帅的名字-我为祖国献石油简谱

.
高二年级学科知识竞赛数学试卷
第I卷（选择题）

一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
x
2
y
2

1
表示焦点在
y
轴上的椭圆，则使命题
p
成 立的充分不必要条件是 1．命题
p:
方程
5mm1
A．
3m5
B．
m1
C．
1m5

D．
4m5

2．已知集合
Ax|x
2
x 20
，
B

x|log
1
x1

，则
AIB
（ ）





2
A．
(0,)
B．
(0,1)
C．
(2,)
D．
(,1)

1
2
1
2
1
2
a
n1
2
a
n
3.若数列

a
n

满足
a
1
5,a
n1


nN


，则其前10项和为（ ）
2a
n
2
A．
200
B.
150
C.
100
D.
50

x
2
y
2
6
26
4． 已知双曲线
2

2
1

a0,b0

的离心率为
，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲
2
3
ab
线 的标准方程为（ ）
x
2
y
2
x
2
y2
x
2
y
2
x
2
y
2
1
B．
1
C．
1
D．
1

A．
841681612128
5．设
m,n
是两条不同的直线，

,

是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （ ）
①若
m

,



，则< br>m

； ②若
m

,



,n

，则
mn
；
③若m

,n

,mn
，则


； ④若
n

,n

,m
< br>，则
m

.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
6.设
xy0,0ab1
，则下列恒成立的是（ ）
xyxy
A.
xy
B.
xy
C.
ab
D.
ab

abab
7．已知 函数
f(x)Asin(

x

)
（
A0< br>，

0
，
0



解析式为（ ）
A．
f
(
x
)


2
）的部 分图像如图所示，则函数
f(x)
的
2sin(2
x
)
B．
f(x)2sin(2x)

36


C．f
(
x
)

2sin(2
x

)< br> D．
f(x)2sin(2x)

36
精选范本


.

8．正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
是
DD< br>1
的中点，
O
为底面
ABCD
的中心，
P
为 棱
A
1
B
1
上的任意一
点，则直线
OP
与直线
AM
所成的角为（ ）
A.
45
B.
60
C.
90
D.与点
P
的位置有关
ooo
9 ．一只蚂蚁从正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D< br>1
的顶点
A
处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
C1
位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）

A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 10．函数
y
lncos
x




x

的图象是（ ）
2

2
A． B． C． D．
x
2
y
2
11.设点
F
1
,F
2
分别为椭圆
2

2
1

ab0

的左右焦点，若在椭圆上存在点M ，使
MF
1
，
l
为右准线，
ab
MF
2< br>，点M到
l
的距离
d
成等比数列，则椭圆的离心率
e
的取值范围是（ ）

2


A.
21,1
B.
2

1,1
C.
0,21
D.

0,


2




12． 已知全集
U{(x,y)|x,yR}
，集合
A{(x,y)|xcos

(y4)sin

1,0< br>
2

}
，集合
A
的补集
C
U< br>A
所对应区域的对称中心为
M
，点
P
是线段
xy 8(x0,y0)
上的动点，点
Q
是
x
轴
上的动点，则
MPQ
周长的最小值为（ ）
A．
24
B．
410
C．
14
D．
842



精选范本

.

第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
→→→→→→→→→
13.已知向量
AB
与
AC
的夹角为1 20°，且|
AB
|＝2，|
AC
|＝3.若
AP
＝
λAB
＋
AC
，且
AP
⊥
BC
，则
λ=
.
14．正数
x,y
满足
x2y2，则
x8y
的最小值为 .
xy
15.设S
n
为等差数列

a
n

的前n项之和，S
9
18,a
n4
30

n9
,S
n
336
，则
n
.

sin

x,x

0,2


16．对 于函数
f

x



1
，有下列4个命题 ：

f

x2

,x

2,< br>
2
①任取
x
1
,x
2

0,

，都有
f

x
1

f< br>
x
2

2
恒成立；
②
f
< br>x

2kf

x2k

kN

*

，对于一切
x

0,

恒成立；
2
恒成立.
x
③函数
yf

x
ln

x1

有3个零点；
④对任意
x0，不等式
f

x


则其中所有真命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （10分）已知
a0
，设命题
p
：函数
f

x

x< br>2
2ax12a
在区间

0,1

上与
x
轴有两个不同的交
点；命题
q
：
g

x

xaax
有最小值.若

p

q
是 真命题，求实数
a
的取值范围.




