吸毒的危害-新癀片

初中数学竞赛试题汇编
文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

中国教育学会中学数学教学专业委员会
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
（本卷满分120分，考试时间120 分钟）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
在下列各小题中，均给出四个答案 ，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母
代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分 ．
1. 从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够
A
组成等腰三角形的概率是（ ）
A．
1
4
B． C． D．1
B
2．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN
于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为（ ）
A．38 B．39 C．40 D. 41
3．已知
xy1
，且有
5x
2
2011x90
，
9y
2
2011 y50
，则
A．
5
9
1
3
1
2
（第2题
N
M
C
x
的值等于（ ）
y
B． C．

9
5
20112011
D．

59
4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三
形的三边为直径作三个半圆(如 图所示)，已知两个月牙形(带
（第4题
角
斜
接线的阴影图形)的面积之和是 10，那么以下四个整数中，最
近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）
A．6 B. 7 C．8 D．9
b
2
b
2
5．设
a
，
b
，
c
是△ABC的三边长，二次函数
y(a)x
2
cxa
在
x1
时取最
小值

b
，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按
照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数
据
b
，
a
，取出数据的顺序是
a
，
b
；堆栈（2）的3 个连续存储单元已依次存入
数据
e
，
d
，
c
，取 出数据的顺序是
c
，
d
，
e
，现在要从这两个堆栈中取出5
（1）
个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）
（第6题

8
5

A．5种 B．6种 C．10种 D．12种
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7．若
x
2
2x140
，则满足该方程的所有根之和为 .
8．（人教版考生做）如图A，在 ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且
与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为 ．
8．（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的
两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则
2a
4
 3xa
2
22

9．已知
aa10
，且
3
，则
x
．
3
a2xa
2
a
2
FG

．
AF
10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，< br>且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单
价为9元 的商品有 件．
11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好 照在土坡的坡面CD和地面
BC上，如果CD与地面成
45
o
，∠A=
60
o
，CD=4m，BC=
(4622)
m，则电线杆AB的
长为
12．实数
x
与
y
，使得
xy
，
xy
，
xy
，
C
x
四个数中的三个有 相同的数值，则所有
y
具有这样性质的数对
(x,y)
为 ．
D C
三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分）
A
13.（本题满分20分）
E
D
F
E
已知：
(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)
是完全平方式．求证：
abc
．
G
B C
A
B
14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系
B
A
D
(第11题图)
中，动点M，A，C同时出发，其中点M沿AO向
（第8题图A）
N

以每秒１个单位的速度分别从点
（第8题图B）
终点O运动，点N沿CB向终点B运 动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥
BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；
（2）记△OMP的面积为S，求S
与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求
t为何值时，S有最大值
O

yy
C
N
B
C
B
P
M
A
x
O
（备用图）
A
x
(第14题图)

（3）试探究：当S有最大 值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成
三角形和四边形两部分，且三角形的面积是 △ONC面积的若存在，求出点T的坐标；
若不存在，请说明理由．
15.（本题满分20分）

对于给定的抛物线
yx
2
 axb
，使实数
p
，
q
适合于
ap2(bq)
.（1）证明：抛
物线
yx
2
pxq
通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，
x
2
axb
0
与
x
2
pxq0
中至少有一个方程有
实数根.
1
3
2013年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分
题 号
得 分
评卷人
复查人
答题时注意：
1.
用圆珠笔或钢笔作答；
一
1~5



二
6~10



三
11



12



13



14



总分




.解答书写时不要超过装订线；
草稿纸不上交。
一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、
C、D的四个选项 ，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的
括号里，不填、多填或错填都得0分 ）

a2b3c0
abbcca
1.设非零实数
a、
b
、
c
满足

，则
2
的值为（ ）
22
2a3b4c0
abc

(A) -
11
( B) 0 (C) (D) 1
22
2.已知
a
、
b
、
c
是实常数 ，关于
x
的一元二次方程
ax
2
bxc0
有两个非零 实根，则
下列关于
x
的一元二次方程
ax
2
bxc< br>0
中，以
11
，为两个实根的是（ ）
22
x
1
x
2
(A)
c
2
x
2
(b
2
2ac)xa
2
0
( B)
c
2
x
2
(b
2
2ac)xa
2
0

(C)
c2
x
2
(b
2
2ac)xa
2
0 (D)
c
2
x
2
(b
2
 2ac)xa
2
0

3，如图，在Rt△ABC中,已知O是斜边AB 的中点，
CD⊥AB,垂足为D，DE⊥OC,垂足为E，若AD，DB，
CD的长度都是有理 数，则线段OD、OE、DE，AC的
．．．
长度中，不一定是有理数的为（ ）
(A) OD ( B) OE
(C) DE (D) AC
4、如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F
且BC=4 AF，DCFE是平行四边形，则图阴影部分(△BDE+
的面积为（ ）。
(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8
5．对于任意实数x，y ，z，定义运算“*”为：
B
A
C
A
D
E
O
B
在线段BC上，
D
E
△ADE)
A
C
F
3x
3
3x
2
y
2
xy
3
45< br>，且
x*y*z(x*y)*z
，则
x*y
(x1)
3
(y1)
3
60
2013*2012*……*3*2的值为（ ）
(A)
E
D
F
6389
( B) (C) (D)
967967967967
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
BC
6.设
a
3
3
，
b
是
a
2
的小数部分，则
(b2)
3
的值为
７.如图， 点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，直线BD与CE交于点F，
已知△CDF，△BFE， △BCF的面积分别是3，4，5则四边形AEFD的面积
是 。
８.已知正整数
a
、
b
、
c
满足
ab
2
2
c
2

0
，
3a
2
8bc 0
，则
a
b
c
的最大
值为 。

９.实数
a
，
b
，
c
，
d
满足：一元二次方程
x
2
cxd
0
的两根 为
a
，
b
，一元二
次方程
x
2
axb 
0
的两根为
c
，
d
，则所有满足条件的数组（
a
，
b
，
c
，
d
）
为 。
10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。开始
时他有铅笔 和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是
2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11.如图，抛物线
yax
2
bx3
，顶点为E，该抛
D
物线
x
与轴交于A，B两点，与
y
轴交于点C，且
1
OB=OC=3OA。直线< br>yx1
与
y
轴交于点D，求∠
3
DBC-∠CBE.
12.、设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，
C，H，O共圆，对于所有的△ABC ，求
∠BAC所有可能的度数。
A
O B
C
E
13.设
a
，
b
，
c
是素数，记
xbca< br>，
ycab
，
zabc
，当
z
2
y
，
xy2
时，
a
，
b
，
c能否构成三角形的三边长证明你的结论。
14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数 可被7整除，那么称M为m的
“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7 整除，所以称86为415
,a
n
，满足任意
的魔术数），求正整数n的最小 值，使得存在互不相同的正整数
a
1
a
2

,a
n
中都至少有一个为的m魔术数。
一个正整数m，在
a
1
a
2

2013年全国初中数学联赛江西预赛试题
时间：2013年3月10日上午9：00－11：30

一、选择题（每小题7分，共6题，计42分）
22
4m5mn6n
mn
1、若同号，则
2
的值是（ ）
,且m、n
2
2n3m5n
m2mn3n
A、7 B、6 C、5 D、4
2、若△ABC中，AB＝
62
，BC=2, △ABC的面积是1，若∠B是锐角，则∠ACB
的度数是（ ）
A、30° B、45° C、60° D、75°
22
3、若
a
，ab≠1, 则
7a90,b7b90
b

a
a
的值为
b
（ ）
A、
13
B、

3
13
C、

3
13
D 、0
3
4、一块木板上钉 有9枚铁钉，钉尖向上如图，用橡皮盘套住往其中4枚铁钉，构成一
个平行四边形，共有套法（ ）
A、82 B、40 C、22 D、21
5一个正整数若能表示为两个 正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，在正整数
列中，从1开始数起，问第1990个“智慧 数”是（ ）
A、2663 B、2664 C、2665 D、2626
6、能使方程mx
2
+2(2m-1)x+4(m-3)=0至少有一个整数解的正整数a的值的个数有
（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
二、填空题（每题7分，共4小题，计28分）

7、如 图：在△ABC中，AB＝9，BC=4,Q为AC的
中点，P为AB边上一点，且∠APQ=90°+ ∠B，
则BP的长为______
8、为了迎接2016年世界杯足球赛的到来，某足球协会 举办了一次足球联赛，其记分规
则及奖励方案如下表：

积分
奖金（元人）
胜一场
3
1500
平一场
1
700
负一场
0
0
1
2
当比寒进行到12 轮结束（每人均需要12轮）时，A队共积分19分，若每赛一场队员人
均出场费500元，设A队其中 一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W元，则W的最
大值是_________
9、已知 a、b、c、d是四个不同的实数，且（a+c）
(a+d)=-2013,(b+c)(b+d)=- 2013,
则(a+d)(b+d)=--_______
10、已知⊙O的半径为6，四 边形ABCD是圆内接四边
对角线AC与BD交于点E,CE＝，若AC是直径，且
AD=BD ，则四边形ABCD的周长是_______
三、解答题（70分）
11、（满分20分）已知方程x
2
+ax+2a+2=0有两个整数解，求a的值。
12、（满分25分）已知AE是△ABC的角平分线，D是线段AE上的点，且
∠BDE=90°+∠BAC，求证:D是△ABC的内心。
13、（满分25分）如图：抛 物线y=mx2+5x+n与
于B、C两点，交y轴与A点，过A、B、C三点
P，且⊙P与y 轴相切于点A，

形，
1
2
x轴交
作⊙

（1）求m、n的关系；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）设抛物线的顶点为D，试判断直线DB与⊙P的位置关系，并证明。
2012年全国初中数学竞赛预赛试题
江西省吉安市
一、 选择题：（每题7分，共42分）
1、化简
27211232341983
的结果是（ ）
A、2 B、 －2 C、－
33
D、
33
2、一次考试共有5道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1题，91%的同学做对
第2题， 85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题，如
果做对3题以上的（ 含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少
（ ）。
A、70% B、 79% C、74% D、81%
3、如图：在△ABC中，
AD
1 11
AB,BEBC,CFCA,
则AN:NL:LE等于
333
（ ）
A、2：1：1 B、3：2：1 C、3：3：1 D、2：3：1
4、满足 方程x
2
y
2
2(xy)xy
的所有非负整数解的组数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
5、如图：正方形ABCD的边 长为
215
，E、F分别是
AB、BC的中点，AF分别交DE，DB于M，N,则△
DMN的面积为（ ）

A、8 B、9 C、10 D、11
x
2
2x4
6、使分式
2
的值为整数的实数x的值的个数是（ ）
x3x3
A、4 B、5 C、6 D、7
二、填空题（每题7分，共28分）
7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 .
8、边长为9cm, 40cm,41cm的三角形的重心到外心的距离是
k
2
9、已知二次函数
yaxbxc
,一次函数
y k(x1)
，若它们的图像对于问题任意
4
2
的数k都只有一个公共点， 则二次函数的解析式为
10、代数式
x
29(x8)
2
49
的最小值是
三、解答题（共三大题，70分）
11、已知关于x 的方程
(k2)(k4) x
2
(10k28)x240
的根是整数，求满足条件的所
有实数k 的值（20分）
12、如图：在矩形ABCD中，点P在AB上，且△ACP是等腰三角形，O是AC 的中
点，OE⊥ AB于有，点Q是OE的中点，求证：PQ⊥ CE（25分）.
13、已 知二次函数
yx
2
(m3)xm4
图像与轴交于
点A(x
1
,0),点B(x
2
,0）
(x
1
2
), 与y
轴交于点C,若∠CAB与∠CBA是锐角。
（1）求m的值；
（2）是否可能出现∠CAB＝∠CBA 若可能，求出m的值；若不可能，比较∠CAB与
∠CBA的大小；
（3）当∠CAB与∠CBA互余时，△ABC的面积是多少（25分）
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知
a21
，
b32
，
c62
，那么
a,b,c< br>的大小关系是 （ ）
A.
abc
B.
acb
C.
bac
D.
bca

2．方程
x
2
2xy3y
2
34
的整数解
(x,y)
的组数为 （ ）
A．3. B．4. C．5. D．6.
3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与
CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为
（ D ）
A．
6525
26
B． C． D．
333
3
4．已知实数
a,b
满足
a
2
b
2
1
，则
a
4
 abb
4
的最小值为 （ ）
19
A．

