十一法定假日-寻物启事范文

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小学奥数举一反三练习材料

六年级 上














二○一四年六月

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册

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目 录
第1讲 定义新运算ﻩ错误!未定义书签。

第２讲 简便运算（一)ﻩ错误!未定义书签。

第3讲 简便运算(二） .................................. ................... 错误!未定义书签。

第4讲 简便运算（三)ﻩ错误!未定义书签。

第5讲 简便运算（四)ﻩ错误!未定义书签。

第6讲 转化单位“１”(一) ........................................... 错误!未定义书签。

第7讲 转化单位“1”（二) .......................................... 错误!未定义书签。

第8讲 转化单位“１”(三) ......................................... 错误!未定义书签。

第9讲 设数法解题ﻩ错误!未定义书签。

第1０讲 假设法解题(一） .............................................. 错误!未定义书签。

第11讲 假设法解题（二）ﻩ错误!未定义书签。

第12讲 倒推法解题 ................................... ..................... 错误!未定义书签。

第１3讲 代数法解题 .................................................. ..... 错误!未定义书签。

第14讲 比的应用(一）ﻩ错误!未定义书签。

第１5讲 比的应用(二） .................................................. 错误!未定义书签。

第16讲 用“组合法”解工程问题 ............................... 错误!未定义书签。

第１7讲 浓度问题 .................................... ........................ 错误!未定义书签。

第１8讲 面积计算(一） .................................................. 错误!未定义书签。

第19讲 面积计算(二）ﻩ错误!未定义书签。

第2０讲 面积计算ﻩ错误!未定义书签。

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第1讲 定义新运算
一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种
运算。
解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的
计算程序,将数值代 入,转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是 一些特殊的运算符号，
如:*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前,是不适合于各
种运算定律的。
二、精讲精练
【例题1】假设a*b＝(a＋b)+（a－b),求13＊5和13*(5*４）。
【思路 导航】这题的新运算被定
义为：ａ＊b等于a和b两数之和
加上两数之差。这里的“*”就代表
一种新运算。在定义新运算中同样
规定了要先算小括号里的。因此,在1３*（5*4）中，就 要先算小括号里的（5*4）。
练习１:
１、将新运算“*”定义为:a*ｂ=(a+ｂ)×(a-b).。求27*９。
２、设a*b=ａ2+2b,那么求10*6和5＊(2*8）。
3、设a*b=3ａ－b×1２，求（25*1２）*(10*
５)。
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3△(4△6)
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26

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【例题2】设p、ｑ是两个数,规定:p△q＝4×ｑ－(p+q）÷２。求３△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算符号。
练习2：
1、设p、ｑ是两个数,规定p△q=4×ｑ-(p＋q)÷2，求５△（６△4）。
2、设p、q是两个数,规定p△q＝p２＋（p-q）×2。求30△(5△3)。
3、设Ｍ、N是两个数，规定Ｍ*Ｎ=MN+ＮM,求10*20－１4。
【例题3】如果1 ＊5=1＋11＋１１1+１1１1+１1111,2*４＝2＋22＋２2２＋
2222，３*３=３ +33＋333，4*2=4+44，那么7＊4＝__＿___＿_；2１０＊２=_
＿______ 。
【思路导航】经过观察,可以发现本题的新运
算“＊”被定义为。因此

练习3：
1、如果1＊5=１+11＋１11+11１１+１1111,２*４＝２＋22＋ 2２2＋
2222,3*3=３＋33＋３3３,……那么４*4=＿___＿___。
２、规定, 那么８*5=_＿＿___＿_。

3、如果2＊1=１２，3＊2=1３3,4＊3=1／ 444,那么(6*3）÷(2＊６）=______
＿＿。
【例题4】规定②=1×2×３，③=２×3×４ ，④=３×4×5,⑤=4×5×6，……如
果１⑥-1⑦ ＝1⑦×Ａ，那么，A是几?
【思路导航】这题的新运算被定义为：＠ =
A =（1⑥－1⑦）÷1⑦
=（1⑥－1⑦）×⑦
= ⑦⑥－1
--
=（6×7×8）（5×6×7）－1
= 1又35－1
= 35
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420

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（a－1)×a×（a+1),据此，可以求出１／⑥-１⑦ =1(５×6×7）-1（６×７×８)，
这里的分母都比较大，不易直接求出结果。根据1⑥－1⑦ =1⑦×A,可得出Ａ =
(１⑥－1⑦)÷1⑦ ＝ （1⑥-1⑦）×⑦ = ⑦⑥ -1。即
练习4：
1、规定：②＝1×2×3,③=2×３×4,④=3×4×5,⑤＝４×5×6, ……如果1／⑧-1
／⑨=1／⑨×Ａ,那么A＝___＿＿___。
2、规定:③=2×3 ×4，④=３×4×５，⑤=4×5×6,⑥=５×6×７，……如果1⑩
＋1⑾=1／⑾×□，那么□ =________。
3、如果1※2=1+２，2※３=２+3+４，……
5※6=5+6 +７+8+9+1０,那么x※3＝5４中，x=_
＿＿_____。
【例题５】设a⊙ｂ=4a－2b＋12ab,求z⊙
(4⊙１)＝３４中的未知数x。 【思路导航】先求出小括号中的４⊙1=４×4
－2×1+１2×４×1=16，再根据x⊙16＝ ４x-2×1６＋1／2×x×16 = 12x－３2，
然后解方程12ｘ-32 ＝ 34，求出x的值。列算式为
练习5：
1、设a⊙ｂ=3a-2b，已知ｘ⊙（４⊙１）=7求x。
２、对两个整数a和b定义新运算“△”:a△b＝
＼Ｆ(2a-b,(a＋b）×（ａ-ｂ))
，
求6△４＋9△8。
3、 对任意两个整数ｘ和y定于新运算,“＊”：x*y＝
错误!
（其中m是一个确定的
整 数）。如果1*２=1，那么3*12=______＿_。
4⊙1＝4×4-2×1+12×4×1＝16
x⊙16＝4x－2×16+12×x×16
＝12x－32
12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.5
--

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ﻬ
第
一、知识要点
根据算式 的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以
把一些较复杂的四则混合运算化繁 为简,化难为易。
二、精讲精练
【例题１】计算4.75-9.6３＋(8.25-1．37）
【思路导航】先去掉小括号，使４．７5和8．25相加凑整,再运用减法的性质:a-b
－ｃ = ａ－（b＋c)，使运算过程简便。所以
原式＝４．75+8.2５－９.63-1.37
=13－(９.６3+1.37)
=13-1１
=2
练习1：计算下面各题。
1、 6．73-2 又8１7+（3．27-1又9１7）
２. 7又５／9-(3.８+１又5９）-1又15
3. 14．１5-(7又７8－6又１720)－2．125
4. 13又７１3-（4又1４+３又7／1３)-0．７５
【例题2】计算3３３3８7又1／2×7９+790×６6661又14
【思路导航】可把 分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。
所以:原式＝33３3８7.5×７９+ ７90×666６1.2５
＝33338.75×７９0＋790×６6６6１．25
＝（33338.75+６666１.2５)×790
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2讲 简便运算（一）

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=100０0０×790
＝790００000
练习2：计算下面各题：
1． ３.5×1又14+125%+１又1２÷４５
2． 97５×０.25+9又3／４×76-９.75
３. 9又25×４25+4.25÷160
4． 0．9999×０.7+0.111１×2．７
【例题３】计算:３６×1.０9＋１.2×６7.3
【思路导航】此题表面看没有什么简便算法,仔细观察数的特征后可知:３6 =
１.2×30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以
原式=１．2×30×１.09+1.２×６7．３
＝1．2×（30×1.0９+1．2×67．3）
=1．2×（３２．７+67.3)
=1．2×100
=1２０
练习3:计算：
１. 4５×２.０８+1.5×３7.6
2． ５2×1１．1+2.6×７７８
3. 48×１.0８+1．2×56．8
4. 72×２.09-1.8×73．6
【例题4】计算：３又35×25又25＋３７.９×6又２5
【思路导航】虽然3又３5与6又25的和为10，但是与它们相乘的另一个因
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数不同，因此,我们不难想到把３7.9分成2５．4和１２.5两部分 。当出现12.５×６.4
时，我们又可以将6.4看成8×０.8,这样计算就简便多了。所以
原式＝3又3／５×25又25＋(25.4+1２．5)×6.4
=3又35×25又2／5＋２5．4×６.4＋１2.5×６.4
＝(３.6+６.4)×25.4+1２．５×8×0.８
＝254＋80
=334
练习4：
计算下面各题：
１、6.8×16.8+19.3×3．２
2、139×１37１3８＋137×１138
3、4．4×57．8＋45.３×5.6
【例题５】计算8１．5×15.8＋81.5×51.8＋６7.6×18.5
【思路导航】先分组提取公因数,再第二次提取公因数,使计算简便。所以
原式=81.5×(15.８＋51.８）＋6７.6×18.5
＝８1．5×６7.６+6７.6×18.5
=（81.5＋18.5）×67.6
=１00×67.６
＝67６0
练习５：
１、53．5×3５.３+53.５×43.2＋78．5×46．５
2、２35×12.1++２35×42.2－13５×54.3
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3、３.75×７35－3８×5730＋16.２×62.5
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第３讲 简便运算(二）
一、知识要点 计算过程中,我们先整体地分析算式的特点,然后进行一定的转化,创造条件运用乘
法分配律来简算 ,这种思考方法在四则运算中用处很大。
二、精讲精练
【例题1】计算:１2３4＋2３4１+3４12+41２3
【思路导航】整体观察全式,可 以发现题中的４个四位数均由数１,2,3，4组成，
且4个数字在每个数位上各出现一次，于是有
原式=1×1111＋2×1111+3×1111+4×1１1１
=（1+２＋3＋4）×11１1
=１0×1111
＝1１1１0
练习1：
１、２34５6＋34５62+456２３＋５６２3４+６２3４５
2、45678＋５6784+67８45＋7８4５６＋84５67
3、124.68＋324.68＋5２4．68＋7２4．6８+9２4.６８
【例题2】计算：2又4５×23.4＋11.1×5７.6＋6.５4×２8
【思路导航】 我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化,创造条件
运用乘法分配律来简算。所以
原式＝２.8×２3.4＋２.8×６5.4＋１１．1×８×7.2
＝２.8×（23．4+65.4）＋88．8× 7．２
=2．8×88．8+88.8×7.２
＝88.８×（2.8＋7.2)
＝88.8×１0
=８88
练习2：计算下面各题：
1、99９9９×7７778+3333３×６6666
2、34.5×76.5－345×6．42－1２3×1．４5
3、7７×13+255×999＋５10
【例题３】计算（１993×1994－1）（１９９3+1９92×１９９4）
【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1９93×1９9
--

--
４可变形为１992+1）×1９9４＝19９2×1９9４＋１９94，同时发现１994-１ =
1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以
原式＝【（１９92+１）×19９4-1】(１993＋199２×199４）
＝(1９92×１９94+199４-1）（１993+１992×19９4)
=1
练习3:计算下面各题：
1、（362+5４8×361)(362×548-１８6）
2、(1988+198９×198７）(１9８8×1989-１）
3、(2０４+58４×199１）／（1９9２×5８４―38０）―1１4３
【例题4】 有一串数1,4,9,16,2５,36……．它们是按一定的规律排列的，那么其
中第２０00个数与 2001个数相差多少？
【思路导航】这串数中第200０个数是20002，而第2001个数是２ 001２,它们
相差:20０12-2000２，即
2001２-20０02
＝2001×200０-2０0０2＋20０1
＝２000×（2001-２0０0）＋2001
＝2000＋2００1
=4０0１
练习4：计算：
1、1９９12－19902 ２、99９９2+19９99 3、999×274＋62
７4
【例题５】计算：(9又2／7＋7又29)÷（57+5／9)
【思路导航】在本题中,被 除数提取公因数65,除数提取公因数５，再把１7与1
／9的和作为一个数来参与运算,会使计算简便 得多。
原式=（6５7＋659）÷（57＋5９）
=【6５×（17＋19)】÷【5×(17+１／9)】
=６５÷5
=１3
练习5:
计算下面各题：
1、（8／9＋1又37+611）÷(311+57＋4／9）
2、(3又7／1１+1又1２１3)÷（１又5／11+1０／１3）
--

--
3、（96又637３＋36又24２5)÷（３2又2173＋12又82５）
--

--
第4讲 简便运算（三）
一、知识要点
在进行分数 运算时,除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符
号和数字特点，合理地把参加运算 的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运
算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。
二、精讲精练
【例题1】
计算：（１）
错误!
×３７ （2） 27×
错误!