18．（12分）如图所示，已知二面角
α
­
MN
­
β
的大小为60°，菱形
ABCD
在面
β
内，
A
，
B
两点在棱
MN
上，
∠
BAD
＝60°，
E
是
AB
的中点，
DO
⊥面
α
，垂足为
O
.
(1)证明：
AB
⊥平面
ODE
；
(2)求异面直线
BC
与
OD
所成角的余弦值．



精选范本

.





19．（12分）如图所示，在
ABC
中, 点
D< br>为
BC
边上一点，且
BD1,E
为
AC
的中
点,
AE
3272

,cosB,ADB
.
273
（1）求
AD
的长；
（2）求
ADE
的面积.






20．（12分）设函数
f

x

是定义域为< br>
1,1

的奇函数；当
x

1,0

时，
f

x

3x
．
2
（1）当
x

0,1

时，求
f

x< br>
；
（2）对任意的
a

1,1

, x

1,1

，不等式
f

x
2cos



21、（12分）已知椭圆的两个焦点为
F, 0

,F
2

1,0

，且椭圆与直线
y x3
相切.
1

1
⑴求椭圆的方程；
⑵过
F
1
作互相垂直的直线
l
1
,l
2
，与椭圆分别 交于
P,Q
及
M,N
，求四边形
PQMN
面积的最大值和最 小值.



22．（12分）已知数列

a
n

的前
n
项和为
A
n
，对任意
nN*
满足
足
b
n2
2b
n1
b
n
0nN
2

asin

1
都成立，求< br>
的取值范围．
A
n1
A
n
1
，且
a
1
1
，数列

b
n

满
n1n2

*

,b
3
5
，其前 9项和为63．
（1）求数列

a
n

和
b
n

的通项公式；
（2）令
c
n

值范围；
（3）将数列

a
n

,

b
n

的项按照“当
n
为奇数时，
a
n
放在前面；当
n
为偶数时，
b
n
放在前面”的要求进
精选范本
b
n
a
n

，数列

c
n

的前
n
项和为
T
n
，若对任意正整数
n
，都有
T
n
2na
，求实数
a
的取
a
n
b
n

.
L
，求这个新数列的前
n
项和
S
n
．
行“交叉排列”，得到一个新的数列：
a
1
,b
1
,b
2< br>,a
2
,a
3
,b
3
,b
4
,a< br>4
,a
5
,b
5
,b
6
，



参考答案
一、选择题

5m0

1．D 解析：方程表示焦点在
y
轴上 的充要条件是

m10
，解得
3m5
，所以选项中是

m15m

3m5
的充分不必要条件的是
4m5
，故选D.

2．A 解析：依题意
A

2,1

,B

0,

3.D 解析：由已知
a
n1
a
n



1< br>
1

A
I
B
，故

0,< br>
.
2

2

x
2
y
2
66
eca,a2b

2
02yx
2< br>22
b
4. A解析：，渐近线方程
2b
，因此左顶点到一条渐
22
|a|26
xy
a22,b2
1
3
4< br>近线的距离为
3
，即该双曲线的标准方程为
8
，选A.

5. D解析：对于①，有可能
m

，故错误；对于③

,

可能相交，故错误.所以选D.
6 .D 解析：
aab

7. D 解析：
x0
时，
y1
，代入验证，排除A，B，C选项，故选D.
8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为
2
，设
P(x,0,0)
，
O(1,1,2)
，
xyy
uuur uuuur
M(0,2,1)
，
A(0,0,2)
，∴
OP(x 1,1,2)
，
AM(0,2,1)
，
uuuruuuur

∴
OPAM(x1)012(2)(1)0
，即
OPAM
，故夹角为，故选C.
2
9．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图 ，即矩形
ABCC
1
B
1
A
1
A
的对角线
AC
1
（经过
BB
1
）、或矩形
ABCC
1
D
1
DA
的对角线
AC
1
（经过
CD< br>），故视图为②④.
精选范本

.
10. A 解析：由偶函数排除B、D,
0cosx1,y0,
排除C.
11.A 解析：由题意
MF
2
2
MF
1

12a
MF
2
eMF
2
MF
1
2aMF
2
MF
2
ac

e1e

1e

2
221e1
< br>12.B解析：∵点
（0，4）
到直线
xcos

(y4 )sin

1
的距离
d
1
cos

 sin

2
22
1，
∴直线
xcos

(y4)sin

1
始终与圆
x
2

y4

1
相切，
∴集合
A
表示除圆
x< br>2


y4

1
以外所有的点组成的集合， < br>2
∴集合
C
U
A
表示圆
x
2

y4

1
，其对称中心
M

0,4

2
如图所示：设
M
是点
M

0 ,4

关于直线线段
xy8(x0,y0)
的对称点，设
M
，
（a，b）

b4
＝1


a 4

a0

则由

求得

，可得
M
．
（4，8）



a0 b4
b8


8

22
设
M
关于
x
轴的对称点为
M（
，易得
M（
，则直线QM

，和线段的交点为
P
，则此时，
m，n）4，-8）
为最
MPQ
的周长为
MPPQQMPM

PQ QMM

QQMM

QQMM

M410
，
小值，

二、填空题
13.