. B．0. C．1. D．.
88
5．若方程
x
2
2px3p20
的两 个不相等的实数根
x
1
,x
2
满足
23
x
1
2
x
1
3
4(x
2
x
2
)
，则实数
p
的所有可能的值之和为
（ ）
35
A．0. B．

. C．
1
. D．

.
44
6．由 1，2，3，4这四个数字组成四位数
abcd
（数字可重复使用），要求满足
ac bd
.这样的四位数共有 （ ）
A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知互不相等的实数a,b,c
满足
a
111
bct
，则
t
．
bca
2．使得
52
m
1
是完全平方数的整数
m
的个数为 ．

< br>3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则
B C
＝
AP
4．已知实数
a,b,c
满 足
abc1
，
abc4
，
abc4
222
，则
＝ ．
abc
 
222
a3a1b3b1c3c19
第二试

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接
圆的面积.
二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于
点D. 证明：
AD
2
BDCD
.
三．（本题满分25分）已知抛物线
O
A
1
yx
2
bxc
的顶点为P，与x
轴的
6
轴交于A
(x
1
,0)
、B
(x
2
,0)
（
x
1
x
2
）两
D
PBC
正半
点，
3
与
y
轴交于点C，PA是△A BC的外接圆的切线.设M
(0,)
，若AM
2011年全国初
2
中数学竞赛试题
(考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分) < br>一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、
C、D的四个 选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的
括号里，不填、多填或错填都得 0分）
1、设
x
53
，则代数式
x(x1)(x2)(x 3)
的值为（ ）
2
A、0 B、1 C、﹣1 D、2

2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“△”
为：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）
△（x, y）＝（u, v）,那么（x, y）为（ ）
A、（0, 1） B、（1, 0） C、（﹣1， 0） D、（0, ﹣1）
53
3、已知A，B是两个锐角 ，且满足
sin
2
Acos
2
Bt
，
cos< br>2
Asin
2
Bt
2
，则实
44
数t所 有可能值的和为（ ）
8511
A、

B、

C、1 D、
333
4、如图，点 D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设
S
四边形EADF
＝S
1
，
S
BDF
＝S
2
，
S
BCF
＝S
3
，
S
CEF
＝S
4
， 则S
1
S
3
与S
2
S
4
的大
A< br>小关系为
（ ）
D
A、
S
1
S
3
﹤
S
2
S
4
B、
S
1
S
3
＝
S
2
S
4

C、S
1
S
3
﹥S
2
S
4
D、不能确定
111
5、设
S＝
3
+
3
+
3
+
123
B
F
E
第4题
1
，则4S的 整数部分等于（ ）
+
2011
3
C
A、4 B、5 C、6 D、7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、两条直角边长分别是整数a, b（其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形
的个数为 .
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字
是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均 匀的正方体骰子的六
上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则
上的面两 个数字和为5的概率是 .
分别
个面
其朝

8、如图，双曲线
y
2
（
x0
）与矩形OABC的边BC， BA分别交于点E， F，
x
且AF＝BF，连结EF，则△OEF的面积为 .
9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为 .
10 、设四位数
abcd
满足
a
3
b
3
c
3
d
3
110cd
，则这样的四位数的个数
为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、已知关于x的一元二次方程
x
2
cxa0
的两个整数根恰好比方程
x
2
ax b0
的两个根都大1, 求
abc
的值.
12、如图，点H为△A BC的垂心，以AB为直径的⊙
O
1
和△BCH的外接圆⊙
O
2相交
于点D， 延长AD交CH于点P， 求证：点P为CH的中
13、若从1,2,3, …，n中任取5个两两互素的不同
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
， 其中总有一个整数是素数，求n
B
O
2
O
1
A
点.
D
H
的整数
P
C
的最大
值.
14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC. 点P在△ABC内,且
PB=5, PC=2, 求△ABC的面积.
A
PA=
3
,
2011年全国初中数学联赛江西赛区初赛试
B
P
C
题
（考试时间2011年3月二0日9：30—11：30）
第一试
一、选择题（每题7分，共42分）
1、设a为质数，并且
7a
2
8
和
8a
2
7
都是质数，若记
x77a8
，
y88a7
，
财在以下情况中，必定成立的是（ ）
A、x,y都是质数 B、x,y都是合数

C、x,y一个是质数，一个是合数 D、对于不同的a,以上各情况皆可
2、化简
322
17122
322
17122
的结果是（ ）
A、
2
B、
2
C、2 D、-2
3、
2
2011
3
2011
的末位数字是( )
A、1 B、3 C、5 D、7
4、方程
x34x1x86x11
的解的情况是（ ）
A、无解 B、恰有一解 C、恰有两个解 D、有无穷多个解
5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中的全体正三角形的个数是
（ ）
A、24 B、36 C、38 D、76
6、设a,b为整数，并且一元二次方 程
x
2
(2ab3)x(a
2
ab6)0
有 等根α，
而一元二次方程
2
ax
2

(4
a2
b
2)
x
(2
a
2
b
1)

0
有等根β，那么以α、β为根的一元
二次方程是（ ）
A、
2x
2
7x60
B、
2x
2
x60

C、
x
2
4x40
D、
x
2
(ab)xab0

二、填空题(每题7分，共28分)
1、Rt△ABC的三条边长分别为3、4、5，若将其为内切圆挖去，则剩下部分的面
积等于
2、若
x
3
5x
2
7x3(x4)
3< br>a(x4)
2
b(x4)c
，则(a,b,c)= ( )
3、如图：正方形ABCD的边长为1，E是CD边
外的一点，满CE∥BD,BE=BD,则CE=
4、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自

{1 ,2,3,4,5,6,7,8,9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）若圆周上任何三个相邻位
置上的数之和都是7的倍数，用S表示圆周上所有的十二个数的和，那么数S所有可能
的取值情况有 种。
第二试
一（20分）试确定，对于怎样的整数a,方程
5
x
2

4(
a
3)
xa
2

29

0
的正整数解
并求出方程的所有正整数解。
二（25分）锐角△ABC 的外心为O，外接圆的半径为R，延长AO，BO，CO，分
别与对边BC，CA，AB交于D、E、F ；证明
1112

。
ADBECFR
三、（25分）设k为正整数，证明：
1、如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也
连续正整数的乘积；
2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积；
是两个
2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题
第 一 试
一. 选择题（每小题7分，共42分）
1、化简
351348
62
的结果是（ ）．
2
； （C）2；
2
（A）、
2
； （B）、
（D）、．
1
2

2、△AB C是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角
线交点；那么，由图中的线段所 构成的三角形中相互全等的三角形的对数为
（ ）．
(A)、12； (B)、13；(C)、26；(D)、30．
3、设ab≠0，且函数
f
1
(x)x
2
2ax4b
与
f
2
(x)x
2
4ax2b
有相同的最小
值u；函数
f
3
(x) x
2
2bx4a
与
f
4
(x)x
2
4bx2a
有相同的最大值v；则u+v
的值( ).
(A)、必为正数；(B)、必为负数；(C)、必为0； (D)、符号不能确定．
4、若关于x的方程
（ ）．
(A)、
(C)、
； (B)、
； (D)、
；
．
没有实根，那么，必有实 根的方程是
5、正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于< br>N；若
x
AF平分∠BAC，DE⊥AF，；记
BEBNCF
,,则 有（ ）.
,y,z
OMONBF
（A）、x>y>z； （B）、x=y=z；
（C）、x=y>z； （D）、x>y=z．
6、 将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆
周上任两个相邻位 置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填
法，那么不同的填法有（ ）．
(A)、4种； (B)、 8种； (C)12种、； (D)、16种．
二、 填空题（每小题7分，共28分）

1、若k个连续正整数之和为2010，则k的最大值是 ．
2、单位正三角形中 ，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆
都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面 积
为 .
3、圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为：
AB=2,BC =7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为 .
4、在±1±2±3±5±20中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数
是 ．
第 二 试
一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长a,b是方程
x
2
(k2)x4k
=0的两根，求 k的值并确定直角三角形三边之长．
二、（25分）如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线： PD⊥
BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF,CD=CE；证明：
AE=AF． < br>三、（25分）已知a,b,c为正整数，且
a
2
b
2
c
2
理数，证明为整数．
abc
3ab
3bc
为有
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.
1．若
ab
ab
20,10
，则的值为（ ）．
bc
bc
1121110210
（A）
（B） （C） （D）
21112111
1
2．若实数
a
，
b
满足
aabb
2
20
，则
a
的取值范围是（ ）．
2

（A）
a
（B）
a
4 （C）
a
≤或
a
≥4 （D）≤
a
≤4
3．如图，在四边形
ABCD
中，∠
B< br>＝135°，∠
C
＝120°，
AB
=
23
，
BC
=
422
，
CD
＝
42
，则
AD
边的长为（ ）．
C
B
（A）
26
（B）
46

（C）
46
（D）
226

A
第3题图
D
4．在一列数
x
1
,x2
,x
3
,
……中，已知
x
1
1
， 且当
k
≥2时，
x
k
x
k1
14{[k1k2
][]}
（取整符号［a］表示不
44
D
y
P
·
O
C
第9题
A
x
B < br>超过实数的最大整数，例如[]=2,[]=0），则
x
2010
等于
（ ）．
(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 4
5．如图，在平面直角坐标系xOy
中，等腰梯形
ABCD
的顶点坐标分别为
A
（1，1），
B
（2，－1），
C
（－2，
－1），
D
（－1， 1）．
y
轴上一点
P
（0，2）绕点
A
旋转180°得点< br>P
1
，点
P
1
绕点
B
旋转
180° 得点
P
2
，点
P
2
绕点
C
旋转180°得 点
P
3
，点
P
3
绕点
D
旋转180°得点
P
4
，……，重复操
作依次得到点
P
1
，
P
2
，…， 则点
P
2010
的坐标是（ ）．
（A）（2010，2） （B）（2010，
二、填空题
6．已知
a＝
51
，则2
a
3
＋7
a
2
－2< br>a
－12 的值等于 ．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在
后，货车在客车与小轿车的正中间．过了 10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分
钟，小轿车追上了客车；再过
t
分钟，货车 追上了客车，则
t
＝ ．
） （C）（2012，） （D）（0，2）

8．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，多边形
O ABCDE
的顶点坐标分别是
O
（0，
0），
A
（0，6） ，
B
（4，6），
C
（4，4），
D
（6，4），
E
（6，0）．若直线
l
经过点
M
（2，3），且将多边形
OABCDE
分割成面积相等的两部分，则直线
l
的函数表达式是 ．
9． 如图，射线
AM
，
BN
都垂直于线段
AB
，点
E< br>为
AM
一点，过点
A
作
BE
的垂线
AC分别交
BE
，
BN
于点
F
，
过点
C< br>作
AM
的垂线
CD
，垂足为
D
．若
CD＝
CF
，则
AE
．
AD
上
C
，
10．对于
i
=2，3，…，
k
，正整数
n
除以< br>i
所得的余数为
i
－1．若的最小值
n
0
满
足
200
n
0

3000
，则正整数的最小值为 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、如图：△
ABC
为等腰三角形，
AP
是底边
BC上的高，点
D
是线段
PC
上的一点，
BE
和
C F
分别是△
ABD
和△
ACD
的外接圆直径，
连接
EF
. 求证：
tanPAD
EF
．
BC
12．如 图，抛物线
yax
2
bx
（
a
0）与
双曲线< br>y
k
相交于点
A
，
B
. 已知点
A
的坐标为
x
（1，4），点
B
在第三象限内，且△
AOB
的面积
为3（
O
为坐标原点）.
(1）求实数
a
，
b
，
k
的值；
（2） 过抛物线上点
A
作直线
AC
∥
x
轴，交抛物
于另一 点
C
，求所有满足△
EOC
∽△
AOB
的点
E的坐
线
标.