（１）原式=(１-＼F（１,4５) )×37 (２） 原式＝（26+1)×
错误!

＝1×３7-＼Ｆ（1,45) ×37 ＝26×
错误!
＋
错误!

＝３７－
错误!
=15+
错误!

＝３6 ＝１５
错误!

45
8
练习１
用简便方法计算下面各题：
1.
14
×8 2． ＼F（２,２５) ×1２6
15
3． 3５×
错误!

4. ７3×
错误!
5.
错误!
×1９9９
【例题２】
计算:73
错误!
×
错误!

原式=（7２+
错误!
)×
错误!

--

--
=７2×
错误!
+
错误!
×
错误!

=9+
错误!

＝9＼Ｆ（2,1５)
练习２
计算下面各题:
1. 64＼F(1，17) ×
错误!
2. 22
错误!
×
错误!

3.
错误!
×5７
错误!
4． 41错误!
×
错误!
+５１
错误!
×
＼F（4,5)
【例题3】
计算：＼Ｆ(1,５) ×27+＼F(3,5) ×41
原式＝＼F(3，5） ×9+＼Ｆ（３,５) ×4１
=
错误!
×(9+41）
＝
错误!
×5０
=30
练习3
计算下面各题:
1.
错误!
×39+
错误!
×２７ ２.
错误!
×3５＋
错误!
×17 3.
错误!
×
5+
错误!
×5+
错误!
×１0
【例题4】
计算:
错误!
×
错误!
＋
错误!×
错误!
＋
错误!
×
错误!

--

--
原式＝ × + ×
错误!
+
错误!
×
错误!

６1３９
1 52
=(
错误!
+
错误!
+
错误!
)×
错 误!

＝
13
18
×
错误!

=
错误!

练习4
计算下面各题：
１、
错误!
×
错误!
+
错误!
×
错误!
2.
错误!
×
错误!
＋
错误!
×
错误!
+
错误!
×
错误!

3、
错误!
×79
错误!
+5０×
错误!
＋
错误!
×
错误!
４.
错误!
×
错误!
＋＼Ｆ(１,1５) ×
错误!
+
错误!
×３
错误!

【例题５】
1998
计算：(1)1６6 ÷4１ (2） １99８÷19９8
201999
解:（1)原式=（164+2
错误!
)÷41 (２)原式＝１998÷
错误!

４1
＝164÷41+ ÷４1 =1998÷
错误!

2０
1
＝４+ =1998×
1999
20

１998×200０
＝4＼Ｆ（1,20) =
错误!

练习5
计算下面各题:
1、54＼F(２，５) ÷17 2、２38÷238＼F(２38,2３9) 3、
--
1

--
１６3
错误!
÷4１
错误!

ﻬ
第
一、知识要点
5讲 简便运算(四）
前面我们介绍了运用定 律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面
再向同学们介绍怎样用拆分法(也叫裂项法、拆 项法)进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目 的。一
般地,形如
＼F(1,ａ×（a+１))
的分数可以拆成
＼F(1,ａ)
－
＼Ｆ(1,a＋１)
；形如
错误!
的
分数可以拆成

×（

-
错误!
），形如
错误!
的分数可以拆成
错误!
+
错 误!
等等。同学们可
na
1１
以结合例题思考其中的规律。
二、精讲精练
【例题1】
计算:
错误!
＋
错误!
+
错误!
+….．＋
错误!

原式=（1－＼F(1,2) ）+(
错误!
-
错 误!
）＋(
错误!
－
错误!
)+…..+ （
错误!
－
错误!
）
＝1－
错误!
+
错 误!
-
错误!
+
错误!
-
错误!
+…..+
错误!
-
错误!

＝1- ＝
１００100
练习１
计算下面各题:
1、 +
错误!
＋
错误!
+…．.+
错误!

４× ５
1
１99
2、
错误!
+
错误!
+
错误!
+
错误!
+
错误!

1
3、＼Ｆ(1,2) + +＼F(1，12) +＼F(1,2０) +
错误!
+
错误!

6
--

--
１
4、1－ +＼Ｆ(1,42） +
错误!
+
错误!

６
【例题2】
计算:＼F(１,2×4) +
错误!
+
错误!
+….．＋
错误!

原式=（＼Ｆ（2,2×4) +
错误!
+
错误!
+…..+
错误!
)×
错误!

－＼F(1，4) )+（＼F（1,4） - ）+（＼F(1，６) －＼Ｆ(1,8) )…．.
２６
＋ （
错误!
-
错误!
）】×
错误!

＝【
错 误!
－
错误!
】×
错误!
＝
错误!

练习2
计算下面各题：
1、
错误!
+
错误!
＋
错误!
+…．.+
错误!

2、
错误!
+
错误!
+
错误!
＋…．.+
错误!

３、 +
错误!
＋
错误!
+…..+
错误!

1×5
1
=【(
1１
4、
错误!
＋
错误!
+
错误!
+
错误!
+
错误!
【例题3】
1
计算：１ －
错误!
+
错误!
-
错误!
+
错误!
-
错误!

3
+ ）
８
=1
1
原式=1
错误!
-(
错误!
+< br>错误!
）+(
错误!
+
错误!
)－（
错误!
+
错误!
)＋(
错误!
＋
错误!
)－(
错误!1
３
－
错误!
-
错误!
+
错误!
＋
错误!
-
错误!
-
错误!
+
错误!
+错误!
-
错误!
－
错误!

７
8
=１－＼F(1,８) ＝
练习3
--

--
计算下面各题：
1、1
１
2
+
错误!
－
错误!
+
错误!
－
错误!
2、１
错误!
－
错误!
＋
错误!
－＼F(13，4２) +＼F(15，56)
3、
错误!
+
错误!
＋
错误!
+
错误!
+
错误!
4、6×
错误!
-
错误!
×6+
错误!
×6
【例题4】
计算:
错误!
+
错误!
+
错误!+
错误!
+
错误!
+
错误!

原式=（
错误!
＋
错误!
+
错误!
＋
错误!
＋
错 误!
+
错误!
+
错误!
)－
错误!

=1－
错误!
＝
错误!

练习4
计算下面各题：
１、
错误!
+
错误!
+
错误!
+………＋
错误!

２、
2
３
+＼F(2,9) +＼F(2，27) + +＼Ｆ(2,２4３)
81
2
3、 9.6+９９．6＋999．6+999９.６＋99９99.6
【例题5】
计算:(１＋
错误!
+
错误!
+
错误!
）×(
错误!
+
错误!
+
错误!
+
错误!
）－（1+
错误!
+
错误!
+
1１
+ ）×(
错误!
＋
错误!
+
错误!
)
4５
设１+
错误!
+
错误!
+
错误!
=a
错误!
+
错误!
+
错误!
=b
原式＝ａ×（ｂ+
错误!
）-(a+
错误!
）×b
=ab＋＼F(1,5） ａ－ab－
错误!
b
1
＝ （ａ-b)=
错误!

5
--

--
练习5
1
1、( +
错误!
+
错误!
＋
错误!
)×(
错误!
＋
错误!
+
错误!
+
错误!
)－(
错误!
+
错误!
+
错误!
＋
错误!
+
2
1
)×（
错误!
+
错误!
+
错误!
）
6
2 、(
错误!
＋
错误!
＋
错误!
＋
错误!
） ×(
错误!
＋
错误!
+
错误!
+
错误!
) -(
错误!
+
错误!
+
错误!
＋
错误!
+ ＼Ｆ(1,12) ）×（
错误!
+
错误!
+
错误!
)
3、（1+＼F(1，1999) ＋
错误!
+
错误!
）×（
错误!
+
错误!
+
错误!
+
错误!
)-(1＋< br>错误!
＋
错误!
+
错误!
+
错误!
）×(< br>错误!
+
错误!
＋
错误!
)
ﻬ
第
一、知识要点
6讲 转化单位“1”（一)
把不同的数量当作单位“１”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的ab,乙 是丙的c／d，则甲是丙的ac／ｂd；如果甲是乙的ａ／b，
则乙是甲的ｂa;如果甲的aｂ等于乙的 cd，则甲是乙的ｃｄ÷ａb=ｂcad，乙
是甲的ａb÷aｂ=ａdbｃ。
二、精讲精练
【例题1】乙数是甲数的23，丙数是乙数的45,丙数是甲数的几分之几?
23×45＝８１５
练习１：
１、乙数是甲数的3／4，丙数是乙数的35,丙数是甲数的几分之几？
2、一根管子，第一次截去全长的14，第二次截去余下的1２,两次共截去全长
的几分之几?
3、一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来
--

--
时,发现剩下的路程是他睡着前所行路程的14。想一想,剩下的路程是 全程的几分之
几？他睡着时火车行了全程的几分之几？
【例题２】修一条８000米的水渠， 第一周修了全长的14，第二周修的相当于
第一周的４５，第二周修了多少米？
解一：8００0×1４×45=16０0（米)
解二：8000×（14×4５）=１600(米)
答:第二周修了1600米。
练习2：用两种方法解答下面各题：
1、一堆黄沙30吨,第一次用去总数的１5,第二次用 去的是第一次的１又14倍,
第二次用去黄沙多少吨？
2、大象可活80年,马的寿命是大象的1２，长颈鹿的寿命是马的78,长颈鹿可
活多少年?
3、仓库里有化肥３0吨，第一次取出总数的1５，第二次取出余下的1／３，
第二次取出多少 吨？
【例题3】晶晶三天看完一本书,第一天看了全书的1４，第二天看了余下的2
／5,第 二天比第一天多看了15页,这本书共有多少页?
解： １5÷【（1－１／４）×25- １4】=３０0（页）
答:这本书有３００页。
练习3:
1、有一批货物，第一 天运了这批货物的１4，第二天运的是第一天的35，还
剩９0吨没有运。这批货物有多少吨?
２、修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的１4,第二天修了余下的
--

--
23，已知这两天共修路1200米,这条公路全长多少米？
３、加工一批零件,甲先加工了这批零件的２５,接着乙加工了余下的4９。已知
乙加工的个数比甲少２ 0０个,这批零件共有多少个?
【例题4】男生人数是女生人数的４5,女生人数是男生人数的几分之几?
解:把女生人数看作单位“1”。 1÷4／５=５4
把男生人数看作单位“１”。 5÷４＝54
练习４:
1、停车场里有小汽车的辆数是大汽车的34,大汽车的辆数是小汽车的几分之
几？
２、如果山羊的只数是绵羊的６7，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？
３、如果花布的单价是白布的1又3５倍，则白布的单价是花布的几分之几?
【例题5】甲数的１3等于乙数的1４,甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的
几倍?
解： 14÷1３=34 １３÷1／４＝1又1／3
答:甲数是乙数的３４，乙数是甲数的1又１／3。
练习５：
１、甲数的３４于乙数的２5，甲数是乙数的几分之几?乙数是甲数的几分之
几？
2 、甲数的1又２3倍等于乙数的56,甲数是乙数的几分之几?乙数是甲乙两数
和的几分之几？
３、甲数是丙数的34,乙数是丙数的２／5，甲数是乙数的几分之几?乙数是甲数
的几分之几？（想 一想:这题与第一题有什么不同？）
--