12
→→→→→→→→→→→→
解析:由
AP
·
B C
＝(
λAB
＋
AC
)·(
AC
－
AB< br>)＝
λAB
·
AC
－
λ
(
AB
)< br>2
＋(
AC
)
2
－
AC
·
AB＝0，
7
12
得－3
λ
－4
λ
＋9＋3＝0 ，解得
λ
＝.
7
14．9 解析:

x8y18
18

x2y1

16yx

1

16yx







10



102

9


xyyx

yx

22

xy

2

xy

n

a
1
a
n
n

a
5
a
n4

n

230

336n21

222
15． 21 解析：
S
n

16．①③④
精选范本

.

sin

x,x

0,2


【解析】：
f

x


< br>1
的图象如图所示，①
f(x)
的最大值为
1
，最小值为1
，所以

f

x2

,x

2,

2
任取
x
1
,x
2


0,

1
2
，都有
f

x
1

f

x
2

2
12
恒成立，正确；
②
f()2f(2)4f(4)6f(6)8f (
8)
，故不正确；③如图所示，函数
1
2
1
2
1
2
④由题意，可得，
x(2k,2k2)
，
f(x)
max

yf

x

ln

x1< br>
有
3
个零点；
1k1
（）
，．证
min
xk1
2
k
明
1111

k
，即证明< br>2
k

k

1
，又
2
k
 k1
，

(k1)
，所以

k
，所以对任意< br>x0
，不等
k1
2
k12
k2
恒成立，所以对 任意
x0
，不等式
f

x


恒成立正 确．故答案：①③④.
xx
式
f(x)

三、解答题
17. 解析：若

p

q
是真命题，则
p< br>为假命题且
q
为真命题.分别求出
p,q
为真时，参数
a的范围，取其
补集即得
p
为假时，参数
a
的范围，取交集即得实 数
a
的取值范围.

a
2
2a10,
< br>0,

0a1,

1

0a1,试题解析：若
p
真，则

即

∴
21a
.
2

f

0

0,

12a0,


f

1

0,


24a0,
若
q
真，
g< br>
x






1a

xa,xa,
Q
a0
∴


1a

0
，




1a

xa,xa,
即
g

x

在

, a

上是单调递减的，要使
g

x

有最小值，则
g

x

在

a,

上单调 递增或为常数，
即
1a0
，∴
0a1
.
若
p

q
是真命题，则
p
为假命题且
q< br>为真命题，
精选范本

.
1

1

0a21或a,
∴

2
即
0a21
或
a1
.
2

0a1

∴实数
a
的取值范围为
0,21

U



1

.


2
,1


18． 解：(1)证明：如图，因为
DO
⊥
α
，
AB
⊂
α
，所以
DO
⊥
AB
.
连接
BD
，由题设知，△
ABD
是正三角形，又
E
是
AB
的中点，所以
DE
⊥
AB
.而
DO
∩
DE
＝
D
，故
AB
⊥平面
ODE
.

(2)因为
BC
∥
AD
，所以
BC
与< br>OD
所成的角等于
AD
与
OD
所成的角，即∠
ADO
是
BC
与
OD
所成的
角．
由(1)知，
AB
⊥平面
ODE
，所以
AB
⊥
OE
.又
DE
⊥
AB
，于是∠
DEO
是二面角
α
­
MN
­
β
的平面角，从而
∠
DEO
＝60°.
不妨设
AB
＝2，则
AD
＝2，易知
DE
＝3.
3
在Rt△
DOE
中，
DO
＝
DE
·si n 60°＝.
2
3
DO
2
3
连接
AO
，在Rt△
AOD
中，cos∠
ADO
＝＝


A D
24
19．（1）在
ABD
中，
Q
cosB

27

2721
,
,B

0,
< br>
,sinB1cos
2
B1


7


77

21

1

27321
,
g

g


7
2

7214
1
21
7
2
.
2 1
14
2
sinBADsin

BADB

由正弦定理
BD
ADBD

, 知
AD

sinBAD
sinBsinBAD
（2）由（1）知
AD2
，依题意得
AC2AE3
,在
ACD
中，由余弦定理得
A C
2
AD
2
DC
2
2ADgCDcosADC,即
94DC
2
22CDcos
DC
2
 2DC50
,解得
DC16
（负值舍去）.
S
AD< br>
113332
ADgDCsinADC216
,
2222