13．求满足
2p< br>2
p8m
2
2m
的所有素数
p
和正整数m
.
2009年全国初中数学江西赛区预赛试题
（2009年3月22日上午9：30~11：30）
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
1、已知非零实数a、b满足|2a－
4|+|b+2|+(a-3)b
2
+4=2a，则a+b等于（ ）
A、－1 B、0 C、1 D、2
2 、如图所示，菱形ABCD边长为a，点O在对角线AC上一点，且OA=a，
OB=OC=OD=1, 则a等于（ ）
15
1
A、 B、1 C、
15
D、
2
2
3、将一枚六个面编号分别为1，2 ，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷
两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数 为b，则关于x、y的方程组

axby3
只有正数解的概率为（ ）


x2y2
12513
A、
12
B、
9
C、
18
D、
36

4、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，
∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→
C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面
积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）
A、10 B、16 C、18 D、32
5、关于x、y的方程
x
2
xy 2y
2
29
的整数解（x、y）的组数为（ ）
A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则 自行车行驶5000km后报废；若把它安装
在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程 后可以交换前、
后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时
报废，那么这辆自行车将能行驶 ；
7、已知线段AB的中点为C，以点C为圆心，AB长为半径作
圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，
DA的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F、G两点，连接FG交
AH
AB于点H，则
AB
的值为 ；
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
满足条件
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
9
的五个不同的整数，若b是8、已知
a
1

关于x的方程
(
xa
1
)(
xa
2
)(
xa
3
)(
xa
4
)(
xa
5
)

2009

的整数根，则b的值为 ；
9、如图所示，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB
的平
分线，若AC=15，,BC=20，CD=12，则CE的长等于
10、1 0个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每
个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁
的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平
均数报出来，若抱出来的数如图所示， 则报3的人心里想的数是 ；
三、解答题（共4小题，每题20分，共80分）
11 、函数
yx
2
(2k1)xk
2
的图像与x轴的两个交点是 否都在直线x=1的右侧
若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的 取值范围

12、在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为整 数，纵坐标为完成平方数的点称
为“好点”，求二次函数
y
(
x
90)
2

4907
的图像上的所有“好点”的坐标.
13、如图 ，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC
的外接圆的切线l，过 电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和
EG的大小，并证明你的结论
,a
2
,,a
n
满足如下条件：
1a
1
 、a
2
a
3
a
n
2009
且14、n个 正整数
a
1

a
1
,a
2
,,a< br>n
中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n的最大值。
2009年初中数学竞赛江西赛区决赛试题
第一试
一、
1、化简
选择题（每小题7分，共42分）
32
1724

32
1724
的值是（ ）.
A、
2
B、
367
C、 D、.
234
2、a,b,c是互不相同的实数，
a
2
(xb)(x c)b
2
(xc)(xa)c
2
(xa)(xb)
则代数式经化简后得到（ ）.
(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)
A、
a
2
B、
b
2
C、
c
2
D、
x
2
.
3、设实数aA、ax+by+cz B、cx+by+az C、bx+ay+cz D、ax+cy+bz
4、若△ABC的三条边长AB=3，AC=4，BC=5，分别以A、B、C 为圆心作⊙A，
⊙B，⊙C，使得这两个圆两两相切，则⊙A，⊙B，⊙C面积之比是（ ）.
A、1：2：3 B、3：4：5 C、1：4：9 D、9：16：25

5、数组{a,b,c,d},a组的个数是（ ）.
A、6 B、8 C、12 D、16.
6、若一元二次方程
x
2
a xb0
的两根为整数，且两根的平方和为2009，则这种
方程有（ ）.
A、1个 B、2个 C、4个 D、8个.
二、填空题（每小题7分，共28分）
7、从前20个正整数1，2，……20中选择5个不 同的数填写在一个圆周上，使得圆
周上每相邻两数之和都是平方数，你的填法是（ ）.（如果写成一行，首尾的数
看成相邻）.
8、若f(x)=
1
3x2x1x2x1x1
2
3
2
3
2
,
则f(1)+f(3)+f(5)+ …+f(2009)= . 9、若AD，BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若
D，I，E四点共圆，且DE=1，则 ID= .
10、设
a
k

C，
2
k
3
2
1
k
，k为自然数，令
Aa
1
a
2
a
9
，
Ba
1
a
2
a
9
，则
第二试
A
= .
B
三、 解答题（本题三大题，共70分）
11、（20分）若关于x的方程 x
4
16x
3
(812a)x
2
(16a1 42)xa
2
21a680
的各根为整数，求a的值，并
解此方程.

12、（25分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上的 任意一点，E，F分别
是边AC，AB上的点，且DE∥AB，DF∥AC，作点D关于EF的对称点F ，
证明：PD平分∠BPC，且△PBC∽△AEF.
13、（25分）将前300个正整 数1、2、3、
4、…、300顺次在黑板上排成一行，然后划去两数
2，而将这两数的和写在 最后面，成为3、4、5、
1、
6、…
300、3；接着，再划去前两数3、4，而将 这两数的和写在最后面，成为5、6、7、
8、…、300、3、7；象这样一直进行下去，直到黑板剩 下一个数为止，试求黑板上
出现过所以数之和（包括每次划去的数在内）.
2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设
a71
，则3a
3
12a
2
6a12
（ ）
. B. 25. C.
4710
. D.
4712
.
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝
（ ）
A.
72
. B.
10
. C.
105
. D.
73
.
3．用
[x]< br>表示不大于
x
的最大整数，则方程
x
2
2[x]30< br>的解的个数为
（ ）
. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、 O为顶点所构成的所有
三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）
3
314
A.. B. . C. . D. .
14
727
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在 矩形内作半圆，自点A
作半圆的切线AE，则
sin
CBE＝ （ ）

A
D

610
2
1
A.. B. . C. . D. .
310
3
3
E
n1909
6．设
n< br>是大于1909的正整数，使得
为完全平
2009n
B
C
方 数
的
n
的个数是 （ ）
. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知
t
是实数，若
a,b
是关于
x
的一元二次方程x
2
2xt10
的两个非负实
根，则
(a
2< br>1)(b
2
1)
的最小值是___ _____.
2． 设D是 △ABC的边AB上的一点，作DE
mn
3．如果实数
a,b
满足条件
a
2
b
2
1
，
|12ab|2a1b2
a
2
，则
ab
____
4．已知
a,b
是正整数，且满足
2(
对.
1515
)
是整数，则这样的有序数对
(a,b)
共有
ab
第二试
一、（本题满分20分）已知二次函数
yx
2bxc(c0)
的图象与
x
轴的交点分
别为A、B，与
y
轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与
y
轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P 的直径且
S
△ABC
＝
2
，求
b
和
c的值.
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，
I
1
、
I
2
分别是
△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4 ，求
I
1
I
2
.
三．（本题满分25分）已知
a,b,c
为正数，满足如下两个条件：
I
2

abc32
①
I
1

bcacababc1

②
bccaab4
是否存在以
a,b,c
为三边长的三角形如果存在，求出 三角形的最大内角.

2008年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
.1．设
a
2
1 3a
，
b
2
13b
，且
ab
，则代数式(A)
5.
(B)
7.
(C)
9.
(D)
11.
11

2
的值为 （ ）
2ab
2．如图，设
AD
，
BE
，
CF
为三角形
ABC
的三条高，若
AB6
，
BC5
，
EF 3
，则线段
BE
的长为 （ ）
(A)
182124
.
(B)
4.
(C)
.
(D)
.
555
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，
把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为
个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）
(A)
13
21
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
510
52
4． 在△
ABC
中，
ABC12
，
ACB132
，
BM
和
CN
分别是这两个角的外角平分线，且点
M,N
分 别在直线
AC
和直线
AB
上，则
（ ）
(A)
BMCN
.
(B)

BMCN
.
(C)

BMCN
.
(D)

BM
和
CN
的大小关系不确定.
5．现有价格相同的5种不同商品 ，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天
后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低 价格的比值为
r
，则
r
的最小值为
（ ）
9999
(A)

()
3
.
(B)

()
4
.
(C)

()
5
.
(D)
.
8888

6、已知实数
x,y
满足(xx
2
2008)(yy
2
2008)2008
， 则
3x
2
2y
2
3x3y2007
的值为（ ）
(A)

2008
.
(B)
2008.
(C)

1
.
(D)
1.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
51
a
5
a
4
2a
3
a
2
a2
. 1．设
a
，则
3
2
aa2．如图，正方形
ABCD
的边长为1，
M,N
为
BD
所在直线上的两点，且
AM5
，
MAN135
，则四边形
A MCN
的面积为
3．已知二次函数
yx
2
 axb
的图象与
x
轴的两个交
点的横坐标分别为
m
，< br>n
，且
mn1
.设满足上述要求的
b

的最大值和最小值分别为
p
，
q
，则
pq

4．依次将正整数1，2，3，……，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数
字是6 ，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是
第二试
一 ．（本题满分20分）1、已知
a
2
b
2
1
，对于满足 条件
0x1
的一切实数
x
，
不等式
a(1x)(1 xax)bx(bxbx)0
（1）恒成立.当乘积
ab
取最小值时，求< br>a,b
的
值.
二．（本题满分25分） 如图，圆
O
与圆
D
相交于
A,B
两点，
BC
为圆
D
的切线 ，
点
C
在圆
O
上，且
ABBC
.
（1）证明：点
O
在圆
D
的圆周上.
（2）设△
ABC
的面积为
S
，求圆
D
的的半径
r
的最小值. 。
三．（本题满分25分）1、设
a
为质数，
b
为正整数，且9(2ab)
2
509(4a511b)
求
a
，
b
的值.

2008年全国初中“数学周报”杯数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1．已知实数
x，y
满足
42
4
4
42
，则的值为（ ）．
y
 3，yy3
4
42
x
xx
113
713
（C） （D）5
2
2
（A）7 （B）
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次 ，若两个正面朝上的编号分别为
m
，
n
，则二次函数
yx
2
mxn
的图象与
x
轴有两个不同交点的概率是（ ）．
（A）
5
4
17
1
（B） （C） （D）
1236
92
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周
上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有
( )．
（A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条
4．已知
AB
是半径为1的圆
O
的一条弦，且
ABa1
．
以
AB
为一边在圆
O
内作正△
ABC
，点
D
为圆< br>O
上不同于点
A
的一点，且
DBABa
，
DC
的延长线交圆
O
于点
E
，则
AE
的长为（ ）．
（A）
53
a
（B）1 （C） （D）a
22
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数
是奇数， 且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足
要求的排法有（ ）．
（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6 ．对于实数
u
，
v
，定义一种运算“*”为：
uvuvv．若关于
x
的方程
1
x(ax)
有两个不同的实数根， 则满足条件的实数
a
的取值范围
4
是 ． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后
辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路 公
车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路
总站每
隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．
8．如图，在△
ABC
中，
AB
=7，
AC
=11，点
M
是
BC
的中点，
AD
是∠
BAC
的
平分线，
MF
∥
AD
，则
FC
的长为 ．
9．△
ABC
中，
AB
＝7，
BC
＝8，CA
＝9，过△
ABC
的内切圆圆心
I
作
DE
∥
BC
，
分别与
AB
，
AC
相交于点
D
，
E
，则
DE
的长为 ．
10．关于
x
，
y
的方程
x
2
y
2
20 8(xy)
的所有正整数解为 ．
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．在直角坐标系
xOy
中，一次函数
ykxb
的图象与
x
轴、
y
轴的正半< br>（k0）
轴分别交于
A
，
B
两点，且使得△
OAB
的面积值等于
OAOB3
．
（1） 用
b
表示
k
；
（2） 求△
OAB
面积的最小值．
12．是否存在质数
p
，
q
，使得关于
x
的一元二次方程
px
2
qxp0
有有理数根
13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2< br>倍的△
ABC
证明你的结论．
驶过一
交
公交车
（第8

14． 从1，2，…，9中任取
n
个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可
以是全 部），它们的和能被10整除，求
n
的最小值．
2008年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）
（2008年4月１９日 上午９：00—１１：３０）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6小题 ，每题均给出了代号为
A,B,C,D
的四个答案，其中有且仅有一个是
正确的.将你 所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或
选出的代号字母超过一个（不 论是否写在括号内），一律得0分.
1、从分数组

两个数是（ ）
111111
11
（A）
与
(B)
与
(C)
与
(D)
与

410810812
48
3
111111
,,,,,
24681012

中删去两个分数， 使剩下的数之和为1，则删去
2、化简
25
的结果是（ ）
15
5
15
3
1
（A）
(B) (C) (D)
7
4
8
2
第5题图
3、
5
55
的末尾三位数字是（ ）
（A）125 (B)375 (C)625 (D)875

xy

x2y
1.........(1)


yz
4、若实数
x,y,z
满足方程组：

2... .......(2)
, 则有（ ）

y2z

zx
3...........(3)

z2x

（A）x+2y+3z= 0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=0

5、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边 的直线，则以图
中线段为边的菱形个数为（ ）
（ A）15 (B)18 (C)21 (D)24
6、某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个 框中各填写了一个
两位数
ab与cd
，结果所得到的六位数
2abcd8恰是一个完全立方数，则
abcd
=
（ ）
（A）４０ (B)５０ (C)６０ (D)７０
二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 7、设
(xx
2
1)(yy
2
4)9,则xy
2
4yx
2
1
.
8、一本书共有61页 ，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个
两位数页码都错把个位数与十位数弄反 了（即：形如
ab
的两位数被当成了两位数
ba
），结果得到的总和是200 8，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是 .
9、如图，在边长为1的正三角形< br>ABC
中，由两条含
120
0
圆心角的弓
形弧，及边BC所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 .
10、不超过(53)
6
的最大整数是 .
三.解答题（共70分）
11. （本题满分20分）设a为整数,使得关于x的方程ax
2
-(a+5)x+a+7=0至少有
一个有理根，试求方程所有可能的有理根 .
12. （本题满分25分）如图，四边形中
ABCD
中 ，
E,F分别是
AB,CD
的中点，
P
为
对角线
AC
延 长线上的任意一点，
PF
交
AD
于
M
，
PE
交
BC
于
N
，
EF
交
MN
于
K
;
求证：
K
是线段
MN
的中点.