--
第7讲 转化单位“1”(二）
一、知识要点
我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量 关系的实质，又可拓展我
们的解题思路,提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例 题1】甲数是乙数的２／3,乙数是丙数的３4,甲、乙、丙的和是216,甲、乙、
丙各是多少?
解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的34×2／3=12,
丙：21６÷（1+３4+34×23）＝96 乙：96×3／4=７2 甲:７2×
２／3＝４8
解法二:可将“乙数是丙数的34”转化成“丙数是乙数的43”,把乙数看作单位
“１”。 乙:216÷(23+1＋４3）=72 甲：７2×23＝4８ 丙：72÷
3４=96
解法三：将条件“甲数是乙数的２３”转化为“乙数是甲数的３2”, 再将条件
“乙数是丙数的34”转化为“丙数是乙数的4／3”,以甲数为单位“１”。
甲:２16÷(1+32＋32×43)＝4８ 乙：48×3２=72 丙：72×43＝
96
答：甲数是48,乙数是72，丙数是96。
练习1：下面各题怎样计算简便就怎样计算：
1、甲数是乙数的56,乙数是丙数的34,甲 、乙、丙三个数的和是152,甲、乙、
丙三个数各是多少？
2、橘子的千克数是苹果的２3,香蕉的千克数是橘子的12,香蕉和苹果共有2２
--

--
０千克，橘子有多少千克？
3、某中学的初中部三个年级中， 初一的学生数是初二学生数的9／10，初二的
学生数是初三学生数的1又1／4倍，这个学校里初三的 学生数占初中部学生数的几
分之几?
【例题2】红、黄、蓝气球共有62只,其中红气球的3 ／5等于黄气球的２／３,
蓝气球有２４只，红气球和黄气球各有多少只?
解法一:将条件“ 红气球的35等于黄气球的2３”转化为“黄气球的只数是红
气球的(35÷2／3）=91０”。先求 红气球的只数,再求出黄气球的只数。
红气球：（62－24）÷(１+3／5÷23)＝2０(只） 黄气球:62-24－20＝１8(只）
解法二：将条件“红气球的3／5等于黄气球的2／３”转化 为“红气球的只数
是黄气球的(23÷3／5)＝109”。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。
黄气球:(62-２4）÷（1＋23÷3５）＝１８（只) 红气球：62－２4-１８＝2
０(只)
答：红气球有20只,黄气球有１8只。
练习２：
1、甲数的2／３等于乙数的56,甲、乙两数的和是１６2,甲、乙两数各是多少？
2、今 年8月份，甲所得的奖金比乙少2０0元，甲得的奖金的2３正好是乙得
奖金的47，甲、乙两人各得奖 金多少元?
3、商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的１／４等于苹果重量的
１／3，梨子的重量是20０千克。香蕉和苹果各多少千克？
【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数 的2５，甲校的女生数是甲校学生数的
31０,乙校的男生数是乙校学生数的2150,那么两校女生总 数占两校学生总数的几
--

--
分之几？
解法一：把乙 校学生数看作单位“1”。【25×3１0+（１-2150）】÷（1+2５）
=1／2
解法二:把甲校学生数看作单位“1”。 (52－5／2×２15０+３／１0）÷(１+５
2）=1／2
答:甲、乙两校女生总数占两校学生总数的12。
练习３：
1、在一座城市中,中 学生数是居民的１／5，大学生是中学生数的1４,那么占大
学生总数的25的理工科大学生是居民数的 几分之几？
2、某人在一次选举中,需34的选票才能当选,计算2／3的选票后，他得到的选
票已达到当选票数的５／6,他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？
3、某校有3５的学生是男 生,男生的1／20想当医生,全校想当医生的学生的34
是男生，那么全校女生的几分之几想当医生?
【例题4】仓库里的大米和面粉共有20０0袋。大米运走２／5,面粉运作１１
０后，仓库里 剩下大米和面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？
解法一:将大米的袋数看作单位“1”
(１-２5)÷（１－110)=23 ２000÷（１＋23)＝1200(袋） 2000－1200＝8０
0（袋)
解法二:将面粉的袋数看作单位“1”
(1－1１０)÷（1－２／5）＝３2 20００÷（1+３／2）＝8０0(袋） 20０0－
800=12０0（袋）
答:大米原有1２00袋，面粉原有800袋。
--

--
练习4:
1、甲、乙两人各准备加工零件若干 个,当甲完成自己的２３、乙完成自己的1／
4时，两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了7０个, 甲、乙两人各准备加工多少
个零件?
2、一批水果四天卖完。第一天卖出１8０千克，第二天 卖出余下的２7，第三、
四天共卖出这批水果的一半,这批水果有多少千克？
3、甲、乙两人 合打一篇书稿,共有1050０字。如果甲增加他的任务的２0%,乙减
少他的任务的2０%，那么甲打 的字数就是乙的２倍,问两人原来的任务各是多少?
【例题５】400名学生参加植树活动,计划每个 男生植树２0棵，每个女生植树
15棵。除抽出２5％的男生搞卫生外,其他的同学都按计划完成了植树 任务。问共植树
多少棵？
解: ２0×（1-2５％)×400
=２0×0.7５×40０
=6000（棵）
答:共植树6000棵。
练习5：
1、有一块菜地和一块麦地,菜地的一半和麦地的1／３放在一起是13公顷，麦地
的一半和菜地的1３放在一起是1２公顷,那么,菜地有多少公顷？
２、师徒两人加工同样多 的零件,师傅要1０分钟,徒弟要１８分钟。两人共同加工
零件1６8个，如果要在相同的时间内完成, 两人各应加工零件多少个？
3、有5元和2元的人民币若干张,其金额之比为１５：4。如果5元人民 币减少
6张,则两种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少?
--

--
ﻬ
第
一、知识要点
解答较复杂的分数应用题 时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作
单位“１”,将已知条件进行转化，找出所求数量 相当于单位“1”的几分之几，再列
式解答。
二、精讲精练
【例题1】有两筐梨。 乙筐是甲筐的3／5,从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙
筐的梨是甲筐的79。甲、乙两筐梨共重多少 千克？
解：5÷(5／（5+3)－9（7+９））＝80(千克)
答：甲、乙两筐梨共重80千克。
练习1：
1、某小学低年级原有少先队员是非少 先队员的13,后来又有39名同学加入少
先队组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的78。低年 级有学生多少人?
２、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的11９,后来从合格产品中又< br>发现了2个不合格产品，这时算出产品的合格率是9４%。合格产品共有多少个?
３、某校六年 级上学期男生占总人数的54%,本学期转进３名女生,转走3名男生，
这时女生占总人数的４8％。现 在有男生多少人？
【例题２】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的38。后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的７１2。这个学校现有长、短跳绳
的总数是多少根 ？
解法一：根据短跳绳的根数没有变，我们把短跳绳看作单位“1”。可以得出原来
的长跳绳 根数占短跳绳根数的３／（８-3)，后来长跳绳是短跳绳的７（12-７）。这
--
8讲 转化单位“1”(三）

--
样就找到了20根长跳绳相当于短跳绳的（7（ 12－7)－3(8-3)),从而求出短跳绳的
根数。再用短跳绳的根数除以(1-712)就可以求 出这个学校现有跳绳的总数。即
20÷【７／(1２-7)-3(8-3)】÷（1-7／12）=６0（根)
解法二:把短 跳绳看作单位“１”，原来的总数是短跳绳的8(８-3)，后来的总数
是短跳绳的１２(12-7)。 所以 20÷（１2（12-7）－８／（８-３))÷（1－7／1２）
＝6０（根)
答：这个学校现有长、短跳绳的总数是60根。
练习2：
1、阅览室看书的同学中 ,女同学占３5，从阅览室走出5位女同学后,看数的同学
中，女同学占4／7,原来阅览室一共有多少 名同学在看书？
2、一堆什锦糖,其中奶糖占4５％，再放入16千克其他糖后,奶糖只占25％,这 堆
糖中有奶糖多少千克?
3、数学课外兴趣小组,上学期男生占5９,这学期增加2１名女生 后,男生就只占
2５了,这个小组现有女生多少人?
【例题3】有两段布,一段布长40米， 另一段长30米，把两段布都用去同样长
的一部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度 的3／5，每段布用
去多少米?
解: 40-(４0-3０)÷（1－3５)=15（米）
答：每段布用去１5米。
练习３: < br>1、有两根塑料绳，一根长80米,另一根长4０米,如果从两根上各剪去同样长的
一段后,短绳 剩下的长度是长绳剩下的２7,两根绳各剪去多少米？
--

--
２、今年父亲40岁,儿子１２岁,当儿子的年龄是父亲的512时,儿子多少岁？
3、仓库 里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库
里所剩的大米袋数时面粉的３ ４，仓库里原有大米和面粉各多少袋？
4、甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑１2０0米长的一段公路， 甲队筑的路时其他
三个队的12,乙队筑的路时其他三个队的1／３，丙队筑的路时其他三个队的14,
丁队筑了多少米?
【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共６30台，其中黑白电视机占1 5，后
来又运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的３0％，问:又运进
黑 白电视机多少台？
解： 630×(１-１5）÷(１-30％)-6３0＝9０(台)
答：又运进黑白电视机90台。
练习4:
1、书店运来科技书和文艺书共240包 ,科技书占16。后来又运来一批科技书，
这时科技书占两种书总和的3／１1，现在两种书各有多少包 ?
2、某市派出60名选手参加田径比赛,其中女选手占１／4，正式比赛时,有几名女
选手 因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的2／11。问:正式参赛的女选手有多
少人?
3 、把12千克的盐溶解于120千克水中,得到132千克盐水,如果要使盐水中含盐
８％，要往盐水中 加盐还是加水？加多少千克？
4、东风水果店上午运进梨和苹果共10２0千克，其中梨占水果总数的 1５；下
午又运进梨若干千克,这时梨占两种水果总数的２５，下午运进梨多少千克？
【例题5】一堆煤,运走的比总数的25多120吨，剩下的比运走的56多60吨,
--

--
这堆煤原有多少吨?
解: （120+120×56＋60）÷（1―25―2／５×56)＝1050(吨)
答：这堆煤原有1050吨。
练习5:
1、修一条路，第一天修了全长的２／５多 ６0米，第二天修的长度比第一天的
34多3５米,还剩１０0米没有修，这条路全长多少米?
2、修一条路,第一天修了全长的2／5多6０米,第二天修的长度比第一天的3／4
少３５米,这两 天共修路420米，这条路全长多少米？
３、某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的２5，第二天 修了剩下部分的５
9又2０米,第三天修的是第一天的14又３0米,这样，正好修完，这段公路全长多
少米？
--

--
第9讲 设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中,常常会遇到一些看起来缺少条件的题目,按常规解法似乎无
解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响,这时就可以采用“设
数代入法 ”,即对题目中“缺少”的条件,随便假设一个数代入（当然假设的这个数要
尽量的方便计算）,然后求 出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△=□□□,△☆=□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。
解： 由第一个等式可以设△=3，□=２，代入第二式得☆＝５，再代入第三式左
边是1２，所以右边括号内应填4。
说明:本题如果不用设数代入法,直接用图形互相代换，显然要多费周折。
练习1：
1、已知△=○○□□,△○=□□,☆＝□□□，问△□☆=（ )个○。
2、五个人比较 身高，甲比乙高3厘米,乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米,丁比
戊矮5厘米,甲与戊谁高，高几厘米 ？
3、甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运６０吨到乙仓库，从乙仓
库运45吨 到丙仓库,从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个
最少?最多的比最少的多多少 吨？
【例题２】足球门票1５元一张，降价后观众增加一倍,收入增加15,问一张门票
降价 多少元？
【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我
们可 以随便假设一个观众数。为了方便,假设原来只有一个观众，收入为1５元，那么
--

