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高中数学竞赛试题

4
x
1． 设
f
< br>x


x
，求和
42

1
f


2007


2

f

2007


2006

f

．
2007

2．在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都 是负数，而
任意连续11项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明
你的结论． < br>3．已知
f(x)x
2
pxq
，求证
f(1),f(2 ),f(3)
中至少有一个不小
于．
4．已知
ab0
，解函数方 程
af(x)bf(x)c(1x)
．
5．设
f

x

ax
2
bxc
，
a,b,c
为实数， 如果对于所有适合
1x1
的
x
值，都有
1f
< br>x

1
成立，则对这些
x
的值有
42axb 4
．
6．证明
n
3
n
2
n1
对 任何正整数
n
都是整数，并且用3除时
余2．
7．已知
a, b< br>为非零的不共线向量，设条件M：
b

ab

；条件N：
对一切
xR
不等式
axbab
恒成立．则M成立是N成立的 什么条
件？证明你的结论．
8．设多项式
f

x

a
0
x
n
a
1
x
n1


a
n1
xa
n
的系数都是整数，并
且有一个奇数< br>
及一个偶数

使得
f



及< br>f



都是奇数，求证方程
f

x

0
没有整数根．
1
2
3
2
1
2
9．设
P(x)a
k
x
k
a
k1
x
k1
a
1
xa
0
，式中各系数
a
j
(j0,1,,k)
都是
整数．今设有4个不同的整数
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
使
p(x
i
)(i1,2,3,4)
都等于2．试
证明对于任何整数
x,p(x)
必 不等于1，3，5，7，9 中的任何一个．

10．已知数列

a
n

满足
a
1
a
2
1,a
n 2
a
n1
a
n
，求数列的通项．
11．用任意 的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：
一定存在一个边长为1或
3
的正 三角形，它的三个顶点是同色的．
12．已知凸四边形
ABCD
，求证这个凸四边形 一定可以被
AB,BC,CD,DA
为直径的半圆共同覆盖．
13．在
AB C
中，设
ABAC
，过
A
作
ABC
的外接圆的切 线
l
，又
以
A
为圆心，
AC
为半径作圆分别交线段
AB
于
D
，交直线
l
于
E
、
F< br>．证
明：
DE、DF
通过
ABC
内心和一个旁心．
14．设
H
是锐角△
ABC
的垂心,由
A
向以
B C
为直径的圆作切线
AP,AQ
,切点分别为
P,Q
.求证:
P,H,Q
三点共线..
15．在等边
ABC
所在的平面上找这样的一点
P
，使
PAB,PBC,PAC
都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几 个．
16．过圆外一点
P
作圆的两条切线和一条割线，切点为
A
、
B
．所
作割线交圆于
C
、
D
两点，
C在
P
、
D
之间．在弦
CD
上取一点
Q
，使
DAQPBC
．求证：
DBQPAC
．
17．将 平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这
样的两个相似三角形，它们的相似比为2007 ，并且每一个三角形的
三个顶点同色．
18．在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，
整点凸五边形内必有整点．
19．如图,菱形
ABCD
的内切圆
O
与各边
分别切于E,F,G,H
,在弧
EF
与弧
GH
上分别

作⊙O的切线交
AB
于
M,
交
BC
于
N
,交
CD
于
P
,交
DA
于
Q
.求证MQNP.

20．平面上有6个点，任何3点都是一个不等边三角形的顶点，
则 这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．
21．在正方体的8个顶点处分别放上8个 不同的正整数，如果他
们的和等于55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对顶点所放
的数 都是奇数．
22．设
d
是异于2，5，13的任一整数．求证在集合

2,5,13,d

中
可以找到两个不同元素
a,b
，使得
ab1
不是完全平方数．
23．设有
2n1

n1

个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意
翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的 还可以再翻动），证明，无论
翻动多少次，都不可能使杯口都朝下．
24．有100盏电灯， 排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号
码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着 ．最初，电灯
全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为
1的倍数的 电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号
码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学 生走过来，把凡是号
码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过
来，把 编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问
哪些灯是亮的？
25．证明对任意正整数
n
，分数
21n4
不可约．
1 4n3

的前24位数字为

3.979323846264
， 26．记
a
1
,a
2
,,a
24

为 该24个数字的任一排列，求证

a
1
a
2

a
3
a
4

a
23
a
24

必为偶数．
27．用


n

表示
n
的约数个数，请对


1




2




2007

的奇偶
性作出 证明．
28设
p
与
q
为正整数，满足
被1979整除．
29．用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色．求证，
存在同色两点，它们的距离为 1或为2．
30．有
n
个同学围坐在圆周上

n4
< br>，若每个学生的两旁都是一
男一女，求证
n
是4的倍数．
31．如果 从数1，2，
,
14中按由小到大的顺序取出
a
1
，
a< br>2
，
a
3
，
使同时满足
a
2
a
1
≥3,
a
3
a
2
≥3,那么，所有符合上述要 求的不同取
法有多少种？
32．证明：在任意6个人中，总可以找到3个人互相认识，或互< br>相不认识，并且这种情况至少出现两个．
33．在一次乒乓球循环赛中，
n
名 选手中没有全胜的，证明，一
定可以从中找到3名选手
A,B,C
，使得
A< br>胜
B
，
B
胜
C
，
C
胜
A< br>．
34．甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂
台赛，双方先由1 号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员
比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一 方获胜利，形
成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？
35．设有2n2n
的正方形方格棋盘，在其中任意的
3n
个方格中放
一枚棋子， 求证，可以选出
n
行
n
列，使得
3n
枚棋子都在这
n
行和
n
列
p1111
1
求证
p
可
q2313181319

中．
36．凸< br>n
边形（
n4
）玫瑰园的
n
个顶点各栽有1棵红玫瑰，每< br>两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共
点”的情况——它们把花园分 割成许多不重叠的区域（三角形、四边
形，…），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．
⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵数
f(n)
的表达式．
⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．
37．李明夫妇最近参加了一次集会，同时出席的还有三对夫 妻．一
见面，大家互相握手，当然夫妻之间不握手，也没有人与同一个人握
两次手．握手完毕后 ，李明统计了包括妻子在内的7个人握手的次数，
发现恰好数字互不相同．请问，李明的妻子握了几次手 ?
38．设
n
是正整数，我们说集合

1,2,,2n

的一个排列

x
1
,x
2
,,x
2n< br>
1,2,,2n1

当中至少有一个
i
，使得
|x
i
x
i1
|n
，具有性质
p
，是指在< br>
求证对于任何
n
，具有性质
p
的排列比不具有性质
p
的排列的个数多．
39．运动会连续开了
n
天（
n1
），一共发了
m
枚奖章．第一天发
1枚以及剩下
m1
枚的，第二 天发2枚以及发后剩下的 ，以后每
天均按此规律发奖章．在最后一天即第
n
天发了剩 下的
n
枚奖章，问
运动会开了多少天，一共发了多少枚奖章？
40．有17 位科学家，每一个和其他人都通信，在他们的书信中
一共讨论3个题目，而每两个科学家仅仅讨论一个题 目，证明，至少
有3个科学家，他们互相讨论同一题目．


1
7
1
7