13. （本题满分25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已 知第1、2、
3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖， 问：这次
竞赛至少有几人获奖
2007年江西省初中数学预赛试题
（2007年3月24日上午9：00~11：00）
第一试
一、选择题（本大题共六小题，每小题7分，共42分）
1、的末位数字是（ ）
A、1 B、3 C、
32
D、
32

2、化简
23
223

23
223
的结果是（ ）
A、
3
B、
2
C、
32
D、
32

3、若
a,b,c
为正数，已知关于
x
的一元二次方程
ax
2
bxc0
有两个相等的实根，
则方程
(a1)x
2
(b2)xc10
的根的情况是（ ）
A、没有实根 B、有两个相等的实根
C、有两个不等的实根 D、根的情况不确定
4、若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的
则这种直角三角形的个数为（ ）
A、36 B、60 C、96 D、120
5、对于 给定的单位正方形，若将其两条对角线以及每两条边的中线连线作出，便
得到右图，则图中互为相似的三 角形“对子”数有（ ）
A、44 B、552 C、946 D、1892
6、若将三条高线长度分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z），则在以下四个三
角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角 三角
形的个数为（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
D
C
顶 点，
7、满足方程
3x4
3
53x1
的所有实数x的和为
8、边长为整数，周长为20的三角形个数是
9、在边长为1的正方形ABCD中，分别为A、B、C、D
AB
为

圆心，作半径为1的圆弧，将正方形分成图中的九个小块，
则中心小块的面积是
10、用数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样的四位
数共有 个
第二试
三、解答题：（本大题共3小题，共70分，第11小题20分，第12、13小题各25
分）
11、试求所有的正整数
a
，使得关于
x
的一元二次方程
x
2
5a
2
26a8x(a
2
4a9)0的两根皆为整数
12、四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，过点P作直线，交AD于E， 交BC
于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，证明：四边形ABCD为平行四边形
13、若数
a
能表示成两个自然数（允许相同）的平方和，则称
a
为“好数 ”，试确定
在前200个正整数1，2，…，200中，有多少个“好数”
2007年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1．方程组


xy12,
的实数解的个数为（ ）．

xy6
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6
个．现从中任取10个球，使得白球不少于 2个但不多于8个，红
球不少于2个，
黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20
3．已知
a
、
b
、
c
是三个互不相等的实数，且三个关于
x
的 一元
y
二次
A

C
O E
B F
D
(第6题图)
x

方程
ax
2
bxc
0
，
bx
2
cxa0
，< br>cx
2
axb0
恰有一个公共实数根，
a
2
b
2
c
2
则
的值为（ ）

bccaab
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点
D，E． 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，
则⊙O一定经过△ABC的（ ）．
（A）内心 B）外心 （C）重心 （D）垂心
5．方程
x
3< br>6x
2
5xy
3
y2
的整数解（x
，y）的个数是
（ ）．
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
二、填空题（共5小题，每小题6分，満分30分）
6．如图，点A，C都在函数
y
33
（x＞0）的图象上，点B，
x
D点在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ． < br>7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4．点P是半圆弧AC的中
点，连 接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部
分，则这两部分面积之 差的绝对值是 ．
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝
n 90
，则
n
＝ ．
9．已知点A，B的坐标分别为（1,0），（ 2,0）．若二次函数
yx
2
(a3)x3
的
A
图象与线段AB恰有一个交点，则
a
的取值范围
是 ． 10．已知对于任意正整数
n
，都有
a
1
a
2
a
n
n
3
，
则
111
＝ ．



a
2
1a
3
1a
1 00
1
B
Q
C
D
E
（第8题图）
G
F

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知抛物线
C
1
:yx
2
3x4
和抛物线
C
2
:yx< br>2
3x4
相交于点A，B两
点．点P在抛物线
C
1
上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线
C
2
上，也位于点A和
点B之间 ．（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥
y
轴时，求PQ长度的最大值．
解：
2
y
1
A
P
12．已知a
，
b都是 正整数，试问关于
x
的方程
xabx(ab)0
是否有两个整数2
解如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
Q
O
B
x
解：
(
第11题图)
13． 如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足
DEAD
．若CD， FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另
＝
CFBC
一个 交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：(1）
ADPD
；（2）△PAB∽△PD C．
＝
BCPC
证明：
14．（1）是否存在正整数
m
，
n
，使得
（2）设
k
（
k
≥3）是给定的正整 数，是否存在
整数
m
，
n
，使得
m(mk)n(n1 )

解：
m(m2)n(n1)

正
2006年全国初中数学竞赛初赛试题
（2006年3月12日 上午9：00—11：00）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．要 使方程组


4
3
3x2ya,
的解是一对异号的数， 则a的取值范围是（ ）

2x3y2
(A)
＜a＜3 (B) a＜
(C) a＞3 (D) a＜
，或a＞3
4
3
4
3

2．一块含30°角 的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各
边与△ABC的对应边平行，且 各对应边的距离都是1 cm，那么△DEF的周长是（ ）
(A) 5 cm (B) 6 cm (C)（
63
）cm (D)（
33
）cm
3．将长为15 dm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，
则不同的截法有（ ）
(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种
4．作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单
位，向 上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是
y
2(
x
1)
2

1
，则抛
物线A所对应的函数表达式是（ ）
(A)
y2(x3)2
(B)
y2(x3)2

22
A
G
F
E
(第6
D
B
C
(C)
y2(x1)
2
2
(D)
y2(x1)
2
2

5．书架上有两套同样的教材，每套分 上、下两册，在这
四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2
3
1
3
1
2
1
6
6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点A 处，现顺时针方向移动这枚棋子
10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点．如第一次移动1个顶点 ，棋子停在顶点B
处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D处．依这样的规则，在这10次移动的过程
中，棋子不可能停到的顶点是（ ）
(A) C，E，F (B) C，E，G (C) C，E (D) E，F
7．一元二次方程
ax
2
bxc 0(a0)
中，若a，b都是偶数，c是奇数，则这个方程
（ ）
(A) 有整数根 (B) 没有整数根 (C) 没有有理数根 (D) 没有实数根
8．如图所示 的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样
的图案为L形，那么在由4×5个小方格组成的方格 纸上可以画出不同位
(第8题)
置的L形图案个数是（ ）
(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm和4 cm，那么以两直角边为直径的
两圆公共弦的长为 cm．
10 ．将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当
数据的个数是奇数时）， 或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这
组数据的中位数．现有一组数据共有100 个数，其中有15个数在中位数和平均数之

间，如果这组数据的中 位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数
的数据占这100个数据的百分比是 ．
11．△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．已知a=
10
，
b=
32
，c=
32
，则bsinB+csinC的值等于 ．
12．设直线
ykxk1
和直线
y(k1)xk
（ k是正整数）及x轴围成的三角形面积
F
E
为
S
k
，则
S
1
S
2
S
3
S
2006
的值是 ．
M
A
13．如图，正方形ABCD和正 方形CGEF的边长分别
是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的
B
中点，连结MF，则MF的长为 ．
D
C
（第13
G
14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部 分，那么所有
这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 ．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．已 知a，b，c都是整数，且
a2b4
，
abc
2
10，求
abc
的值．
16．做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店 铺在同一段时间内都能售出
A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和
B款式 服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺
获毛利润分别为27元和36元．某日王老板进货 A款式服装
35件，B款式服装25件．怎样分配给每个店铺各30件服
装，使得在保证乙店铺 获毛利润不小于950元的前提下，王
老板获取的总毛利润最大最大的总毛利润是多少
动一周回到原来的位置．
(1) 当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了两圈．
(2) 当⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时⊙O自身转动的圈数．
18．已知二次函数
yx
2
2(m1)xm1
．
(1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上如果是，请求出
该抛物 线的函数表达式；如果不是，请说明理由．
(2) 如果直线
yx1
经过二次函 数
yx
2
2(m1)xm1
图象的顶点P，求此时m的
值 ．
A
（第17
O
·

A
A
A
A
n
17．如图所示，⊙O沿着凸n边形A
1
A
2
A3
…A
n-1
A
n
的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚
2006年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分

一、选择题（共5小 题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为
A，B，C，D的四个选项，其中有且只有 一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题
后的括号里。不填、多填或错填均得0分）
1 ．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10
千米处开始，每隔9千 米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两
种设施，那么第二次同时经过这两种设施 的千米数是（ ）
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
2．已知
m12
，
n12
，且
(7m
2
14ma)(3n
2
6n7)
=8，则
a
的值等于
（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
3．Rt△ABC的三个顶点
A
，
B
，
C
均在抛物线
yx
2
上，并且斜边
AB
平行于
x
轴．若斜边上的高为
h
，则（ ）
（A）
h
<1 （B）
h
=1 （C）1<
h
<2 （D）
h
>2
4．一个正方 形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其
中一部分，再沿一条不过任何顶点的 直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其
中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部 分……如此下去，最后得到了34
个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
5．如图，正方形
ABCD
内接于⊙
O
，点
P
在劣弧
AB
上，连结
DP
，交
AC
于点
Q
．若
QP=QO
，则
QC
的值为（ ）
QA
D
O
Q
A
C
（A）
231
（B）
23
（C）
32
（D）
32

二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）

B
P
（第5题

6．已知
a
，b，c为整数，且
a
＋b=2006，c－
a
=2005．若
a
则
a
＋b＋c的最大值为 ．
7．如图 ，面积为
abc
的正方形
DEFG
内接于面
积为1的正三角形ABC
，其中
a
，b，c为整数，且b不能
被任何质数的平方整除，则< br>于 ．
ac
的值等
b
A
D
G
B
E
（第7题
F
C
8．正五边形广场
ABCDE
的周长为2000米．甲、乙两人分别从
A
、
C
两点同时出
发，沿
A
→
B
→
C
→
D
→
E
→
A
→…方向绕广场行走，甲的速度为50米分，乙的速度为46米分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．
1

2

29

9．已知0<
a
<1，且满足

a



a


< br>a

18
，则

10a

的值等
30

30

30

于 ．(

x

表示不超过
x
的最大整数)
10．小 明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上
数字8，成为一个七位数的电 话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一
个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位 后的电话号码的八位数，恰是原来电话
号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知
x
b
，
a
，
b
为互质的正整数（即
a
，
b是正整数，且它们的最大公约数
a
为1），且
a
≤8，
21 x31
．试写出一个满足条件的
x
；求所有满足条件的
x
． < br>12．设
a
，
b
，
c
为互不相等的实数，且满足关系 式求
a
的取

A
P
值范围．
K
E
B
O

C

13．如图，点
P
为⊙
O
外一点，过点
P
作⊙
O
的两条切线，切点 分别为
A
，
B
．过点
A
作
PB
的平行线 ，交⊙
O
于点
C
．连结
PC
，交⊙
O
于点
E
；连结
AE
，并延长
AE
交
PB
于点< br>K
．求证：
PE·AC=CE·KB
．
14．10个学生参加
n
个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加
某一个小组，任意两个课外小组 ，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组
中．求
n
的最小值．
2006年全国初中数学联合竞赛试卷（C卷）
第一试
（4月9日上午8:30-9:30）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA
的中点， 用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S
1
、P
1
分别表示四边形 EFGH
SP
的面积和周长．设K =
S
，K
1
=
P
，则下面关于K、K
1
的说法正确的是
11
（ ）．
、K
1
均为常值 为常值，K
1
不为常值
不为常值,K
1
为常值 、K
1
均不为常值
2.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x
2
–mx + 1 = 0的两根，则sin
4
α
+ cos
4
α的值为
（ ）．
217
A. B. C.
939
x
2
3.关于
x
的方程| |= a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是
x–1
（ ）．
> 0 ≥4 < a < 4 < a < 4
4.设b>0，a
2
-2ab + c
2
= 0，bc > a
2
，则实数a、b、c的大小关系是
（ ）．
> c >a > a > b > b > c > a > c
5.设a、b为有理数，且满足等式a + b3 =6 1 + 4 + 23 ，则a + b的值为

