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中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案


一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了
代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确
选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）


xy12,
1．方程组

的解的个数为（ ）．


xy6
（A）1 （B） 2（C） 3 （D）4
答：（A）．


xy12,
x
解：若≥ 0，则

于是
yy6
，显然不可能．
xy6,




xy12,
若
x0
，则


xy6,


于是
yy18
，解得
y9
，进而求得
x3
．

x3,
所以，原方程组的解为

只有1个解．

y9,
故选（A）．
2．口袋中有20个球，其中白球9个， 红球5个，黑球6个．现从中任取
10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球 不多于3
个，那么上述取法的种数是（ ）．
（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20
答：（B）．
解：用枚举法：
红球个数 白球个数 黑球个数 种 数
5 2，3，4，5 3，2，1，0 4
4 3，4，5，6 3，2，1，0 4
3 4，5，6，7 3，2，1，0 4
2 5，6，7，8 3，2，1，0 4
所以，共16种．
故选（B）．
3．已知△
ABC
为锐角三角形 ，⊙
O
经过点B，C，且与边AB，AC分别相
交于点D，E． 若⊙
O的半径与△
ADE
的外接圆的半径相等，则⊙
O
一定经过

△
ABC
的（ ）．
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
答：（B）．
解： 如图，连接BE，因为△
A BC
为锐角三角形，所以
BAC
，
ABE
均为锐角．又因为⊙< br>O
的半径与△
ADE
的外
接圆的半径相等，且
DE
为 两圆的公共弦，所以
BACABE
．于是，
BECBACABE2 BAC
．
若△
ABC
的外心为
O
1
，则
BO
1
C2BAC
，所以，⊙
O
一定过△
ABC< br>的外心．
故选（B）．
4．已知三个关于x的一元二次方程
ax
2
bxc0
，
bx
2
cxa0
，
cx
2
axb0

a
2
b
2
c
2
恰有一个公共实数根，则

的值为（ ）．
bccaab
（第3题答案图）
（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3
答：（D）．
解：设
x
0
是它们的一个公共实数根，则
ax
0
bx
0
c0
，
bx
0
cx
0
a 0
，
cx
0
ax
0
b0
．

把上面三个式子相加，并整理得
2
(abc)(x
0
x
0
1)0
． < br>222
13
2
因为
x
0
x
0
1 (x
0
)
2
0
，所以
abc0
．
24
于是
a
2
b
2
c
2
a3
b
3
c
3
a
3
b
3
(ab)
3


bccaababcabc

故选（D）．
3ab(ab)
3
．
abc
5．方程
x
3
6x
2
5xy
3
y2
的整数解（x，y）的个数 是（ ）．
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
答：（A）．

解：原方程可化为
x(x1)(x2)（3x
2
x）y(y1)(y1)2
，
因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3
余2，这是不可 能的．所以，原方程无整数解．
故选(A).
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，在直角三角形ABC中，ACB90
，CA＝4．点P是半圆弧AC
的中点，连接BP，线段BP把图形AP CB分成两部分，则这两部分面积之差的
绝对值是 ．
答：4．
解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称
点记为点E，线段BP把图形APCB分 成两部分，这两部分面积之
差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而
11
S
BPO
POCO222
．
22
因此，这两部分面积之差的绝对值是4．
7．如图, 点A，C都在函数
y
（第6题答案图）
33
(x0)
的图象上 ，点B，D都在
x
轴上，
x
且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点 D的坐标
为 ．
答：（
26
，0）．
解：如 图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别
为E，F．设OE＝a，BF
＝
b， 则AE＝
3a
，CF＝
3b
，
所以，点A，C的坐标为
（第7题答案图）
（
a
，
3a
），（2
a
＋b，
3b
），
2


3a33,
所以




3b(2ab)33,
解得


a3,




b63,因此，点D的坐标为（
26
，0）．

8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数
yx
2


a3

x3
的图象与线段AB恰有一个 交点，则
a
的取值范围是 ．
1
答：< br>1
≤
a
，或者
a323
．
2
解：分两种情况：
（Ⅰ）因为二次函数
yx
2

a3

x3
的图象与线段AB只有一个交点，且
点A，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以

1
1
得
1a
．
2
2
(a3)132
2
(a3)230
，

由
1
2
(a3)130
，得
a1
，此时x
1
1
，
x
2
3
，符合题意；
3
1
由
2
2
(a3)230
，得
a
，此时
x
1
2
，
x
2