--
降价后有两个观众，收入为１５×（１+1／5)=１８元,则降价后每 张票价为18÷2=9
元,每张票降价15－９=6元。即:
1５-１５×（1+15)÷2＝６(元)
答:每张票降价6元。
说明：如果设原来有a名观众,则每张票降价：
15-１５a×(1+１／５）÷2a＝6（元）
练习2：
1、某班一次考试,平 均分为7０分,其中34及格,及格的同学平均分为80分，那
么不及格的同学平均分是多少分? 2、游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30%，又来了一批学生后,学生总数增
加了2０％，小 学生占学生总数的4０%,小学生增加百分之几?
3、五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二 班的女生人数相等,三班的男
生是全部男生的2／5,全部女生人数占全年级人数的几分之几？
【例题３】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山,每分钟跑200米，再
从原路下山,每分钟 跑2４0米,又从原路上山,每分钟跑150米,再从原路下山，每分钟
跑2０0米，求小王的平均速度 。
【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是１2０0，设一个单程是12０0米。
则
（1）四个单程的和：12０0×4＝48０0（米)
(2)四个单程的时间分别是；
１200÷2０0＝６（分)
１20０÷2４0=5(分）
--

--
12０0÷１５0＝8(分）
1200÷２00=6(分）
(3）小王的平均速度为：
４８０0÷(6＋５＋８+6)=192(米）
答：小王的平均速度是每分钟192米。
练习3：
１、小华上山的速度是每小时３ 千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又
沿原路下山的平均速度。
2、张师傅骑自行车 往返Ａ、B两地。去时每小时行１5千米,返回时因逆风，每
小时只行10千米，张师傅往返途中的平均 速度是每小时多少千米?
3、小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时 每小
时行４2千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？
【例题４】某幼儿园中班 的小朋友平均身高1１5厘米,其中男孩比女孩多１5,
女孩平均身高比男孩高１０％，这个班男孩平均 身高是多少？
【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人,则男孩有6
人。
(1)总身高:115×【５+５×（1＋１5）】＝1265(厘米）
（2）由于女孩平均 身高是男孩的(１+10％)，所以５个女孩的身高相当于5×（１
+10％)=5.５个男孩的身高， 因此男孩的平均身高为:
１2６5÷【（1＋１0%）×5+6】=１10(厘米）
答:这个班男孩平均身高是110厘米。
练习4：
--

--
1、某班男生人数是女生的23,男生平均身高为13８厘米，全班平均 身高为132
厘米。问:女生平均身高是多少厘米?
２、某班男生人数是女生的45，女生的 平均身高比男生高１5%,全班的平均身
高是1３0厘米,求男、女生的平均身高各是多少？
3、一个长方形每边增加１0％，那么它的周长增加百分之几?它的面积增加百分
之几？ 【例题5】狗跑５步的时间马跑３步,马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出
30米，马开始追它 。问狗再跑多远，马可以追到它?
【思路导航】马跑一步的距离不知道,跑３步的时间也不知道，可取 具体数值,并
不影响解题结果。
设马跑一步为７,则狗跑一步为4，再设马跑３步的时间为１ ，则狗跑5步的时间
为1，推知狗的速度为20,马的速度为2１。那么,
20×【3０÷（2１-２0）】=6０0(米）
练习５:
１、猎狗前面26步远 的地方有一野兔,猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，
但兔跑９步的距离仅等于狗跑4步的距离。问 兔跑几步后，被狗抓获？
2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米,猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2步
的时间兔子跑3步,猎狗跑４步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远,猎狗
可以 追到它？
3、狗和兔同时从A地跑向B地,狗跑3步的距离等于兔跑５步的距离,而狗跑2
步 的时间等于兔跑3步的时间,狗跑600步到达B地,这时兔还要跑多少步才能到达B
地？
--

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ﻬ
第
一、知识要点
假设法解 体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合
推算。有些题目用假设法思考,能 找到巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假
设某个量的分率与另一个量的分率一样,再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最
后依据它 与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14与乙数的1５的和是42，求两数各是
多少? 【思路导航】假设将题中“甲数的１4”、“乙数的15”与“和为4２”同时扩
大4倍，则变成了 “甲数与乙数的45的和为１６8”,再用１85减去168就是乙数
的15。
解: 乙：（1８5－42×4）÷（1-15×4)＝85
答：甲数是100,乙数是85。
练习1：
1、甲、乙两人共有钱1５0元,甲的1／2与乙的1／10的钱数和是３５元,求 甲、
乙两人各有多少元钱？
2、甲、乙两个消防队共有３３8人。抽调甲队人数的17，乙队 人数的1／3,共
抽调7８人,甲、乙两个消防队原来各有多少人？
３、海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥,已知四月份完成总数的1３多50吨,
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10讲 假设法解题(一)

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五月份完成总数的25少７0吨，还有420吨没完成,第二季度原计划生产多少吨?
【例题２】
彩色电视机和黑白电视机共2５0台。如果彩色电视机卖出１9,则比黑白电视机
多5台。问:两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】从图中可以看出：假设黑白电视机增 加5台,就和彩色电视机卖出
19后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后,相当于彩色电视机的（1-１9)= 89。
(250＋5)÷(1+１-１9)＝13５(台)
2５0-125=1１５(台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。
练习2：
1、姐妹俩养 兔12０只,如果姐姐卖掉1／7,还比妹妹多10只,姐姐和妹妹各养了
多少只兔?
２、学 校有篮球和足球共21个，篮球借出1／3后,比足球少1个，原来篮球和
足球各有多少个?
3、小明甲养的鸡和鸭共有１０0只,如果将鸡卖掉1２0，还比鸭多1７只,小明
家原来养的鸡和鸭各 有多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的38与
徒弟加工零件个数的47的和为4９个，师、徒各加工零件多少个?
【思路导航】假设师、徒两人都完 成了4／7，一个能完成（105×47）=60个,
和实际相差（６０-49)＝1１个,这１1个就 是师傅完成将零件的38与完成加工零件
的47相差的个数。这样就可以求出师傅加工了【11÷（４7 －3／８）】=56个。即:
--

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师傅:（105×4７－49）÷（47－38）=5６（个）
徒弟：105－56＝49（个)
答:师傅加工了56个，徒弟加工了４9个。
练习3：
1、某商店有彩色电视机和黑白电视机共1３6台，卖出彩色电视机的2５和黑白电视机的37,共卖出57台。问:原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台?
2、甲、乙两个 消防队共有3３６人，抽调甲队人数的5７、乙队人数的37,共
抽调１８8人参加灭火。问：甲、乙两 个消防队原来各有多少人？
3、学校买来足球和排球共64个,从中借出排球个数的14和足球个数的 1／３
后,还剩下４6个，买来排球和足球各是多少个？
【例题4】甲、乙两数的和是300 ,甲数的２5比乙数的１／4多５5，甲、乙两
数各是多少?
【思路导航】甲数的2／5与乙 数的２／5的和就是甲、乙两数的２５，是300
×2／5＝12０,因为甲数的25比乙数的14多5 5,所以从1２0中减去5５所得的差
就可以看成是乙数的14与乙数的２5的和。
乙：(３00×2／５-55）÷（２／5＋1４)=1０0
甲:300-１0０＝２00
答:甲数是2００,乙数是100。
练习4:
1、畜牧场有绵羊、山羊共800只 ，山羊的2／5比绵羊的12多５0只,这个畜
牧场有山羊、绵羊各多少只?
2、师傅和徒弟共加工零件84０个，师傅加工零件的个数的5／8比徒弟加工零
--

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件个数的23多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个?
3、 某校六年级甲、乙两个班共种100棵树,乙班种的110比甲班种的13少16
棵，两个班各种多少棵 ?
【例题５】育红小学上学期共有学生７50人,本学期男学生增加16，女学生减
少15, 共有710人,本学期男、女学生各有多少人?
【思路导航】假设本学期女学生不是减少15,而是增 加16,半学期应该有7５０
×(1＋16）=８７５人,比实际多875-７10=1６5人，这１6 ５人是假设女学生也增
加16多出的人数，而实际女学生减少1／5,所以,这1６5人对应着女学生的 （1５
＋16）＝1１30。
上学期女生:【７50×（１＋16)－710】÷(15+1６）=４50（人)
本学期女生:45０×（1－15)=3６０(人）
本学期男生:710－３６０＝350(人)
答：本学期男学生有3５0人，女学生有360人。
练习５：
1、金放在水里称, 重量减轻１１9,银放在水里称,重量减少11０,一块重77０克
的金银合金,放在水里称是72０克 ，这块合金含金、银各多少克?
2、某中学去年共招新生475人,今年共招新生6４0人，其中初中 招的新生比去
年增加48%,高中招的新生比去年增加２0％,今年初、高中各招收新生多少人? < br>3、袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加３／8,黄球减少２５后,红球与
黄球的总数 变为1２1个。原来袋子里有红球和黄球各多少个?
ﻬ
第
一、知识要点
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11讲 假设法解题（二)

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已知甲是乙的几分 之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系,
要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题 称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中
的数量关系比较复杂,但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设,找
出变化前后的 相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量,其他要
求的量就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝，第一根长度是第二根的３倍，两根各用去6米,第一根剩 下
的长度是第二根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米?
【思路导航】假设第一根用去6 ×３=1８米,那么第一根剩下的长度仍是第二根剩
下长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去(6 ×3－6）=1２米,也就多剩下第二
根剩下的长度的(5－３）＝2倍。
(6×3－３)÷（５－3）＋6＝12（米）
答:第二根原来有12米。ﻩ
练习1：
１、丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书的本数是王阳的10倍,两人原来各有书多少本？
2、在植树劳动中,光明中学植树的棵数是 光明小学的3倍，如果中学增加45０棵，
小学增加40０棵,则中学是小学的２倍。求中、小学原来各 植树多少棵?
３、两堆煤，第一堆是第二堆的2倍,第一堆用去８吨，第二堆用去１1吨，第一
堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
【例题２】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6．４0元，若两个人各
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买了一本4．40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍,陈刚原来有零花钱多少元？
【思 路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.４0元,则王明要相应地花
去４.4０×3 ＝1３ .20元，但王明只花去了４.40元，比13.20元少１３.2０-
４．40=8．80元，那么王 明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3倍多６.40＋8.8０
=15.20元,而题中已告诉:买书后王 明的钱是陈刚的８倍，所以，1５．２0元就对应
着陈刚花钱后剩下钱的8－3=5倍。
【6.40+(4.40×3-４.40】÷(８-3)+4.40＝7．４4(元)
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1、甲书架上的书比乙书架上的３倍 多50本，若甲、乙两个书架上各增加１50
本,则甲书架上的书是乙书架上的2倍,甲、乙两个书架原 来各有多少本书?
2、上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的２倍多54人，本学年马村中学< br>增加了20人，牛庄小学减少了8人,则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少
26人,上学 年马村中学和牛庄小学各有学生多少人?
３、箱子里有红、白两种玻璃球,红球比白球的3倍多2粒, 每次从箱子里取出７
粒白球和15粒红球,若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球,那么,箱子里 白球原
有多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的12,两人各买５枝后,小红的彩笔枝 数是小刚
的23，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔 仍为小刚的12，则小红只需买
（5×12)=２又12枝,但实际上小红买了5枝,多买了5-2又1 2=2又1／２ 枝。
将小刚买了5枝后的枝数看作“１”，小红多买了2又1／2 ，相当于（2／３－1／
--