（ ）
．

6.将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列
数：20， 40，60，80，100，104，……，则这列数中的第158个数为
（ ）．

二、填空题（本题满分28分,每小题7分）
1.函数y = x
2
-2006|x|+ 2008的图象与x轴交点的横坐标之和等于__________．
2.在等腰Rt△ABC中，AC = BC =1， M是BC的中点， CE⊥AM于E交AB于
F，则S
⊿MBF
= __________.
3.使x
2
+ 4 + (8 - x)
2
+ 16 取最小值的实数x的值为__________.
4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐 标分别为O(0,0)，A(100,0)，
B(100,100)，C(0,100)．若正方形OA BC内部（边界及顶点除外）一格点P满足： S
⊿
POA
S
⊿PBC
= S
⊿PAB
S
⊿POC
，就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为
__________.
（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）
第二试
(4月9日上午10:00-11:30)
一、(本题满分20分)
如图，D为等 腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．又已
知∠EDF = 90°，ED = DF = 1，AD = 5．求线段BC的长．
二、(本题满分25分)
在平行四边 形ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点
O、O
1
分 别为△CEF、△ABE的外心． (1)求证：O、E、O
1
三点共线；

(2
F
)求证：若
∠ABC = 70°，求∠OBD的
度数．
三．（本题满分25分）
B
A
O
1
．
E
A
B
D
C
E
D
C
O
设p 为正整数，且 p ≥ 2. 在平面直角坐标系中，连结点A（0，p)和点B( p，0)
F
的线段通过 p – 1 个格点C
1
(1，p - 1），… ，C
i
( i，p – i)，… ，C
p – 1
( p – 1，

1）. 证明：（1）若p 为素数，则在原点O(0，0）与点C
i
( i，p – i)的连线段OC
i
（i
= 1，… ，p - 1）上除端点外无其它格点；(2) 若在原点O(0，0）与点C
i
( i，p – i)
的连线段OC
i
（i = 1，… ，p - 1）上除端点外无其它格点，则p 为素数.
2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30
学校___________ 考生姓名___________
一、选择题:（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b

a
2
＞b
2
; (B)a≠b

a
2
≠b
2
; (C)|a|＞b

a
2
＞b
2
; (D)a＞|b|

a
2
＞b
2

2、已知：a+ b+c=3,a
2
+b
2
+c
2
=3,则a
200 5
+b
2005
+c
2005
的值是（ ）
（A）0 (B) 3 (C) 2
2005
(D)3·2
2005

3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而
为正五边形，白皮为 正六边形，（如图），如果缝制
足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、 在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x
2
－(2m－< br>1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点， 设k为整数，当直线y=x－3
与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax
2
+bx+c的图像的对称轴，则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0

成，黑皮
好的这种

二、填空题: （每小题7分，共计28分）
x
2
1
1、已知：x为非零实数，且
xx
= a, 则 =_____________。
x

1
2
1
22、已知a为实数，且使关于x的二次方程x
2
+a
2
x+a = 0有实根，则该方程的根x所
能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交
AC 于Q，则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使 n=a+b+ab,则称n为一个“好
数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~ 20这20个自然数中，“好数”共有 __
个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛 物线y=2x
2
+4x－2上的点，原点位于线段AB
的中点处。试求A、B两点的坐 标。
四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其
上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。

B
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y=a+c－b ,z= b+c－a ,其中a、b、c是待
定的质数，如果x
2
=y ,
zy
=2,试求积abc的所有可能的值。
O

D
2005年全国初中数学竞赛试卷
A
一、选择题(满分30分)
E
C
1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且 AE=6cm，操
作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB 以BF为折
痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )

2.若M=3x
2
－8xy＋9y
2
－4x＋6y＋13(x，y是 实数)，则M的值一定是( )

A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△A BC的内心，A
1
，B
1
，C
1
分别是点I关于边BC，C A，AB的对称
点。若点B在△A
1
B
1
C
1
的外 接圆上，则∠ABC等于( )
° ° ° °
111
)
，则与A最接近的正整数是( )
3
2
44
2
4100
2
4

1
5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数
yx
2
x
的函数值中整数的
2
4.设
A48(
个数是( )

二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O 为两针的旋转中心)。若
现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到 最大。
3
7.在直角坐标系中，抛物线
yx
2
mxm
2
(m0)
与x轴交于A，B的两点。若
4
112
A，B两点到 原点的距离分别为OA，OB，且满足

，则m=_____.
OBOA3
8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑
桃、红桃、方块、梅 花四种花色排列，每种花色的牌又按
E
C
D
P
A，2，3，…，J， Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两
幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把< br>第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底
层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌 ，则所剩的这张牌是_________
A
Q
B
R
9.已知D，E 分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结
AD和BE ，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，
则△PQR的 面积与△ABC的面积的比是________

10.已知x< br>1
,x
2
,x
3
,…x
19
都是正整数，且 x
1
+x
2
+x
3
+…+x
19
=59， x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+…+ x
19
2
的最大值
为A，最小值为B，则A+B的值等于_________ 。
三、解答题、(满分60分)
人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4 人(不包括司机)。其中
一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有4 2分钟。这
时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车
的平均速度是60kmh，人步行的平均速度是5kmh。试设计两种方案，通过计算说明这
8个人能 够在停止检票前赶到火车站。
12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且 分别交两圆于
C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别 是
BC
和
BD
的中点。求证：
13. .已知p，q都是质数，且 使得关于x的二次方程x
2
－(8p－10q)x＋5pq=0至少
有一个正整数根， 求所有的质数对(p，q).
14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来
的数中的任意三个数a,b,c (a,2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1、已知实数a≠b，且满足（a+1）
2
=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)
2
.则
b< br>（ ）.
(A)23 (B)-23 (C)-2 (D)-13
2、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c,斜边上的高为h，则有
（ ）
ba
的值为
a
ab

（A）ab=h
2
（B）
111
111

（C）
2

2

2
（D）a
2
+b
2
=2h
2
abh
abh
3、一条抛物线y=ax
2
+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐 标为
一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）
（A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b
4、如图所示，在△A BC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2。若
△ABC的面积为32，△C DE的面积为2，则△CFG的面积S等于（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
5、如果x和y是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3
=0,那么x+y等于（ ）
（A）3 （B）
13
（C）
113
（D）
413

2
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6、如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC= (度)。
7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数
m 、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有T=
kmn
的关系（k为常2
d
数）。现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两 个
城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为
次（用t表示）。
8、已知实数a,b,x,y满足a+b=x+y=2,ax+by=5, 则
(a
2
+b
2
)xy+ab(x
2
+y
2
)= .
9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD),∠
D=90°,BC=CD=12,
∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长为 。
10、实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx =3,则z的最大值

是 。
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11、通过实验研究，专家发现：初中学 生听课的注意力指标是随着老师讲课时间的
变化而变化的。讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时 间，学生的兴趣保持平稳
的状态，随后开始分散。学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象 如图所
示（y越大表示学生注意力越集中）。当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10
≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。
（1） 当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2） 一道数学竞赛题，需要讲解2 4分钟。
问老师能否经过适当安排，使学生在听
这道题时，注意力的指标数都不低于
3 6。
12、已知a、b是实数，关于x、y的方程
组 有整数解（x,y），求a,b满足的关系
式。
13、D是△ABC的边AB上的一点，使得 AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点，使得∠
ADP=∠ACB,求
PB
的值。
PD
14、已知a<0,b≤0,c>0,且
b
2
4ac
= b-2ac,求b
2
-4ac
的最小值。
2004年全国初中数学联赛试题
第一试
一．选择题

a
2
b
2
c
2
1．已知abc≠0，且a+b+c=0, 则代数式的值是（ ）
bccaab
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
2．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以 p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形
是( ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形
3． 一个三角形的边长分别为 a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中a>b，
若两个三角形的最小内角相等，则< br>(A)
a
的值等于（ ）
b
31513252
(B) (C) (D)
2222
4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5 ，这样的直线可以
作
（
）
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条
5．已知b2-4ac是一 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围
为
（
）
(A)
ab
1111
(B)
ab
(C)
ab
(D)
ab

8844
6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称 为格点，则以格点为顶点
的等腰直角三角形的个数为（ ）
(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50
二．填空题

1．计算
1
12

1
23< br>
1
34
L
1
20032004

.
2．如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA
径的圆弧与以BC为直径的圆交 于另一点P，延长AP交BC
BN
N，则= .
NC
D< br>C
为半
于点
N
P
A
B
3．实数a,b满足a 3+b3+3ab=1,，则a+b= .
4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .
第二试（A）
一． 已知方程
x
2

6
x
4
n
2

32
n
0
的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方
形ABGE和D CHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l
于Q。
求证：EP=FQ
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,
t
2
)为抛物线y＝
x
2
上位于三角形ABC内
（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将
BF
表示为自变量t的函数。
CE
2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1、若4x―3y―6z=0，x―2y―7z=0，（xyz≠0），则代数式
（ ）
19
A ―
1
B ― C ―15 D ―13
2
2
5x
2
2y
2
z2
2x
2
3y
2
10z
2
的值等于
A
B
G
F
E
2、在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费元，
超过20g而不超过40g时付邮费元，依次类推，每增加20g需增
加邮费元（信的质量在100g以内），如果某人所寄一封信的
C
质量为，那么他应付邮费（ ）
D
A 元 B 元 C 3元 D 元
3、如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A 360° B 450° C 540° D 720°
A

C
O
D
B

4、四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们
拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x
可取值的个数为（ ）
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
5、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照
留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求
各行的人数必须是连续 的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡
处，那么，满足上述要求的排法的方案有（ ）
A 1种 B 2种 C 4种 D 0种
二、 填空题（共5个小题，每小题6分，满分30分）
6、已知x=1―
3
，那么
7、若实数x，y，z满足
8、观察下列图形：
①
根据图①、②、③的
9、如图所示，
在土坡的 坡面CD和
111

2

= 。
x2x4x2
x+
1
=4，y+
1
=1，z+< br>1
=
7
，则xyz的值为 。
y
x
z3
② ③ 第9
A
题
规律，图④中的三角形的个数为 。
已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照
D
C
E
45°，∠地面BC上，如果CD与地面成
A
AB的
A=60°，CD=4 m，BC=(4
6
―2
2
)m，则电线杆
长为 m。
E
P
D
10、已知二次函数y=ax
2
+bx+c（其中a是正整数）
O
的图像经过点A(―1，4)与点B(2，1)，并且与x轴有两
个不同的交点，则b+c的最大值为 。
三、解答题（共4小题，每小题15分，满分
C
60
B
分）
11、如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过
点D作D E⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P，问EP与PD是否相等证明你的结
论。
12、 某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之
间所需的时间（单位：小时） ，若汽车行驶的平均速度为80千米小时，而汽车每行驶
1千米需要的平均费用为元，试指出此人从A城 出发到B城的最短路线（要有推理过
程），并求出所需费用最少为多少元
D
1
6

E
14
13、如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次
C
1
方程
1x
2
+2(k―2)x+k=0(k是整数的最大整数根)，P是⊙O外一
1B
O
点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切
A
5
点，点B、C是直线PBC与⊙O的交点，若PA，
1
PB，PC
1
A
1
的长都是正整数，且PB的长不是合数，求
H
9
F
PA
2
+PB
2
+PC
2
的值
O
7
G
P
14、沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a、
B
b、c、d满足不
C
等式(a―d)(b―c)>0，那么就可以交换b、c的位置，这称为一次操作。

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次 操作后，对圆
周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a―d)(b―c)≤0请说明理由。
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，
问： 是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a―
d)(b―c) ≤0请说明理由。
1

6 2
2003年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试
5
3
（4月13日上午8:30—9:30）
4
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.
232217122
等于（ ）
A
.
542

B
.
421

2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）

3.若函数y=kx(k>0)与函数
y
ABC的面积为（ ）

4.满足等式
xyxy2003x2003y2003xy2003
的正 整数对(x,y)的
个数是（ ）

5.设△AB C的面积为1，D是边AB上一点，且
四边形DECB的面积为
3
CE
，则的 值为（ ）
EA
4
AD1

．若在边AC上取一点E，使< br>AB3
1
的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△
x
11
1
1
A. B. C. D.
3
24
5
6.如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若A B=4，
BE=5，则DE的长为（ ）
C.
1516
D.
45

