废品利用-幼儿园角色游戏

§4 立体图形的体积、表面积、侧面积
几何重心与转动惯量计算公式

一、 立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式

图形

a为棱长，d为对角线

体积V、表面积S、侧面积M、几何
重心G与转动惯量*J
体 积
Va
3

表面积
S6a
2

侧面积
M4a
2

对角线
d3a

a
重 心 G在对角线交点上
GQ

2

体 积
Vabh

表面积
S2(abahbh)

侧面积
M2h(ab)

对角线
da
2
b
2
h
2

重 心 G在对角线交点上
GQ
转动惯量
取长方体中心为坐标原点,坐标
轴分别平行三个棱边
1

J
x
(
b
2

h
2
)
m

12
1

J
y
(
a
2

h
2
)
m

12
1

J
z
(
a
2
< br>b
2
)
m

12
1

J
o
(
a
2

b
2

h
2
)
m

12
(当
abh
时,即为正方体的情况)
h

2

a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线



3，五.

表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重
心G与转动惯量J
体 积
VFh

表面积
S2FM

侧面积
M(abc)h

式中F为底面积
h
重 心
GQ

2
(P
、
Q分别为上下底重心)
转动惯量
对于正三棱柱(a=b=c)取G为坐标原
点,z轴与棱平行

a,b,c为边长,h为高

3
4
a
2

J
z
ah
m

4812
体 积
V
表面积
33
2
ah2.5981a
2
h

2
S 33a
2
6ah5.1962a
2
6ah

侧面积
M6ah

对角线
dh
2
4a
2

h
重 心
GQ

2
(P
、
Q分别为上下底重心)
转动惯量
取G为坐标原点,z轴与棱平行

a为底边长,h为高,d为对角线


n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高

53
4
5a
2

J
z
ah
m

812

1
体 积
VFh

3
表面积
SMF

n
侧面积
MnF'ag

2
式中F为底面积,
F'
为一侧三角形面
积

重 心
GQ










图形
h
(Q为底面的重心)
4
a,b,c,p,q,r为棱长




体积V、表面积S、侧面积M、几何重
心G与转动惯量J
体积
0r
2
q
2
a
2
1
r
2
0p
2b
2
1
1
2
V
2

qp
2< br>0c
2
1

288
2
ab
2
c2
01
11110
1
重心
GQPQ

4
(P为顶点,Q为底面的重心)





体积
V
h
(FF'FF')

3
式中
F',F
分别为上下底面积
重心
GQ
h为高




PQF2FF'3F'

4
FF'FF'
(P,Q分别为上下底重心)

hF

a'


1
a'
< br>
体 积
V


3

a

a

2





表面积
SMF'F

n
M(a'a)g
侧面积

2
a’,a分别为上下底边长,n为棱数,h为高,g为斜
式中
F',F
分别为上下底面积
高
ha
2
2a'a3a'
2
重 心
GQ

4
a
2
a'aa'
2
(P
、
Q分别为上下底重心)








图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重
心G与转动惯量J
体积
h
V[ab(aa')(bb')a'b']

6
a'bab'

a
1


bb'
PQabab'a'b3a'b'
重心
GQ

22abab'a'b2a'b'
(P,Q分别为上下底重心)



两底为矩形,a’,b’,a,b分别为上下底边长,h为

高,
a
1
为截头棱长








体积
V

hb
(2aa')

6

底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长



重心
GQ
PQaa'

22aa'
(P为上棱中点,Q为下底面重心)









4

3

3
rd0.52360d
3

36
表面积
S4

r
2

重 心 G与球心O重合
转动惯量
取球心O为坐标原点
2
J
x

J
y

J
z

r2
m

5
3

J
o

r
2
m

5
r为半径
体 积
V






图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重
心G与转动惯量J

[半球体]
体 积
V
2

r
3


d
3

312
表面积
S3

r
2

侧面积
M2

r
2

3
重 心
GOr

8
转动惯量
取球心O为坐标原点,z轴与GO重合
2

J
x

J
y

J
z

r
2
m

5
3

J
o

r
2
m

5


2
体 积
V

r
2
h2.0944r
2
h

3
表面积
S

r(2ha)


r为半径,O为球心




r为球半径,a为 弓形底圆半径,h为拱高,

为锥
2

5





J
z
r

2

1cos

cossin
2


15


2

22

角(弧度)
3
rm


3






23coscos


5h

22





体 积

r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高
63
表面积
S
(2rha
2
)

(h
2
2a
2
)

V

侧面积 (锥面部分)
M

r

3
重 心
GO(2rh)

8
转动惯量
z轴与GO重合

h(3a
2
h
2
)

h
2
(3rh)

侧面积(球面部分)
M2

rh

(a
2
h
2
)

3(2rh)
2
重 心
GO

4(3rh)

图形
[球台]
体积V、表面积S、侧面积M、几何重
心G与转动惯量J

体 积
Vh(3a
2
3a'
2
h
2
)

