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第一章、因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就 是a的因数。因数和倍数是相互依
存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数
各位
上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
．．
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是 2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三
位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。

1

如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完 全数，小
的完全数有6、28等
4：自然数按能不能被2整除来分：
奇数、偶数
。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系： 奇数+偶数=奇数 奇数+ 奇数=偶数 偶数+偶数=偶数。
奇数-偶数=奇数 奇数-奇数=偶数 偶数-偶数=偶数
5、自然数按因数的个数来分：
质数、合数、1、0四类
.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
0：
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系： 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数

2

6、最大、最小
A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；
A的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；
A的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
．．．
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它 们的最大公因数，较大的那个数就是它的
最小公倍数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。

3

10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、 求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍数是：2×2 × 3×2×2= 48 （相同乘× 不同乘）


4

二 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体 、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，
这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么
平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做 分数单位。如
1
数单位是。
5
4
的分
5
4、分数与除法
A÷B=
A4
（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=
B5
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1。
6、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
7、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
101
21
=10÷5=2 =21÷5=4
55
5
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
（8）
2= 2×4=8 （8作分子）
4
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
1（26）
5= 5×5+1=26
55
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：

5

2345
100
1=====…==…
2345
100
8、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
9、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数 ，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。
反之则不可以。
10、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
如：
244
=
305
11、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：

2185
和 可以化成和
542020
12、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
如：0.3=
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：
336125
=0.3 ==0.6 ==0.25
105104100
33
3
0.03= 0.003=
10100
1000
方法二：用分子÷分母
如：
3
=3÷4=0.75
4
（3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
如：2
3
=2+0.3=2.3
10
13、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；

6

分子相同，分母小的，分数大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
14、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
1131234
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
2445555
135711
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。

88882025
15、两个数互质的特殊判断方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2和任何奇数都是互质数。
③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 不相同的两个质数互质。 < br>⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这
两个数也 都是互质数。
16、求最大公因数的方法：
① 倍数关系： 最大公因数就是较小数。
② 互质关系： 最大公因数就是1

③ 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
17、分数知识小结：
（1 ）分数的意义：把单位“1”平均分为几份表示其中的一份或几份。（如：把一根绳
子平均分为5份，其 中的一份就是五分之一，两份就是五分之二。）
（2）分数与除法 ：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。
（4）带分数：由整数和真分数组成，带分数一定是假分数。

7

（5）假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子）
（6）分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不
变。
（7）最简分数 分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）
（8）
通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同
分母的分数的过程，叫做通分。
通分的方法：
1、先求出原来几个分数的分母的最简公分母；
2. 根据分数的基本性质，把原来分数化成以最简公分母为分母的分数。
【约分】是对一个分数而言的，求 出分子分母的最大公约数，然后分子分母【同
除】这个最大公约数，
约简得到相等的新分数，这 个新分数，这个最简分数分子分母必
须是
互质
。
三 长方体和正方体
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个
面相 交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫
做长方体的长、宽、高 。
长方体特点：
（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：
（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。

8

（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

相同点
长方体
面
不同点
棱
相对的棱的长度都相等 都有6个面， 6个面都是长方形。
12条（有可能有两个相对的面是正方形）。
6个面都是正方形。
个顶
正方体
棱，
8
点。
12条棱都相等。

2、 长方体、正方体有关棱长计算公式：
(a：长 b：宽 c:高 L：棱长总和 S：表面积 V：体积)
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab

9

无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh） 贴墙纸
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示： S= 6a
2
生活实际：
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a

=
a
3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h
（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。

10

常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
（1 L = 1 dm
3
1 ml = 1 cm
3
）
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 = S×h升高
8、【体积单位换算】（立方相邻单位进率1000）
大单位
×进率


小单位
小单位
÷进率


大单位
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率

11

×进率
【单位换算】 大单位 小单位
小单位
÷进率


大单位
长度单位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米 （相邻单位进率10）
面积单位：1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米 （平方相邻单位进率100）
质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克
人 民 币：1元=10角 1角=10分 1元=100分



第四章 分数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
1、分数数的加法和减法 （2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并
起来。
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。

12

2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级
运算，应 从左到右依次计算。

2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
3、

1-

-

-

-

22
62312342045
第五章 简易方程
1、在含有字母的式 子里，数字和字母。字母和字母之间的乘号可以记作“·”，也可以省略不
写，数通常写在字母的前面。 加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。
2、a×a可以写作a·a或a² ，a²读作a的平方。 2a表示a+a
3、等式：表示相等关系的式子叫等式。
4、等式的性质：等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。
5 、方程：含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的 过程叫做解方程。解方程的格式要求：①必须写“解”并打上“：”。②所有“=”
对齐。③自觉进行验 算。
6、10个数量关系式：加法：和=加数+加数 一个加数=和-另一个加数

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减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数 减数=被减数-差
乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数
除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商
7、所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。
8、方程的解是一个数，解方程是一个计算过程。
9、列方程解决问题的步骤：
①弄清题意，假设未知数。②分析找出数量之间的等量关系，列方程。③解方程，未知数
等号后面结果不 带单位。④验算，写出答语。

六、折线统计图
5、统计图：我们学过——条形统计图、复式折线统计图。
条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。
注：① 画图时注意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”（标数据）。
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。（复式5折线统计图）






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