D C
E
A B
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.抛物线
yax
2
bxc
与x轴 交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角
三角形，则ac=__________． 2.设m是整数，且方程
3x
2
mx20
的两根都大于
9
3

而小于
，则m=____________．
5
7

C
B D
B'

E
A
3.如图，
AA'
，
BB'
分别是∠EAB，∠DBC 的平分线．若
A'

AA'BB'AB
，则∠BAC的度数为_____________．
4.已 知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么
a，b中较大的数是 _________．
第二试（A）
（4月13日上午10:00—11:30）
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位 数之和的平
方，恰好等于这个四位数．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D 为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别
作CA，CB的垂线，相 交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．
求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
1、已知实数a，b，c，d互不相等，且
a
值．
2、已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
1111
bcdx
，试求x的
bcda
2003年山东省“KLT快灵通杯” 初中数学竞赛试题

（2003年11月30日上午 8：00-11：00）
一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选 项
中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题促括号内。
1．如果a,b,c是非零数，且a+b+c=0,那么
（ ）
（A） 0 （B） 1或-1 （C） 2或-2 （D） 0或-2
2．如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数
是（ ）
（A）
a1
（B）
a
2

1
（C）
a
2
2a1
（D）
a
2
2a1

3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到
分出胜负，负 者退下，由另一人与胜者比赛。比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜
3局、负3局。若丙负3局，那 么丙胜（ ）
（A）0局 （B）1局 （C）2局 （D）3局
2x5
x5
3
4．关于x的不等式组
只有5个整数解，则a的取值范围是（ ）
x3
xa
2
abcabc
的所有可能的值为

cbcabc
1111
（B）
6a

22
1111
（C）
6a
（D）
6a

22
（A）
6a
5．如图， 若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1,则这个正方形
的面积为（ ）
35
735
（A）（B）

2
2
Ⅱ
Ⅰ
ab
Ⅲ
Ⅲ
Ⅳ
b
Ⅳ
Ⅱ
ba
Ⅰ
a

2
51
（C）（D）
12

2

6 ．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高
一个档次，每件产品利 润增加2元。用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提
A
高一个档次将减少3件。如果 获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档
E
次依次随质量增加），那么k等于（ ）
（A） 5 （B） 7 （C） 9 （D）10
7．如图，在
RtABC
中，∠C=90°∠A=30°∠C的
平分线与∠B的外角平分线交于E点，连结AE，则是
（A） 50° （B）45°（C）40° （D）35°
CB
8．已知四边形ABCD，从下列条件中：
⑴AB∥CD ⑵BC∥AD ⑶AB=CD ⑷BC=AD ⑸∠A=∠C ⑹∠B=∠D
任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（ ）
（A）4种 （B）9种 （C）13种 （D）15种
二、填空题（ 本题共4小题，每小题8分，满分32分）：将答案直接填写在对应
题目的横线上。
1

1

9．已知
1a0
，化 简

a

4

a

4
得 。
a

a

22
10．如图 ，已知AD=DB=BC，如果∠C=α,那么∠ABC= 。
11．甲、乙两厂生产 同种产品，都计划把全年
产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市
同类产品的
C
的
场
有
B
3
，然而实际情况并不理想。甲厂仅
4< br>1
1
的产品、乙厂仅有的产品销到了济南。两厂
3
2
D
A
的

1
产品仅占了济南市场同类产品的。则甲 厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比
3
为 。
12．假期 学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：
甲种客车每辆车有40个座， 租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元。则
租用该公司客车最少需用租金 元。
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．如图，在
R tABC
中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，
DF∥AC交BC于点F 求证：（1）四边形CDEF是正方形；
C

（2）
CD
2
2AE•BF

22
F
E
14．设方程
2002x2003•2001x10
的较大根是r，方程
200 1x
2
2002x10
的较小的根是s,求r-s的值
A
B
D
15．在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数。求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方
格），每对小方 格中所填之数的差均不小于10。
2002年全国初中数学联合竞赛试卷
（2002年4月21日8：30—10：30）
一、选择题（本题42分，每小题7分）
1、已知a=
2
-1，b=2
2
-
6
，c=
6
-2，那么a，b，c的大小关系是（ ）
(A) a2、若m
2
=n+2，n
2
=m+2(m≠n)，则m
3
-2mn+n
3
的值为（ ）
(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3、已知二次函 数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则
（ ）

(A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0
4、直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC=90o，A D是斜边上的中线，过D作
DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（ ）
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24 5、圆O
1
与O
2
圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O
1
相切于点B，若AB与
两圆的另一条外公切线平行，则圆O
1
与圆O
2
的半径之比为（ ）
(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3
6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是 一个完全平方数是，n+1都能表示成
个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

y
二、填空题（每小题7
1、已知，ab<0
O
1
，化
x
-1
a<0
1

.
|ab32||ba3|
分，共28分）
O
B
1
A
O
2
简，
2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r， 则捆扎这7根筷子一周的绳子和
长度为
3、甲乙两人到特价商店购买商 品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的
单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了17 2元，则其中单价为9元的商品有
件。
4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对
（x，y）共有 对。
三、（本题满分70分）
1、（本题满分20分）

已知：a ，b，c三数满足方程组

2、（本题满分25分）
ab8

，试求方程bx
2
+cx-a=0的根。
2

abc83c48
如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P 作两腰的平行线分别与
AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆 上。

3、（本题满分25分）
试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2
+(r+2)x+r-
有且只有整数根。
B
P
'
Q
P
A
R
1=0
C
2002的全国初中数学竞赛试题
（2002年4月7日上午 9：30——11：30）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、设a＜b＜0，a< br>2
＋b
2
＝4ab，则
ab
的值为（ ）
ab
A、
3
B、
6
C、2 D、3
2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x
＋ 2002，则多项式
a
2
＋b
2
＋c
2
－ab－bc－ca的值为( )
A、0 B、1 C、2 D、3
3、如图， 点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
A
E
D
G
B
C
F
S
四边形AGCD
S
矩形AB CD
A、
等于( )
5432
B、 C、 D、
6543

4、设a、b、c为实数，x＝a
－2b＋
则x、y、z中至少有一个值( )
2

22
，y＝b－2c＋，z＝c－2a＋，
333
A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0
5、设关于x的方程ax
2
＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x
1、x
2
，且x
1
＜1＜
x
2
，那么a的取值范 围是( )
A、

22222
＜a＜ B、a＞ C、a＜

D、

＜a＜0
755711
P
C
A
6、A
1
A
2
A
3
…A
9
是一个正九边形，A
1
A
2
＝a，A
1
A
3
＝b，则A
1
A
5
等于( )
A、
a
2
b
2
B、
a
2
abb
2
C、
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、设x
1
、x
2是关于x的一元二次方程x
2
＋ax＋a＝2的两个实数根，
则(x
1
－2x
2
)(x
2
－2x
1
)的最大值为 。
1

ab

D、a＋b
2
B8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，
a＜b，则
accb
的值为 。
9、如 图，在△ABC中，∠ABC＝60
0
，点P是△ABC内的
A

O
1



O
3


O

O
4


一
O
2


B

点，
使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB
＝ 。
10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作
⊙O
1
、⊙O
2
，并在⊙O与⊙O
1
和⊙O
2
的空隙间作两个等 圆⊙O
3
和⊙O
4
，
这些圆互相内切或外切，则四边形O
1
O
2
O
3
O
4
的面积为 cm
2
。
11、满足(n
2
－n－1)
n＋2
＝1的整数n有 个。

12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时， 为了不亏本，售价的折扣
（降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。
三、解答题（每小题20分，共60分）
2
13、某项工程，如果由甲、乙两队 承包，
2
天完成，需付180000元；由乙、丙两
5
36
队承包，
3
天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，
2
天完成，需付160 000
47
元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少
14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点< br>Q，设AD与CE的交点为P。
(1)求证：
QDAC
CPAC


（2）求证：
PE
CE
2
EDEC
F
2
2
A
B
Q
P
C
15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax
＋bx＋c的值 都是平方数（即整数
的方）。
证明：（1）2a、2b、c都是整数；
（2）a、 b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切
的x的整数值，x 的二次三项式ax
2
＋bx＋c的值都是平方数
E
D
2001年全国初中数学联赛
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、
a
，
b
，
c
为有理数，且等式
ab2c3526
成立，则2
a
+999
b
+1001< br>c
的值
是（ ）
（A） 1999（
B
）2000（
C
）2001（
D
）不能确定
2、若
ab1
，且有5
a
2
+2001
a
+9=0及
9b
2
2001b50
，则
a
的值是（ ）
b
（
A
）
9
（
B）
5
（
C
）

2001
（
D
）

2001

5
9
59

3、已知在△
ABC
中，∠
ACB
=90
0
，∠
ABC
=15
0
，
BC
= 1，则
AC
的长为（ ）
（
A
）
23（
B
）
23
（
C
）
03
（
D
）
32

4、如图，在△
ABC
中，
D
是边
AC
上的一点，下面四种情况中，△
ABD
∽△
A CB
不一
定成立的情况是（ ）
（
A
）
AD•BCAB•BD
（
B
）
AB
2
AD•AC

（
C
）∠
ABD
=∠
ACB
（
D
）
AB•BCAC•BD

bb
2
4ac
5、①在实数范围内，一元二次方程
a xbxc0
的根为
x
；②在△
2a
2
ABC
中，若
AC
2
BC
2
AB
2
，则△
ABC
是锐角三角形；③在△
ABC
和
A
1
B
1
C
1
中，
a
，
b
，
c
分别为△< br>ABC
的三边，
a
1
,b
1
,c
1
分别为
A
1
B
1
C
1
的三边，若
aa
1
,bb
1
,cc
1
，则△
ABC
的 面
积
S
大于
A
1
B
1
C
1的面积
S
1
。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（
A
）0（
B
）1（
C
）2（
D
）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②
如 一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过
500元的，其中 500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两
次去购物，分别付款168元 和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是
（ ）
（
A
）元（
B
）元（
C
）元（
D
）
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点
P
在直角坐标系 中的坐标为（0，1），
O
为坐标原点，∠
QPO
=150
0
，且
P
到
Q
的距离为2，则
Q
的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点
P
，则点
P
到两圆外公切线的距离
为 。

3、已知
x,y
是正整数，并且
xyxy23,x
2 y
xy
2
120
，则
x
2
y
2= 。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数
为 。
3、
解答题（共70分）
1、 在直角坐标系中有三点
A
（0 ，1），
B
（1，3），
C
（2，6）；已知直线
yaxb222
上横坐标为0、1、2的点分别为
D
、
E
、
F< br>。试求
a,b
的值使得
AD
+
BE
+
CF< br>达到最大值。
（20分）
2、（1）证明：若
x
取任意整数时，二次 函数
yax
2
bxc
总取整数值，
那么
2a,a b,c
都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结
论。（25分）
3、如图，
D
，
E
是△
ABC
边
BC上的两点，
F
是
BC
延长线上的一点，∠
DAE
=∠< br>CAF
。
（1）判断△
ABD
的外接圆与△
AEC
的 外接圆的位置关系，并证明你的结论；（
F
2）若△
A
ABD
的外接 圆的半径的2倍，
BC
=6，
AB
=4，求
BE
的长。
B
DE
C
选解题
1、
EFGH
是正方形
ABCD
的内接四边形，两条对角线
EG
和
FH
所夹的锐角为
θ
，且∠
H
D
A
BEG
与∠
CFH
都是 锐角。已知
EG
=
k
，
FH
=
l
，四边形
EFGH
的面积为
E
θ
S
。
O
G
（1）求证：
sinθ
=
2S
；
kl
B
F
C
（2）试用
k,l,S
来表示正方形的面积。
2、求所有的正整数
a
，
b
，
c
，使得关于
x
的方程
x
23ax2b0
，
x
2
3bx2c0
，
x
2
3cx2a0
的所有的根都是正整数。

3、在锐角△
ABC
中，
AD
⊥
BC
，
D
为垂足，
DE
⊥
AC
，
E
为垂足，
DF
⊥
足。
O
为△
ABC
的外心。求证 ：（1）△
AEF
∽△
ABC
； （2）
AO
⊥
4、如图，在四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O
，直线
l
平
l
M
B
A
O
C< br>AB
，
F
为垂
D
EF

