 ＋ =100÷5=20，公差d=2，所以 =9， =11，所以 =15。
例题2：一种挥发性药 水，原来有一整瓶，第二天挥发后变为原来的1／2；第三天
变为第二天的2／3；第四天变为第三天的 3／4，请问第几天时药水还剩下1／30
瓶( )
A．5天 B．12天 C．30天 D．100天
解析：依据题意，显然可将此题变为一个有规律的数列，即第1 天剩下1，第2天
剩下12，第3天剩下13，依此下去，第30天就剩下130。
所以，答案为C。
例题3：2004年江苏A类真题
如果某一年的7月份有5个星期四，它们的日期之和为80，那么这个月的3日是
星期几
A．一 B．三 C．五 D．日
解析：设这5天分别为 ， ， ， ， ，显然这是一个公差为7的等差数列。等差
中项 ＝ ＝16。所以，则 ＝2即第一个星期四为2号，则3号为星期五。
所以，答案为C。

平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2
长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)
S＝ab
三角形 a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)2 S＝ah2
＝ab2•sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]12
＝a2sinBsinC(2sinA)
四边形 d,D－对角线长
α－对角线夹角 S＝dD2•sinα
平行四边形 a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角 S＝ah
＝absinα
菱形 a－边长
α－夹角
D－长对角线长

d－短对角线长 S＝Dd2
＝a2sinα
梯形 a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长 S＝(a+b)h2
＝mh
圆 r－半径
d－直径 C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd24
扇形 r—扇形半径
a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a360)
S＝πr2×(a360)
弓形 l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数 S＝r22•(πα180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)r] - (r-h)(2rh-h2)12
＝παr2360 - b2•[r2-(b2)2]12
＝r(l-b)2 + bh2
≈2bh3
圆环 R－外圆半径

r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径 S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)4
椭圆 D－长轴
d－短轴 S＝πDd4
立方图形
名称 符号 面积S和体积V
正方体 a－边长 S＝6a2
V＝a3
长方体 a－长
b－宽
c－高 S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱 S－底面积
h－高 V＝Sh
棱锥 S－底面积
h－高 V＝Sh3
棱台 S1和S2－上、下底面积
h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)12]3
拟柱体 S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积

h－高 V＝h(S1+S2+4S0)6
圆柱 r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积 C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h
空心圆柱 R－外圆半径
r－内圆半径
h－高 V＝πh(R2-r2)
直圆锥 r－底半径
h－高 V＝πr2h3
圆台 r－上底半径
R－下底半径
h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)3
球 r－半径
d－直径 V＝43πr3＝πd26
球缺 h－球缺高

r－球半径
a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)6
＝πh2(3r-h)3
a2＝h(2r-h)
球台 r1和r2－球台上、下底半径
h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]6
圆环体 R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径 V＝2π2Rr2
＝π2Dd24
桶状体 D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d24)15
(母线是抛物线形)
计算人体表面积的公式较多，但大多数可写成(1)或(2)的形式。
SA=cHα1Wα2
(1)
这里SA为人体表面积(m2)；H为身高(c m)；W为体重(kg)；c、α1、α2为常数项。等式两边取自然对数，可将(1)式线
性化为：
lnSA=α0+α1lnH+α2lnW
(2)
其中α0=lnc，ln为自然对数符号。
1916年由DuBois等直接测得9名观察 者的身高、体重和体表面积，采用最小变异系数法，建立了第1个公认的人体表
面积计算公式(1)，目 前仍被广泛应用。1975年Gehan和George利用Boyd等直接测量的401例身高、体重和体表面
积，应用最小二乘法拟合了(2)式〔1〕。1987年Mosteller按(1)式给出了容易记忆 的简单公式(c=160)〔2〕。1973年

Stevenson根据10例实测数据 ，提出了由身高与体重推算表面积的二元一次线性公式〔3〕，80年代赵松山等〔4，5〕
分别报道了 中国成年男女的计算公式。国内大多数教科书介绍的计算公式是：
SA= 0.035W+0.1 (W≤30)
1.05+(W-30)×0.02 (W>30)
几何体的表面积体积计算公式
圆柱体:
表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)
圆锥体:
表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh3 (r为圆锥体低圆半径,h
为其高,
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C＝4a S＝a2
长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab
三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中
s＝(a+b+c)2 S＝ah2＝ab2·sinC
a2sinBsinC(2sinA)
四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD2·sinα
平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα
菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd2＝a2sinα
梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h2＝mh
圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd24
扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a360) S＝πr2×
(a360)
弓形 l－弧长 S＝r22·(πα180-sinα)
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]12＝

b－弦长 ＝r2arccos[(r-h)r] - (r-h)(2rh-h2)12
h－矢高 ＝παr2360 - b2·[r2-(b2)2]12
r－半径 ＝r(l-b)2 + bh2
α－圆心角的度数 ≈2bh3
圆环 R－外圆半径 S＝π(R2-r2)
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径

椭圆 D－长轴
d－短轴
＝π(D2-d2)4

S＝πDd4