--
2）=1／6。
小刚原来：(5－5×1２）÷（２３-12）－5=10(枝)
小红原来:10×1／2＝5（枝)
答：小刚原来有彩笔10枝,小红原来有彩笔５枝。
练习３:
1、小华今年的年龄是爸爸年龄的16，四年后小华的年龄是爸爸的14,求小华< br>和爸爸今年的年龄各是多少岁?
2、小红今年的年龄是妈妈的3／８，１０年后小红的年龄是妈妈的12,小红今
年多少岁？
３、甲书架上的书是乙书架上的5／７，甲、乙两个书架上各增加9０本后，甲
书架上的书是乙 书架上的4／5,甲、乙两各书架原来各有多少本书？
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的４5， 两人各捐给“希望工程”１0本
后,则王芳的图书的本数是李卫的710,两人原来各有图书多少本？
【思路导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的4５,则王芳只需捐
1０×4５＝ ８本,实际王芳捐了10本，多捐了10-8＝2本,将李卫捐书后剩下的图书
看作“1”，着２本书相 当于45-710=1／１0。
（１0－1０×45)÷（45-71０)＝３0（本）
30×４／5＝24(本)
答:李卫原有图书30本,王芳原有图书２4本。
练习４：
1、甲书架上的书是乙书架上的45，从这两个书架上各借出112本后，甲书架< br>上的书是乙书架上的4／７，原来甲、乙两个书架上各有多少本书?
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2、小明今年的年龄是爸爸的６１1,10年前小明的年龄是爸爸的4／ 9，小明和
爸爸今年各多少岁？
3、甲车间的工人是乙车间的１／４,从甲、乙两个车间各抽 出30人后，甲车间
的工人只占乙车间的１６,甲、乙两个车间原来各有多少名工人?
【例题 5】某校六年级男生人数是女生的２3，后来转进２名男生，转走３名女
生,这时男生人数是女生的34 ,现在男、女生各有多少人?
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的2／3,则男生 应转走3
×23=2人,实际上男生却转进2人,与应转走2人相差2+2＝４人。将转走3名女生后的女生人数看作“1”,则相差的４人相当于现在女生的3４－2／３。
（2＋3×２3）÷（34－2３)＝４８(人）
48×34=36（人)
答:现在男生有3６人,女生有48人。
练习５:
1、甲车间的工人是乙车间的2 ５，后来甲车间增加20人,乙车间减少3５人，
这样甲车间的人数是乙车间的7／９，现在甲、乙两个 车间各有多少人?
2、有一堆棋子,黑子是白子的23，现在取走1２粒黑子，添上１8粒白子后，< br>黑子是白子的5／12,现在白子、黑子各有多少粒？
3、爱华小学和曙光小学的同学参加小学 数学竞赛,去年的比赛中,爱华小学得一等
奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得 一等奖的人数减少了1人，
曙光小学增加了6人,这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校 去年的
一等奖的同学各有多少人？
--

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ﻬ
第１２讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法,顺 着题目的条件一步一步地列出算式求解,过程比
较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运 用加与减、乘与除之间的互
逆关系，从后到前一步一步地推算,这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书,小明第一天看了全书的1／３，第二天看了余下的3／ ５,
还剩下4８页,这本书共有多少页?
【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它 占余下的1-35=25。第一
天看后还剩下48÷25＝１２0页，这12０页占全书的1－13=2 3,这本书共有1２
0÷23＝18０页。即
48÷（１-3５)÷(1－13)＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1：
1、某班少先队员参加劳动,其中３7的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场,
还剩１2人打扫教室,这个班共有多少名少先队员？
2、一辆汽车从甲地出发,第一天走了全 程的3／8,第二天走了余下的23,第三天
走了2５0千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米 ？
3、把一堆苹果分给四个人,甲拿走了其中的16,乙拿走了余下的２5,丙拿走这时
所剩 的３４，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下
的27 ,还剩５０0米，这段公路全长多少米？
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【思路导航】 从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1-27=57,第一天
修后还剩５00÷５7＝70 0米,如果第一天正好修全长的1５,还余下7０0+10０＝
800米,这８00米占全长的1-15 ＝45,这段路全长８０0÷４5=1００0米。列式为:
【500÷（1-27）+100】÷（１－1５)=10０0米
答：这段公路全长1００0米。
练习2：
1、一堆煤,上午运走2／7,下午运的 比余下的13还多６吨，最后剩下14吨还没
有运走，这堆煤原有多少吨?
２、用拖拉机耕一 块地,第一天耕了这块地的13又2公顷,第二天耕的比余下的
12多3公顷,还剩下35公顷，这块地 共有多少公顷?
３、一批水泥，第一天用去了１２多１吨，第二天用去了余下1３少2吨，还
剩下16吨，原来这批水泥有多少吨?
【例题3】有甲、乙两桶油,从甲桶中倒出1３给乙桶后,又从 乙桶中倒出15给
甲桶，这时两桶油各有２４千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【 思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×２)＝4８千克,当乙
桶没有倒出１5给甲 桶时，乙桶内有油24÷（１－15)＝3０千克,这时甲桶内只有
48-３0＝18千克，而甲桶已倒 出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－１
／3）＝27千克,乙桶原有的油为48-27＝ ２１千克。
甲：【２４×2－2４÷(１-１5)】÷（1－13）＝27（千克)
乙:2４×2－27＝21(千克）
答：甲桶原有油27千克,乙桶原有油21千克。
练习3:
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1、小华拿出自己的画片的1／5给 小强，小强再从自己现有的画片中拿出1／4
给小华，这时两人各有画片12张,原来两人各有画片多少 张?
2、甲、乙两人各有人民币若干元,甲拿出1５给乙后，乙又拿出1／4给甲，这
时他们 各有９０元,他们原来各有多少元?
3、一瓶酒精,第一次倒出１3，然后倒回瓶中40克，第二次再 倒出瓶中酒精的
59，第三次倒出180克,瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？
【 例题4】甲、乙、丙三人共有人民币16８元,第一次甲拿出与乙相同的钱数给
乙;第二次乙拿出与丙相 同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，
甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙 多多少元钱?
【思路导航】根据题意，由最后甲钱数是168÷3=56元可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后,甲剩下的钱是56÷2=２8元,这28元就是原来甲比乙多的钱
数。
1６8÷３÷2=28元
答：原来甲比乙多2８元。
练习４:
１、甲、 乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班,
再从乙班调出与丙班相同的人 数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲
班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比 乙班多多少人?
2、甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球,从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后,三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？
３、甲、乙、丙三个 仓库面粉袋数的比是６：９:５,如果从乙仓库拿出４00袋平
均分给甲、丙两仓库,则甲、乙两个仓库 的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋?
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 14到乙仓库后，又
从乙仓库运出1４到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食
是乙仓库的几分之几?
--

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【思路导航】解题关键 是把两个仓库粮食的和看作“1”,由题意可知,从乙仓库运
出1／4到甲仓库,乙仓库最后占两仓库和 的1２。
①当乙仓库没有往甲仓库运时,乙仓库占两仓库和的几分之几?
1２÷(１－1／4）=2３
②甲仓库占两仓库和的几分之几?
1-2３=1／３
③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
1３÷（1－14）＝49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几?
4÷（９－4)=4／５
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的４５。
练习5：
１、甲、乙两个仓库各有粮食若 干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓
库运出13到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等 。原来甲仓库的粮食是乙仓
库的几分之几?
２、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运 出１／5到乙仓库后，又从乙
仓库运出１4到甲仓库,这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的 粮食是乙
仓库的几分之几？
3、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨,从甲仓库运出13到乙仓库 后，又从乙仓库
运出25到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的9／10。原来甲仓库的粮食是乙仓< br>库的几分之几?
ﻬ
第
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数 应用题，用算术方法解答比较繁、难,甚至无法列
式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多1２个，
乙种零件全部合格，甲种零件只有4５合格，两种零件合格的共有４2个，两种零件
--
13讲 代数法解题

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个生产了多少个?
【思路导航 】本体用算术方法解有一定难度,可以根据两种零件合格的一共有42
个,列方程求解。
解:设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12)个。
(x+12）×45+ｘ=４2
4５x＋9＋x=4２
９／5ｘ=42-9又3５
ｘ＝1８
18＋1２=３0(个)
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1:
1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的3／4得优,
男、女生得优的一共有4２人，男、女生参赛的各有多少人?
2、有两盒球，第一盒比第二盒多1５个，第二盒中全部是红球,第一盒中的2／
５ 是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有1３的人 、乙班有14的人参加课外数学
组，两个班参加课外数学组的共有２９人,甲、乙两班共有多少人？ < br>【例题2】阅览室看书的学生中,男生比女生多1０人,后来男生减少14,女生减少
1／６,剩 下的男、女生人数相等,原来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解:设女生有x人,则男生有（x+１0）人
（１-1／６）x=(x+１0）×（１-１4)
--