行于
BD< br>，且与
AB
、
DC
、
BC
、
AD
及
AC
的延长线分别相交于点
M
、
N
、
R
、
S
和
P
。 求证：
PM
•
PN
＝
PR
•
PS

NPR
S
2001年TI杯全国初中数学竞赛试题
一、选择题（30分）
2
n4
2(2
n
)
1、化简
，得（ ）
n3
2(2)
177
（A）
2
n1

(B)
2
n1
(C) (D)
884
a bbcca
2、如果
a,b,c
是三个任意整数，那么 （ ）
,,
222
（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都
是整数
3、如果
a,b
是质数，且< br>a
2
13am0,b
2
13bm0,
那么
（A）
123
125
125
123
或2
（C）
或2
（B） （D）
2222
2222
ba

的值为（ ）
ab
1 2
4、如图，若将正方形分成
k
个全等的矩形，其中上、
下各横排两个，中间竖排若干个，则
k
的值为（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
5、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于
点D,且PB=4，PD=3，则AD
•
DC等于（ ）
（A）6 （B）7 （C）12 （D）16
6、若
a,b
是正数，且满足
12345(111a)(111b)< br>，
则
a和b
之间的大小关系是（ ）

D
……
3 4
P
C
A B

（A）
ab
（B）
ab
（C）
ab
（D）不能确定
二、填空题（30分）
7、已知：
x
32
32
,y
32
32
。那么yx


22
xy
8、若
x
2
xyy14,y
2
xyx28,
则
xy
的 值为
9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于
10、销售某种商品，如果单价上涨
m
％，则售出的数量就将减少
品的销售总 金额最大，那么
m
的值应该确定为
11、在直角坐标系
xOy
中，
x
轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，
1）的 距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标
x

12、已知实数
a,b
满足
a
2
abb
2
 1,且taba
2
b
2
，那么t的取值范围是
三、解答题（60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、 第7、第8、第
9次射击中，分别得了环、环、环、环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射< br>击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过环。那么他在第10次射击中
至少要得 多少环（每次射击所得环数都精确到环）
14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两 条切线，过点P作⊙O的割
线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。
求证：
m
。为了使该商
150
1111
(
)
.
PC2PAPB
15、已知：关于x的方程
(a
2
1)(
（1） 求
a
取值范围；
x
2
x
)(2a7)()110
有实根。
x1x1
S
A
P
C
xx
3
O
a
的值。（2） 若原方程的两个实数根为
x
1
,x
2，且
1

2

，求
T

x
1
1x
2
111
B

2000年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试（4月2日上午8:30----9:30）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、计算
14651465,
的值是（ ）。
（A）1；（B）
5
；（C）2
5
；（D）5。
xy6x15y
4x
2
5xy6y
2
2、若的值是（ ）。
,
，则
2
3y2x5yx
x2xy3y
2
（A）
99
；（B）；（C）5；（D）6。
24
b
2< br>1a
2
1
3、设a,b是不相等的任意正数，又
x
，则 x,y这两个数一定（ ）。
,y
ab
（A）都不大于2；（B）都不小于2；（ C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。
4、正整数n小于100，并满足等式
[ ][][]n
，其中[x]表示不超过x的最大整数，这
样的正整数n有（ ）。
（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。
（A） 4；（B）6；（C）
82
；（D）
n
2
n
3
n< br>6
10
2
。
3
6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接 四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相
交于P且BP＝8，∠APD＝60°， 则R等于（ ）。
（A）10；（B）
221
；（C）
122
；（D）14。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
22
1、a,b是正数，并且抛物线< br>yxax2b
和
yx2bxa
都与x轴有公共点，则
a< br>2
b
2
的最小值是________。
2、某果品店组合销售水果 ，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水
果，8千克B水果，1千克C水果； 丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果
价格每千克2元，B水果价格每千克元 ，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得元，
其中A水果的销售额为116元，则C水果 的销售额为_____元。
2
3、实数x,y满足
xy1,
和
2xxy5xy40
，则x+y=________。
4、设正三角形ABC的边 长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大
值和最小值分别记为x和t ，则
st
________。
第二试（4月2日上午10:30---- 11:30）
22

一、（本题满分20分）设p是实数 ，二次函数
yx
2
2pxp
的图象与x轴有两个不同的交
点A
(x
1
,0)
,B
(x
2
,0)
。（1） 求证：
2px
1
x
2
3p0
；（2）若A,B间的距 离不超过|2P-3|，求P
的最大值。
二、（本题满分25分）EFGH是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为
θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG＝k ，FH＝l，四边形
EFGH的面积为s。
（1）求证：
sin


2
2s
；
kl
（2）试用k,l,s表示正方形ABCD的面积。
三、（本题满分25分）设 关于x的二次方程
(k
2
6k8)x
2
(2k
26k4)xk
2
4
的两根都是
数，求满足条件的所有实数k的值。
整
2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设a,b,c的平均数为M，a,b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a>b>c，则M与P的大小
关系是（ ）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b前进c 千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
4、一个一次函数图象与直线
y
595
x
平行，与x
44轴、y
上（包轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB
括端点A 、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
5、设a,b,c分别是△ABC的三边的长，且
aab
，则它的内角∠A、∠B的 关系是（ ）。

babc
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C） ∠B＜2∠A；（D）不确定。
6、已知△ABC的三边长分别为a,b，c,面积为S，△A
1
B
1
C
1
的三边长分别为
a
1
,b< br>1
,c
1
,面积为
S
1
，且
aa
1
,bb
1
,cc
1
，则S与S
1
的大小关系 一定是
（ ）。
（A）S＞S
1
；（B）S＜S
1
；（C ）S＝S
1
；（D）不确定。
二、填空题
7、已知：
a
3
4
3
2
3
1
，那么
331
2

3
＝________。
a
aa

8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6
2
，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形
ABCD的面积等于________。
9、已知关于x的方程
(a1)x2xa10
的根都是整数，那么符合条件 的整数有
________个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距 15米，分别自两杆上高出地面4米、6
米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳 拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与
BC的交点P离地面的高度为________米。
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线
y
211
x
恰好将
32
矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝__ ______。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了％，使得利润率增加了8 个百分点，那
么经销这种商品原来的利润率是________。（注：

利润率=（销售价-进价）进价）
三、解答题
13、设m是不小于-1的实数，使 得关于x的方程
x2(m2)xm3m30
有两个不相
等的实数根
x
1
,x
2
.（1）若
x
1
x
222
22
mxmx
2
6
，求m的值。（2）求
1
的最大值。
1x
1
1x2
22
14、如上图： 已知四边形ABCD外接圆O的
径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，
＝
2AE,
且BD＝2
3
，求四边形ABCD的面积。
半
AB15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最
多能容纳32人，而且只能在第2层至第 33层中的某一层停一
次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往
上走一层楼 梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一
层，问：电梯停 在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小最小值是多少（有些人可以不
乘电梯而直接从楼梯 上楼）
1999年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试 （4月4日上午8:30-- 9:30）
考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。
一、选择题 （本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、
（B）、（C）、（D） 四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后
的圆括号内。每小题选对得 7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号
内），一律得0分。
1、 计算
1
13
4

1
13
4

2
13
的值是（ ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
3、设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a,b的< br>取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。
4、若函数
y
1
2
(x100x196|x
2
100x196|)
，则当自变量 x取1、2、3、…、100
2
这100个自然数时，函数值的和是（ ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，
AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P
的个数为（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
6、有下列三个命题：（甲）若α.β是不相等的无理数，则


α-β 是无理数；（乙）若α.β是不相等的无理数，则
相等的无理数，则


< br>是无理数；（丙）若α.β是不





3

是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知
则
1
(bc)
2
(ab)(ca)
且a ≠0，
4
bc
＝________。
a
2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分
线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则
△ANM的最小角等于________。
3、已知a,b为整数，且
1
a
11

ab

1112
()
，
11
ab
11
3

ab
a
2
b
2< br>1
b
则a+b＝________。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中 点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝
________。
第二试
（4月4日上午10:00--11:30）
一、（本题满分20分） 某班参加一次智力竞赛，共a,b,c三题，
每题或者得满分或者得0分。其中题a满分20分，题b、题c满分
分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对
的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b
的人数之和为29，答对 题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数
之和为20，问这个班的平 均成绩是多少分
二、（本题满分25分）如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝ 4DC。已知圆过
点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。

三、（本题满分25分）已知b,c为整数，方程
5xbxc 0
的两根都大于－1且小于0，求
b和c的值。
2
1999年全国初中数学竞赛试卷
第一试
一、选择题（本题共6小题， 每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，
B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的． 请将正确答案的代号填在题后的括号
里）
1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）．
A．11 B．12 C．13 D．14
2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按 每立方米
元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户4月份的煤气
费平均每立方米元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）．
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元
11
3．已知

|
a
|

1
，那么代数式

|
a
|

1
的值为（ ）．
aa
A．
55
B．－ C．－
22
D．
4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点， 已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么
三角形ABC的面积是（ ）．
A．30 B．36 C．72 D．125
5．如果抛物线
ABC的面积的最小值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得
与x轴的交点为A，B，项 点为C，那么三角形

△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为
（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）
7．已知
x
1
32
,y
1
32
，那么x2 + y2的值为
8．如图1，正方形ABCD的边长为 10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点
P在边DC上运动，EP与AB的交点为F ．设DP=xcm，
与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函
系式是 （0＜x＜10）．
9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么
为 ．
10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是 ．
11．设有 一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在
中间的线段上向形外作正三 角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；
将A2的每条边三等分，并重复上述过程， 所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的
每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4 ，那么A4的周长
是 ．
12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断
出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两
台抽 水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水
地涌
2ab
的
2ab
△EFB
数关
值

机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机
台．
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，
求
st4s1
的值．
t
14．如 图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线
AC和BD的交点是P， AB=BD，且PC=，求四边形ABCD的周长．
15．有人编了一个程序：从1开始，交错 地做加法或乘法（第一次可以是加法，也
可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘 法，将上次的运算结果
乘2或乘3．例如，30可以这样得到：
．
（1）（10分）证明：可以得到22；
（2）（10分）证明：可以得到2
100
+ 2
97
－2．
1998年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、填空题
1.设
m51
,那么
m
1
的整数部分是 .
m
2.在直角三角形
ABC
中,两条直角边
AB,AC
的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角
平分线的长度等于 厘米.
3 .已知
x
3
x10
,那么代数式
x
3
2x 1
的值是 .
4.已知
m
,
n
是有 理数,并且方程
x
2
mxn0
有一个根是
52
,那 么
mn
的值
是 .

5. 如图,
ABCD
为正方形,
A,E,F,G
在同一条直线上, 并且
AE=
5厘米,
EF
=3厘米,那么
FG
= 厘米.
6.满足1998
2
+
m
2
=1997
2
+
n
2
(0mn1998)
的整数
(m,n)
,共有 个.
对
7.设平方数
y
2
是11 个相继整数的平方和,则
y
的
是 .
8.直角三角形
ABC
中,直角边
AB
上有一点
M
,斜边
最小值
B C
上有
一点
P
, 已知
MPBC,BMP
的面积等于四边形
MPCA
的面积的一半,
BP
=2厘米,
PC
=3
厘米,那么直角三角形
ABC< br>的面积是__________平方厘米.
9.已知正方形
ABCD
的面积35平方厘米,
E
,
F
分别为边
AB
,
BC
上的点,
AF
,
CE
相
交于点
G
,并且
ABF
的面积为5平方厘米,
BCE
的面积
平方厘米,那么四边形
BEG F
的面积是____________平方
10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一 个,且
的数目各不相同,那么至多有__________人.
11.设
(a,b)
为实数,那么
a
2
abb
2
a2b
的最小 值是__________.
12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.
13.在右边的加 法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么
A
与
为14
厘米.
每人分
B
乘积的最大值是____________.
14.直线
AB
和
AC
与圆
O
分别为相切于
B
,C
两点,
P
为圆上一点,
P
到
AB
,
AC
的距离分
别为4厘米,6厘米,那么
P
到
BC
的距离为 厘米.
15.每一本书都有一个国际书号:
A B C D E F G H I J
,其中
A B C D E F G H I
由九个数字排列而成,
J是检查号码.令
S
=10
A
+9
B
+8
C+7
D
+6
E
+5
F
+4
G
+3H
+2
I
,

r
是S除以11所得的余数,若
r
不等于0或1,则规定J=11-
r
.(若
r
=0,则规定
J
=0;
若
r
=1,规定
J
用
x
表示)
现有一本书的书号是
y
5,那么
y
= .
第二试
(1)
求所有正实数
a
,使得方程
xax4a 0
仅有整数根.
(2)
知
P
为
ABCD
内一点
,O
为
AC
与
BD
的交点,
M、N
分别为
PB,PC
的中点,
Q
为
AN
与
3
DM< br>的交点,求证:
(1)
P,Q,O
三点在一条直线上;
(2)
PQ
=2
OQ
.
3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差
整除.
1998年全国初中数学竞赛试卷
第一试
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a
、
b
、
c都是实数，并且
abc
， 那么下列式子中正确的是（ ）
（Ａ）
abbc
（Ｂ）
abbc
（Ｃ）
abbc
（Ｄ）
ab


cc
2、如果方程
x
2
px10

p0

的 两根之差是1，那么p的值为（ ）
（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）
3
（Ｄ）
5