，不符 合题意．
2
2
（Ⅱ）令
x
2


a3

x30
，由判别式
0
，得
a323
．
当
a323
时，
x
1
x
2
 3
，不合题意；当
a323
时，
x
1
x
2< br>3
，
符合题意．
1
综上所述，
a
的取值范围是< br>1
≤
a
，或者
a323
．
2
9 ．如图，
ABCDEFGn90
，则n＝ ．
答：6．
解：如图，设AF与BG相交于点Q，则
AQGADG
，
于是
ABCDEFG

BCEFAQG

BCEFBQF

540690
．
所以，n＝6．
10．已知对于任意正整数n，都有
a
1
a
2
La
n
n
3
，
（第9题答案图）
则
111

L

．
a
2
1a
3
1a
100
1

33
．
100
解：当
n
≥2时，有
答：

a
1
a
2
a
n1
a
n
n
3
，
a
1
a
2
La
n1
(n1)
3
，
两式相减，得
a
n
3n
2
3n1
，
所以
11111
(),

n2,3,4,

a
n
13n(n1)3n1n
111

L


a
2
1a
3
1a
100
1
因此
11111111
(1)()L()

32323399100
1133
．
(1)
3100100
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） < br>11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线
y
上的一个动点．
（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线
y1
的位置关系；
（2）设直线PM与抛物线
y
证：
PNMQNM
．
解：（1）设点P的坐标为
(x
0
,
1
2
x
0< br>)
，则
4
1
2
x
的另一个交点为点Q，连接NP， NQ，求
4
1
2
x
4
1
2
1
2< br>1
22
(x
0
1)
2
(x
0
1)
2
x
0
1
; PM＝
x
0
44 4
1
2
1
2
(1)x
0
1
， 又 因为点P到直线
y1
的距离为
x
0
44
所以，以点P为 圆心，PM为半径的圆与直线
y1
相切．
…………5分
（2）如图，分别过点P，Q作直线
y1
的垂线，垂
足分别为H，R．由 （1）知，PH＝PM，同理可得，QM
＝QR．
（第11A题答案图）

< br>因为PH，MN，QR都垂直于直线
y1
，所以，PH∥MN∥QR，于是
QMMP
，

RNNH
QRPH
所以 ，

RNHN

因此，Rt△
PHN
∽Rt△
QRN
．
于是
HNPRNQ
，从而
PNMQNM
．
…………15分
1
12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程
x2
abx(ab)0
是
2
否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.
解：不妨设
a
≤b，且方程的两个整数根为
x
1
,x
2
(x
1
≤
x
2
)，则有

x
1
x
2
ab,



1
xx(ab),
12

2

所以
x
1
x
2
x
1
x
2
ab ab
，
4(x
1
1)(x
2
1)(2a1)( 2b1)5
.
1
2
1
2
…………5分
因为
a
,b都是正整数，所以x
1
，x
2
均是正整 数，于是，
x
1
1
≥0,
x
2
1
≥0 ，
2a1
≥1,
2b1
≥1，所以


（

x1)(x
2
1)1,

( x
1
1)(x
2
1)0,
或

1

(2a1)(2b1)5,


(2 a1)(2b1)1.
（1）当


(x
1
1)(x
2
1)0,
时，由于a,b都是正整数，且
a
≤b， 可得
(2a1)(2b1)5

a＝1，b＝3，
此时，一元二次 方程为
x
2
3x20
，它的两个根为
x
1
 1
，
x
2
2
．
（2）当


(x
1
1)(x
2
1)1,
时，可得
(2a1)(2b1)1

a＝1，b＝1，
此时，一元二次方程为
x
2
x10
，它无整数解.
综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数
解为
x
1
1
，
x
2
2
． ……………15分

13（A）．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB
上 的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与
半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径 作⊙B，
⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：
MP分别与⊙A和⊙B相切 ．
证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点
C，D作AB的垂线，垂足分别 为
E,F
，则CE∥DF．
因为AB是⊙O的直径，所以
ACBADB90
．
在Rt△
ABC
和Rt△
ABD
中，由射影定理得
PA
2
AC
2
AEAB
，
（第13A题答案图）
PB
2
BD
2
BFAB
．
……………5分
两式相减可得
PA
2
PB
2
AB

AEBF

，
又
PA
2
PB
2
(PAPB)(PAPB)AB

PAPB

，
于是有
AEBFPAPB
，
即
PAAEPBBF
，
所以
PEPF
，也就是说，点P是线段EF的中点．
因此，MP是直角梯 形
CDFE
的中位线，于是有
MPAB
，从而可得MP分
别与⊙A 和⊙B相切．
……………15分
14（A）．（1）是否存在正整数m，n，使得
m(m2)n(n1)
？ < br>（2）设
k
(
k
≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得
m(mk)n(n1)
？
解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使 得
m(m2)n(n1)
，则
(m1)
2
n
2
n1
，
显然
n1
，于是
n
2
n
2
n1(n1)
2
，
所以，
n
2
n1
不是平方数，矛盾． ……………5分