6
表面积
S

(2rha
2
a'
2
)

侧面积
M2

rh

2

a
2
a'
2
h
2

22


ra



2h

44
3aa'

重 心
GO

222
2h
3a3a'h
r为球半径,
a

,
a
分别为上下底圆的半径,h为
h2a
2
4a'
2
h
2
高

GQ

222
2
3a3a'h

(Q为下底圆心)








体 积
V2

Rr
22

2
4
表面积
S4

2
Rr

2
Dd

重 心 G在圆环的中心上
转动惯量
Dd
2

取圆环的中心为坐标原点,z轴垂直
于圆环所在平面

5
2
R
2


J
x
J
y



8
r
2

< br>m



3


J
z


r
2

R
2

m


4


R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d
为圆截面直径

图形
[圆柱体]
体积V、表面积S、侧面积M、几何重
心G与转动惯量J
体 积
V

r
2
h

表面积
S2

r(rh)

侧面积
M2

rh

h
重 心
GQ

2
(P,Q分别为上下底圆心)
转动惯量
取重心G为坐标原点,z轴垂直底面
1

2
h
2


r
m

J
x
J
y



4

3


r
2
m


J
z

2


r为底面半径,h为高

体 积
V

h(R
2
r
2
) 2

Rth

表面积
SM2

(R
2
r
2
)

侧面积
M2

h(Rr)4

hR

式中t为管壁厚,
R
为平均半径
h
重 心
GQ

2

转动惯量
R为外半径,r为内半径,h为高
取z轴与GQ重合
(R
2
r
2
)
m


J
z

2

体 积
Vr
2
(Hh)

2
1

表面积
SM

r
2

1



cos


D




r

rHh


2


r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度,

为
侧面积
M

r(Hh)

截角,D为截头椭圆轴
截头椭圆轴
D4r
2
(Hh)
2

22
Hhrtan


重 心
GQ
44(Hh)

2
rtan


GK
2(Hh)
(GQ为重心到底面距离,GK
为重心到轴线
OO

的距离)






图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重
心G与转动惯量J
体 积
h

V
[
a
(3
r
2
a< br>2
)

3
r
2
(
br
)
a
]

3b
hr
3

1
3




sin

sin

acos

< br>
b

3

侧面积(柱面部分)
2rh
[(
br
)

a
]


M
b



h为截段最大高度,b为底面拱高,2a为底面弦


长,r为底面半径,
2

为弧所对圆心角(弧度)






4
体 积
V

abc4.1888abc

3
重 心 G在椭球中心O上
转动惯量
取椭球中心为坐标原点,z轴与c轴重
合
1

J
x
(
b
2

c< br>2
)
m

5
1
J
y
(c
2
a
2
)m

5
1
J
z
(a
2
b
2
)m

5

a,b,c为半轴










图形

体积V、表面积S、侧面积M、几何
重心G与转动惯量J

体 积
Vr
2
h

3
表面积
S

r(rl)

侧面积
M

rl

母 线
lr
2
h
2

h
重 心
GQ

4
(Q为底圆中心,O为圆锥顶
点)
转动惯量

r为底圆半径,h为高,l为母线








取圆锥顶点为坐标原点,z轴与GQ
重合
3

r
2
2


J
x
J
y



h

m


5

4

3

J
z

r
2
m

10


体 积
V

3
表面积
SM

(R
2
r
2
)

侧面积
M

l(Rr)

h(R
2
r
2
Rr)

母 线
l(Rr)
2
h
2

圆锥高(母线交点到底圆的距离)
hr

Hh

Rr
hR
2
2Rr3r
2
重 心
GQ

4
R
2
Rrr
2
(P,Q分别为上下底圆心)

体 积
V




上下底平行,
F

,
F
分别为上,下底面积,< br>F
0
为
中截面面积,h为高






图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G
与转动惯量J
[注] 棱台、圆台、球台、圆锥、棱
柱、圆柱等都是拟棱台的特例
h
(F'F4F
0
)

6

r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线

母线为圆弧时:
体积

V

h12
(2D
2
d
2
)0.26180h(2D
2< br>d
2
)


0.08727h(2Dd)
2


母线为抛物线时:
体积


h

3

d为上,下底圆 直径,D为中截面直径,h为

V

2D
2
Ddd
2


15

4

高




0.05236
h
(8
D
2

4
Dd< br>3
d
2
)

h
重心
GQ

2
(P,Q分别为上下底圆心)


二、 多面体


图形
[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]
面数f
棱数k
顶点数e
体积V
表面积S
4
6
4

8
12
6


12
30
20
20
30
12

0.1179a
3

1.7321a
2

0.4714a
3

3.4641a
2

7.6631a
3

20.6457a
2

2.1817a
3

8.6603a
2

表中a为棱长.
ekf2

[欧拉公式] 一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足