3、在△ABC中， 已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，
CE=6，那么△ABC的面积等于 （ ）
（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18
4、已知
abc0
，并且
（ ）象限
abbcca< br>p
，那么直线
ypxp
一定通过第
cab

（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四

9xa0
5、如果不等式组

的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的 整数
8xb0

a
、
b的有序数对（a
、
b） 共有（ ）
（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个
二、填空题：（每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，A B=5，P是AD边上任意一点，PE⊥
BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=__ _________。
7、已知直线
y2x3
与抛物线
yx
2
相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△
OAB的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地
连成一 条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。
9、已知方程
a
2
x
2


3a
2
8a

x 2a
2
13a150
（其中a是非负整数），至少有一
个整数根，那 么a=___________。
10、B船在A船的西偏北45
0
处，两船相距< br>102
km，若A船向西航行，B船同时
向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那 么A、B两船的最近距离是
___________km。
第二试
三、解答题：（每小题20分，共60分）
11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1， ∠A=90
0
，点E为腰AC中点，点F在
底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的 面积。
12、设抛物线
yx
2


2a1

x2a
值；（2）求
a
18
323a
6
的 值。

5
的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的
4

1 3、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给
D市18台，E市 10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和
800元；从B市调运一台机器到 D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台
机器到D市、E市的运费为400元和500 元。
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）
关 于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x、
y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。
1997年全国初中数学联赛试题
第一试
一.选择题本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四
个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.
1.下述四个命题,正确个数有( )
(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)
a
2
的平方根是
a
;
(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (4)大于直角的角一定是钝角.
(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.
2.已知
4
32
x
4
53
,那么满足上述不等式的整数
x
的个数是( )
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.
3.若实数a,b,c
满足
a
2
b
2
c
2
 9
,代数式
(ab)
2
(bc)
2
(ca)2
的最大值是
（ ）
(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.
4.给定平面上
n
个点,已知1, 2,4,8,16,32都是其中两点
间的距离,那么点数
n
的最小可能值是( )

之

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.
5.在梯形
ABCD
中,
ADDC
,
B30
0
,
C60
0
,E, M,F,N
分别为
AB,BC,CD,DA
的中点,已知
BC
=7,
MN
=3,则
EF
之值为（ ）
1
(A)4 (B)
4
(C)5; (D)6.
2
6.如图,已知
AB
,
AA
1
,
PP
1
,
BB
1
均垂直于
A
1
B
1
,
AA
1
17
,
PP
1
16< br>,
BB
1
20
,
A
1
B
1
12
,则
AP+PB
等于（ ）
（A）12； （B）13； （C）14； （D）15.
二、填空题
1.从等 边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个
等边三角形的面积是 .
2.当
a
取遍0到5的所有实数值时,满足
3ba(3a8 )
的整数
b
的个数是
3.若
a
,
b< br>满足
3a5b7
,则
S223b
的取值范围是 .
4.若正整数
x
,
y
满足
x
2
y
2
1997
,则
xy
等于___________.
第二试
一.设
P
为等腰直角三角形
ACB
斜边
AB
上任意一点,
PE
垂直
AC
于点
F
,
PF
垂直
BC
于点
F
,
PG
垂直
EF
于点
G
, 延长
GP
并在其延长线上取一点
D
, 使得
PD=PC
,试
证:
BCBD
,且
BC=BD
.
二.已知
a, b
为整数,且
ab
,方程
3
x
2

3(
ab
)
x
4
ab
0
的两个根
,

满足关系式

(

1)

(

1)(

1)(

1)
，试求所有的整 数点对(
a,b
).
三.已知定理:“若三个大于3的质数,
a,b,c< br>满足关系式
2a5bc
,则
abc
是
整数
n
的倍数”.试问:上述定理中的整数
n
的最大可能值是多少并证明你的结论。
1996年全国初中数学联赛试题

第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、实数a,b满足ab=1,记
M
（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
11
ab
，
N
，则M，N的关 系为


1a1b
1a1b
2、设正整数a,m,n满足< br>a
2
42mn
，则这样的a,m,n的取值（ ）
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
3．如图，A是半径为1的 圆O外的一点，OA=2，AB是
圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积 等于（ ）

3

3
2



8
D、
48
A、
9
B、
6
C、
6
4．设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于（ ）
A、 4 B．8 C．6 D．0
5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平
分，那么该直线必通过这个三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心

D．垂心
6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的
个数有 [ ]
D．24个
分，每小题7分）
程组的解，则
x
0

y
0


A．4个 B．8个 C．12个
二、填空题（本题满分28
1、已知实数x
0,
y
0
是方

2．如图 ，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，
BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等 于______．
3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，
且< br>3
1995x
3
1996y
3
1997z
3
3
1995
3
1996
3
1997
，则
111


xyz
4．如图，将边长为1的正方形 ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇
的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是_ _____．
第二试
一、（本题满分20分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个
女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是
(m·n+ 9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．
二、（本题满 分25分）设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M
作AD的平行线分别交AB、C D于点E、F，交BC的延长线
O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所
示）， 求证：∠OPF=∠OEP．
三、（本题满分25分）已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax 2+bx+c与x轴有
两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值 ．
于点
1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题（每题7分，共42分）
1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]
A．a＜b＜c

B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

2、方程组的正整数解的组数是［ ］
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如果方程(x－1)(x2－2x－m) ＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那
么实数m的取值范围是[ ]
A、0≤m≤1 B、m≥

333
C、≤m≤1
444
4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一 圆，那么此圆的周长为
［ ]
A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△
DA B｜，N＝2S△OAB，则 [ ]
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定
6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]
A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0
C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0
二、填空题（每题7分，共28分）
1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有__ __个。 < br>a
3
1
1
2．已知a是方程
xx0
的根，则
5
的值等于
aa
4
a
3
a
2
4
2
3．设x为正实数，则函数
yx
2
 x
1
的最小值是
x
4．以线段AB为直径作一个半圆， 圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，
则∠CAB＝______．
第二试

一（本题20分）、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在C E上，CA＝CB＝CD，经A、
C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。 二（本题25分）、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试
x
2
x9

的图象上找出满足y≤|x|的所有整点（x,y）,并说明理
在二次函数
y
10105
由。
三（本题25分）、试证：每个大于6的自然数n，都 可以表示为两个大于1且互质
的自然数之和。
1994年全国初中数学联赛试
第一试
(4月3日上午8：30—9：30)
考生注意：本试共两道大题，满分80分.
一、选择题（本题满分48分，每小题6分）
1、若0a
2

A、

111
2(1).
可化简为（ ）
a1a
a
2
1aa1
B、 C、
1a
2
D、
a
2
1

1 aa1
2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-
bc,y=b2-ca,z= c2-ab,则x,y,z（ ）
A．都不小于0 B．都不大于0
C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0
3．如图1所示，半圆O的直径在梯形AB CD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA
相切，若BC=2，DA=3，则AB的长（ ）
A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定

4、当
x
11994
时，多项式
( 4x
3
1997x1994)
2001
的值为（ ）
2
A．1 B．-1 C．22001 D．-22001

5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示
的图形，则共得同旁内角（ ）
A．4对 B．8对C．12对 D．16对
6、若方程
xpx
有两个不相等的实根，则实数p的取值范围是（ ）
A、p≤0 B、p<
111
C、0≤p< D、p≥
444
7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则< br>AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是( )
1
1
A、
(abbcca)
B、
(a
2
b
2
c
2
)

2
2
2
2
C、
(abbcca)
D、
(a
2
b
2
c
2
)

3
3
8、若
a
x
b
y
1994
2（其中a,b是自然数），且有
的取值是（ ）
A．1001
111

，则2a+b的一切可有
xyz
B．1001,3989 C．1001,1996


D．1001,1996,3989
二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.
1、若在关于x的恒等式
MxN2cMxN
中，为最简分式，且

2< br>2
xx2
xx2
xaxb
有a>b,a+b=c,则N=
2、当｜x+1|≤6时，函数y=x|x|-2x+1的最大值是
3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=___ ___.

4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌 面上，使它们两两外切，若
要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小 半径
等于
第二试
(4月3日上午10：00—11：30)
考生注意：本试共三道大题，满分60分.
一、（本题满分20分）如图所示，在△ABC中 ，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到
Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P ,Q四点共圆。
二、（本题满分20分）周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在若不存在，请给
出证明；若存在，请证明共有几个
三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题.下表 是对于做对n(n=0,1,2,……,15)
个题的人数的一个统计.
n 0 1 2
7
3
8
……
10
12
21
13
……
14
15
15
6 3 1 做对n个题的人数
如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和 10个
题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人
1993年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是
正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1 .多项式
x
12
x
6
1
除以
x
21
的余式是（ ）
(A)1; (B)-1; (C)
x1
; (D)
x1
;

2.对于命题，正确的是（ ）
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设
x
是实数,yx1x1.下列四个结论: 其中正确的是（ ）
Ⅰ.
y
没有最小值; Ⅱ.只有一个
x
使
y
取到最小值;
Ⅲ.有有限多个
x(不止一个)使
y
取到最大值;Ⅳ.有无穷多个
x
使
y
取到最小值.
(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ
4.实数
x
1
,x
2
,x
3
, x
4
,x
5
满足方程组
其中
a
1
,a< br>2
,a
3
,a
4
,a
5
是实常数,且
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
,则
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
的大小顺序
是（ ）
(A)
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
; (B)
x
4
x
2
x
1
x
3
x
5
;
(C)
x
3
x
1
x
4
x
2
x
5
; (D)
x5
x
3
x
1
x
4
x
2
.
5.不等式
x1(x1)
2
3x7
的整数解的个解（ ）
(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5
于5
6.在
ABC
中,
A是钝角,O是垂心,AOBC
,
则
cos(OBCOCB)
的值是（ ）
(A)

223
1
(B) (C) (D)

.
2
22
2
(D)等
7.锐角三角ABC
的三边是
a
,
b
,
c
,它的外心到三边的距离分别为
m
,
n
,
p
,那么
m
:
n
:
p
等于（ ）
111
(A)
::
; (B)
a:b:c

abc

(C)
cosA:cosB:cosC
(D)
sinA:sinB:sinC
.
8.
3
3(
3< br>4
3
2
3
1
1
)
可以化简成
999
(A)
3
3(
3
21)
; (B)
3
3(
3
21)
(C)
3
21
(D)
3
21

二.填空题
3x
2
6x5
1.
当
x
变化时,分式
的最小值是___________.
1
2
2
xx 1
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左
有7个小球,且每四个相邻的 盒里共有30个小球,那么最右
有__________个小球.
3.若方程
(x< br>2
1)(x
2
4)k
有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四 个点等距排
列,则
k
=____________.
4.锐角三角形
ABC
中,
A30
.以
BC
边为直径作圆,与
AB
,
AC
分别交于
D
,
E
,连
接
DE
, 把三角形
ABC
分成三角形ADE
与四边形
BDEC
,设它们的面积分别为
S
1
,
S
2
,则
面的盒里
面的盒里
S
1
:
S
2
=___________.
第二试
一.设
H< br>是等腰三角形
ABC
垂心,在底边
BC
保持不变的情况下让顶点
A
至底边
BC
的
距离变小,这时乘积
S
ABC
S
HBC
的值变小,变大,还是不变证明你的结论.
二.
ABC
中,
BC
=5,
AC
=12,
AB
=13, 在边
AB
,
AC
上分别取点
D
,
E
, 使线段
DE
将
ABC
分成面积相等的两部分.试求这样的线段
DE
的最小长度. < br>
,x
2

,且
三.已知方程
x
2
bxc
0
及x
2
cxb
0
分别各有两个整数根
x
1
,x
2
及
x
1

x
2

0
.(1)求证:
x
1
0,x
2
0,x
1

0,x
2

0;

x
1
x
2
0,x
1