（2）当
k3
时，若存在正整数m，n，满足m(m3)n(n1)
，则
4m
2
12m4n
2
4n
，
(2m3)
2
(2n1)
2
8
，
(2m32n1)(2m32n1)8
，
(mn1)(mn2)2
，
而
mn22
，故上式不可能成立．
………………10分
当
k
≥4时，若
k2t
（t是不小于2的整数）为偶数，取
mt
2
t,nt
2
1
，
则
m(mk)(t
2
t)(t
2
t)t
4
t
2
，

n(n1)(t2
1)t
2
t
4
t
2
，
因此这样的（m，n）满足条件．
若
k2t
＋1（t是不小于2的整数）为奇数，取
t
2
tt
2
t2
m,n
，
2 2
t
2
tt
2
t1
(2t1)(t
4< br>2t
3
t
2
2t)
， 则
m(mk)
224
t
2
t2t
2
t1
4
(t2t
3
t
2
2t)
，
n(n1)
224
因此这样的（m，n）满足条件．
综上所述，当
k3
时，答案是否定的；当
k
≥4时，答案是肯定的．
……………15分
注：当
k
≥4时，构造的例子不是唯一的．

11（B）．已知抛物线
C
1
：
yx
2
3x4
和抛物线
C
2
：
yx
2
3x4
相交
于A，B两点. 点P在抛物线C
1
上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线
C
2
上，也位于 点A和点B之间.
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．
解：（1）解方程组

yx
2
3x4,



2


yx3x4,
得


x
1
2,

x2,


2


y
1
6,

y
2
6,
所以，点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．
于是
AB(22)
2
(66)
2
410
．
…………5分
（2）如图，当PQ∥y轴时，设点P，Q的坐标分别为
(t,t
2
3t4)
，
(t,t
2
3t4)
，
2t2
，
因此 PQ
2(4t
2
)
≤8，
当
t0
时等号成立，所以，PQ的长的最大值8．
……………15分
（第11B题答案图）

12（B）．实数a，b，c满足a≤ b≤c，且
abbcca0
，abc＝1．求最大
的实数k，使得不等式
ab
≥
kc

恒成立．
3
解：当
a b2
，
c
3
2
时，实数a，b，c满足题设条件，此时
k
≤4．
2
……………5分
下面证明：不等式
ab
≥
4c
对满足题设条件的 实数a，b，c恒成立．
由已知条件知，a，b，c都不等于0，且
c0
．因为
11
ab0,ab
2
0
，
cc
所以
a
≤
b0
．

由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程
11
x
2

2
x0

cc
的两个实数根，于是
14

4

≥0，
cc
1
所以
c
3
≤．
4
……………10分
因此
1

ab(ab)
2
≥
4c4c
．
c
……………15分
13（B）．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD， BC的延长线上，
且满足
DEAD
．若
CD
，
FE
的延长线相交于点
G
，△
DEG
的外接圆与△
CFG
CFBC
ADPD
；

BCPC
的外接圆的另一个交点为点< br>P
，连接PA，PB，PC，PD．求证：
（1）
（2）△
PAB
∽△
PDC
．
证明：（1 ）连接PE，PF，PG，因为
PDGPEG
，
所以
PDCPE F
．
又因为
PCGPFG
，所以
△
PDC
∽△
PEF
，
PDPE
于是有
,CPDFPE
，
PCPF
从而 △
PDE
∽△
PCF
，
PDDE
所以 ．

PCCF
DEADADPD
又已知，所以，．

CFBCBCPC
（第13B题答案图）
………………10分 （2）由于
PDAPGEPCB
，结合（1）知，△
PDA
∽ △
PCB
，从而
有
PAPD
,

DPACPB
，
PBPC
所以
APBDPC
，因此
△
PAB
∽△
PDC
． ………………15分

14（B）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足
1≤
u15

．

v2

证明：设 任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设
abc
．若结论不成立，
则必有
a
15
≥，
○
1
2
b
b
15
≥．
○
2
2
c
………………5分
记
bcs,abtcst
，显然
s,t0
，代入
○
1得
cst
15
≥，
2
cs
st
1
cc
≥
15
，
s
2
1
c
st
令
x,y
，则
cc
1xy
15
≥．
○
3
2
1x
由
abc
，得
cstcsc
，即
tc
，于是
y
由
○2得
t
1
．
c
15
bcs
，
○
4
1x
≥
2
cc
由
○
3，
○
4得

15

5115
1
，
1(1x )
≥
y
≥


2

22
< br>此式与
y1
矛盾．从而命题得证．
………………15分

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