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x=９０
90+90＋１0＝1９0人
答：原来一共有1９０名学生在阅览室看书。
练习2:
１、某小学去年参加无线电 小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加
无线电小组的同学减少1／5，参加航模小组的人数 减少１10，这样,两个组的同学一
样多。去年两个小组各有多少人?
2、原来甲、乙两个书 架上共有图书９００本,将甲书架上的书增加５／8,乙书架
上的书增加310，这样，两个书架上的书 就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书
多少本?
3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件 多7０0个。今天生产的甲种零件比昨
天少110,生产的乙种零件比昨天增加３20，两种零件共生产 了2０65个。昨天两
种零件共生产了多少个?
【例题３】甲、乙两校共有2２人参加竞赛， 甲校参加人数的15比乙校参加人
数的14少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×1／5=乙×１４-1
解：设甲校有ｘ人参加，则乙校有（22－ｘ）人参加。
15x＝（22－x)×１／4-１
x＝１０
22－１0=12（人）
答:甲校有10人参加,乙校有12人参加。
练习３：
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1、学校图书馆买来文艺书和连环画 共126本，文艺书的比连环画的少7本，图
书馆买来的文艺书和连环画各是多少本?
２、某小有学生46５人,其中女生的比男生的少２0人，男、女生各有多少人？
3、王师傅 和李师傅共加工零件６2个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2
个,两人各加工了多少个?
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的５／６，两个书架上各借出154本后，甲
书架上的书是乙书架 上的４7，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是;甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解:设乙书架上原有x本,则甲书架上原有56x本。
(x－154）×47=5／6ｘ-15４
x ＝25２
252×56 ＝210（本)
答:甲书架上原有210本,乙书架上原有２52本。
练习４：
1、儿子今年的年龄是父亲的１6，4年后儿子的年龄是父亲的１／4，父亲今年
多少岁？ < br>２、某校六年级男生是女生人数的２３,后来转进２名男生,转走３名女生，这时
男生人数是女生 的3／4。原来男、女生各有多少人?
3、第一车间人数的35等于第二车间人数的９１0,第一车间 比第二车间多50
人。两个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学的２３多４人 ,如果男生减少3人，女生增加
4人,男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人?
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【思路导航】抓住“如果男生减少3人,女生增加4人， 男、女生人数正好相等”
这个等量关系列方程。
解：设男生有x人,则女生有（2／３x+4)人。
x-3＝２3x+4+４
x＝33
23×3３+4=26(人）
答:这个班男生有33人,女生有26人。
练习５:
1、某学校的男教师比女教师的3８多8人。如果女教师减少４人，男教师增加８人,男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
２、某无线电厂有两个仓库。 第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从
第一仓库取出30台,存入第二仓库,则第二仓库就是 第一仓库的49。两个仓库原来各
有电视机多少台？
3、某工厂第一车间的人数比第二车间的 人数的45少30人。如果从第二车间
调10人到第一车间,则第一车间的人数就是第二车间的３4。求 原来每个车间的人数。
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第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分数能 互
相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的2３,乙数是丙数的4／5,甲、乙、丙三数的比是（ ):
（ ):( ）。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 ４：5
甲、乙、丙三数的比 8:12：15
答:甲、乙、丙三数的比是 8:12：15。
练习1:
1、甲数是乙数的45，乙数是丙数的5／8，甲、乙、丙三数的比是( ）：( ）：
（ )。
２、甲数是乙数的4５,甲数是丙数的49,甲、乙、丙三数的比是( ):( )：( ）。
3、甲数是丙数的37，乙数是丙数的２又1／2，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ )：
（ )。
【例题2】光明小学将五年级的14０名学生,分成三个小组进行植树活动，已知
第一小 组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个
小组各有多少人?
【思路导航】先求出三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。
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①一、二两组人数的比 2:3 二、三两组人数的比 4:5
一、二、三组人数的比 8:12:15
②总份数:8+12+15＝35
③第一组:14０×8／35=32（人)
④第二组：１４0×1235=48（人)
⑤第三组:140×１５／３5=6０(人)
答：第一小组有32人,第二小组有48人，第三小组有60人。
练习２:
1、某 农场把６1600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田
与其他作物面积的比6:1 。每种作物各是多少公亩?
２、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5:4,
第二组与第三组人数的比是3:2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。
六年级参加植树的共有多少人?
３、科技组与作文组人数的比是9:1０,作文组与数学组人数的比 是5:7。已知数
学组与科技组共有6９人。数学组比作文组多多少人？
【例题3】甲、乙两 校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校6５0本，甲、
乙两校图书本数的比就是3：４。原来甲 校有图书多少本?
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知,原来甲校图书的本数< br>是两校图书总数的7／（7+５），由于甲校给了乙校65０本,这时甲校的图书占两校图
书总数 的3(3+4),甲校给乙校的65０本图书，相当于两校图书总数的7／（7+5)-3
／（3+4) =1384。
65０÷（7（7+５)-3／（3＋４)）×7(7+5）＝2４50(本)
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答：原来甲校有图书2４50本。
练习3：
1、小明读一本书，已读的和未读的页数比是１:5。如果再读30页,则已读和未读
的页数之 比为3:5。这本书共有多少页?
2、甲、乙两包糖的重量比是4：１。从甲包取出１30克放入乙包 后，甲、乙两
包糖的重量比为7:5。原来甲包有多少克糖?
3、五年级三个班举行数学竞赛 。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的1／３,
二班与三班参加比赛人数的比是１1:13，二班比三 班少8人。一班有多少人参加了数
学竞赛？
【例题4】从前有个农民,临死前留下遗言，要把 17头牛分给三个儿子,其中大儿
子分得1／２，二儿子分得13，小儿子分得19,但不能把牛卖掉或 杀掉。三个儿子
按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？
【思路导航】因为1／２+１3+19＝17１８，17／18﹤1,就是说三 兄弟并未
将全部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比:1２:13:19＝９：6:２
② 总份数：9+６+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：1７×9１7=９(头）17×６1７＝6(头)１7×217
＝2(头）
答:大儿子分得9头，二儿子分得６头,小儿子分得2头。
练习4:
1、图书室取 出一批书，按照一年级得12,二年级得13,三年级得17,正好是41
本,各年级各得多少本?
2、古罗马富豪约翰逊再临终前,对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱:如果生下来是个
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男孩,就把遗产的三分之二给儿子,母亲拿三分之一;如果生下来的是女 孩就把遗产的三
分之一给女儿,三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎,一男一女，这是他没有预< br>料到的。求出接近于遗嘱条件,把遗产分给三个继承人的比。
(1)从儿子、母亲、女儿所得的比例来看,他们三人所得的遗产的比是（)：( ）：（ )。
(２)从母亲至少得遗产的１／3来看,儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）:( ）：( )。
3、甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做1／3。三
人各做多少 个？
【例题５】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，
另一 个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水
的体积之比是多少?
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几
分之几再解答 。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3／(1＋3）= 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4(1＋４)＝ 45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 3４+４5 ＝ ３1／2０
④ 水占一个瓶子容积的比 ２－3120 = 9／20
⑤ 混合液中酒精与水的比 31２0：92０＝３1:9
答：混合液中酒精与水的比是３1：９。
练习5：
１、两块一样重的合金，一块合 金中铜与锌的比是2:5，另一块合金中铜与锌的
比是1:3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜 与锌的比。
2、将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2:1,
乙队已修的与剩下的比是5:2。这条公路已修了全长的几分之几？
3、光华电视机厂上半年生产的 电视机产量占全年的58，照这样的速度计算，
全年可超产100０台。这个工厂上半年生产电视机多少 台?
ﻬ
第
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题 的一种重要工具，有了它，我
们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨 稍复杂的
15讲 比的应用(二)
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比是应用题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学回家,甲要比乙多走1 5的路,而乙走的时间比甲
少1／1１，求甲、乙两人速度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以,甲、乙速度的比=甲路程甲时间：
乙路程／乙时间
(1)甲、乙路程的比：(1+１5)：１=6:５
（２)甲、乙时间的比:１:(１-11１）=１1：10
（3)甲、乙速度的比：6／11:5／１０=1２：11
答：甲、乙速度的比是12:11。
练习1:
1、小明和小芳各走一段路。小明走 的路程比小芳多1／5，小芳用的时间比小明
多１8。求小明和小芳速度的比。
2、甲走的路程比乙多13，乙用的时间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3、一个人步行每 小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用８分钟。这
个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少 ？
【例题2】制造一个零件，甲需６分钟,乙需5分钟,丙需４.5分钟。现在有1590
个 零件的制造任务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人应该分配到多少
个零件?
【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内,工作总量的比等于工作
效率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比: 16：1５:11.５＝15：18：20
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总份数：15+１8+20＝5３
甲 ：１590×１５53=45０(个）
乙 ：1５90×1８53＝５40（个)
丙 :1５90×2053=60０（个)
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是45０个、540个、600个。
练习2：
1 、加工一个零件，甲需3分钟,乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1８２5个
零件需要甲、乙、丙三 人加工。如果规定用同样的时间完成任务,那么各应加工多少个?
２、甲、乙、丙三人在同一时间里共 制造9４0个零件。甲制造一个零件需5分
钟,比乙制造一个零件所用的时间多２5%,丙制造一个零件 所用的时间比甲少２／５。
甲、乙、丙各制造了多少个零件？
3、加工某种零件要三道工序, 专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成
零件4８个,3２个，28个,现有118名工人，要 使每天三道工序完成的零件个数相同,
每道工序应安排多少工人?
【例题３】两个服装厂一个 月内生产服装的数量是6：５,两厂西服价格的比是
11：1０。已知两厂这个月内总产值为6９60万 元。两厂的产值各是多少万元?
【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以
甲产值:乙产值=(甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量)
两厂的产值比为：（11×６）:（1０×5）=６6：５０
甲厂产值为:69６0×66（66+５0）=3960（元）
乙厂产值为:6960×5０(66+50)=３000（元）
答：两厂的产值分别是396０万元和3000万元。
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练习3:
1、甲、乙两个长方形长的比是4:５，宽的比是3:2，面积的和是2４２平方厘 米。
求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？
2、苹果和梨的单价的比是6:5,王 大妈买的苹果和梨的重量的比是２:3,共花去1
８元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？
3 、大、小两种苹果，其单价比是5:4，重量比是2：3。把两种苹果混合，成为
100千克的混合苹果 ，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少
元?
【例题4】Ａ、Ｂ两种 商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨7０元,
它们的价格比就是７:４，这两种商品原来的 价格各是多少元?
【思路导航】
解法一:因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后 两种商品价格差不变。
由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比=７:3＝21：9 现价格比＝７:4＝２８:16
【这样前后项的差都是１2，价格涨了（28-21）＝７份,是７０元】
7０÷（28－２1）＝１０元 A:1０×2１＝２10(元) B:10×9＝９0(元)
解法二:由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（１)原来Ａ商品的几个是价格差的几倍 7÷（7-3)＝７／4
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍 7÷（7-4）＝７3
(３)A、Ｂ两种商品的价格差是 ７0÷（73－74）＝１20（元)
(4）原来A商品的价格是 12０÷（7－3)×7＝210（元）
(5） 原来Ｂ商品的价格是 12０÷（７－3）×3=90(元)
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答：A、Ｂ两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4：
用两种思路解答下列应用题:
１、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是 ４：3。甲队给乙队５4吨水泥后，
甲、乙两队水泥重量的比是3:4。原来甲队有水泥多少吨？ ２、甲书架上的书是乙书架上的47,两书架上各增加１54本后，甲书架上的书
是乙书架上的，甲 、乙两书架上原来各有多少本书?
３、兄弟两人，每年收入的比是４:3,每年支出的比是18:1３ 。从年初到年底，他
们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
【例题5】如图是甲、 乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地
的路程比是１：2。王刚以每小时4千米的速 度从甲地步行到丙地，李华同时以每小
时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地,他比王刚早1小时到达 丙地。甲、乙两地相
距多少千米？
【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比 求出时间的比,从而求出王刚和李华所用的时
间，再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 １４：210=5:4
王刚所用的时间 1÷（5－４）×5=5(小时)
甲地到丙地的路程 4×５＝20（千米）
甲、乙两地的路程 20×（1＋2)＝６０(千米)
解法二：如果李华每小时行4× 2=8千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每
小时多行10-８＝２千米。在王刚从甲地到丙地的这 段时间内，李华比应行的路程多
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行了10×１=１0千米。据此,可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间１0 ×１÷（10-4×2）=5(小时)
甲、乙两地的路程4×5×(1+２)＝60（千米)
解法三：如果王刚每小时行10÷３＝ 5千米，就能和李华同时到达。由此可见,
王刚走完甲地到丙地的路程,用每小时４千米的速度和每小时 ５千米的速度相比,所用
的时间相差1小时。再根据１千米的路程，两种速度所用的时间相差 １／4-1／5= 1
２0小时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷（１４－1（１０÷÷２）＝２0（千米）
甲、乙两地的路程20×(1+2）=6０（千米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5：
1、一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去４小时(停车时间不算在内）。
汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行3０千米。甲、乙两地相距多少千米？
2、甲做 3０00个零件比乙做24０0个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是
6：5。甲、乙每小时各做多 少个?
3、下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路
程的比 是2：3。一辆货车以每小时４0千米的速度从甲地开往丙地,一辆客车同时以
每小时50千米的速度从 乙地开往丙地,客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地
的路程?