3
,

精选范本

.
从而
S
AD

1332
S
ADC

.
24
2
20．（1）设
x

0,1

，则
x

1,0

， 所以
f

x

f

x

 3x
；
2


3x,x

1,0

（2）由（1）知，
f

x



，所 以
f

x

max
f

1
< br>3
，
2
3x,x0,1



因为
f

x

2cos
2
2

a sin

1
对
x

1,1

都成 立，即
2cos
2

asin

1f
x

max
3
，
即
2cos

 asin

13
对
a

1,1

恒成立，

2cos
2

sin

13

2sin
2

sin

0
所以
，即

，
22

2cos

s in

13

2sin

sin

0
所以
sin

0
，即

k

kZ

，所以

的取值范围为


|

k

,kZ

．
x
2
y
2
21.⑴设椭圆的方程为
2

2
1
ab0

；
ab

x
2
y
2< br>
2

2
1
联立

a
得

b
2
a
2

x
2
23a
2
x3a
2
a
2
b
2
0
有唯一根；
b

yx3

所以
V23a
22

2

2
4

b
2
a
2
3a
2
a
2
b
2

0
，得
b
2
a
2
3

22
x
2
y
2
1

又
a b1
，所以
a2,b1
，所以椭圆的方程为：
2
⑵若PQ的斜 率不存在或为0时，
S
PQMN

PQMN

2
’
2
若PQ的斜率存在，设为
k

k0

，则MN 的斜率为

直线PQ的方程为
ykxk
，设
P

x
1
,y
1

,Q

x
2
,y
2


1

k

x
2
1 k
2

y
2
1
2
2222
联立
2

得

2k1

x4kx2k2 0
，则
PQ1kx
1
x
2
22
2
12k

ykxk

1k
2
同理
MN 22
,
2
2k
精选范本

.
所以S
PQMN
1
2


k

1

1

PQMN
k2k11
2
4
444
=


42
22k5k
2
2 22k5k2


2
4k
2
10
4
2

k

42



，


因为
4k
2
1
4

1
< br>2
0,

，
k1
，当时取等号，所以
84

k
2
2
4k10
2

18< br>
k


11
所以
4



2
4k
2
10
4
2
k

2 2．（1）∵



16

16


,2

，所以四边形PQMN面积的最小值为，最大值为2。
9

9


A
n1
A
n
1 1

A


，∴数列

n

是 首项为1，公差为的等差数列，
n1n22

n

∴
n

n1

A
n
111
nN
*

，
A
1


n1

n，即
A
n


2
n222
∴
a
n1
A
n1
A
n


n1
 
n2


n

n1

n122

nN

，
*
又
a
1
1
，∴
a
n
nnN
*
．
∵
b
n2
2b
n1
b
n
0
，∴数列

b
n

是等差数列，
设

b
n

的前
n
项和为
B
n
，∵
B
9

∴
b
7
9
，∴

b
n
的公差为
（2）由（1）知
c
n


9
< br>b
3
b
7

63
且
b
3
5
，
2
b
7
b
3
95
1, b
n
n2

nN
*


737 3
b
n
a
n
n2n1

1
 22



，
a
n
b
n
nn 2nn2

∴
T
n
c
1
c
2< br>
L
c
n
2n2

1


11111


L



324n n2

11

1

1

1
 2n2

12n32

，

2n 1n2

n1n2

∴
T
n
2n3 2

1

1



n1n2
设
R
n
32

1

1

4

1

1

，则
RR2 0
，

n1n

n1n2


n1n3


n1

n3

精选范本

.
∴数列

R
n

为递增数列，
∴

R
n

min
R
1
4
，
3
4
．
3
∵对任意正整数
n
，都有
T
n

2
na
恒成立，∴
a
（ 3）数列

a
n

的前
n
项和
A
n

n

n1

n

n5

，数列

b
n

的前
n
项和
B< br>n

，
22
k

k1

k
k5

k
2
3k
；
22
①当
n2kkN
*
时，
S
n
A
k
 B
k


②当
n4k1kN
*
时，
S
n
A
2k1
B
2k

特别地，当
n1
时，
S
1
1
也符合上式；
③当
n4 k1kN


2k1

2k2

< br>2k

2k5

4k
2
8k1
，
22

*

时，
S
n
A
2k 1
B
2k
2k1

2k2k

2k5

4k
2
4k
．
22
1
2
3

nn,n2k

42

2

n 6n3
,n4k3,kN
*
综上：
S
n

4


n
2
6n5
,n4k1
4


精选范本