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ﻬ
第
一、知识要点
在解答工 程问题时,如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明
确的解题途径,若用“组合法” 把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一
个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗 化，从而顺利找到解题途径。
二、精讲精练
【例题１】一项工程，甲、乙两队合作15天完 成,若甲队做5天,乙队做3天，只
能完成工程的7／30，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是１15，只要求出甲队货乙队
的工作效率，则问题可 解，然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲队独做5天，乙
队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3 天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲
队2天的工作量730－1／15×3=1３0,从而求出甲 队的工作效率。所以
１÷【1／1５-（730-1／15×3）÷（5－3)】=2０(天)
答:乙队单独完成全部工程需要20天。
练习１:
1、师、徒二人合做一批零件, １2天可以完成。师傅先做了3天，因事外出,由徒
弟接着做１天，共完成任务的3／２0。如果这批零 件由师傅单独做,多少天可以完成?
2、某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的５24。如果这项 工程由甲队独做
２天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的13124。甲、乙两队单独完成这项工< br>程各需多少天？
3、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独 做
12天，还剩这项工程的81５。甲、乙两队独做各需几天完成?
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16讲 用“组合法”解工程问题

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【例题２】一项工程,甲队独做12天可以完 成。甲队先做了3天，再由乙队做2
天，则能完成这项工程的１／2。现在甲、乙两队合做若干天后，再 由乙队单独做。
做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容 易先求乙队的工作效率是：（1２-112×3）÷２=18;再
由条件“做完后发现两段所用时间相等 ”的题意,可组合成由两个乙队和一个甲队合做
需若干天完成,即可求出相等的时间。
(１)乙队每天完成这项工程的（１／2－１12×３)÷2=1８
(2）两段时间一共是１÷（18×2+112）×２＝６（天）
答：两段时间一共是６天。
练习2：
１、一项工程,甲队独做15天完成。若甲队先做５天,乙队再做4天能完成这项工
程的815。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时
间相等。这 两段时间一共是几天?
2、一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做,完成 任
务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？
3、某工作，甲单独做要1２天, 乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作
先由甲做了若干天,再由乙接着做；乙做的天数是甲3 倍，再由丙接着做,丙做的天数
是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天?
【例 题３】移栽西红柿苗若干棵,如果哥、弟二人合栽８小时完成，先由哥哥栽了
３小时后,又由弟弟栽了1 小时，还剩总棵数的11１6没有栽，已知哥哥每小时比弟
弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵 ？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时,弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽
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了1小时后，哥哥又独做了２小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几（１-11１6－18×1)÷（3－1)＝33２
一共要移栽的西红柿苗多少棵７÷【3／32－（１8－332)】=１12(棵）
答：共要移栽西红柿苗1１2棵。
练习3：
1、加工一批机器零件,师、徒合做１ 2小时可以完成。先由师傅加工８小时，接
着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的3５。已知师傅 每小时比徒弟多做10
个零件。这批零件共有多少个？
2、修一条公路,甲、乙两队合做6天 可以完成。先由甲队修５天，再由乙队修3
天，还剩这条公路的３／10没有修。已知甲队每天比乙队多 修20米。这条公路全长
多少米?
３、修一段公路,甲队独修要４0天，乙队独修要用２4天 。两队同时从两端开工,
结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米?
【例题4】一 项工作,甲、乙、丙3人合做６小时可以完成。如果甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项 工作的2／3;如果甲、乙合做３小时后，丙做6小
时,也可以完成这项工作的23。如果由甲、丙合做 ，需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做２小时，可以完成这项工作的23”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”,
则求出甲的工 作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几(23－1／6×２）÷（６-2)=1／1２
丙每小时完成这项工程的几分之几(２3－１／6×3)÷（6-3)＝1／18
甲、丙合做需完成的时间为:1÷(1１2+1／1８）=7由１5（小时)
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答：甲、丙合做完成需要７有１／５小时。
练习4:
1、一项工作,甲、乙、丙三人合做，４小时可以完成。如果甲做4小时后,乙、丙
合做2小时，可以 完成这项工作的1３18；如果甲、乙合做2小时后,丙再做4小时,
可以完成这项工作的1118。这 项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
2、一项工程，甲、乙合做６天可以完成，乙、丙合做1０天 可以完成。现在先
由甲、乙、丙合做３天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就< br>可以完成？
3、一项工程,甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、< br>乙、丙三队合做4天后,余下的工程由乙队独做5又12天完成。乙队单独做这项工
程需多少天可 以完成？
4、一件工作，甲、乙合做4小时完成,乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合
做 2小时后，余下的由乙６小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成?
【例题5】一条公路,甲队独 修24天可以完成,乙队独修3０天可以完成。先由甲、
乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全 部完成。如果由甲、乙、丙三队同时
开工修这条公路，几天可以完成?
【思路导航】将条件“ 先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全
部完成”组合成“甲、乙两队各修(4+7)= 11天后，再由丙队单独修了7天才全部完
成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的【1-（1２4+130)】×（4+７)＝１４０
三队合修完成时间为1÷（124＋１30+1４0)＝1０（天)
答:10天可以完成。
--

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练习5：
1、一件工作,甲单独做1２小时完 成。现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小时才
完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？ < br>２、一条水渠，甲队独挖120天完成,乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天,
剩下的由丙队 加入一起挖,又用1２天挖完。这条水渠由丙队单独挖,多少天可以完成?
3、一件工作,甲、乙合做 6天可以完成,乙、丙合做１0天可以完成。如果甲、丙
合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。 如果全部工作由３人合做,需几天可
以完成？
４、一项工程,甲、乙两队合做30天完成,甲 队单独做2４天后，乙队加入，两队
又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了１5天才完成。甲 队独做这项工程
需要多少天?
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第17讲 浓度问题
一、知识要点
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题,即浓度问题。我们知道, 将糖溶于水就
得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂,糖水叫溶液。如果水的量不变,那么糖加得越多,糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质)与糖水（溶液=糖+水）二者质
量的比值决 定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中,纯酒
精与酒精溶液二者质量的比值 叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值,
通常用百分数表示，即,
浓度=溶质质量溶液质量×100％=溶质质量（溶质质量＋溶剂质量）×100%
解答浓度 问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解
答比较容易,在列方程时,要注意 寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大,计算也较复杂。要根据题目的 条件和问题逐
一分析，也可以分步解答。
二、精讲精练
【例题1】有含糖量为７％ 的糖水6０0克，要使其含糖量加大到10%,需要再加
入多少克糖?
【思路导航】根据题意 ，在7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度,糖的质量
增加了,糖水的质量也增加了,但水的质量并 没有改变。因此,可以先根据原来糖水中的
浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的 质量,用现在糖水的质量
减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：6００×（1－7%）=55８(克）
现在糖水的质量 :558÷（1－１０％）=620（克）
--

--
加入糖的质量 :6２0－600=20(克）
答:需要加入20克糖。
练习１：
１、现在有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度为4０%的糖水,需要加
糖多少克？
2、有含盐15%的盐水20千克,要使盐水的浓度为２0％，需加盐多少千克?
3、有甲、 乙两个瓶子,甲瓶里装了２00毫升清水,乙瓶里装了200毫升纯酒精。
第一次把２０毫升纯酒精由乙 瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶,此
时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多? < br>【例题２】一种35%的新农药，如稀释到１.7５%时，治虫最有效。用多少千克
浓度为３5％ 的农药加多少千克水，才能配成1．75％的农药80０千克?
【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶 剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在
这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键 。
800千克1.75%的农药含纯农药的质量为8０0×1.７5%=1４(千克）
含14千克纯农药的３５％的农药质量为14÷35%=40(千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为80０－40=7６０(千克）
答:用 40千克的浓度为35%的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.7５%
的农药８00千克。
练习2：
1、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨水30千克,配置 时需
加水多少千克？
２、仓库运来含水量为９0％的一种水果1０0千克。一星期后再测,发现含水量
--

--
降低到80%。现在这批水果的质量是多少千克？
３、一容器 内装有10升纯酒精,倒出2.5升后,用水加满；再倒出5升，再用水加
满。这时容器内溶液的浓度是 多少?
【例题3】现有浓度为10%的盐水2０千克。再加入多少千克浓度为3０％的盐
水, 可以得到浓度为22％的盐水？
【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了, 但总体上溶
质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的
溶质的量。
2０千克1０％的盐水中含盐的质量20×1０%＝2（千克）
混合成22％时,20千克溶液中含盐的质量20×22％=404（千克）
需加30％盐水溶液的质量（4.4-2）÷(30%－２２%）＝30（千克）
答：需加入３0千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为２2％的盐水。
练习3：
1、在1０0千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸
溶液就可以配制成２ ５％的硫酸溶液？
2、浓度为７0％的酒精溶液5０0克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后所
得到的酒精溶液的浓度是多少?
3、在２0%的盐水中加入10千克水，浓度为1５%。再加入多少千克盐，浓度
为2５％?
【例题4】将20%的盐水与5％的盐水混合，配成1５%的盐水600克，需要2
０%的盐水 和5％的盐水各多少克?
【思路导航】根据题意,将20%的盐水与5%的盐水混合配成１5%的盐水,说明混
--

--
合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这 一数量间的
相等关系列方程解答。
解:设2０％的盐水需x克,则5％的盐水为600-ｘ克，那么
20％ｘ＋(600-x）×５%=600×１5%
X =４0０
600－400＝２0０（克）
答：需要２０%的盐水400克,５％的盐水20０克。
练习４：
１、两种钢分别含镍5％和40％,要得到140吨含镍3０％的钢,需要含镍5％ 的
钢和含镍40％的钢各多少吨？
2、甲、乙两种酒各含酒精75%和5５%，要配制含酒精 65%的酒30０0克，应
当从这两种酒中各取多少克?
3、甲、乙两只装糖水的桶,甲桶有 糖水6０千克,含糖率为４０%；乙桶有糖水４
0千克，含糖率为２0％。要使两桶糖水的含糖率相等， 需把两桶的糖水相互交换多
少千克？
【例题5】甲、乙、丙3个试管中各盛有１0克、2０克 、3０克水。把某种质量
分数的盐水１０克倒入甲管中,混合后取１０克倒入乙管中，再混合后从乙管中 取出1
０克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为0.5％。最早倒入甲管中的盐水质
量 分数是多少?
【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有30克的水，它
的盐是从10克 盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。而
--

--
乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的,由此可求出甲管里20 克盐水中盐的
质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐,这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。
丙管中盐的质量:（30+10)×0.5％=０2(克)
倒入乙管后，乙管中盐的质量：0．2×【（２0＋10)÷１０】＝0．６（克）
倒入甲管,甲管中盐的质量：0.6×【（１0＋１0）÷1０】=1.２（克）
1．2÷10＝１2%
答:最早倒入甲管中的盐水质量分数是1２%。
练习5:
１、从装满1００克80％的盐水中倒出40克盐水后,再用清水将杯加满，搅拌后
再倒出40 克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多
少？
2、甲容器中又 8％的盐水300克，乙容器中有12.5％的盐水120克。往甲、乙
两个容器分别倒入等量的水，使 两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克
水？
3、甲种酒含纯酒精40%,乙种酒 含纯酒精３６%,丙种酒含纯酒精35%。将三种
酒混在一起得到含酒精38.５%的酒11千克。已知 乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲
种酒有多少千克？
ﻬ
第
一、知识要点 < br>计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何
联系，会使你感 到无从下手。这时,如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，
并加以深化,再运用我们已有的基 本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与
--
18讲 面积计算（一）

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所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算 必须借助于图
形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理< br>的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。
二、精讲精练
【例题１】已知如 图,三角形ABC的面积为8平方厘米，
AE=ED,ＢＤ=２／3BC,求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEＦ的
面积无法直接计算。由于AＥ=ED,连接Ｄ F，可知S△AEF=S
△EDF(等底等高)，采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BＤ F的面积。
因为BD=２３BC，所以S△ＢDF=2S△ＤＣF。又因为AＥ=ED,所以S△ＡB F=S
△BDF＝２S△DCF。
因此,S△AＢＣ＝5 S△DCF。由于S△ABＣ＝8 平方厘米,所以S△DCＦ=8÷５=1.6
（平方厘米),则阴影部分的面积为1.6×2＝3．２（ 平方厘米)。
练习1：
1、如图，AＥ=ＥD，BC=３BD,S△ＡBC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。




2、如图所示，AＥ=ＥD,DC=1／3BD，S△ABＣ＝2１平 方
厘米。求阴影部分的面积。




3、如图所示,D E=1２AE,BD＝2DＣ,S△ＥＢD=5平方厘米。求三角形AＢC的
面积。

--

--





【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角
形，如图所示,已知两个三角形的面积，求另两个 三角形的
面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是Ｓ△DOC的2倍，且高相
等，可知:ＢＯ=2DO;从S△ABD与S△AＣD相等(等底等高）可知:S△ABO等于6,而△
ABO与△ＡOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AＯD的面积为6÷２＝3。
因为Ｓ△ABＤ与S△ＡCD等底等高 所以S△AＢO=６
因为Ｓ△BOC是S△DOＣ的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD=6÷２＝3。
答:△AOＤ的面积是３。
练习2：
1、 两条对角线把梯形ABCＤ分割成四个三角形，(如图所示)，已知两个三角形
的面积，求另两个三角形 的面积是多少？




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--
2、已知AO＝１／3ＯC，求梯形ABＣD的面积（如图所示）。





3、已知三角形AＯB的面积为15平方厘米，线段ＯB的
长度为OD的 ３倍。求梯形ABCＤ的面积。(如图所示)。




【例题３ 】四边形ＡＢCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECＦ的
面积为15平方厘米。求四边 形ABCD的面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ＡBＥ、A
ＥF、AＦD是等底等高的三角形,它们的面积相等。同理，三角
形ＢＥC、CEF、CＦＤ的面积也 相等。由此可知，三角形ABD
的面积是三角形ＡEF面积的3倍，三角形BＣD的面积是三角形CEF 面积的3倍,从
而得出四边形ABCD的面积是四边形AＥCＦ面积的3倍。
15×３＝45(平方厘米)
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3:
--

--
１、四边形ＡBCD的对角线BD被 E、F、G三点四等分，且四边形ＡＥCG的面
积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图)。





２、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G 三点四等分，且阴影部分面积为15
平方厘米。求四边形ABＣＤ的面积（如图所示)。





3、如图所示,求阴影部分的面积(ABCD为正方形)。




【例题4】如图所示,BO=2DO,阴影部分的面积是４ 平方厘
米。那么,梯形ABＣD的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为ＢO＝2DO，取BO中点E，连接AＥ。
--

--
根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△ＤＢC=S△CDA;Ｓ △COＢ=Ｓ△DOＡ
＝４，类推可得每个三角形的面积。所以,
Ｓ△CＤO＝4÷2＝2(平方厘米) S△DAＢ＝４×3＝１２平方厘米
Ｓ梯形ABCＤ=１2＋4+2=18（平方厘米)
答:梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1、如图所示，阴影部分面积是4平方厘米,OC=2ＡO。求梯形面积。





2、已知OＣ=2AO，S△BOC=14平方厘米。求梯形的面积（如图所示)。




３、已知S△AOB＝6平方厘米。ＯＣ=3AO,求梯形的面积（如图所示)。




--

--
【例题5】 如图所示,长方形ＡDEF的面积是16，三角形ADＢ的面积是3，三角
形ACＦ的面积是4,求三角 形ABC的面积。
【思路导航】连接AＥ。仔细观察添加
辅助线ＡE后,使问题可有如下解法。
由图上 看出：三角形ＡDＥ的面积等于长方形面积的一半（16÷2)=8。用8减去
３得到三角形ABＥ的面 积为５。同理，用8减去４得到三角形AEＣ的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形AＣＦ等底 等高,Ｃ为EF的中点，而三角形ＡBE与三
角形ＢＥC等底，高是三角形BＥC的2倍，三角形ＢEＣ 的面积为5÷2＝2．5,所以，
三角形ABＣ的面积为16-3-4-２.５=6.５。
练习5：
1、如图所示,长方形AＢCD的面积是2０平方厘米，三角形AＤF的面积为5平
方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEＦ的面积。





２、如图所示，长方形ＡBCD的面积为２0平方厘米,S△ABE=4平方厘米 ,S△AF
Ｄ＝6平方厘米，求三角形AＥF的面积。



--

--

３、如图所示,长方形AＢCＤ的面积为２４平方厘米,三角
形ABE、AFＤ的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积。

--

--
第1９讲 面积计算(二)
一、知识要点
在进行组 合图形的面积计算时,要仔细观察，认真思考,看清组合图形是由几个基
本单位组成的，还要找出图中的 隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单位:厘米)。




【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
62×3.1４×=28．2６（平方厘米)
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1：
1、求下面各个图形中阴影部分的面积(单位：厘米）。




2、求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米）。


--
1
4
1
4

--


３、求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米）。



【例题２】求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。




【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形(如图所示)。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.１4×
4
2

-4×4÷2÷2=8.56（平方厘米）
答:阴影部分的面积是8．56平方厘米。
练习２：
1、计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。





1
4
--

--

2、计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米，正方形边长4）。






３、计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米,正方形边长4)。





【例题3】如图19-１0所示，两圆半径都是 1厘米，且图
中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。
【思路导航】因为两 圆的半径相等,所以两个扇形中的空白
部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等,所以扇形的面积 等于长方形面积的一
半（如图19-1０右图所示)。所以３.１４×１2×１4×2＝1.57(平方 厘米）
答：长方形长方形AＢO１O的面积是１.５７平方厘米。
练习3:
1、如图所示,圆的周长为12.5６厘米,AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分
--

--
（1)的面积与阴影部分(2）的面积相等，求平行四边形ＡBCＤ的面积。



2、如图所示,直径ＢC=8厘米，ＡB=ＡC，Ｄ为AC的中点,求阴影部分的面积。



3、如图所示,AB=BＣ=8厘米,求阴影部分的面积。




【例题4】如图19-14所示,求阴影部分的面积（单位:厘
米)。
【思路导航】 我们可以把三角形ABC看成是长方形的一
部分，把它还原成长方形后（如图所示）。
Ｉ和IＩ的面积相等。




--

--
因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等,并且空白部分的两组 三角形
面积分别相等，所以
6×４＝24(平方厘米）
答:阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1、如图所示，求四边形ABＣD的面积。



2、如图所示，BE长５厘米，长方形ＡＥＦD面积是38平方厘米。求CD的长
度。




３、图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起,按照图中 的已知条件求阴影部分
的面积（单位：厘米）。



【例题5】 如图所示，图中圆的直径ＡB是4厘米，平行四边形ABCＤ的面积是
7平方厘米,∠ABC＝３0度， 求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
--

--




【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积,再减
去三角形BOC的面积。
半径:4÷２=２（厘米)
扇形的圆心角:180－（1８0－３0×2）=60（度)
扇形的面积：2×2×3.14×60３６0≈２．09(平方厘米)
三角形ＢOC的面积:7÷2÷2＝1.75(平方厘米）
7-（2.09+1.7５）＝３.1６(平方厘米）
答:阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5：
1、如图所示,∠1=15度 ，圆的周长位６2.8厘米,平行四边形的面积为１00平方
厘米。求阴影部分的面积(得数保留两位小 数)。



2、如图所示,三角形ABC的面积是31.２平方厘米,圆 的直径AＣ=6厘米，BD：
DC=３:1。求阴影部分的面积。


--

--


3、如图所示,求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。



4、如图所示，求阴影部分的面积(单位：厘米。得数保留两位小数）。



ﻬ
第
一、知识要点
对于一些比较复杂的组 合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把
其中的部分图形进行平移、翻折或旋转,化难为 易。有些图形可以根据“容斥问题“的
原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2 ”整体地代入面积公
式求面积。
二、精讲精练
【例题１】如图所示，求图中阴影部分的面积。



【思路导航】解法一:阴影部分的一半，可以看做是扇形中减
--
2０讲 面积计算

--
去一个等腰直角三角形(如图）,等腰直角三角形的斜边等于圆的半径， 斜边上的高等
于斜边的一半，圆的半径为20÷２=１0厘米
[3．１4×102×14－１0×（10÷2)］×2＝１０7（平方厘米）
答:阴影部分的面积是1０7平方厘米。
解法二:以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右 半部分向下旋转9０度后，阴
影部分的面积就变为从半径为1０厘米的半圆面积中，减去两直角边为10 厘米的等
腰直角三角形的面积所得的差。
（２０÷2）2×12－（20÷２)2×１／2=１07(平方厘米）
答：阴影部分的面积是1０7平方厘米。
练习1:
1、如图所示，求阴影部分的面积（单位:厘米)



2、如图 所示，用一张斜边为2９厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘
米的蓝色直角三角形纸片，一张 黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两
张三角形纸片面积之和是多少?




【例题２】如图所示,求图中阴影部分的面积（单位：厘米)。
--

--


【思路导航】解法一:先用长方形 的面积减去小扇形的面积,得空白部分(ａ）的面
积，再用大扇形的面积减去空白部分(ａ）的面积。如 图所示。



３.14×6２×14-(６×4－3.1４×42×１4)＝１6.８２(平方厘米)
解法 二：把阴影部分看作(１）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇
形面积相加,刚好多计算 了空白部分和阴影(1)的面积，即长方形的面积。



3.14×42×14+３.14×62×1／4-４×６=1６.28（平方厘米）
答:阴影部分的面积是16.8２平方厘米。
练习2：
1、如图所示，△ＡBC是等腰直角三角形,求阴影部分的面积（单位：厘米）。



2、如图所示,三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长２厘米。以AＣ、
BC为直径画半圆，两个半圆的交点在ＡB边上。求图中阴影部分的面积。
--

--



３、如图所示，图中平行四边形的一个 角为６00,两条边的长分别为6厘米和8
厘米,高为5．2厘米。求图中阴影部分的面积。



【例题3】在图中，正方形的边长是1０厘米，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半
（如图所示)，再用正 方形的面积减去全部空白部分。



空白部分的一半：1０×10－（１0÷2）2×3.１4=21.５(平方厘米）
阴影部分的面积：10×１0-21.5×2=57（平方厘米)
解法二：把图中８个扇形的 面积加在一起,正好多算了一个正方形（如图所示），
而８个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
(１0÷2)２×３.14×2－10×1０＝57（平方厘米)
答:阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3：
1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位:厘米)。
--

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2、求下面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。



3、求下面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米）。



【例题4】在正方形ＡBCD中,AＣ＝６厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航 】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。
但我们可以看出，ＡC是等腰直角 三角形AＣＤ的
斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知,斜边上的
高等于斜边的一半（如图所 示),我们可以求出等腰
直角三角形ACＤ的面积,进而求出正方形ABCＤ的面积,即扇形半径的平方 。这样虽然
半径未求出,但可以求出半径的平方,也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积,又是半径的平方为:６×（6÷２)×２=１8（平方厘米）
阴影部分的面积为：１８－18×3.14÷4＝３.８7（平方厘米）
答:阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4:
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1、如图所示,图形中正方形的面积是50平方厘米,分别求出每个图形中阴影部分
的面积。



2、如图所示,图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部
分的面积。


3、如图所示,正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为
半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积(试一试,你能想出几种办法）。



【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是3０平方厘米。求阴影部分的面积。
【 思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半
径未知，又无法求出，所以 我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我
们以扇形的半径为边长做一个新的正方形(如图 所示),从图中可以看出，新正方形的面
积是3０×2＝60平方厘米,即扇形半径的平方等于6０。这 样虽然半径未求出，但能
求出半径的平方,再把半径的平等直接代入公式计算。


--

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３.1４×（３０×2)×14-３0=17.1（平方厘米）
答:阴影部分的面积是17.１平方厘米。
练习5:
1、如图所示,平行四边形的面积是１00平方厘米，求阴影部分的面积。




2、如图所示,Ｏ是小圆的圆心，CO垂直于AＢ,三角形ＡBＣ的面积是4５平 方厘
米，求阴影部分的面积。




3、如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米,求阴影部分的面积。





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